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专题四 三角函数、解三角形、平面向量测试题


专题四

专题四

三角函数、解三角形、平面向量测试题
(时间:120 分钟 满分:150 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小 题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
?π ? 1.函数 f(x)=lgsin?4-2x?的一个增区间为( ? ? ?3π 7π? A.? 8 , 8 ? ? ? ?5π 7π? C.? 8 , 8 ? ? ? ? ? ? ?7π 9π? B.? 8 , 8 ? ? ? ?

)

3π? ? 7π D.?- 8 ,- 8 ?
? ?

π? ?π ? ? π 解析 由 sin?4-2x?>0,得 sin?2x-4?<0,∴π+2kπ<2x-4<2π+
?π ? ?π ? 2kπ,k∈Z;又 f(x)=lgsin?4-2x?的增区间即 sin?4-2x?在定义域内的 ? ? ? ?

π? ? π 3π 增区间,即 sin?2x-4?在定义域内的减区间,故 π+2kπ<2x-4< 2 + ? ? 5π 7π 5π 7π 2kπ,k∈Z.化简得 8 +kπ<x< 8 +kπ,k∈Z,当 k=0 时, 8 <x< 8 , 故选 C. 答案 C

2.若函数 f(x)=sinax+ 3cosax(a>0)的最小正周期为 1,则它的 图象的一个对称中心为( 1 A.(-3,0)
?1 ? C.?3,0? ? ? ? ?

) π B.(-3,0) D.(0,0)

解析

π? ? 2π f(x)=2sin?ax+3?(a>0),∵T= a =1,∴a=2π,∴f(x)=

专题四
π? ? π k 1 2sin?2πx+3?,由 2πx+3=kπ,k∈Z,得 x=2-6,k∈Z,当 k=1 时,
? ? ?1 ? 1 x=3,故?3,0?是其一个对称中心,故选 C. ? ?

答案

C

3.已知函数 f(x)=asinx+acosx(a<0)的定义域为[0,π],最大值 为 4,则 a 的值为( A.- 3 C.- 2 ) B.-2 2 D.-4
? ?

π? ? π 解析 f(x)=asinx+acosx= 2asin?x+4?, x∈[0, 当 π]时, 4∈ x+ π? ? π? ?π 5π? ? ? 2 ? ? , ?,∴sin?x+ ?∈?- ,1?,由于 a<0,故 2asin?x+ ?∈[ 2a, 4? ? 2 4? ?4 4 ? ? ? ? -a],即 f(x)的最大值为-a,∴-a=4,即 a=-4.故选 D. 答案 D

4.将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)的图象向右平 2π 移 3 个单位,所得曲线的一部分如图所示,则 f(x)的解析式为( )

3 ?12 21π? A.f(x)=2sin?11x- 22 ?+1 ? ?

专题四
3 ?12 21π? 1 B.f(x)=2sin?11x+ 22 ?+2 ? ? 21π? 1 ?11 C.f(x)=2sin?12x+ 22 ?-2 ? ? 3 ?12 5π? 1 D.f(x)=2sin?11x+22?+2 ? ? 解析 图象平移之前与平移之后的 A,ω,k 都是相同的,由平
?7π π? 2π 3 1 移之后的图象可知 2A=3,∴A=2,k=2;T=2×? 6 -4?= ω ,∴ω ? ?

12 =11.
? 1 ?π ? 3 ?12 设平移后的函数解析式为 g(x)=2sin?11x+φ1?+2, ?4,2?代入, 将 ? ? ? ?


?3π ? 5π 5π sin?11+φ1?=1,∴φ1=2kπ+22,k∈Z,取 k=0,则 φ1=22,故 ? ?

3 ?12 5π? 1 g(x)=2sin?11 x+22?+2. ? ? 2π 将其图象向左平移 3 个单位,得 f(x)的解析式为 f(x) 3 ?12? 2π? 5π? 1 =2sin?11?x+ 3 ?+22?+2,
? ? ? ?

3 ?12 21π? 1 即 f(x)=2sin?11x+ 22 ?+2.故选 B.
? ?

答案

B

5.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 A =60° ,a=4 3,b=4 2,则 B=( A.45° 135° 或 C.45° ) B.135° D.以上都不对

专题四
1 3 2 解析 由正弦定理,得 sinB= ×4 2× 2 = 2 ,∴B=45° 或 4 3 135° ,又 a>b,∴A>B,∴B=45° .故选 C. 答案 C

A b+c 6.在△ABC 中,cos2 2 = 2c (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对 边),则△ABC 的形状为( A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 1+cosA b+c A b+c 解析 ∵cos2 2 = 2c ,∴ 2 = 2c , b2+c2-a2 b+c ∴1+ 2bc = c , 化简得 a2+b2=c2,故△ABC 是直角三角形.故选 B. 答案 B )

7.在△ABC 中,若角 A,B,C 成公差大于 0 的等差数列,则 cos2A+cos2C 的最大值为( 1 A.2 C.2 ) 3 B.2 D.不存在

解析 ∵角 A,B,C 成等差数列,∴A+C=2B, 又 A+B+C=180° ,∴B=60° ,A+C=120° . cos2A+cos2C= 1+cos2A 1+cos2C 1 + =1+2(cos2A+cos2C)=1+ 2 2

1 1 [cos(240° -2C)+cos2C]=1+2cos(2C+60° ). 2

专题四
∵60° <C<120° ,∴180° <2C+60° <300° , 1 1 5 ∴2<1+2cos(2C+60° 4,即 cos2A+cos2C 的最大值不存在,故 )< 选 D. 答案 D
? ?

π? ? 8. 关于 x 的方程 cos2x+sin2x=2k 在?0,2?内有两个不同的实数 解,则 k 的取值范围是(
?1 2? A.? , ? 2? ?2 ?1 2? C.? , ? 2? ?2

)
? 1 2? B.?- , ? 2? ? 2 ? 1 2? D.?- , ? 2? ? 2

1 解析 由 cos2x+sin2x=2k,得 k=2(cos2x+sin2x)= π? π? ? 2 ? π ?π 5π? sin?2x+4?,当 x∈?0,2?时,2x+4∈?4, 4 ?, 2 ? ? ? ? ? ? π? 1 2 ? 2 1 2 ∴-2< 2 sin?2x+4?≤ 2 .数形结合可知,当2<k< 2 时,方程有 ? ? 两个不同的实数解.故选 A. 答案 A )

9.(2012· 浙江)设 a,b 是两个非零向量( A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|

C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析 选项 A 错,若|a+b|=|a|-|b|,则有 a 与 b 方向相反,且 有|a|≥|b|;由此可得选项 B 中的结论也是错误的;选项 C 是正确的, 选项 D 中,若 λ>0 则 a,b 同向,故错误.

专题四
答案 C

→ → 10.(2012· 湖南)在△ABC 中,AB=2,AC=3,AB · =1,则 BC BC=( A. 3 C.2 2 ) B. 7 D. 23

解析 在△ABC 中,设 AB=c,AC=b,BC=a,则 c=2,b=3, → → → → 1 AB· =|AB|· |cos(180° BC |BC -∠B)=-accosB=1,得 acosB=-2.由余 a2+22-32 a2-5 1 弦定理得:acosB=a× = =-2,解得 a=BC= 3. 2×a×2 2×2 答案 A

11.(2012· 辽宁)已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则 下面结论正确的是( A.a∥b C.|a|=|b| ) B.a⊥b D.a+b=a-b

解析 因为|a-b|=|a+b|,由向量的加法和减法法则可知以 a,b 为邻边的平行四边形对角线相等,故该平行四边形是一个矩形,所以 a⊥b.也可直接等式两边平方化简得 a· b=0,从而 a⊥b. 答案 B

α· β 12.(2012· 广东)对任意两个非零的平面向量 α 和 β, 定义 α · β= . β· β π? ? 若平面向量 a, 满足|a|≥|b|>0, 与 b 的夹角 θ∈?0,4?, a· 和 b· b a 且 b a
? ?

n 都在集合{2|n∈Z}中,则 a· b=( 1 A.2

) B.1

专题四
3 C.2 解析 解法一:b○a= 5 D.2 π? ? |a||b|cosθ |b| = cosθ,因 θ∈?0,4?,cosθ∈ 2 |a| |a| ? ?
○a<1,又

? 2 ? ? ,1?,又|a|≥|b|>0,所以 b ? 2 ?

b

○a∈{

n 2|n∈Z},故 b

○a

1 |b| 1 |b| 1 = 2, cosθ=2 , = 2cosθ,a |a| |a|
? 2 ? ? ,1?,所以 a ? 2 ?
○b∈(1,2),又

○ b=

|a| cosθ=2cos2θ,又因 cosθ∈ |b| n 2|n∈Z},所以 a
○b=

a

○b∈{

3 2.

π a · |a||b|cosθ b 解法二(特殊值法): 取|a|= 3, |b|=1, 6, a· θ= 则 b= = b· b |b|2 3 b · |a||b|cosθ 1 a n =2,b· a= = =2,都在{2|n∈Z}中. 2 a· a |a| 答案 C

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,将答案 填在题中的横线上. 13.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,点 D 在 BC 边上, ∠ADC=45° ,则 AD 的长度等于________.

1 2BC 3 解析 在△ABC 中,cosC= AC = 2 , AD ∴C=30° ,由sinC= AC , sin∠ADC

专题四
∴AD= AC 2 1 · sinC= ·= 2. sin∠ADC 22 2 2

答案

14.已知△ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则△ABC 的面积为________. 解析 设三边长为 a,a+4,a+8,则 120° 角所对边长为 a+8, 由余弦定理得(a+8)2=a2+(a+4)2-2a· (a+4)· cos120° ,化简得 a2- 2a-24=0,解得 a=6 或 a=-4(舍去). 1 ∴三角形面积 S=2a· (a+4)· sin120° =15 3. 答案 15 3 15.(2011· 课标)在△ABC 中,B=60° ,AC= 3,则 AB+2BC 的 最大值为________. AB BC 3 解析 由正弦定理,sinC=sinA= =2, 3 2 得 AB=2sinC,BC=2sinA, 则 AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(180° -60° -A)+4sinA= 3 3 cosA+5sinA=2 7sin(A+φ),其中 tanφ= 5 (φ 为锐角),故当 A+φ π =2时,AB+2BC 取最大值 2 7. 答案 2 7 16.(2011· 上海)在相距 2 千米的 A、B 两点处测量目标点 C,若 ∠CAB=75° ,∠CBA=60° ,则 A、C 两点之间的距离为________千 米.

专题四
解析 2 AC 如图,∠C=180° -75° -60° =45° .由正弦定理,sin45° sin60° = .

得 AC= 6. 答案 6

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) cosA-2cosC 在△ABC 中, 内角 A, C 的对边分别为 a, c.已知 B, b, cosB 2c-a = b . sinC (1)求sinA的值; 1 (2)若 cosB=4,b=2,求△ABC 的面积 S. 解 a b c (1)由正弦定理,设sinA=sinB=sinC=k,

2c-a 2ksinC-ksinA 2sinC-sinA 则 b = = . ksinB sinB cosA-2cosC 2sinC-sinA 所以 = cosB sinB

专题四
即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C) 又 A+B+C=π, sinC 所以 sinC=2sinA.因此sinA=2. sinC (2)由sinA=2 得 c=2a. 1 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 及 cosB=4,b=2, 1 得 4=a2+4a2-4a2×4 解得 a=1,从而 c=2 1 15 又因为 cosB=4,且 0<B<π,所以 sinB= 4 . 1 1 15 15 因此 S=2acsinB=2×1×2× 4 = 4 . 18.(本小题满分 12 分) (2012· 辽宁)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,角 A,B,C 成等差数列. (1)求 cosB 的值; (2)边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 解 (1)由已知 2B=A+C,A+B+C=180° ,

1 解得 B=60° ,所以 cosB=2. 1 (2)解法一:由已知 b2=ac,及 cosB=2, 根据正弦定理得 sin2B=sinAsinC, 3 所以 sinAsinC=1-cos2B=4.

专题四
1 解法二:由已知 b2=ac,及 cosB=2, a2+c2-ac 根据余弦定理得 cosB= ,解得 a=c, 2ac 3 所以 A=C=B=60° ,故 sinAsinC=4. 19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c. π? ? (1)若 sin?A+6?=2cosA,求 A 的值;
? ?

1 (2)cosA=3,b=3c,求 sinC 的值. 解 π π (1)由题设知 sinAcos 6 +cosAsin 6 =2cosA,从而 sinA= 3

π cosA,所以 cosA≠0,tanA= 3.因为 0<A<π,所以 A=3. 1 (2)由 cosA=3,b=3c 及 a2=b2+c2-2bccosA,得 a2=b2-c2. π 故△ABC 是直角三角形,且 B=2. 1 所以 sinC=cosA=3. 20.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sinA+ 1 sinC=psinB(p∈R),且 ac=4b2. 5 (1)当 p=4,b=1 时,求 a,c 的值; (2)若角 B 为锐角,求 p 的取值范围.

专题四



?a+c=5 ? 4 (1)由题设并利用正弦定理, ? 得 1 ?ac=4 ?

?a=1, 解得? 1 ?c=4



?a=1, ? 4 ?c=1.
(2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accosB 1 1 =p2b2-2b2-2b2cosB, 3 1 即 p2=2+2cosB.
?3 ? 6 因为 0<cosB<1,得 p2∈?2,2?,由题设知 p>0,所以 2 <p< 2. ? ?

21.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,已知 sinC+ C cosC=1-sin 2 . (1)求 sinC 的值; (2)若 a2+b2=4(a+b)-8,求边 c 的值. 解 C (1)由已知得 sinC+sin 2 =1-cosC,
? ?

C ? C? C 即 sin 2 ?2cos 2 +1?=2sin2 2 , C C C C C 1 由 sin 2 ≠0 得 2cos 2 +1=2sin 2 ,即 sin 2 -cos 2 =2, 3 两边平方得 sinC=4.

专题四
C C 1 π C π (2)由 sin 2 -cos 2 =2>0,得4< 2 <2, π 3 7 即2<C<π,由 sinC=4,得 cosC=- 4 , 由 a2+b2=4(a+b)-8,得(a-2)2+(b-2)2=0,得 a=2,b=2, 由余弦定理得 c2=a2+b2-2abcosC=8+2 7,所以 c= 7+1. 22.(本小题满分 14 分) (2012· 黑龙江省哈六中一模)攀岩运动是一项刺激而危险的运动, 如图(1)在某次攀岩活动中,两名运动员在如图所示位置,为确保运 动员的安全,地面救援者应时刻注意两人离地面的距离,以备发生危 险时进行及时救援.为了方便测量和计算,现如图(2)A,C 分别为两 名攀岩者所在位置,B 为山的拐角处,且斜坡 AB 的坡角为 θ,D 为 山脚,某人在 E 处测得 A,B,C 的仰角分别为 α,β,γ,ED=a.

(1)求:BD 间的距离及 CD 间的距离; (2)求证:在 A 处攀岩者距地面的距离 h= asinαsin?θ+β? . cosβsin?α+θ?

专题四
解 (1)根据题意得∠CED=γ,∠BED=β,∠AED=α.

CD 在直角三角形 CED 中, tanγ=DE ,CD=atanγ, BD 在直角三角形 BED 中,tanβ=DE,BD=atanβ. h a (2)证明:易得 AE=sinα,BE=cosβ, 在△ABE 中,∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ), BE AE 正弦定理 = , sin∠EAB sin∠ABE asinαsin?θ+β? 代入整理:h= . cosβsin?α+θ?


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