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巧转化,妙解立体几何问题_论文

l   巧转 化 ,妙 解 立体 几何 问题  安徽 省 灵璧 县 黄 湾 中学  华瑞 芬  转 化 思 想 在 数 学 解 题 中有 着 非 常 重 要  AB 的 中点 , 则 点 A, B到 面 a的距 离相 等.   的作用 , 特别 是对于立体几何 问题 , 通 过 巧  妙 转化 , 可 以降 低解 题 难 度 , 达到快速 、 简 洁  求 解 的 目的.   二 、线 转 化  膏 一、 点转化   例 2   如 图 2, A1   B1   C厂ABC 是 直 三 棱  柱,   BC A一 9 0 。 , 点 D  , F  分 别 是 A  B  ,   A   C   的中点, 若 B C— C A— C C   , 则 B D  与  如图1 , 正 四棱 锥 S — AB C D 顶 点  AF   所 成 角 的 余 弦 值 是  S 在 底 面 上 的投 影 为 0 , S D 中点 为 P , 且 S O   — OD=a , 直 线 BS上 有 一 点 G, 则 G 到 面  .   PAC 的 距 离 是   , /   /   .   。   图2   图 1   解析  B D   与 AF   是两 条异面 直线,     F . 在 BC上取 中点 E, 连 EF   , 则B E/ /   连结 P O, 则 PO是 A B DS 的  连 D D  F   且 B E— D   F   , 所以 F   E/ / D  B, 因此  中位线 , P O/ / B S, 所 以点 G 到 面 AP C 的距  解 析    与 BD   所 成 的 角转 化 为 F   E 与 Al F   所  离 可 转 化 为 点 S 到 面 APC 的 距 离 ; 再 注 意  AF   到点 P是 S D 的 中点 , 则 点 S 到 面 APC 的  成 的 角 . 距 离 可 转 化 为 点 D 到 面 APC 的距 离 .   设 BC= CA — CC  一 1, 于 是 在 △ AF   E  在 三棱 锥 P— ADC 中 , 由体 积 法 V  。 。   一 中可 求得  一  , F   E=BD   一  , E A=   V D   , 可 求 得 点 D 到 面 APC 的 距 离 为  1   . S   z x 似‘ 专 s o   S△A 尸 c   2 ~  一 一     则 在 等 腰 △AE F  中, 易得 c 。 s ZE F   A   ‘  评 注  点 转化 的解 题依 据是 : ( 1 ) 若 直  线 z ∥面 a , 则 z 上 各 点 到 面 a的 距 离 相 等 ;   评 注  线 转化 的解 题 依据 是 两 条平 行 线 和  ( 2 )如 果线 段 AB与面 a的交点 恰 好 是线 段  同一 个平 面或 直线 所成 的角 相等 .   ● 8   Ne w  Un i v er s i t y   En t r a nc e   Ex a mi n at i on   解  析  求三棱锥  E D , 的体积 , 先变  —f r 三 、面转 化  换顶 点 , 转 化 为求 三棱锥 E— A   D   F 的体 积 ,   直接 求体 积很 困难 , 为 此可 取 AB 中点 G, 连  例3   如 图 3所 示 , 在 正 方体 Ac   中, E,   GF, G A   . 由于 四边 形 A  D   F G 是 平 行 四边  F 分 别 是 AA  , C C   的 中点 , 求面 B   E DF 与  形 , 因此三 棱锥 E— A  D  F与 E— A  F G等 底  面 A1 B  C1 Dl 所 成 的锐二 面角 的大 小.   Dl   l   同高, 所 以它们 的体 积 相等 , 即  V  1   ED 】 一   l c1   蹦 1 D l F= = =V 蹦 1FG = = :   1 G E = = =   ÷S △ A   G E? GF=1 .   E  .  例 5   如 图 5 ,已  正 方 体 AC  的 边 长  图 3   为 n, E, F 分 别 是 棱 A1   B1 , CD 的 中 点 . 求 四  棱 锥 B— C1 EAF 的 体 积 .   Dl   cl   解 析  由于面 A C / / 面A   B   c   D   , 所  以 面 B1 EDF 与 面 A   B   C 1 D1 及 面 AB C D 所  成 的二 面 角相 等 , 即转 化 为求 面 B   E DF 与  面 AB C D 所 成 的 二 面 角.又 由 于 四 边 形  B   E DF 在下 底 面 的投 影 为 四 边 形 AB C D,   则连 结 B 1 D, B D, 可 证 得  B 1 DB 为其 二 面  图 5   C  f a , I p   c o s  D B - 苗一   .   与 y所成 的锐 角 ( 或直 角 ) 相等 .   解  析  如 果想 直接 利 用 四棱 锥 B—     E AF的体 积 公 式 , 点 B到平面 C   E AF 的  评 注  面 转 化 的解 题依 据 是 若两 个 平  C 为 此 不 妨 将 四棱锥 体 积看 成  行平 面 a , 卢都 与第 三个 平 面 y相 交 , 则面 a ,   距 离较 难 求 出 , 两个 三棱锥 的体 积 之 和 , 即 V B c   一 B c   口  +VB A £ F .   ☆ 四、 体转化   . 易证 S △ c   E F— S △ A E F , 从 而  E A F一  2 V  F , 根 据


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