广东省深圳市高级中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试卷-Word版

深圳市高级中学 2015－2016 学年第一学期期中测试

高一数学
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为 1-12 题， 共 60 分；第Ⅱ卷为 13-22 题，共 90 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。 2.选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮 擦干净后，再涂其它答案。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷（本卷共 60 分）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
x 1．设集合 A ? x | 2 ? 4 ，集合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ，则 A

?

?

B 等于 (

) （D） [1, 2]

（A） (1, 2)

（B） (1, 2]

（C） [1, 2) ） （C） ?0, ???

x 2. 函数 f ? x ? ? log 2 3 ?1 的定义域为 （

?

?

（A） ?1, ?? ? 3．已知函数 f ( x) ? ? （A）

（B） ?1, ?? ?

（D） ? 0, ???

?log3 x, x ? 0 ?2 , x ? 0
x

，则 f ( f ( )) =

1 9

（

）

1 2

（B）

1 4

（C）

1 6
)

（D）

1 8

4．已知 f(x)＝(a－1)x2＋3ax＋7 为偶函数，则 f(x)在区间(－5,7)上为 ( （A）先递增再递减 （B）先递减再递增 （C）增函数 )

（D） 减函数

5．三个数 a＝0.42，b＝log20.4，c＝20.4 之间的大小关系是( （A） a ? c ? b （B） a ? b ? c

（C） b ? a ? c

（D） b ? c ? a

6．若函数 f ( x) ? x ? x ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：
3 2

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

-1-

f (1.375) ? ?0.260

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054
） （D） 1.2

那么方程 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 =0 的一个最接近的近似根为（ （A） 1.5 （B） 1.4 （C） 1.3

7．若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x （ a ? 0 且 a ? 1 ）在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数，则

g ( x) ? loga (x ? k ) 的图像是(

)

y

y

y

y

O 1

2

x

O 1 2

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

（A）

（B）

（C） ）

（D）

8．函数 y ? f ( x) 的值域是 [?2,2] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为（ （A） [?2, 2] （B） [?1,3] （C）[?3,1]

（D）[?1,1] ） （D） ? 2

（ ，2） ,则 log2 9．已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点
（A）

1 2

f (2) 的值为（
（C） 2

1 2

（B） ?

1 2

10.函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,在 [0, ?? ) 上是减函数,若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围 是（ ） （A）(0,1)

(e, ??)

（B）(0, e )

?1

(1, ??) （C）(e ?1 ,1)

（D） (e , e ) ) （D） 10

?1

11．已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 ，那么 f (2) ? ( （A） ?26 （B） 26 （C） ?10

12 ． 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2 x， g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ， 且 对 任 意 的 x1 ?[? 1, 2] ，都存在 ，使 f ( x2 ) ? g ( x1 ) ，则实数 a 的取值范围是 （ x2 ?[? 1, 2] （A）[3，＋∞) （B）(0,3] 1 ? （C）? ?2，3? ） 1? （D）? ?0，2?

第Ⅱ卷（本卷共计 90 分）
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

-2-

13．计算： 0.25 ? ( ? )

1 2

?4

? log 3 18 ? log 3 2 ?
．

．

14．函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为

15 ． 已 知 关 于 x 的 函 数 y ? l og 在 [0, 3] 上 是 减 函 数 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ? ax ) a (4 是 16.若函数 f ( x) ? 2 数 m 的最小值等于 ．
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ，且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增，则实
．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 10 分）

已知全集 U = R， A ? { x | ?3 ? x ? 5, x ? R} ， B ? { x | x 2 ? 4x ? 5 ? 0, x ? R} ．
（Ⅰ）求 A

B；

（Ⅱ）求 (CU B)

A．

18． （本小题满分 12 分） 已知指数函数 y ? g ( x) 满足： g (3) ? 8 ，定义域为 R 上的函数 f ( x) ? 函数. （Ⅰ）求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式； （Ⅱ）判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明.

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

19． （本小题满分 12 分） 定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足：对任意实数 m, n ，总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ，且当

x ? 0 时， 0 ? f ? x ? ? 1.
（Ⅰ）试求 f ? 0 ? 的值； （Ⅱ）判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论.

20． （本小题满分 12 分）
-3-

某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产一百件这样的产品， 需要增加可变成本（即另增加投入）0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件，销售的收 入函数为 R(t ) ? 5t ? 位:百件）. （Ⅰ）该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件，生产并销售这种产品所得到的利润为当年 产量 x( x ? N ) 的函数 f ( x ) ，求 f ( x ) ； （Ⅱ）当年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （III）当年产量是多少时， 工厂才不亏本？

t2 ，其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量（单 (0 ? t ? 5, t ? N ) （单位：万元） 2

21． （本小题满分 12 分） 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点（0，1）和（1，4） ，且对于任意的实数 x ， 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的表达式； （Ⅱ）设 g ( x) ? kx ? 1，若 F ( x) ? log2 [g (x ) ? f (x )]在区间[1，2]上是增函数，求实数 k 的 取值范围.

22.（本小题满分 12 分） 已知 a ? 0 且 a ? 1 ， f (log a x ) ? （Ⅰ）求 f ( x ) ； （Ⅱ）判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性；

a 1 (x ? ). a ?1 x
2

1 , 1 ) （III） 对于 f ( x ) ， 当 x ? (?

时 , 有 f (1 ? m) ? f (1 ? m ) ? 0 ， 求实数 m 的集合 M .
2

-4-

深圳市高级中学 2015－2016 学年第一学期期中测试

高一数学
命题人：程正科 审题人：范铯

本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷为 1-12 题， 共 60 分；第Ⅱ卷为 13-22 题，共 90 分。全卷共计 150 分。考试时间为 120 分钟。
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡相应的位置。 2.选择题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮 擦干净后，再涂其它答案。全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。

第Ⅰ卷（本卷共 60 分）
一．选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。
x 1 ． 设 集 合 A? x|2 ?4

?

?

， 集 合 B ? ?x | y ? lg( x ?1)? ， 则 A

B 等 于

(

B ) （A） (1, 2) （B） (1, 2] 数 （C） [1, 2) （D） [1, 2]

2. （

函 D ） （A） ?1, ?? ?

f ? x? ? l

2

?

x o ?

?

g

的

3 定

1义

域

为

（B） ?1, ?? ? 知 函 数

（C） ?0, ??? ， 则

（D） ? 0, ???

3 （

．

已

x, x ?g0 ?l 3 o f ( x) ? ? x ?2 , x ? 0
1 4 1 6

1 f ( f ( )) 9

=

B ） （A）

1 2

（B）

（C）

（D）

1 8
A )

4． 已知 f(x)＝(a－1)x2＋3ax＋7 为偶函数， 则 f(x)在区间(－5,7)上为 （A）先递增再递减 （B）先递减再递增 （C）增函数

(

（D） 减函数 ( C )

5． 三个数 a＝0.42， b＝log20.4， c＝20.4 之间的大小关系是

-5-

（A） a ? c ? b

（B） a ? b ? c

（C） b ? a ? c

（D） b ? c ? a

6．若函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? 2 x ? 2 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：

f (1) ? ?2

f (1.5) ? 0.625

f (1.25) ? ?0.984

f (1.375) ? ?0.260
那 么 方 程 （ B ） （A） 1.5

f (1.4375) ? 0.162

f (1.40625) ? ?0.054

fx3 ? x2 ? 2x ? 2 ? 0
（B） 1.4

的 一 个 最 接 近 的 近 似 根 为

（C） 1.3

（D） 1.2

7．若函数 f ( x) ? k ? a x ? a ? x （ a ? 0 且 a ? 1 ）在 ? ??, ??? 上既是奇函数又是增函数，则

g ( x) ? loga (x ? k )
( C )

的

图

像

是

y

y

y

y

O 1

2

x

O 1 2

x

?1

O

2

x

?1

O
2

x

（A）

（B）

（C）

（D） （ A ）

8． 函数 y ? f ( x) 的值域是 [?2,2] ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的值域为 （A） [?2, 2] （B） [?1,3] （C）[?3,1]

（D）[?1,1] （ B ）

（ ，2） ,则 log2 9． 已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点
（A）

1 2

f (2) 的值为
（C） 2

1 2

（B） ?

1 2

（D） ? 2

10. 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数 , 在 [0, ?? ) 上是减函数 , 若 f (ln x ) ? f (1), 则 x 的取值范围 是 （ D

） （A）(0,1)

(e, ??)

（B）(0, e )

?1

(1, ??) （C）(e ?1 ,1)

（D） (e , e )

?1

-6-

11． 已知函数 f ( x) ? ax5 ? bx3 ? 2 x ? 8 且 f (?2) ? 10 ， 那么 f (2) ? （A） ?26 （B） 26 （C） ?10

( A （D） 10

)

12 ． 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2 x， g ( x) ? ax ? 2(a ? 0) ， 且 对 任 意 的 x1 ?[? 1, 2] ，都存在 ， x2 ?[? 1, 2] 使 f ( x2 ) ? g ( x1 ) ， 则实数 a 的取值范围是 （A）[3，＋∞) （B）(0,3] 1 ? （C）? ?2，3? （ D ）

1? （D）? ?0，2?

第Ⅱ卷（本卷共计 90 分）
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。 13．计算： 0.25 ? ( ? )

1 2

?4

? log 3 18 ? log 3 2 ?

6

．

14．函数 f ( x) ? 1 ? 2log 6 x 的定义域为

? 0,

6? ?

．

15 ．已知关于 x 的函数 y ? loga (4? ax ) 在 [0, 3] 上是减函数，则实数 a 的取值范围是 ____

4 (1, ) ____． 3
16.若函数 f ( x) ? 2
x ?a

(a ? R) 满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) ，且 f ( x) 在 [m, ??) 单调递增，则实

数 m 的最小值等于____1___． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17． （本小题满分 10 分）

已知全集 U = R， A ? { x | ?3 ? x ? 5, x ? R} ， B ? { x | x 2 ? 4x ? 5 ? 0, x ? R} ．
（Ⅰ）求 A

B；

（Ⅱ）求 (CU B)

A．
A ? B ? { x | ?3 ? x ? 5}

17 解：(1) B={x | -1<x<5}； …..3

………5

（2） ?UB ={x | x≤-1 或 x≥5} ……………………8 ( ?UB )∩A= {x | －3<x≤－1 或 x=5}. …………………………….10

18． （本小题满分 12 分）

-7-

已知指数函数 y ? g ( x) 满足： g (3) ? 8 ，定义域为 R 上的函数 f ( x) ? 函数. （Ⅰ）求 y ? g ( x) 与 y ? f ( x) 的解析式； （Ⅱ）判断 y ? f ( x) 在 R 上的单调性并用单调性定义证明.

? g ( x) ? n 是奇 g ( x) ? m

18 解： （1） 设 g ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) ，由 g (3) ? 8 得 a ? 2 ，故 g ( x) ? 2 x ，………3 分 由题意 f ( x) ?

? g ( x) ? n ? 2 x ? n ? x g ( x) ? m 2 ?m
…………4 分

因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数，所以 f (0) =0，得 n ? 1 ∴ f ( x) ?

? 2x ?1 1? 2x m ? 1 f ( x ) ? ， 又由 f （ 1 ） = -f （ -1 ）知 ∴ …………6 分 2x ? m 1? 2x
…………7 分

（2） f ( x ) 是 R 上的单调减函数。 证明：设 x1 ? R, x2 ? R 且 x1 ? x 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x

1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? ? 1 ? 2 x1 1 ? 2 x2 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1

因为 y ? 2 为 R 上的单调增函数且 x1 ? x 2 ，故 2 又1 ? 2 分 19． （本小题满分 12 分）
x1

? 2 x2 ，

? 0 ， 1 ? 2 x2 ? 0 故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0

所以 f ( x ) 是 R 上的单调减函数……12

定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足：对任意实数 m, n ，总有 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? ，且当

x ? 0 时， 0 ? f ? x ? ? 1.
（Ⅰ）试求 f ? 0 ? 的值； （Ⅱ）判断 f ? x ? 的单调性并证明你的结论. 解： （1）在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中，令 m ? 1, n ? 0 .得： f ?1? ? f ?1? ? f ? 0? .

-8-

因为 f ?1? ? 0 ，所以， f ? 0? ? 1. （2）要判断 f ? x ? 的单调性，可任取 x1 , x2 ? R ，且设 x1 ? x2 . 在已知条件 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中，若取 m ? n ? x2 , m ? x1 ，则已知条件可化为：

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? x1 ?

.

由于 x2 ? x1 ? 0 ，所以 1 ? f ? x2 ? x1 ? ? 0 . 为比较 f ? x2 ?、f ? x1 ? 的大小，只需考虑 f ? x1 ? 的正负即可. 在 f ? m ? n? ? f ? m? ? f ? n ? 中，令 m ? x ， n ? ?x ，则得 f ? x ? ? f ? ?x ? ? 1 . ∵ x ? 0 时， 0 ? f ? x ? ? 1， ∴ 当 x ? 0 时， f ? x ? ?

1 ?1? 0 . f ??x?

又 f ? 0? ? 1，所以，综上，可知，对于任意 x1 ? R ，均有 f ? x1 ? ? 0 . ∴ f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? f ? x1 ? ? ? f ? x2 ? x1 ? ? 1? ? ? 0. ∴ 函数 f ? x ? 在 R 上单调递减.

20． （本小题满分 12 分） 某厂生产一种产品的固定成本（即固定投入）为 0.5 万元，但每生产一百件这样的产品， 需要增加可变成本（即另增加投入）0.25 万元. 市场对此产品的年需求量为 500 件，销售的收 入函数为 R(t ) ? 5t ? 位:百件）. （Ⅰ）该公司这种产品的年产量为 x( x ? N ) 百件，生产并销售这种产品所得到的利润为当年 产量 x( x ? N ) 的函数 f ( x ) ，求 f ( x ) ； （Ⅱ）当年产量是多少时，工厂所得利润最大？ （III）当年产量是多少时， 工厂才不亏本？

t2 ，其中 t (t ? N ) 是产品售出的数量（单 (0 ? t ? 5, t ? N ) （单位：万元） 2

-9-

? x2 ??0.5 ? 4.75 x ? , 0 ? x ? 5, x ? Z, 20 解: (1)利润 f ( x) ? ? ……………….5 2 ? 12 ? 0.25 x, x ? 5, x ? Z . ?
(2) 若 0 ? x ? 5, 则 y ? ?0.5 ? 4.75 x ?

x2 , 对称轴 x ? 4.75 ， 2

由 x ? N ，所以当 x=5 时 y 有最大值 10.75 若 x>5，则 y ? 12 ? 0.25 x 是减函数，所以，当 x=6 时 y 有最大值 10.50 综上：年产量 500 件时，工厂所得利润最大。………………………………………….9 （3）当 0 ? x ? 5 时，由 y ? 0 得， 1 ? x ? 5, x ? Z , 当 x ? 5 时，由 y ? 0 得， 5 ? x ? 48, x ? Z , 综上：年产量 x 满足 1 ? x ? 48, x ? Z , 时，工厂不亏本。……………………………….12 21． （本小题满分 12 分） 设二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点（0，1）和（1，4） ，且对于任意的实数 x ， 不等式 f ( x) ? 4 x 恒成立． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的表达式； （Ⅱ）设 g ( x) ? kx ? 1，若 F ( x) ? log2 [g (x ) ? f (x )]在区间[1，2]上是增函数，求实数 k 的 取值范围. 21．解． （1） f (0) ? 1 ? c ? 1, f (1) ? 4 ? a ? b ? c ? 4

? f ( x) ? ax2 ? (3 ? a) x ? 1 f ( x) ? 4 x即ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0恒成立得 ?a ? 0 由? ? a ?1 2 ( a ? 1 ) ? 4 a ? 0 ? ? f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1
（2） F ( x) ? log2 ( g ( x) ? f ( x)) ? log2 (? x ? (k ? 2) x)
2

由 F（x）在区间[1，2]上是增函数得

h( x) ? ? x 2 ? (k ? 2) x在[1,2] 上为增函数且恒正

- 10 -

?k ? 2 ?2 ? 故? 2 ?k ?6 ? ?? 1 ? k ? 2 ? 0
22.（本小题满分 12 分） 已知 a ? 0 且 a ? 1 ， f (log a x ) ? （Ⅰ）求 f ( x ) ； （Ⅱ）判断函数 f ( x ) 的奇偶性与单调性；

a 1 (x ? ). a ?1 x
2

1 , 1 ) （III） 对于 f ( x ) ， 当 x ? (?

时 , 有 f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0 ， 求实数 m 的集合 M .

分析：先用换元法求出 f(x)的表达式；再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调性；然后 利用以上结论解第三问. 解：(1)令 t=logax(t∈R)，则

x ? a t , f (t ) ?
(2) ? f (? x) ?
2

a a (a t ? a ?t ),? f ( x) ? 2 (a x ? a ? x ), ( x ? R). a ?1 a ?1
2

a a (a ? x ? a x ) ? ? f ( x), 且x ? R,? f ( x)为奇函数.当a ? 1时, 2 ? 0, a ?1 a ?1 u ( x) ? a x ? a ? x 为增函数, 当0 ? a ? 1时, 类似可判断f ( x)为增函数.综上, 无论a ? 1或0 ? a ? 1,
f(x)在 R 上都是增函数. (3) ? f (1 ? m) ? f (1 ? m2 ) ? 0, f ( x)是奇函数且在 R上是增函数 ,? f (1 ? m) ? f (m2 ? 1).又 ? x ? (?1,1)

?? 1 ? 1 ? m ? 1 ? ? ?? 1 ? m 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? m ? 2 . ?1 ? m ? m 2 ? 1 ?

- 11 -