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四川高三数学理大一轮复习课件13.4数学归纳法


数学 川(理) §13.4 数学归纳法 第十三章 算法初步、推理与证明、复数 基础知识·自主学习 要点梳理 数学归纳法 一般地, 证明一个与正整数 n 有关的命 题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取 第一个值n0 (n0∈N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k (k≥n0, k∈N*) 时命题成立, 证明当 n=k+1 时命题也 成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题 对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. 上 述证明方法叫做数学归纳法. 难点正本 疑点清源 1.数学归纳法是一种重要的数 学思想方法,主要用于解决 与正整数有关的数学问 题.证明时步骤(1)和(2)缺一 不可,步骤(1)是步骤(2)的基 础,步骤(2)是递推的依据. 2. 在用数学归纳法证明时, 第(1) 步验算 n=n0 的 n0 不一定为 1,而是根据题目要求,选择 合适的起始值.第 (2) 步,证 明 n=k+1 时命题也成立的 过程,一定要用到归纳假设, 否则就不是数学归纳法. 基础知识·自主学习 基础自测 题号 1 2 3 4 5 答案 π 解析 2k C B D 题型分类·深度剖析 题型一 用数学归纳法证明等式 * 1 1 【例 1】已知 n∈N ,证明:1- + 2 3 1 1 1 1 - +?+ - = + 4 2n-1 2n n+1 1 1 +?+ . 2n n+ 2 思维启迪 解析 探究提高 题型分类·深度剖析 题型一 用数学归纳法证明等式 * 探究提高 思维启迪 解析 1 1 【例 1】已知 n∈N ,证明:1- + 2 3 等式的左边有 2n 项,右边有 n 1 1 1 1 - +?+ - = + 4 2n-1 2n n+1 项,左边的分母是从 1 到 2n 的 1 1 +?+ . 2n n+ 2 连续正整数,末项与 n 有关,右 边的分母是从 n+1 到 n+n 的连 续正整数, 首、 末项都与 n 有关. 题型分类·深度剖析 题型一 用数学归纳法证明等式 * 探究提高 思维启迪 解析 1 1 【例 1】已知 n∈N ,证明:1- + 21 31 1 证明1 (1)当 n=1 时,左边= 1 - = ,右边= ,等式成立; 1 1 1 2 2 由于出现的结果有限,每次每 2 - +?+ - = + 4 2 n - 1 n + 1 * 2n (2)假设当 n=k(k∈N )时等式成立,即 颗只能有四种结果,且每种结 1 1 +?+ . 1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n + 2 果出现的可能性是相等的,所 1- + - +?+ - = + +?+ , 2 3 4 2k 2k-1 2k k+1 k+2 以是古典概型.由于试验次数 1 1 1 1 1 1 1 那么当 n=k+1 时, 左边=1- + - +?+ - + - 2 3 4 2 k 2 k - 1 2 ? k + 1 ? - 1 2?k+1? 少,故可将结果一一列出. ? 1 1 1? 1 1 ? ? =?k+1+k+2+?+2k?+ - ? ? 2k+1 2?k+1? ? 1 1 ? 1 1 1 1 ? = + +?+ + +?k+1-2?k+1?? ? 2k 2k+1 ? k+2 k+3 ? 题型分类·深度剖析 题型一 用数学归纳法证明等式 * 探究提高 思维启迪 解析 1 1 【例 1】已知 n∈N ,证明:1- + 2 3 1 1 1 由于出现的结果有限,每次每 1 1 1 1 1


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