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上海市格致中学2017届高三上学期第二次月考数学试卷 Word版含解析

2016-2017 学年上海市格致中学高三(上)第二次月考数学试卷

一.填空题 1.已知复数

,则复数 z 的虚部为 .

2.已知集合 M={y|y=2x,x>0},N={y|y=

},则 M∩N 等于 .

3.已知| |=1,| |= , ∥ ,则 ? = .

4.不等式

的解集为 .

5.函数 (f x)=sin(2x+φ)(﹣π<φ<0)图象的一条对称轴是直线 ,则 φ= .

6.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)的奇函数,它们的定义域为[﹣π,π],

且它们在 x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式

的解集为 .

7.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为 .

8.已知动点(x,y)符合条件

,则 范围为 .

9.在

的展开式中有 项为有理数.

10.若 a,b∈{1,2,3,…,11},构造方程

,则该方程表示的曲线为

落在矩形区域{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的概率是 .

11.若关于 x 的方程

,(a>0 且 a≠1)有解,则 m 的取值范

围是 .

12.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1,动点 P 在此正方体的表面上运动,且

PA=r

,记点 P 的轨迹长度为 f(r),则关于 r 的方程

的解集

为.

二.选择题 13.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 14.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( ) A.ab>ac B.c(b﹣a)>0 C.cb2<ca2 D.ac(a﹣c)<0 15.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意 图,在平面直角坐标系中,下列给定的一系列直线中(其中 θ 为参数,θ∈R), 能形成这种效果的只可能是( )

A.y=xsinθ+1 B.y=x+cosθ C.xcosθ+ysinθ+1=0 D.y=xcosθ+sinθ 16.已知函数 f(x)=asinx﹣bcosx(a,b 为常数,a≠0,x∈R)的图象关于 x=

对称,则函数 y=f( ﹣x)是( )

A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称

B.偶函数且它的图象关于点

对称

C.奇函数且它的图象关于点

对称

D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称 17.对于正整数 n,定义“n!!”如下:当 n 为偶数时,n!!=n?(n﹣2)?(n﹣4)…6?4?2; 当 n 为奇数时,n!!=n?(n﹣2)?(n﹣4)…5?3?1;则:

①?=2005!; ②2004!!=21002?1002!; ③2004!!的个位数是 0; ④2005!!的个位数是 5; 上述命题中,正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 18.在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,若点 P(异于点 B)是棱上一点,则满足 BP 与 AC′所成的角为 45°的点 P 的个数为( )

A.0 B.3 C.4 D.6

三.解答题

19.如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的菱形,其中∠DAB=60°,SD 垂

直于底

面 ABCD,



(1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积;

(2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

20.函数 y=2x 和 y=x3 的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)设曲线 C1,C2 分别对应函数 y=f(x)和 y=g(x),请指出图中曲线 C1,C2 对应的函数解析式.若不等式 kf[g(x)]﹣g(x)<0 对任意 x∈(0,1)恒成 立,求 k 的取值范围;

(2)若 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,11,12},求 a,b 的值.

21.已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣ =0,椭圆 C: +y2=1,F1、F2 分别为椭圆

C 的左、右焦点. (Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△AF1F2,△BF1F2 的重心分别为 G、H.若 原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围. 22.如图一块长方形区域 ABCD,AD=2,AB=1,在边 AD 的中点 O 处有一个可转 动

的探照灯,其照射角∠EOF 始终为 ,设∠AOE=α,探照灯照射在长方形 ABCD

内部区域的面积为 S;

(1)当

时,求 S 关于 α 的函数关系式;

(2)当

时,求 S 的最大值;

(3)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回”(OE 自 OA 转到 OC,再回到 OA,称“一 个来 回”,忽略 OE 在 OA 及 OC 处所用的时间),且转动的角速度大小一定,设 AB 边

上有一点 G,且

,求点 G 在“一个来回”中被照到的时间.

23.设函数 f(x)=x2﹣(3k+2k)x+3k?2k,x∈R;

(1)若 f(1)≤0,求实数 k 的取值范围; (2)若 k 为正整数,设 f(x)≤0 的解集为[a2k﹣1,a2k],求 a1+a2+a3+a4 及数列 {an}的前 2n 项和 S2n;

(3)对于(2)中的数列{an},设

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最

大值.

2016-2017 学年上海市格致中学高三(上)第二次月考数 学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题

1.已知复数

,则复数 z 的虚部为 ﹣2 .

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

【解答】解:复数

=

=

=﹣1﹣2i,则复数 z 的虚部为﹣

2. 故答案为:﹣2.

2.已知集合 M={y|y=2x,x>0},N={y|y=

},则 M∩N 等于 ? .

【考点】交集及其运算. 【分析】化简 M={y|y>1},N={y|0≤y≤1},利用两个集合的交集的定义求出 M ∩N.

【解答】解:集合 M={y|y=2x,x>0}={y|y>1},N={y|y=

}={y|0≤y≤1},

故 M∩N={y|y>1}∩{y|0≤y≤1}=?, 故答案为:?.

3.已知| |=1,| |= , ∥ ,则 ? =



【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】直接利用向量的数量积求解即可.

【解答】解:| |=1,| |= , ∥ ,则 ? =| || |cos

故答案为: .

=.

4.不等式

的解集为 [2,+∞) .

【考点】其他不等式的解法.

【分析】不等式

,可得

,即可得出结论.

【解答】解:不等式

,可得

,∴x≥2,

∴不等式

的解集为[2,+∞).

故答案为:[2,+∞).

5.函数 f(x)=sin(2x+φ)(﹣π<φ<0)图象的一条对称轴是直线 ,则 φ= .
【考点】正弦函数的图象. 【分析】根据三角函数的图象和性质可得对称轴方程为 2x+φ= +kπ,(k∈Z)求 解即可. 【解答】解:函数 f(x)=sin(2x+φ)(﹣π<φ<0) 其对称轴方程为 2x+φ= +kπ,(k∈Z) ∵图象的一条对称轴是直线 , ∴ φ= +kπ,即 φ=kπ ,(k∈Z) ∵﹣π<φ<0, 当 k=﹣1 时,可得 φ= . 故答案为: .

6.已知函数 y=f(x)是偶函数,y=g(x)的奇函数,它们的定义域为[﹣π,π],

且 它 们 在 x ∈ [0 , π] 上 的 图 象 如 图 所 示 , 则 不 等 式

的解集为



【考点】函数奇偶性的性质;函数的图象.

【分析】由不等式

可知 f(x),g(x)的函数值同号,观察图象选择函

数值同号的部分,再由 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,得到 f(x)g(x)是 奇函数,从而求得对称区间上的部分,最后两部分取并集.

【解答】解:x∈[0,π],由不等式

,可知 f(x),g(x)的函数值同号,

即 f(x)g(x)>0.

根据图象可知,当 x>0 时,其解集为:(0, ),

∵y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数, ∴f(x)g(x)是奇函数,

∴当 x<0 时,f(x)g(x)<0,∴其解集为:(﹣π,﹣ ),

综上:不等式

的解集是



故答案为



7.如图是某一几何体的三视图,则这个几何体的体积为 16 .

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥,由左视图和俯视图我们易该 棱锥底面的长和宽,及棱锥的高,代入棱锥体积公式即可得到答案. 【解答】解:由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥, 又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为 2,棱锥的高为 4

由俯视图,可得四棱锥的底面的长为 6, 代入棱锥的体积公式,我们易得 V= ×6×2×4=16, 故答案为:16.

8.已知动点(x,y)符合条件

,则 范围为 (﹣∞,﹣2)∪[1,+

∞) . 【考点】简单线性规划.

【分析】作出不等式组对应的平面区域,设 z= ,利用 z 的几何意义即可得到结

论.

【解答】解:设 z= ,则 z 的几何意义是区域内的点到原点的斜率,

作出不等式组

对应的平面区域如图:由

解得 A(1,1)

由图象可知 ≥KOA=1,





的取值范围:(﹣∞,﹣2)∪[,+∞), 故答案为:(﹣∞,﹣2)∪[1,+∞).

9.在

的展开式中有 9 项为有理数.

【考点】二项式系数的性质.

【分析】利用通项公式即可得出.

【解答】解:通项公式:Tr+1=

=(﹣1)r ×

×.

当 与 都为整数且 25 为整数时,Tr+1 为有理数,则 r=0,6,12,18,24,30, 36,42,48. ∴展开式中有 9 项为有理数. 故答案为:9.

10.若 a,b∈{1,2,3,…,11},构造方程

,则该方程表示的曲线为

落在矩形区域{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的概率是



【考点】几何概型. 【分析】求出满足题意的椭圆个数,即可求出概率. 【解答】解:椭圆落在矩形内,满足题意必须有,a≠b,所以有两类, 一类是 a,b 从{1,2,3,…6,7,8}任选两个不同数字,方法有 A82=56 一类是 a 从 9,10,两个数字中选一个,b 从{1,2,3,…6,7,8}中选一个 方法是:2×8=16 所以满足题意的椭圆个数是:56+16=72,

所以所求概率为 ,

故答案为 .

11.若关于 x 的方程

,(a>0 且 a≠1)有解,则 m 的取值范

围是



【考点】复合函数的单调性. 【分析】先换元,分类参数,结合基本不等式,即可求 m 的取值范围. 【解答】解:设 ax=t(t>0)



∴ ∵t>0,∴t+ ≥2 ∴ ∴ ∴m 的取值范围是 故答案为:

12.已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 棱长为 1,动点 P 在此正方体的表面上运动,且

PA=r

,记点 P 的轨迹长度为 f(r),则关于 r 的方程

的解集





【考点】棱柱的结构特征.

【分析】根据条件确定 P 的轨迹,利用轨迹对应的长度关系即可得到结论.

【解答】解:P 的轨迹为以 A 为球心,PA 为半径的球面与正方体的交线.

当 0<r≤1 时,f(r)=3×

=,

当 r∈(1, ]时,轨迹长度由减小到增加,之后逐渐减小,

由于 f(1)=f( )= ,

∴关于 r 的方程

的解集为



故答案为



二.选择题 13.“直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的( )条件. A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义,结合直线和抛物线的位置关系进行判断即可. 【解答】解:”直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”,是充

分条件, 而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出”直线与抛物线相切”,不是必要条件, 如图示:

直线和抛物线的对称轴平行时只有 1 个交点,但不相切, 故选:A.
14.已知 a,b,c 满足 c<b<a 且 ac<0,则下列选项中不一定能成立的是( ) A.ab>ac B.c(b﹣a)>0 C.cb2<ca2 D.ac(a﹣c)<0 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】根据不等式的基本性质,实数的性质,逐一分析给定四个命题的真假, 可得答案. 【解答】解:∵c<b<a 且 ac<0, 故 c<0,a>0, ∴ab>ac 一定成立, 又∵b﹣a<0, ∴c(b﹣a)>0 一定成立, b2 与 a2 的大小无法确定, 故 cb2<ca2 不一定成立, ∵a﹣c>0, ∴ac(a﹣c)<0 一定成立, 故选:C

15.如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“鸟巢”顶棚所得的局部示意 图,在平面直角坐标系中,下列给定的一系列直线中(其中 θ 为参数,θ∈R), 能形成这种效果的只可能是( )

A.y=xsinθ+1 B.y=x+cosθ C.xcosθ+ysinθ+1=0 D.y=xcosθ+sinθ 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】由图形分析知转化为:原点到各圆周切线的距离为定值,再利用点到直 线的距离公式即可; 【解答】解:由图形分析知转化为:原点到各圆周切线的距离为定值.

对 A:d=

,此时 d 不是固定值,故舍去;

对 B:d=

,此时 d 不是固定值,故舍去;

对 C:d=1,正确;

对 D:d=

,此时 d 不是固定值,故舍去;

故选:C

16.已知函数 f(x)=asinx﹣bcosx(a,b 为常数,a≠0,x∈R)的图象关于 x=

对称,则函数 y=f( ﹣x)是( )

A.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称

B.偶函数且它的图象关于点

对称

C.奇函数且它的图象关于点

对称

D.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称

【考点】两角和与差的正弦函数;正弦函数的图象. 【分析】根据函数 f(x)的对称性求出 b=﹣a,然后求出函数 析式,根据三角函数的性质进行判断即可. 【解答】解:∵函数 f(x)的图象关于直线 对称,

的解

∴f( )= (a﹣b)=



平方得 a2+2ab+b2=0, 即(a+b)2=0, 则 a+b=0,b=﹣a,

则 f(x)=asinx+acosx= sin(x+ ),又 a≠0,



= sin( ﹣x+ )=

且图象关于点(π,0)对称, 故选:D.

sin(π﹣x)=

sinx 为奇函数,

17.对于正整数 n,定义“n!!”如下:当 n 为偶数时,n!!=n?(n﹣2)?(n﹣4)…6?4?2; 当 n 为奇数时,n!!=n?(n﹣2)?(n﹣4)…5?3?1;则: ①?=2005!; ②2004!!=21002?1002!; ③2004!!的个位数是 0; ④2005!!的个位数是 5; 上述命题中,正确的命题有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 【考点】排列及排列数公式. 【分析】利用定义“n!!”及其“n!”的定义即可得出. 【解答】解:①?=2005!,正确; ②2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2=21002?1002!,正确; ③2004!!=2004×2002×…10×8×6×4×2 的个位数是 0,正确; ④2005!!=2005×2003×…×9×7×5×3×1 的个位数是 5; 上述命题中,正确的命题有 4 个.

故选:D.
18.在正方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,若点 P(异于点 B)是棱上一点,则满足 BP 与 AC′所成的角为 45°的点 P 的个数为( )

A.0 B.3 C.4 D.6 【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】通过建立空间直角坐标系,通过分类讨论利用异面直线的方向向量所成 的夹角即可找出所有满足条件的点 P 的个数. 【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设棱长 AB=1,B(1,0,1), C(1,1,1).

①在 Rt△AA′C 中,

= ,因此∠AA′C≠45°.

同理 A′B′,A′D′与 A′C 所成的角都为



故当点 P 位于(分别与上述棱平行)棱 BB′,BA,BC 上时,与 A′C 所成的角都为

,不满足条件;

②当点 P 位于棱 AD 上时,设 P(0,y,1),(0≤y≤1),则





若满足 BP 与 AC′所成的角为 45°,则

=

=

,化为 y2+4y+1=0,无正数解,舍去;

同理,当点 P 位于棱 B′C 上时,也不符合条件; ③当点 P 位于棱 A′D′上时,设 P(0,y,0),(0≤y≤1),







若满足 BP 与 AC'所成的角为 45°,则

=

=

,化为 y2+8y﹣2=0,

∵0≤y≤1,解得

,满足条件,此时点 P



④同理可求得棱 A′B′上一点 P

,棱 A′A 上一点 P



而其它棱上没有满足条件的点 P.

综上可知:满足条件的点 P 有且只有 3 个.

故选 B.

三.解答题

19.如图,四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的菱形,其中∠DAB=60°,SD 垂

直于底

面 ABCD,



(1)求四棱锥 S﹣ABCD 的体积;

(2)设棱 SA 的中点为 M,求异面直线 DM 与 SB 所成角的大小.

【考点】异面直线及其所成的角;棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】(1)求出 BD=1,AC= ,SD= ,由此能求出四棱锥 S﹣ABCD 的体积.

(2)取 BC 中点 E,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DE 为 y 轴,DS 为 z 轴,建立空间

直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 DM 与 SB 所成角.

【解答】解:(1)∵四棱锥 S﹣ABCD 的底面是边长为 1 的菱形,其中∠DAB=60°,

SD 垂直于底面 ABCD,



∴BD=1,AC=

=,

SD=

=



S 菱形 ABCD=

=

=,

∴四棱锥 S﹣ABCD 的体积 V=

=

=.

(2)取 BC 中点 E,以 D 为原点,DA 为 x 轴,DE 为 y 轴,DS 为 z 轴,建立空间 直角坐标系,

A(1,0,0),S(0,0, ),M(

),B( , ,0),

=(

), =(

,﹣ ),

设异面直线 DM 与 SB 所成角为 θ,

则 cosθ=

=

=,

, ∴异面直线 DM 与 SB 所成角为 .

20.函数 y=2x 和 y=x3 的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)设曲线 C1,C2 分别对应函数 y=f(x)和 y=g(x),请指出图中曲线 C1,C2 对应的函数解析式.若不等式 kf[g(x)]﹣g(x)<0 对任意 x∈(0,1)恒成 立,求 k 的取值范围; (2)若 x1∈[a,a+1],x2∈[b,b+1],且 a,b∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9, 10,11,12},求 a,b 的值.

【考点】根据实际问题选择函数类型;函数恒成立问题. 【分析】(1)由题意,C1 对应的函数为 f(x)=x3,C2 对应的函数为 g(x)=2x , 不等式 kf[g(x)]﹣g(x)<0,等价于 k?23x<2x,利用分离参数法,可求 k 的 取值范围; (2)令 φ(x)=g(x)﹣f(x)=2x﹣x3,则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点,根据 零点存在定理,可得两个零点 x1∈(1,2),x2∈(9,10),由此可得 a,b 的值. 【解答】解:(1)由题意,C1 对应的函数为 f(x)=x3,C2 对应的函数为 g(x) =2x 不等式 kf[g(x)]﹣g(x)<0,等价于 k?23x<2x,则 k<4﹣x 对任意 x∈(0,1) 恒成立



,∴

(2)令 φ(x)=g(x)﹣f(x)=2x﹣x3,则 x1,x2 为函数 φ(x)的零点, 由于 φ(1)=1>0,φ(2)=﹣4<0,φ(9)=29﹣93<0,φ(10)=210﹣103>0, 则方程 φ(x)=f(x)﹣g(x)的两个零点 x1∈(1,2),x2∈(9,10), 因此整数 a=1,b=9.

21.已知 m>1,直线 l:x﹣my﹣ =0,椭圆 C: +y2=1,F1、F2 分别为椭圆

C 的左、右焦点.

(Ⅰ)当直线 l 过右焦点 F2 时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,△AF1F2,△BF1F2 的重心分别为 G、H.若 原点 O 在以线段 GH 为直径的圆内,求实数 m 的取值范围.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的应用;直线与圆锥曲线的关系.

【分析】(1)把 F2 代入直线方程求得 m,则直线的方程可得.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).直线与椭圆方程联立消去 x,根据判别式大于

0 求得 m 的范围,且根据韦达定理表示出 y1+y2 和 y1y2,根据

, =2 ,

可知 G( , ),h( , ),表示出|GH|2,设 M 是 GH 的中点,则可

表示出 M 的坐标,进而根据 2|MO|<|GH|整理可得 x1x2+y1y2<0 把 x1x2 和 y1y2 的表达式代入求得 m 的范围,最后综合可得答案.

【解答】解:(Ⅰ)解:因为直线 l:x﹣my﹣ =0,经过 F2(

,0),

所以

= ,得 m2=2,

又因为 m>1,所以 m= , 故直线 l 的方程为 x﹣ y﹣1=0. (Ⅱ)解:设 A(x1,y1),B(x2,y2).



,消去 x 得

2y2+my+ ﹣1=0 则由△=m2﹣8( ﹣1)=﹣m2+8>0,知 m2<8,

且有 y1+y2=﹣ ,y1y2= ﹣ . 由于 F1(﹣c,0),F2(c,0),故 O 为 F1F2 的中点,



, =2 ,可知 G( , ),H( , )

|GH|2=

+

设 M 是 GH 的中点,则 M(



),

由题意可知 2|MO|<|GH|

即 4[(

)2+(

)2]<

+

而 x1x2+y1y2=(my1+ )(my2+ )+y1y2=(m2+1)(

所以(

)<0,即 m2<4

又因为 m>1 且△>0 所以 1<m<2. 所以 m 的取值范围是(1,2).

即 x1x2+y1y2<0 )

22.如图一块长方形区域 ABCD,AD=2,AB=1,在边 AD 的中点 O 处有一个可转 动

的探照灯,其照射角∠EOF 始终为 ,设∠AOE=α,探照灯照射在长方形 ABCD

内部区域的面积为 S;

(1)当

时,求 S 关于 α 的函数关系式;

(2)当

时,求 S 的最大值;

(3)若探照灯每 9 分钟旋转“一个来回”(OE 自 OA 转到 OC,再回到 OA,称“一 个来 回”,忽略 OE 在 OA 及 OC 处所用的时间),且转动的角速度大小一定,设 AB 边

上有一点 G,且

,求点 G 在“一个来回”中被照到的时间.

【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【分析】(1)根据题意过点 O 作 OH⊥BC 于 H.再讨论 α 的范围,可得当 0≤α

≤ 时,E 在边 AB 上,F 在线段 BH 上,因此 S=S 正方形 OABH﹣S△OAE﹣S△OHF;当

<α< 时,E 在线段 BH 上,F 在线段 CH 上,因此 S=S△OEF.由此即可得到当 0

≤α< 时 S 关于 α 的函数表达式;

(2)利用基本不等式求出 S 的最大值,注意等号成立的条件; (3)求出在“一个来回”中 OE 共转动的角度,并求出其中点 G 被照到时共转的 角度,结合题意列式即可求出“一个来回”中点 G 被照到的时间. 【解答】解:(1)过 O 作 OH⊥BC,H 为垂足



,E 在边 AB 上,F 在线段 BH 上(如图①),

此时,AE=tanα,FH=tan( ﹣α),∴S=S 正方形 OABH﹣S△OAE﹣S△OHF ;



,E 在线段 BH 上,F 在线段 CH 上(如图②),EH=



FH=



(2)当





即 S=2﹣

,∴0≤tanα≤1.即 1≤1+tanα≤2.

,当 tanα=﹣1 时,S 取得最大值为 2﹣

(3)在“一个来回”中,OE 共转了 2× = ,其中点 G 被照到时,共转了 2

×=, ∴在“一个来回”中,点 G 被照到的时间为 9×

=2 分钟;

23.设函数 f(x)=x2﹣(3k+2k)x+3k?2k,x∈R; (1)若 f(1)≤0,求实数 k 的取值范围; (2)若 k 为正整数,设 f(x)≤0 的解集为[a2k﹣1,a2k],求 a1+a2+a3+a4 及数列 {an}的前 2n 项和 S2n;

(3)对于(2)中的数列{an},设

,求数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最

大值. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】(1)由 f(1)≤0,可得 1﹣(3k+2k)+3k?2k≤0,化为:(2k﹣1)(3k ﹣1)≤0,解出即可得出实数 k 的取值范围. (2)x2﹣(3k+2k)x+3k?2k≤0,化为(x﹣3k)(x﹣2k)≤0,由于 k 为正整数, 设 f(x)≤0 的解集为[a2k﹣1,a2k],可得:当 k=1 时,2≤x≤3,a1=2,a2=3.当 k=2 时,4≤x≤6,a3=4,a4=6.当 k=3 时,8≤x≤9,a5=8,a6=9.当 k=4 时,12 ≤x≤16,a7=12,a8=16.当 k≥5 时,2k=(1+1)k>3k.可得 a2k﹣1=3k,a2k=2k.(k=4 时也成立).即可得出数列{an}的前 2n 项和 S2n.

(3)对于(2)中的数列{an},

=

.可得:T1= ,T2= ,…,

T2n+1<T2n,而 T2n≤T2, 即可得出. 【解答】解:(1)∵f(1)≤0,∴1﹣(3k+2k)+3k?2k≤0,

化为:(2k﹣1)(3k﹣1)≤0,∴

,或



解得 k∈?,或



∴实数 k 的取值范围时



(2)x2﹣(3k+2k)x+3k?2k≤0,化为(x﹣3k)(x﹣2k)≤0, ∵k 为正整数,设 f(x)≤0 的解集为[a2k﹣1,a2k], ∴当 k=1 时,2≤x≤3,∴a1=2,a2=3. 当 k=2 时,4≤x≤6,∴a3=4,a4=6. 当 k=3 时,8≤x≤9,∴a5=8,a6=9. 当 k=4 时,12≤x≤16,∴a7=12,a8=16. 当 k≥5 时,2k=(1+1)k≥2(1+ + )=k2+k+2>3k.

∴a2k﹣1=3k,a2k=2k.(k=4 时也成立). ∴a1+a2+a3+a4=2+3+4+6=15. n≥4 时,数列{an}的前 2n 项和 S2n=a1+a2+…+a8+a9+a10+…+a2n﹣1+a2n =15+8+9+12+16+3(5+6+…+n)+(25+26+…+2n)

=60+3×

+

= + n﹣2+2n+1. 经过验证,n=1,2,3 时也成立. ∴S2n= + n﹣2+2n+1.

(3)对于(2)中的数列{an},

=



∴b1=﹣ ,b2= ,b3=﹣ ,b4= ,…,

则 T1= ,T2= 而 T2n≤T2,

,…,T2n+1<T2n,

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn 的最大值为 .

2017 年 4 月 21 日



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