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广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷-Word版


深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期中测试

高一数学
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为 1-12 题, 共 60 分;第Ⅱ卷为 13-22 题,共 90 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮 擦干净后,再涂其它答案。全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷(本卷共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
x 1.设集合 A ? x | 2 ? 4 ,集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ,则 A

?

?

B 等于 (

) (D) [1, 2]

(A) (1, 2)

(B) (1, 2]

(C) [1, 2) ) (C) ?0, ???

x 2. 函数 f ? x ? ? log 2 3 ?1 的定义域为 (

?

?

(A) ?1, ?? ? 3.已知函数 f ( x) ? ? (A)

(B) ?1, ?? ?

(D) ? 0, ???

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

,则 f ( f ( )) =

1 9





1 2

(B)

1 4

(C)

1 6
)

(D)

1 8

4.已知 f(x)=(a-1)x2+3ax+7 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,7)上为 ( (A)先递增再递减 (B)先递减再递增 (C)增函数 )

(D) 减函数

5.三个数 a=0.42,b=log20.4,c=20.4 之间的大小关系是( (A) a ? c ? b (B) a ? b ? c

(C) b ? a ? c

(D) b ? c ? a

6.若函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,得数据如下:
3 2

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

-1-

f (1.375) ? ?0.260

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054
) (D) 1.2

那么方程 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 =0 的一个最接近的近似根为( (A) 1.5 (B) 1.4 (C) 1.3

7.若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga (x ? k ) 的图像是(

)

y

y

y

y

O 1

2

x

O 1 2

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

(A)

(B)

(C) )

(D)

8.函数 y ? f ( x) 的值域是 [?2,2] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为( (A) [?2, 2] (B) [?1,3] (C)[?3,1]

(D)[?1,1] ) (D) ? 2

( ,2) ,则 log2 9.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点
(A)

1 2

f (2) 的值为(
(C) 2

1 2

(B) ?

1 2

10.函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,在 [0, ?? ) 上是减函数,若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围 是( ) (A)(0,1)

(e, ??)

(B)(0, e )

?1

(1, ??) (C)(e ?1 ,1)

(D) (e , e ) ) (D) 10

?1

11.已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 ,那么 f (2) ? ( (A) ?26 (B) 26 (C) ?10

12 . 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) , 且 对 任 意 的 x1 ?[? 1, 2] ,都存在 ,使 f ( x2 ) ? g ( x1 ) ,则实数 a 的取值范围是 ( x2 ?[? 1, 2] (A)[3,+∞) (B)(0,3] 1 ? (C)? ?2,3? ) 1? (D)? ?0,2?

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分)
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。

-2-

13.计算: 0.25 ? ( ? )

1 2

?4

? log 3 18 ? log 3 2 ?




14.函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为

15 . 已 知 关 于 x 的 函 数 y ? l og 在 [0, 3] 上 是 减 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? ax ) a (4 是 16.若函数 f ( x) ? 2 数 m 的最小值等于 .
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增,则实


三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)

已知全集 U = R, A ? { x | ?3 ? x ? 5, x ? R} , B ? { x | x 2 ? 4x ? 5 ? 0, x ? R} .
(Ⅰ)求 A

B;

(Ⅱ)求 (CU B)

A.

18. (本小题满分 12 分) 已知指数函数 y ? g ( x) 满足: g (3) ? 8 ,定义域为 R 上的函数 f ( x) ? 函数. (Ⅰ)求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明.

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

19. (本小题满分 12 分) 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ,且当

x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1.
(Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论.

20. (本小题满分 12 分)
-3-

某厂生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百件这样的产品, 需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件,销售的收 入函数为 R(t ) ? 5t ? 位:百件). (Ⅰ)该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件,生产并销售这种产品所得到的利润为当年 产量 x( x ? N ) 的函数 f ( x ) ,求 f ( x ) ; (Ⅱ)当年产量是多少时,工厂所得利润最大? (III)当年产量是多少时, 工厂才不亏本?

t2 ,其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量(单 (0 ? t ? 5, t ? N ) (单位:万元) 2

21. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点(0,1)和(1,4) ,且对于任意的实数 x , 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)设 g ( x) ? kx ? 1,若 F ( x) ? log2 [g (x ) ? f (x )]在区间[1,2]上是增函数,求实数 k 的 取值范围.

22.(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 , f (log a x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) ; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性;

a 1 (x ? ). a ?1 x
2

1 , 1 ) (III) 对于 f ( x ) , 当 x ? (?

时 , 有 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 , 求实数 m 的集合 M .
2

-4-

深圳市高级中学 2015-2016 学年第一学期期中测试

高一数学
命题人:程正科 审题人:范铯

本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷为 1-12 题, 共 60 分;第Ⅱ卷为 13-22 题,共 90 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。 2.选择题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮 擦干净后,再涂其它答案。全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。 3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷(本卷共 60 分)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
x 1 . 设 集 合 A? x|2 ?4

?

?

, 集 合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? , 则 A

B 等 于

(

B ) (A) (1, 2) (B) (1, 2] 数 (C) [1, 2) (D) [1, 2]

2. (

函 D ) (A) ?1, ?? ?

f ? x? ? l

2

?

x o ?

?

g



3 定

1义





(B) ?1, ?? ? 知 函 数

(C) ?0, ??? , 则

(D) ? 0, ???

3 (





x, x ?g0 ?l 3 o f ( x) ? ? x ?2 , x ? 0
1 4 1 6

1 f ( f ( )) 9

=

B ) (A)

1 2

(B)

(C)

(D)

1 8
A )

4. 已知 f(x)=(a-1)x2+3ax+7 为偶函数, 则 f(x)在区间(-5,7)上为 (A)先递增再递减 (B)先递减再递增 (C)增函数

(

(D) 减函数 ( C )

5. 三个数 a=0.42, b=log20.4, c=20.4 之间的大小关系是

-5-

(A) a ? c ? b

(B) a ? b ? c

(C) b ? a ? c

(D) b ? c ? a

6.若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,得数据如下:

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260
那 么 方 程 ( B ) (A) 1.5

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054

fx3 ? x2 ? 2x ? 2 ? 0
(B) 1.4

的 一 个 最 接 近 的 近 似 根 为

(C) 1.3

(D) 1.2

7.若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x ( a ? 0 且 a ? 1 )在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数,则

g ( x) ? loga (x ? k )
( C )









y

y

y

y

O 1

2

x

O 1 2

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

(A)

(B)

(C)

(D) ( A )

8. 函数 y ? f ( x) 的值域是 [?2,2] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为 (A) [?2, 2] (B) [?1,3] (C)[?3,1]

(D)[?1,1] ( B )

( ,2) ,则 log2 9. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点
(A)

1 2

f (2) 的值为
(C) 2

1 2

(B) ?

1 2

(D) ? 2

10. 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数 , 在 [0, ?? ) 上是减函数 , 若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围 是 ( D

) (A)(0,1)

(e, ??)

(B)(0, e )

?1

(1, ??) (C)(e ?1 ,1)

(D) (e , e )

?1

-6-

11. 已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 , 那么 f (2) ? (A) ?26 (B) 26 (C) ?10

( A (D) 10

)

12 . 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2 x, g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) , 且 对 任 意 的 x1 ?[? 1, 2] ,都存在 , x2 ?[? 1, 2] 使 f ( x2 ) ? g ( x1 ) , 则实数 a 的取值范围是 (A)[3,+∞) (B)(0,3] 1 ? (C)? ?2,3? ( D )

1? (D)? ?0,2?

第Ⅱ卷(本卷共计 90 分)
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。 13.计算: 0.25 ? ( ? )

1 2

?4

? log 3 18 ? log 3 2 ?

6



14.函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为

? 0,

6? ?



15 .已知关于 x 的函数 y ? loga (4? ax ) 在 [0, 3] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 ____

4 (1, ) ____. 3
16.若函数 f ( x) ? 2
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ,且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增,则实

数 m 的最小值等于____1___. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分)

已知全集 U = R, A ? { x | ?3 ? x ? 5, x ? R} , B ? { x | x 2 ? 4x ? 5 ? 0, x ? R} .
(Ⅰ)求 A

B;

(Ⅱ)求 (CU B)

A.
A ? B ? { x | ?3 ? x ? 5}

17 解:(1) B={x | -1<x<5}; …..3

………5

(2) ?UB ={x | x≤-1 或 x≥5} ……………………8 ( ?UB )∩A= {x | -3<x≤-1 或 x=5}. …………………………….10

18. (本小题满分 12 分)

-7-

已知指数函数 y ? g ( x) 满足: g (3) ? 8 ,定义域为 R 上的函数 f ( x) ? 函数. (Ⅰ)求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明.

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

18 解: (1) 设 g ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ,由 g (3) ? 8 得 a ? 2 ,故 g ( x) ? 2 x ,………3 分 由题意 f ( x) ?

? g ( x) ? n ? 2 x ? n ? x g ( x) ? m 2 ?m
…………4 分

因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (0) =0,得 n ? 1 ∴ f ( x) ?

? 2x ?1 1? 2x m ? 1 f ( x ) ? , 又由 f ( 1 ) = -f ( -1 )知 ∴ …………6 分 2x ? m 1? 2x
…………7 分

(2) f ( x ) 是 R 上的单调减函数。 证明:设 x1 ? R, x2 ? R 且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1

因为 y ? 2 为 R 上的单调增函数且 x1 ? x 2 ,故 2 又1 ? 2 分 19. (本小题满分 12 分)
x1

? 2 x2 ,

? 0 , 1 ? 2 x2 ? 0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

所以 f ( x ) 是 R 上的单调减函数……12

定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足:对任意实数 m, n ,总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ,且当

x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1.
(Ⅰ)试求 f ? 0 ? 的值; (Ⅱ)判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论. 解: (1)在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? 1, n ? 0 .得: f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? .

-8-

因为 f ?1? ? 0 ,所以, f ? 0? ? 1. (2)要判断 f ? x ? 的单调性,可任取 x1 , x2 ? R ,且设 x1 ? x2 . 在已知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,若取 m ? n ? x2 , m ? x1 ,则已知条件可化为:

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?

.

由于 x2 ? x1 ? 0 ,所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小,只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可. 在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中,令 m ? x , n ? ?x ,则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 . ∵ x ? 0 时, 0 ? f ? x ? ? 1, ∴ 当 x ? 0 时, f ? x ? ?

1 ?1? 0 . f ??x?

又 f ? 0? ? 1,所以,综上,可知,对于任意 x1 ? R ,均有 f ? x1 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? ? 0. ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.

20. (本小题满分 12 分) 某厂生产一种产品的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产一百件这样的产品, 需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件,销售的收 入函数为 R(t ) ? 5t ? 位:百件). (Ⅰ)该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件,生产并销售这种产品所得到的利润为当年 产量 x( x ? N ) 的函数 f ( x ) ,求 f ( x ) ; (Ⅱ)当年产量是多少时,工厂所得利润最大? (III)当年产量是多少时, 工厂才不亏本?

t2 ,其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量(单 (0 ? t ? 5, t ? N ) (单位:万元) 2

-9-

? x2 ??0.5 ? 4.75 x ? , 0 ? x ? 5, x ? Z, 20 解: (1)利润 f ( x) ? ? ……………….5 2 ? 12 ? 0.25 x, x ? 5, x ? Z . ?
(2) 若 0 ? x ? 5, 则 y ? ?0.5 ? 4.75 x ?

x2 , 对称轴 x ? 4.75 , 2

由 x ? N ,所以当 x=5 时 y 有最大值 10.75 若 x>5,则 y ? 12 ? 0.25 x 是减函数,所以,当 x=6 时 y 有最大值 10.50 综上:年产量 500 件时,工厂所得利润最大。………………………………………….9 (3)当 0 ? x ? 5 时,由 y ? 0 得, 1 ? x ? 5, x ? Z , 当 x ? 5 时,由 y ? 0 得, 5 ? x ? 48, x ? Z , 综上:年产量 x 满足 1 ? x ? 48, x ? Z , 时,工厂不亏本。……………………………….12 21. (本小题满分 12 分) 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点(0,1)和(1,4) ,且对于任意的实数 x , 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)设 g ( x) ? kx ? 1,若 F ( x) ? log2 [g (x ) ? f (x )]在区间[1,2]上是增函数,求实数 k 的 取值范围. 21.解. (1) f (0) ? 1 ? c ? 1, f (1) ? 4 ? a ? b ? c ? 4

? f ( x) ? ax2 ? (3 ? a) x ? 1 f ( x) ? 4 x即ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0恒成立得 ?a ? 0 由? ? a ?1 2 ( a ? 1 ) ? 4 a ? 0 ? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1
(2) F ( x) ? log2 ( g ( x) ? f ( x)) ? log2 (? x ? (k ? 2) x)
2

由 F(x)在区间[1,2]上是增函数得

h( x) ? ? x 2 ? (k ? 2) x在[1,2] 上为增函数且恒正

- 10 -

?k ? 2 ?2 ? 故? 2 ?k ?6 ? ?? 1 ? k ? 2 ? 0
22.(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0 且 a ? 1 , f (log a x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) ; (Ⅱ)判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性;

a 1 (x ? ). a ?1 x
2

1 , 1 ) (III) 对于 f ( x ) , 当 x ? (?

时 , 有 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 , 求实数 m 的集合 M .

分析:先用换元法求出 f(x)的表达式;再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性;然后 利用以上结论解第三问. 解:(1)令 t=logax(t∈R),则

x ? a t , f (t ) ?
(2) ? f (? x) ?
2

a a (a t ? a ?t ),? f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ), ( x ? R). a ?1 a ?1
2

a a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x), 且x ? R,? f ( x)为奇函数.当a ? 1时, 2 ? 0, a ?1 a ?1 u ( x) ? a x ? a ? x 为增函数, 当0 ? a ? 1时, 类似可判断f ( x)为增函数.综上, 无论a ? 1或0 ? a ? 1,
f(x)在 R 上都是增函数. (3) ? f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0, f ( x)是奇函数且在 R上是增函数 ,? f (1 ? m) ? f (m2 ? 1).又 ? x ? (?1,1)

?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

- 11 -



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