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函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图像

? 探究一:对 y ? sin( x ? ? ) 的图象的影响
y 思考1: ? sin( x ? 3 ) y ? sin( x ? 3 ) 函数周期是多少?你有什么办法画出该 函数在一个周期内的图象?
y

?

?

? o ? ?
3 6

? 2? π
2 3

7? 6

5? 3

y ? sin( x ?
2π x

?
3

)

? y ? sin( x ? ) 3

思考2:比较函数


y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin( x ?

?
3

)

y ? sin x 的图象的形状和位置,你有什么发现?

函数 y ? sin( x ? 3 ) 的图象,可以看作是 ? 把曲线 y ? sin x上所有的点向左平移 3 个单位长度而得到的.
函数 y ? sin( x ? 3 )的图象,可以看作是 ? 把曲线 y ? sin x上所有的点向右平移 3 个单位长度而得到的.
?

?

思考4:一般地,对任意的? ? ≠0), ( 函数 y ? sin( x ? ? )的图象是由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到的?
y ? sin( x ? ? )的图象,可以看作是把正 弦曲线 y ? sin x 上所有的点向左(当

?>0时)或向右(当 ?<0时)平行 移动|? |个单位长度而得到.

思考5:上述变换称为平移变换,据此 ? 理论,函数 y ? sin( x ? 6 ) 的图象可以看 作是由 y ? sin x 的图象经过怎样变换而 得到?
p 函数 y = sin(x - 6 ) 的图象,可以看作是 p 把曲线 y ? sin x 上所有的点向右平移 6

个单位长度而得到的.

? 探究二:(

? >0)对 y ? sin( ?x ? ? )的图象的影响
?

1 ? 思考1:函数 y ? sin( 2 x ? 3 ) y ? sin( 2 x ? 3 )

周期是多少?如何用“五点法”画出该 函数在一个周期内的图象?
y

2- p op p p 3 6 12 3

7 p 5p 12 6

?

π 4p
3

7p 3 2π

10p 3
x

2

y ? sin( 2 x ? ) 1 p y 3 sin( x + ) = 2 3

?

思考2:比较函数 y ? sin( 2 x ? 与 y ? sin( x ?

?
3

?

) y ? sin( 1 x ? ? )
2 3

3

) 的图象的形状和位置,你有什么发现

函数 y ? sin( 2 x ? 3 )的图象,可以看作是 ? 把 y ? sin( x ? 3 )的图象上所有的点横坐 1 标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)而 2 得到的.
1 ? 函数 y ? sin( 2 x ? 3 ) 的图象,可以看作是 ? 把 y ? sin( x ? 3 ) 的图象上所有的点横坐标

?

伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得 到的.

思考4:一般地,对任意的 ? ?>0), (

函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象是由函数 y ? sin( x ? ? )的图象经过怎样的变换而 得到的?
k ?Z

函数 y ? sin( ?x ? ? )的图象,可以看作是 把函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象上所有点的 横坐标缩短(当 ? >1时)或伸长(当0 1 <?<1时)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) 而得到的.

思考5:上述变换称为周期变换,据此 2 ? 理论,函数 y ? sin( x ? ) 的图象可以看 3 ?6 作是把函数 y ? sin( x ? ) 的图象进行怎 6 样变换而得到的?
2p

2 ? 函数 y ? sin( 3 x ? 6 ) 的图象,可以看作是 ? 把 y ? sin( x ? 6 ) 的图象上所有的点横坐标

伸长到原来的1.5倍(纵坐标不变)而 得到的.

思考6:函数 作是把函数 y ? sin x 的图象进行怎样变 换而得到的?
2 ? y ? sin( x ? ) 的图象,可以看作是 3 6 p

2 ? y ? sin( x ? ) 的图象可以看 3 6

函数 先把 y = sin x 的图象向右平移 6 ,再把 图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 1.5倍(纵坐标不变)而得到的.

探究:A(A>0)对

p 思考1:函数y = 2 sin(2x + 3 ) 的周期是多少?

y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象的影响

用“五点法”画出该函数在一个周期内 的图象.
y

2-

po p p ? 6 12 3 2

7p 12 6

1 p sin(2x + ) 5p y = 2 3
π
2π x

-2-

p y = 2 sin(2x + ) 3

思考2:比较函数

y ? sin( 2 x ?

?

) 与函数 3

p y = 2 sin(2x + ) 的图象的形状和位置,你有什么发现? 3

? | MP |? y ? sin ?

函数 y ? 3 sin( 2 x ? 3 ) 的图象,可以看作 ? 是把 y ? sin( 2 x ? 3 )的图象上所有的点 纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不 变)而得到的.
? | MP |? y ? sin ?

?

1 ? 函数 y ? 2 sin( 2 x ? 3 ) 的图象,可以看 ? 作是把 y ? sin( 2 x ? 3 ) 的图象上所有的点 1 纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不变)

而得到的.

思考4:一般地,对任意的A(A>0且 A≠1),函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象 是由函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象经过怎 样的变换而得到的? 函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象,可以看 作是把函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象上所 有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短 (当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标 不变)而得到的.

思考5:上述变换称为振幅变换,据此 3 ? 的图象是由 理论,函数 y ? sin( 3x ? )
2 4 ? 函数y ? sin( 3x ? ) 的图象经过怎样的变 4

换而得到的? 函数

p 把 y = sin(3x - 4 ) 的图象上所有的点纵坐

3 p y = sin(3x - ) 的图象,可以看作是 2 4

标伸长到原来的1.5倍(横坐标不变) 而得到的.

探究:

思考1:将函数 y ? sin x的图象经过几次 ? 变换,可以得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? 3 )的图象?
思考2:你能设计一个变换过程完成上 述变换吗? p 左移 3 y = sin(x + p ) y ? sin x 3 1 横坐标缩短到原来的 2 y = sin(2x + p )
3

y ? A sin( ?x ? ? ) 与 y ? sin x

的图象关系

纵坐标伸长到原来的3倍

p y = 3 sin(2x + ) 3

思考3:一般地,函数 y ? A sin( ?x ? ? ) ? (A>0, >0)的图象,可以由函数 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到? 先把函数 y ? sin x 的图象向左(右)平移 |?|个单位长度,得到函数 y ? sin( x ? ? )的 图象;再把曲线上各点的横坐标变为原 1 来的 ? 倍,得到函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图 象;然后把曲线上各点的纵坐标变为原 来的A倍,就得到函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象.

思考4:将函数 y ? sin x的图象变换到函 ) ? 数 y ? A sin( ?x ? ?(其中A>0, >0)的 图象,共有多少种不同的变换次序?

6种!

思考5:若将函数 y ? sin x 的图象先作振 幅变换,再作周期变换,然后作平移变 ? 换得到函数 y ? 3 sin( 2 x ? )的图象,具体如 3 何操作? y ? sin x 纵坐标伸长到原来的3倍 y = 3 sin x
1 横坐标缩短到原来的 2

y = 3 sin 2x

p 左移 6

p y = 3 sin(2x + ) 3

sin

思考6:物理中,简谐运动的图象就是函 x 数 y ? A sin( ?x ? ? ) ,? ?0, ? ?? 的图象,其中A ? >0, >0.描述简谐运动的物理量有振 幅、周期、频率、相位和初相等,你知 道这些物理量分别是指那些数据以及各 自的含义吗?
p p p < < tan 4 4 4

y ? A sin( ?x ? ? ) x ? ?0, ? ?? A是振幅,它是指物体离开平衡位置的最 大距离;
T? 2?
sin p p p < < tan 4 4 4

是周期,它是指物体往复运动一次 ? 所需要的时间;
是频率,它是指物体在单位时 间内往复运动的次数;
1 ? f ? ? T 2?

wx + j 称为相位; ? 称为初相,即x=0时的相位.

例1 要得到函数 y ? sin( 3x ? 5 ) 的图象, 只需将函数 y ? sin 3x 的图象 (D ) ? A.向左平移个 5 单位 ? B.向右平移个 5 单位 ? C.向左平移个 15 单位 ? D.向右平移个 15 单位

?

例 的图象是 由函数 y ? sin x的图象经过怎样的变换 而得到的?
p y = sin(x - ) 6 横坐标伸长到原来的3倍 y = sin( 1 x 3

1 ? 说明函数 y ? 2 sin( 3 x ? 6 )

p 右移 6 y ? sin x

p ) 6

纵坐标伸长到原来的2倍

1 p y = 2 sin( x - ) 3 6

例 如图是某简谐运动的图象,试根 据图象回答下列问题:
y/cm 2
2p

A

E

0.4

O
-2

B

0.8 D

1.2

F

x/s

C

⑴ 这个简谐运动的振幅、周期与频 率各是多少?
y/cm 2
1 x (= ) = f a 2

A

E

振幅A=2 周期T=0.8s
1.2 F x/s

2 cos a - 1

0.4
O -2

B

0.8 D

频率f=1.25

C

(2) 写出这个简谐运动的表达式.
y/cm 2
2p

A

E

5p y = 2 sin x , x ? [0, 2

)

0.4 O -2 C B

0.8 D

1.2 F
x/s

1.函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象可以由函数 y ? sin x 的图象经过平移变换而得 到,其中平移方向和单位分别由φ 的符 号和绝对值所确定.

2.对函数y ? sin( x ? ? )的图象作周期变换, 它只改变x的系数,不改变φ的值.

) ? 函数 y ? A sin( ?x ? ? (A>0,>0)的 图象,可以由函数 y ? sin x 的图象通过 三次变换而得到,共有6种不同的变换 次序.在实际应用中,一般按“左右平 移→横向伸缩→纵向伸缩”的次序进行. 用“变换法”作函数 y ? A sin( ?x ? ? ) 的图象,其作图过程较复杂,不便于 操作,在一般情况下,常用“五点法” 作图.

3.通过平移,将函数 y ? A sin ?x 的图象 变换为 y ? A sin( ?x ? ? )的图象,其平移 ? 单位是 ? . 4.若已知函数 y ? A sin( ?x ? ? )的图象及 有关数字特征,则可以求出函数的解 析式.

3.函数 y ? sin( ?x ? ? ) 的图象可以由函 数 y ? sin x 的图象通过平移、伸缩变换 而得到,但有两种变换次序,不同的变 换次序会影响平移单位. 4.余弦函数y = cos( wx + j )的图象变换与 正弦函数类似,可参照上述原理进行.

例2 说明它是由函数 y ? sin x 的图象进行怎 样变换而得到的?

? 画出函数 y ? sin( 2 x ? 4 )的简图,并


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