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排列第一课时


组合 排列(一 排列 一)

第一章 计数原理
1.2排列与组合(第1课时) 排列与组合 课时) 课时 复习
排列与排列数的定义
排列数的公式推导

排列数的公式应用 巩固练习 课堂小结 作业布置

分类加法计数原理 如果完成一件 事情有n 不同的方案 在第1 的方案, 事情有n类不同的方案,在第1类方案中 不同的方法 在第2类方案中有m 的方法, 有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2 不同的方法 的方法, ,在第n类方案中有m 种不同的方法,…,在第n类方案中有mn 不同的方法 那么完成这件事共有: 的方法, 种不同的方法,那么完成这件事共有:

N = m1 + m2 +L+ mn
种不同的方法。 不同的方法。 的方法

分步乘法计数原理 完成一件事情需 要有n个步骤,做第1步有m 种不同的方法, 要有n个步骤,做第1步有m1种不同的方法, 做第2步有m 种不同的方法, ,做第n 做第2步有m2 种不同的方法,…,做第n步 时有m 种不同的方法。 时有mn种不同的方法。那么完成这件事共有

N = m1 × m2 ×L× mn
种不同的方法。 种不同的方法。

二、探究
问题1 从一个班的甲、 问题1 从一个班的甲、乙、丙3名 同学中选出2 一名担任班长, 同学中选出2名,一名担任班长,一名 担任副班长 ,则共有多少种不同的 选法?并列出所有选法。 选法?并列出所有选法。

把问题中被取的对象叫做元素, 把问题中被取的对象叫做元素, 元素 于是问题1就可以叙述为: 于是问题1就可以叙述为:

从3个不同的元素a,b,c中 个不同的元素a 任取2 任取2个,然后按照一定的顺序排 成一列, 成一列,一共有多少种不同的排列 方法。并列出所有不同的排法。 方法。并列出所有不同的排法。

问题2 个数字中, 问题2 从1,2,3,4这4个数字中,每次 个排成一个三位数, 取3个排成一个三位数,共可得到多少个 不同的三位数? 不同的三位数?
1 2 3 4

2 3 4 3 424 2

1 3 4 3 4141

1 2 4 2 4 14 1

1 2 3 2 313 1

排列:一般地, 排列:一般地,从n个不同的 元素中取出m(m≤n)个元素, 取出m(m n)个元素 元素中取出m(m n)个元素, 按照一定的顺序排成一列, 按照一定的顺序排成一列, 叫做 个不同元素中取出m 从n个不同元素中取出m个元素的 一个排列。 一个排列。
时的排列叫全排列 全排列。 m=n时的排列叫全排列。

你能归纳一下排列的特征吗? 你能归纳一下排列的特征吗?

排列的特征 1、元素不能重复。 元素不能重复。 按一定顺序” 2、“按一定顺序”就是与位置有 关,这是判断一个问题是否是排列问题 的关键。 的关键。
注意:两个排列相同, 注意:两个排列相同,当且仅当这两

个排列中的元素完全相同, 个排列中的元素完全相同,而且元素 的排列顺序也完全相同。 的排列顺序也完全相同。

下列问题中哪些是排列问题? 例1、下列问题中哪些是排列问题?
(1)10名学生中抽2名学生开会 10名学生中抽2 名学生中抽 (2)10名学生中选2名做正、副组长 10名学生中选2名做正、 名学生中选 (3)从2,3,5,7,11中任取两个数相乘 2,3,5,7,11中任取两个数相乘 (4)从2,3,5,7,11中任取两个数相除 2,3,5,7,11中任取两个数相除 (5)有10个车站,共需要多少种车票? 10个车站,共需要多少种车票? 个车站 (6)有10个车站,共需要多少种不同的票价? 10个车站,共需要多少种不同的票价? 个车站

排列数: 排列数:从n个不同的元素中取出 m(m≤n) n)个元素的所有不同排列 m(m n)个元素的所有不同排列 的个数叫做从n个不同元素中取出 个数叫做从n 叫做从 个元素的排列数。 m个元素的排列数。
m 表示。 表示。 n

用符号

A

注意区别排列和排列数的不同: 注意区别排列和排列数的不同:
“一个排列”是指:从n个不同元素中, 一个排列”是指: 一个排列 个不同元素中, 任取m个元素 按照一定的顺序排成一列. 个元素, 任取 个元素,按照一定的顺序排成一列. 不是数. 不是数.

“排列数”是指:从n个不同的元素中, 排列数”是指: 排列数 个不同的元素中, 任取m个元素的所有排列的个数, 任取m个元素的所有排列的个数,是 一个数,而不表示具体的排列。 一个数,而不表示具体的排列。

探究1 个不同元素中取出2 探究 从n个不同元素中取出2个 2 是多少? 元素的排列数 An 是多少?

A = n ( n ? 1)
2 n

探究2 从n个不同元素中取出 个不同元素中取出3 探究 3 又是多少? 个元素的排列数 An 又是多少?

A = n ( n ? 1)(n ? 2)
3 n

A =?
m n

只有n-1个球 共有n个球 只有 个球 共有 n 个球
●●●

第一步共有n种方法 第一步共有 种方法

第一个盒子

第二个盒子

只有n-2个球 只有n-1个球 只有 个球
●●●

第一步共有n种方法 第一步共有 种方法 第二步共有n-1种方法 第二步共有 种方法

第一个盒子

第二个盒子

求排列数A 可以按依次放3个盒子来 求排列数 3n可以按依次放 个盒子来 个球来考虑: 装3个球来考虑: 个球来考虑
●●●

第二步共有n-1 第三步共有 第一步共有 第二步共有 第三步共有n-2 种方法 种方法 n种方法 种方法

第一个盒子 第二个盒子 第三个盒子

m ≤ n, n , m ∈ N *

A

m =n(n-1)(n-2)……(n-m+1) n
m An

这个公式的特点是: 这个公式的特点是: 1、公式右边第一个因数是n; 、公式右边第一个因数是 ; 2、后面每个因数都比前面一个因数少1; 、后面每个因数都比前面一个因数少 ; 3、总共有m个因数相乘; 、总共有 个因数相乘 个因数相乘; 4、最后一个因数是n-m+1. 、最后一个因数是

当m=n时叫做全排列,全排列数公式: 时叫做全排列,全排列数公式: 时叫做全排列

A = n(n ? 1)(n ? 2)L 3 2 1
n n

定义:正整数从1到n的连乘积,叫做 定义:正整数从 到 的连乘积, 的连乘积 n的阶乘,用n!表示,即: 的阶乘, 表示, 的阶乘 表示

A = n!
n n

n! A = (n ? m)!
m n

规定: != !=1 规定:0!=

三、典例分析
6 6 4 4

(1) A 10 )

3

(2) )

A

2

6

(3) )

⑷求证: m 求证: A
n

+ mA

m ?1 n

A A

=A

m n +1

(1)若

n=

A

m n

=20×19×18× × =20×19×18×…×5,则 20 , m = 16 .

(2)解方程: 解方程:

A = 100A
3 2x

2 x

解方程: 3 (3)解方程:A = 4 A
x 8

x ?1 9

练习A: ~ 练习 :1~5

P23:习题A:1、2、3。 :习题 : 、 、 。

课堂小结

1、排列与排列数的定义 、 2、排列数公式 、 3、全排列的定义和公式 、


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