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www.kayadesign:最新文档-11-12学年高中数学16微积分基本定理课件新人教A版选修2-2-PPT精品文档_图文

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? 1.6 微积分基本定理

? 1.通过实例,直观了解微积分基本定理 的含义;
? 2.利用微积分基本定理,求函数的定积 分.

? 本节重点:微积分基本定理.
? 本节难点:导数与积分的关系;利用微积 分基本定理求函数的定积分.

? 1.用微积分基本定理求定积分,关键是 找到满足F′(x)=f(x)的函数F(x),即找被积 函数的原函数,利用求导运算与求原函数 运算互为逆运算的关系,运用基本初等函 数求导公式和导数的四则运算法则从反方 向上求出F(x).
? 2.利用微积分基本定理求定积分,有时 需先化简,再积分.

3.被积函数的原函数有很多,即若 F(x)是被积函数 f(x)的一个原函数,那么 F(x)+C(C 为常数)也是被积函数 f(x)的原函数.但是在实际运算时,不论如何选择常数 C(或 者是忽略 C)都没有关系,事实上,以 F(x)+C 代替式中的 F(x)有??bf(x)dx=[F(b)+C]-[F(a)+C]=F(b)-F(a).
?
?a

? 1.微积分基本定理

? 2.定积分和曲边梯形面积的关系 ? 设曲边梯形在x轴上方的面积为S上,x轴下
方的面积为S下,则
(1)当曲边梯形的面积在 x 轴上方时,如图(1),则??bf(x)dx ? ?a
=S 上 .

(2)当曲边梯形的面积在 x 轴下方时,如图(2),则??bf(x)dx ? ?a

=-S 下.

(3)当曲边梯形的面积在 x 轴上方、x 轴下方均存在时,

如图(3),则??bf(x)dx=S 上-S 下,若 S 上=S 下,则??bf(x)dx=0.

?

?

?a

?a

? [例1] 求下列定积分

(1)???21xdx;(2)???1x3dx;(3)

?1

?0

??1-1exdx.

? [分析] 根据导数与积分的关系,求定积 分要先找到一个导数等于被积函数的原函 数,再根据牛顿—莱布尼茨公式写出答案, 找原函数可结合导数公式表.

? [点评] 求定积分主要是要找到被积函数的 原函数.也就是说,要找到一个函数,它 的导数等于被积函数.由此可见,求导运 算与求原函数运算互为逆运算.

? [分析] 由于被积函数是绝对值函数,需 在积分区间[-2,2]上分段积分,这里零点 是x=0,x=1.

? [点评] 在求含绝对值函数的积分时,由于 被积函数的表达形式在给定区间上不能用 统一的形式表示,需分段积分.

[例 3] [分析]

求 c 的值,使??1(x2+cx+c)2dx 最小. ? ?0
对于一个确定的 c 的值,??1(x2+cx+c)2dx 是 ? ?0

一个确定的数,因而??1(x2+cx+c)2dx 可看成一个关于 c 的 ? ?0

函数,再求 c 取何值时,此函数有最小值.

[解析] 令 y=??1(x2+cx+c)2dx ? ?0
=??1(x4+2cx3+c2x2+2cx2+2c2x+c2)dx ? ?0
=???15x5+24cx4+c32x3+23cx3+22c2x2+c2x??????10 =15+12c+c32+23c+c2+c2
=15+76c+73c2=73???c+14???2+15-478 所以当 c=-14时,y 最小.

? [点评] 本题考查了如何求定积分,同时考 查了函数求最值.对本题中的乘方形式, 先用公式展开,表示成和的形式,然后分 别求出,再求和.

设 f(x)是连续函数,且 f(x)=x+2??1f(t)dt,求 f(x). ?
[解析] ∵2??1f(t)dt 是一个常数 ?0 ? ?0
∴可设 f(x)=x+c
∴????01f(t)dt=????01(t+c)dt=???12t2+ct??????10 =12+c ∴c=2??1f(t)dt=1+2c
?
?0
∴c=-1 ∴f(x)=x-1.

一、选择题

1.??π(cosx+1)dx 等于 ? ?0

A.1

B.0

C.π+1

D.π

? [答案] D

()

A.0 C.2 [答案] C

π B.4 D.4

3.若????1a???2x+1x???dx=3+ln2,则 a 的值是 (

)

? A.6

B.4

? C.3

D.2

? [答案] D

[解析] ????1a???2x+1x???dx=(x2+lnx)???a1

=a2-1+lna=3+ln2,

所以?????aa2=-21=3 , 解得 a=2.故应选 D.

二、填空题

4.已知 f(x)是一次函数,且???1f(x)dx=5,???1xf(x)dx=167,

?0

?0

那么 f(x)=________.

? [答案] 4x+3

? [解析] 设f(x)=ax+b(a≠0),则

[答案] -2


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