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高中数学第三章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点教案新人教A版必修120170628362

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3.1.1 方程的根与函数的零点
【知识与技能】理解函数(结合二次函数)零点的概念,领会函数零点与相应方程要的关系,掌握零点 存在的判定条件. 【过程与方法】零点存在性的判定. 【情感、态度、价值观】在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值. 二、重点、难点 重点 零点的概念及存在性的判定. 难点 零点的确定. 三 教学环节设计 【教学过程】 (一)创设情境,感知概念 实例引入 解下列方程并作出相应的函数图像 2x-4=0;y=2x-4 (二)探究 1:观察几个具体的一元二次方程的根与二次函数,完成下表: 填空: 方程 根 函数

x2-2x-3=0 x1=-1,x2=3 y=x2-2x-3

x2-2x+1=0 x1=x2=1 y=x2-2x+1

x2-2x+3=0
无实数根

y=x2-2x+3

y 4 2
图象
O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2 -4
一个交点:(1,0) O

y 4 2 -1 1 2 3 x -2
O

-1 1 2 3 x -2 -4

图象与 x 轴的 交点

两个交点: (-1,0),(3,0)

没有交点

问题 1:从该表你可以得出什么结论? 归纳: 判别式Δ 方程 ax +bx+c=0 (a>0)的根
2

Δ >0 两个不相等的实数根 x1、x2

Δ =0 有两个相等的 实数根 x1 = x2

Δ <0 没有实数根

1

y 函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象
2

y

y

O x1

x2

x

O

x1

x

O

x

函数的图象与 x 轴的 交点

两个交点: (x1,0),(x2,0)

一个交点: (x1,0)

无交点

问题 2:一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系? 学生讨论,得出结论:一元二次方程的根就是函数图象与 x 轴交点的横坐标. 问题 3:其他的函数与方程之间也有类似的关系吗? 师生互动:由一元二次方程抽象出一般方程,由二次函数抽象出一般函数,得出一般的结论:方程 f(x) =0 有几个根,y=f(x)的图象与 x 轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标. (三)辨析讨论,深化概念 概念:对于函数 y=f(x),把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点. 2 即兴练习:函数 f(x)=x(x -16)的零点为 ( D ) A.(0,0),(4,0) B.0,4 C.(–4,0),(0,0),(4,0) D.–4,0,4 说明:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值. ②求函数零点就是求方程 f(x)=0 的根. 问题 4:函数的零点与方程的根有什么共同点和区别? (1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x) 有零点. (2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 探究 2:如何求函数的零点?

练习 1:求下列函数的零点 (1)y=3x- 3 (2)y=log2x 小结:求函数零点的步骤: (1)令 f(x)=0; (2)解方程 f(x)=0; (3)写出零点. 练习 2:函数 f(x)=x2-4 的零点为( ) A.(2,0) B.2 C.(–2,0),(2,0) D.–2,2 练习 3:求下列函数的零点 (1)f(x)=-x2+3x+4
2

(2)f(x)=lg(x2+4x-4) 小结: (1)求函数的零点可以转化成求对应方程的根; (2)零点对于函数而言,根对于方程而言. (四)实例探究,归纳定理 零点存在性定理的探索. 问题 5:结合图像,试用恰当的语言表述如何判断函数在某个区间上是否存在零点? 观察函数的图象: ①在区间(a,b)上___(有/无)零点;f(a)·f(b) ___ 0(“<”或“>”) . ②在区间(b,c)上___(有/无)零点;f(b)·f(c) ___ 0(“<”或“>”) . ③在区间(c,d)上___(有/无)零点;f(c)·f(d) ___ 0(“<”或“>”) .

y

a O b

c d x

完成课本 P87 的探究,归纳函数零点存在的条件. 【零点存在性定理】 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断一条曲线,并且有 f(a)·f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根. 即兴练习:下列函数在相应区间内是否存在零点? (1)f(x)=log2x,x∈[ 1 ,2];
2

(2)f(x)=e +4x-4,x∈[0,1].

x-1

(五)正反例证,熟悉定理 定理辨析与灵活运用 例 1 判断下列结论是否正确,若不正确,请使用函数图象举出反例: (1)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内有且仅有一 个零点. ( × ) (2)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且 f(a)·f(b)≥0,则 f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( × ) (3)已知函数 y=f(x)在区间[a,b]满足 f(a)·f(b)<0,则 f(x)在区间(a,b)内存在零点. ( × ) 例题讲解 例 2:求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点的个数,并确定零点所在的区间[n,n+1](n∈Z). 解法 1(借助计算工具):用计算器或计算机作出 x、f(x)的对应值表和图象.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4.0 -1.3 1.1 3.4 5.6 7.8 9.9 12.1 14.2 由表或图象可知,f (2)<0,f (3)>0,则 f (2) f (3)<0,这说明函数 f(x)在区间(2,3)内有零点.
3

问题 8:如何说明零点的唯一性? 又由于函数 f(x)在(0,+∞)内单调递增,所以它仅有一个零点. 解法 2(估算):估计 f(x)在各整数处的函数值的正负,可得如下表格:

x 1 2 3 4 f(x) - - + +
结合函数的单调性,f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点. 解法 3(函数交点法) :将方程 lnx+2x-6=0 化为 lnx=6-2x,分别画出 g(x)=lnx 与 h(x)=6-2x 的草图, 从而确定零点个数为 1.继而比较 g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小,确定交点所在的区间,即零点的 区间. y 6

g(x) h(x)

O

1234

x

由图可知 f(x)在区间(2,3)内有唯一的零点. 练习: (1)已知函数 f (x)的图象是连续不断的,有如下的 x,f(x)对应值表:

x f(x)

1 23

2 9

3 -7

4 11

5 -5 D.2 个

6 -12

7 -26 ( )

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有 A.5 个 B.4 个 C.3 个 (六)课堂小结(学生谈谈本节课学习的收获) (七)布置作业:习题 3.1A 组 2

4



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