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高中数学必修4教案习题一起


数学必修 4 第一章三角函数教案

(北师大版)数学必修 4 全套教案 §1 周期现象与周期函数(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)了解周期现象在现实中广泛存在; (2)感受周期现象对实 际工作的意义; (3)理解周期函数的概念; (4)能熟练地判断简 单的实际问题的周期; (5)能利用周期函数定义进行简单运用。 过程与方法 通过创设情境:单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季 变化等,让学生感知周期现象;从数学的角度分析这种现象,就 可以得到周期函数的定义;根据周期性的定义,再在实践中加以 应用。 情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对周期现象有一个初步的认识,感受 生活中处处有数学,从而激发学生的学习积极性,培养学生学好 数学的信心,学会运用联系的观点认识事物。 二、教学重、难点 重点: 感受周期现象的存在,会判断是否为周期现象。 难点: 周期函数概念的理解,以及简单的应用。 三、学法与教学用具 学法:数学来源于生活,又指导于生活。在大千世界有很多的现 象,通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论,
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数学必修 4 第一章三角函数教案

感知周期现象的存在。并在此基础上学习周期性的定义,再应用 于实践。 教学用具:实物、图片、投影仪 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们:我们生活在海南岛非常幸福,可以经常看到大海,陶冶 我们的情操。众所周知,海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜 的时间里,潮水会涨落两次,这种现象就是我们今天要学到的周 期现象。再比如,[取出一个钟表,实际操作]我们发现钟表上的 时针、分针和秒针每经过一周就会重复,这也是一种周期现象。 所以,我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数。 (板书课题) 【探究新知】 1.我们已经知道,潮汐、钟表都是一种周期现象,请同学们观 察钱塘江潮的图片 (投影图片) , 注意波浪是怎样变化的?可见, 波浪每隔一段时间会重复出现,这也是一种周期现象。请你举出 生活中存在周期现象的例子。 (单摆运动、四季变化等) (板书:一、我们生活中的周期现象) 2.那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢?教师引导学生 自主学习课本 P3——P4 的相关内容,并思考回答下列问题: ①如何理解“散点图”? ②图 1-1 中横坐标和纵坐标分别表示什么?
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数学必修 4 第一章三角函数教案

③如何理解图 1-1 中的“H/m”和“t/h”? ④对于周期函数的定义,你的理解是怎样? 以上问题都由学生来回答,教师加以点拨并总结:周期函数定义 的理解要掌握三个条件,即存在不为 0 的常数 T;x 必须是定义 域内的任意值;f(x+T)=f(x)。 (板书:二、周期函数的概念) 3.[展示投影]练习: 已知函数 f(x)满足对定义域内的任意 x,均存在非零常数 T,使 得 f(x+T)=f(x)。 求 f(x+2T) ,f(x+3T) 略解:f(x+2T)=f[(x+T)+T]=f(x+T)=f(x) f(x+3T)=f[(x+2T)+T]=f(x+2T)=f(x) 本题小结,由学生完成,总结出“周期函数的周期有无数个” , 教师指出一般情况下,为避免引起混淆,特指最小正周期。 (2)已知函数 f(x)是 R 上的周期为 5 的周期函数, 且 f(1)=2005, 求 f(11) 略解:f(11)=f(6+5)=f(6)=f(1+5)=f(1)=2005 (3)已知奇函数 f(x)是 R 上的函数, 且 f(1)=2, f(x+3)=f(x), 求 f(8) 略解:f(8)=f(2+2〓3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1) =-2 【巩固深化,发展思维】
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数学必修 4 第一章三角函数教案

1.请同学们先自主学习课本 P4 倒数第五行——P5 倒数第四行, 然后各个学习小组之间展开合作交流。 2.例题讲评 例 1.地球围绕着太阳转,地球到太阳的距离 y 是时间 t 的函数 吗?如果是,这个函数 y=f(t)是不是周期函数? 例 2.图 1-4(见课本)是钟摆的示意图,摆心 A 到铅垂线 MN 的 距离 y 是时间 t 的函数,y=g(t)。根据钟摆的知识,容易说明 g(t+T)=g(t),其中 T 为钟摆摆动一周 (往返一次) 所需的时间, 函数 y=g(t)是周期函数。若以钟摆偏离铅垂线 MN 的角θ的度 数为变量,根据物理知识,摆心 A 到铅垂线 MN 的距离 y 也是θ 的周期函数。 例 3.图 1-5(见课本)是水车的示意图,水车上 A 点到水面的距 离 y 是时间 t 的函数。假设水车 5min 转一圈,那么 y 的值每经 过 5min 就会重复出现,因此,该函数是周期函数。 3.小组课堂作业 (1) 课本 P6 的思考与交流 (2) ( 回答 ) 今天是星期三那么 7k(k ∈ Z) 天后的那一天是星期 几 ?7k(k ∈ Z)天前的那一天是星期几 ?100 天后的那一天是星期 几? 五、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的
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数学必修 4 第一章三角函数教案

主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业 1.作业:习题 1.1 第 1,2,3 题. 2.多观察一些日常生活中的周期现象的例子,进一步理解它的 特点. 七、课后反思

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§2 角的概念的推广(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)推广角的概念,理解并掌握正角、负角、零角的定义; ( 2) 理解象限角、坐标轴上的角的概念; (3)理解任意角的概念,掌 握所有与 ? 角终边相同的角(包括 ? 角)的表示方法; (4)能表 示特殊位臵(或给定区域内)的角的集合; (5)能进行简单的角 的集合之间运算。 过程与方法 类比初中所学的角的概念, 以前所学角的概念是从静止的观点阐 述,现在是从运动的观点阐述,进行角的概念推广,引入正角、 负角和零角的概念;由于角本身是一个平面图形,因此,在角的 概念得到推广以后,将角放入平面直角坐标系,引出象限角、非 象限角的概念,以及象限角的判定方法;通过几个特殊的角,画 出终边所在的位臵,归纳总结出它们的关系,探索具有相同终边 的角的表示;讲解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对角的概念有了一个新的认识;树立 运动变化观点,学会运用运动变化的观点认识事物;揭示知识背 景,引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的 学习态度;让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的 追求。
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二、教学重、难点 重点: 理解正角、负角和零角和象限角的定义,掌握终边相同角 的表示法及判断。 难点: 把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来。 三、学法与教学用具 在初中,我们知道最大的角是周角,最小的角是零角;通过回忆 和类比初中所学角的概念,把角的概念进行了推广;角是一个平 面图形,把角放入平面直角坐标系中以后,了解象限角的概念; 通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法; 我们在学习这部 分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示, 另外 还有相同终边角的集合的表示等。 教学用具:多媒体、三角板、圆规 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们,我们在拧螺丝时,按逆时针方向旋转会越拧越松,按顺 时针方向旋转会越拧越紧。但不知同学们有没有注意到,在这两 个过程中, 扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢?请几 个同学畅谈一下,教师控制好时间,2-3 分钟为宜。 这里面到底是怎么回事?这就是我们这节课所要学习的内容。 初中我们已给角下了定义, 先请一个同学回忆一下当时是怎么定 义的? 我们把“有公共端点的两条射线组成的图形叫做角” ,这是从静
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数学必修 4 第一章三角函数教案

止的观点阐述的。 【探究新知】 如果我们从运动的观点来看, 角可以看成平面内一条射线绕着端 点从一个位臵旋转到另一个位臵所成的图形。(先后用教具圆规 和多媒体给学生演示:逆时针转动形成角,顺时针转动而成角, 转几圈也形成角,为推广角的概念做好准备) 正角、负角、零角的概念(打开课件第一版,演示正角、负角、 零角的形成过程). 我们规定: (板书)按逆时针方向旋转形成的角叫做正角, 如图 (见 课件) 。一条射线由原来的位臵 OA ,绕着它的端点 O 按逆时针方 向旋转到终止位臵 OB , 就形成角 ? .旋转开始时的射线 OA 叫做角 的始边, OB 叫终边,射线的端点 O 叫做叫 ? 的顶点.按顺时针方 向旋转形成的角叫做负角;如果一条射线没有作任何旋转,我们 认为这时它也形成了一个角,并把这个角叫做零角,如果α是零 角,那么α=0°。钟表的时针和分针在旋转时所形成的角总是 负角.为了简便起见,在不引起混淆的前提下, “角α”或“∠ α”可以记成“α” 。 过去我们研究了 0°~360°范围的角.如图(见课件)中的角 α就是一个 0°~360°范围内的角(α=30°).如果我们将角 α的终边 OB 继续按逆时针方向旋转一周、两周……而形成的角 是多少度?是不是仍为 30°的角?(用多媒体演示这一旋转过程, 让学生思考;为终边相同角概念做准备).将终边 OB 旋转一周、
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两周……,分别得到 390°,750°……的角.如果将 OB 继续旋 转下去,便可得到任意大小的正角。同样地,如果将 OB 按顺时 针方向旋转,也可得到任意大小的负角(通过课件,动态演示这 一无限旋转过程).这就是说,角度并不局限于 0°~360°的范 围,它可以为任意大小的角(与数轴进行比较).(打开课件第三 版).如图(1)中的角为正角,它等于 750°;(2)中,正角α= 210°,负角β=—150°,γ=-660°.在生活中,我们也经 常会遇到不在 0 °~ 360 °范围的角,如在体操中,有“转体 720°”(即“转体 2 周”), “转体 1080°”(即“转体 3 周”) 这样的动作名称;紧固螺丝时,扳手旋转而形成的角. 角的概念经过这样的推广以后,就包括正角、负角和零角. 2.象限角、坐标轴上的角的概念. 由于角是一个平面图形,所以今后我们常在直角坐标系内讨论 角,(板书)我们使角的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负 半轴(包括原点)重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,我 们就说这个角是第几象限角.(打开课件第四版)例如图(1)中的 30°、390°、-330°角都是第一象限角,图(2)中的 300°、 -60°角都是第四象限角;585°角是第三象限角. (板书 )如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象 限. 3.终边相同的表示方法. (返回课件第二版,在图(1)1(2)中分别以 O 为原点,直线 0A 为
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数学必修 4 第一章三角函数教案

x 轴建立直角坐标系,重新演示前面的旋转过程)在图(1)中,如 果将终边 OB 按逆时针方向旋转一圈、 两圈……, 分别得到 390°, 750°……的角,这些角的终边与 30°角的终边相同,只是转过 的圈数不同,它们可以用 30 °角来表示,如 390 °= 30 °十 360°,750°=30°十 2〓360°,……在图(2)中,如果将终边 OB 按顺时针方向旋转一圈、两圈……分别得到- 330 °,- 690°……的角,这些角的终边与 30°角终边也相同,也只是转 过的圈数不同,它们也都可以用 30°的角来表示,如-330°= 30°-360°,-690°=30°—2〓360°,…… 由此可以发现,上面旋转所得到的所有的角(记为β),都可以表 示成一个 0°到 360°的角与 k(k∈Z)个周角的和, 即: β=30° 十 k〃360°(k∈Z).如果我们把β的集合记为 S,那么 S={β| β=30°十 k〃360°, k∈Z}.容易看出:所有与 30°角终边 相同的角,连同 30°角(k=0)在内,都是集合 S 的元素;反过 来,集合 S 的任一元素显然与 30°角终边相同。 【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.判断下列各角是第几象限角. (1)—60°; (2)585°; (3)—950°12’ .

解:(1)∵—60°角终边在第四象限,∴它是第四象限角; (2) ∵585°=360°十 225°, ∴585°与 225°终边相同, 又∵225° 终边在第三象限,∴585°是第三象限角;(3)∵ —950°12’=
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-230°12’—2〓360°,又∵-230°12’终边在第二象限,∴ —950°12’是第二象限角. 例 2. 在直角坐标系中, 写出终边在 y 轴上的角的集合 (α用 0°~ 360°的角表示). 解:在 0°~360°范围内,终边在 y 轴上的角有两个,即 90° 与 270°角, 因此, 所有与 90°角终边相同的角构成集合 S1={β |β=90°+k〃360°,k∈Z};所有与 270°角终边相同的角构 成集合 S2={β|β=270°+k〃360°,k∈Z};所以,终边在 y 轴上的角的集合 S=S1∪S2={β|β=90°+k〃360°,k∈Z} ∪{β|β=270°+k〃360°,k∈Z}. 例 3.写出与 60°角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等 式-360°≤β<270°的元素β写出来. 解:S={β|β=60°+k〃360°,k∈Z},S 中适合-360°≤ β<270°的元素是: 60°- 1〓 360°=-300°, 60°+ 0〓 360°=60°,60°+1 〓360°=420°. 2.学生课堂练习 参考练习 (通过多媒体给题)。

(1) (口答 )锐角是第几象限角 ?第一象限角一定是锐角吗 ?再分 别就直角、钝角来回答这两个问题. (2)与—496°终边相同的角是 角,它们中最小正角是 ,它是第 象限的 。
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,最大负角是

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(3)时针经过 3 小时 20 分,则时针转过的角度为 转过的角度为 。

,分针

(4)若α、β的终边关于 x 轴对称,则α与β的关系是 若α与β的终边关于 y 轴对称,则α与β的关系是 称,则α与β的关系是 α是第 象限角。



;若α、β的终边关于原点对

;若角α是第二象限角,则 180°—

[答案](1)是,不一定. (2)—496°十 k〃360°(k∈Z),三,240°,—136°. (3)—100°,—1200°. (4)α十β=k〃360°(k∈Z);α十β=180°十 k〃360。(k∈ Z); α一β=180°十 k〃360°(k∈Z);一. 五、归纳整理,整体认识 请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?你知道角是如何 推广的吗? 象限角是如何定义的呢 ? 你熟练掌握具有相同终边角的表示了 吗? (3)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (4)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业: 习题 1.2 第 2,3 题.
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七、课后反思

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§3 弧度制(1 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)理解 1 弧度的角及弧度的定义; (2)掌握角度与弧度的换 算公式; (3)熟练进行角度与弧度的换算; (4)理解角的集合与 实数集 R 之间的一一对应关系; (5)理解并掌握弧度制下的弧长 公式、扇形面积公式,并能灵活运用这两个公式解题。 过程与方法 通过单位圆中的圆心角引入弧度的概念; 比较两种度量角的方法 探究角度制与弧度制之间的互化; 应用在特殊角的角度制与弧度 制的互化,帮助学生理解掌握;以针对性的例题和习题使学生掌 握弧长公式和扇形的面积公式;通过自主学习和合作学习,树立 学生正确的学习态度。 情感态度与价值观 通过弧度制的学习, 使学生认识到角度制与弧度制都是度量角制 度,二者虽单位不同,但却是相互联系、辩证统一的;在弧度制 下,角的加、减运算可以像十进制一样进行,而不需要进行角度 制与十进制之间的互化,化简了六十进制给角的加、减运算带来 的诸多不便,体现了弧度制的简捷美;通过弧度制与角度制的比 较,使学生认识到引入弧度制的优越性,激发学生的学习兴趣和 求知欲望,养成良好的学习品质。 二、教学重、难点
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数学必修 4 第一章三角函数教案

重点: 理解弧度制的意义,正确进行弧度与角度的换算;弧长和 面积公式及应用。 难点: 弧度的概念及与角度的关系; 角的集合与实数之间的一一 对应关系。 三、学法与教学用具 在初中,我们非常熟悉角度制表示角,但在进行角的运算时,运 用六十进制出现了很不习惯的问题,与我们常用的十进制不一 样,正因为这样,所以有必要引入弧度制;在学习中,通过自主 学习的形式,让学生感受弧度制的优越性,在类比中理解掌握弧 度制。 教学用具:多媒体、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在初中几何里我们学过角的度量, 当时是用度做单位来度量
1 角的.我们把周角的 360 规定为

1 度的角,而把这种用度作单位

来度量角的单位制叫做角度制. 但在数学和其他科学中我们还经 常用到另一种度量角的单位制——弧度制。 下面我们就来学习弧 度制的有关概念.(板书课题)弧度制的单位是 rad,读作弧度. 【探究新知】 1.1 弧度的角的定义. (板书)我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角, 叫做 1 弧度的 角(打开课件).如图 1—14(见教材),弧 AB 的长等于半径 r,则
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弧 AB 所对的圆心角就是 1 弧度的角,弧度的单位记作 rad。 在图 1(课件)中,圆心角∠AOC 所对的弧长 l=2r,那么∠AOC 的弧度数就是 2rad; 圆心角∠AOD 所对的弧长
1 的弧度数就是 2 1 l= 2

r, 那么∠AOC

rad;圆心角∠AOE 所对的弧长为 l,那么∠AOE

的弧度数是多少呢?学生思考并交流, 此我们可以得到弧度制的 定义. 2.弧度制的定义: 一般地,(板书)正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是 一个负数,零角的弧度数 是
l o;角α的弧度数的绝对值|α|= r

,其中 l 是以角α作为圆

心角时所对弧的长,r 是圆 的半径,这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫做弧度制. 在弧度制的定义中, 我们是用弧长与其半径的比值来反映弧 所对的圆心角的大小的. 为什么可以用这个比值来度量角的大小 呢 ?这个比值与所取的圆的半径大小有没有关系 ?请同学们自主 学习课本 P12—P13,从课本中我们可以看出,这个比值与所取 的半径大小无关,只与角的大小有关。有兴趣的同学们可以对它 进行理论上的证明: (论证)如图 1—13(见教材) ,设∠α为 n°(n°>0)的角, 圆弧 AB 和 AlBl 的长分别为 l 和 l1, 点 A 和 Al 到点 O 的距离(即 圆的半径)分别为 r(r>0)和 rl(rl>0), 由初中所学的弧长公式
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n? n? l l= 180 r,l1= 180 r1,所以 r

l1 = r1

n? = 180 ,这表明以角α为圆

心角所对的弧长与其半径的比值,与所取的半径大小无关,只与 角α的大小有关. 用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但量数相同(都 是 0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也 不同.但它们既然是表示同一个角,那这二者之间就应该可以进 行换算,下面我们来讨论角度与弧度的换算. 3.角度制与弧度制的换算. 现在我们知道: 1
2? 个周角=360°= r

r, 所以, (板书)360°
?

=2πrad, 由此可以得到 180°=πrad, 1°= 180 ≈0. 01745rad,
180

1rad=( ? )°≈57.30°=57°18’ 。 说明:在进行角度与弧度的换算时,关键要抓住 180°=πrad 这一关系式. 今后我们用弧度制表示角时, “弧度”二字或“rad”通常略去不 写, 而只写这个角所对应的弧度数. 例如, 角α=2 就表示是 2rad
? 的角, sin 3 ? 就表示 3

rad 的角的正弦, 但用角度制表示角时, “度”

或“°”不能省去.而且用“弧度”为单位度量角时,常把弧度 数写成多少π的形式,如无特别要求,不必把π写成小数,如
? 45°= 4

rad ,不必写成 45°=0.785 弧度.
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前面我们介绍了角度制下的终边相同角的表示方法, 而角度制与 弧度制可以相互转化,所以与角α终边相同的角 ( 连同角α在 内),也可以用弧度制来表示.但书写时要注意前后两项所采用 的单位制必须一致. 角的概念推广后,无论用角度制还是用弧度制,都能在角的集合 与实数集 R 之间建立一种一一对应的关系: 每一个角都有唯一的 一个实数与它对应,例如这个角的弧度数或度数;反过来,每一 个实数也都有唯一的一个角与它对应, 就是弧度数或度数等于这 个实数的角。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.把 45°化成弧度。
? 解:45°= 180 〓45rad= 4
3? 2.把 5

?

rad.



rad 化成度。

3? 解: 5

3 rad= 5 〓180°=108°. 1 S= 2

例 3.利用弧度制证明扇形面积公式 弧长,r 是圆的半径。 证:∵圆心角为 1
1 的扇形的面积为 2?

lr,其中 l 是扇形的

〃πr2,又∵弧长为 l 的
l S= r 1 〃2? 1 〃 πr2= 2

l 扇形的圆心角的大小为 r

, ∴扇形的面积

lr.
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2.学生课堂练习 (1)填表 180 度 弧 度 0° 45° 60° °
? 6 ? 2
3? 2

360 °

说明:一些特殊角的弧度数,大家要熟记,免得每次遇到都要去 进行换算. (2)用弧度制写出终边落在 y 轴上和 x 轴上的角集合。 五、归纳整理,整体认识 (1)主要学习了弧度制的定义;角度与弧度的换算公式;特殊 角的弧度数。 (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业:习题 1—3 中的 1、2、6. 七、课后反思

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§4.1 锐角的正弦函数§4.2 任意角的正弦函数§4.3 正弦函数 y=sinx 的图像(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的 性质; (3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4) 掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段的概念; (6) 了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图法,并会用此方法 画出[0,2π]上的正弦曲线。 过程与方法 初中所学的正弦函数,是通过直角三角形中给出定义的;由于我 们已将角推广到任意角的情况, 而且一般都是把角放在平面直角 坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找直角三角形, 从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重 要方法,在第二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的 性质中都有直接的应用;讲解例题,总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认 识;在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中,体 会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通过单位圆的 学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生
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分析问题、解决问题的能力。 二、教学重、难点 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。 2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π]的图像。 三、学法与教学用具 在初中, 我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个 角的正弦,当把锐角放在直角坐标系中时,角的终边与单位圆交 于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意角时,通过函 数定义的形式引出正弦函数的定义;作正弦函数 y=sinx 图像 时,在正弦函数定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再 归结为五点作图法。 教学用具:投影机、三角板

第一课时 弦函数 一、教学思路

§4.1 锐角的正弦函数

§ 4.2 任意角的正

【创设情境,揭示课题】 我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。请 同学们回忆(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念; ( 2) A 初中所学的正弦函数是如何定义的?并想一想它有哪些性质?
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学生思考回答以后,教师小结。 (板书课题) 【探究新知】
对边 c bα= 斜边 , 在初中,我们学习了锐角α的正弦函数值:sin
a 如图:sinA= c
C a B

,由于 a 是直角边,c 是斜边,所 sinA∈(0,1)。

由于我们通常都是将 角
y r

放到平面直角坐标系中,我们来看看会发生什么?
P(a,b)

在直角坐标系中, (如图所示) ,设角α(α∈(0,
O M

? 2

) )

x

的终边与半经为 r 的圆交于点 P(a,b) ,则角α的正弦值是:
b sinα= r b .根据相似三角形的知识可知,对于确定的角α, r



不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见,令 r=1(即为单位 圆),那么 sinα=b,也就是说,若角α的终边与单位圆相交于 P,则点 P 的纵坐标 b 就是角α的正弦函数。 直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐 角正弦函数的定义.你认为该如何定义任意角的正弦函数? 一般地,在直角坐标系中(如上图) ,对任意角α,它的终边与 单位圆交于点 P(a,b) ,我们可以唯一确定点 P(a,b)的纵坐 标 b,所以 P 点的纵坐标 b 是角α的函数,称为正弦函数,记作 y=sinα(α∈R)。通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,
22

数学必修 4 第一章三角函数教案

将正弦函数表示为 y=sinx. 正弦函数值有时也叫正弦值.
? 请同学们画图, 并利用正弦函数的定义比较说明:3
7? 角与 3

角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系?它们的正弦值
? 有什么关系? 3
14? 3 8? 角和 3

? 角呢?- 3

5? 角和 3

2? 角呢?- 3

角和-

角呢?

通过上述问题的讨论,容易得到:终边相同的角的正弦函数值相 等,即 sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z),说明对于任意一个角α,每增 加 2π的整数倍,其正弦函数值不变。所以,正弦函数是随角的 变化而周期性变化的,正弦函数是周期函数,2kπ(k∈Z,k≠0) 为正弦函数的周期。 2π是正弦函数的正周期中最小的一个,称为最小正周期。一般 地,对于周期函数 f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的 正数,那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期。 【巩固深化,发展思维】 课本 P17 的思考与交流。 课本 P18 的练习。 3.若点 P(—3,y)是α终边上一点,且
2 sinα=— 3

,求 y 值.

4.若角α的顶点为坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在
23

数学必修 4 第一章三角函数教案

函数 y=—3x (x≤0) 的图像上,则 sinα= 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的 主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思 。

24

数学必修 4 第一章三角函数教案

第二课时 一、教学思路

§4.3 正弦函数 y=sinx 的图像

【创设情境,揭示课题】 三角函数是一种重要的函数,从第一节我们就知道在实际生活 中,有许多地方用到三角函数。今天我们来学正弦函数 y=sinx 的图像的做法。在前一节,我们知道正弦函数是一个周期函数, 最小正周期是 2π,所以,关键就在于画出[0,2π]上的正弦函 数的图像。
α 的终边 P y

请同学们回忆初中作函数图像的方法是怎样的? 作函数图像的三步骤:列表,描点,连线。 【探究新知】 正弦函数线 MP

M

O

x

下面我们来探讨正弦函数的一种几何表示.如右图所示, 角α的终边与单位圆交于点 P(x,y) ,提出问题 ①线段 MP 的长度可以用什么来表示? ②能用这个长度表示正弦函数的值吗?如果不能,你能否设计 一种方法加以解决?引出有向线段的概念. 有向线段:当α的终边不在坐标轴上时,可以把 MP 看作是带方 向的线段, y>0 时,把 MP 看作与 y 轴同向(多媒体优势,利用计算机演示 角α终边在 一、二象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程.让学生看清后定位,
25

数学必修 4 第一章三角函数教案

运动的方向表明与 y 轴同向). y<0 时,把 MP 看作与 y 轴反向(演示角α终边在三、四象限时 MP 从 M 到 P 点的运动过程.让学生看清后定位,运动的方向表 明与 y 轴反向). 师生归纳:①MP 是带有方向的线段,这样的线段叫有向线 段.MP 是从 M→P,而 PM 则是从 P→M。②不论哪种情况,都有 MP=y.③依正弦定义,有 sinα=MP=y,我们把 MP 叫做α的 正弦线. (投影仪出示反馈练习) 当α为特殊角,即终边在坐标轴上时, 找出其正弦线。演示运动过程,让学生清楚认识到:当α终边在 x 轴上时,正弦线变为一个点,即 sinα=0。 2.作图的步骤 边作边讲(几何画法)y=sinx x?[0,2?]

作单位圆,把⊙O 十二等分(当然分得越细,图像越精确) 十二等分后得对应于 线, 将 x 轴上从 0 到 2?一段分成 12 等份(2?≈6.28),若变动比例, 今后图像将相应“变形” 取点,平移正弦线,使起点与轴上的点重合 描图(连接)得 y=sinx x?[0,2?] ( 6 ) 由 于 终 边 相 同 的 三 角 函 数 性 质 知 y=sinx 2(k+1)?] (k?Z,k?0)
26

? 0, 6

,

? 3

? ,2

,…2?等角,并作出相应的正弦

x?[2k? ,

数学必修 4 第一章三角函数教案

与函数 y=sinx

x?[0,2?]图像相同,只是位臵不同——每次向

左(右)平移 2?单位长。 可以得到 y=sinx 在 R 上的图像

4 ?

3 ?

2 ?

五点作图法: 由上图我们不难发现,在函数 y=sinx,x?[0,2?]的图像上,起 着 关 键 作 用 的 有 以 下 五 个 关 键 点 : (0,0)
3? (2

(

? 2

,1)

(?,0)

,-1)

(2?,0)。描出这五个点后,函数 y=sinx,x?[0,2?]

的图像的形状就基本上确定了。因此,在精确度要求不太高时, 我们常常先找出这五个关键点,然后用光滑曲线将它们连接起 来, 就得到这个函数的简图。 我们称这种画正弦曲线的方法为 “五 点法” 。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.用“五点法”画出下列函数在区间[0,2π]上的简图。 (1)y=-sinx (2)y=1+sinx

27

数学必修 4 第一章三角函数教案

解: (1)列表 x y = - 0 sinx 描点得 y=-sinx 的图像: (略,见教材 P22) 2.学生练习 教材 P22 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的 主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业 作业:习题 1—4 第 1,2 题. 四、课后反思 1 0 -1 0 0
? 2

π

3? 2



28

数学必修 4 第一章三角函数教案

§4.4 正弦函数的性质(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)进一步熟悉单位圆中的正弦线; ( 2)理解正弦诱导公式的 推导过程; (3)掌握正弦诱导公式的运用; (4)能了解诱导公式 之间的关系,能相互推导; (5)理解并掌握正弦函数的定义域、 值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性; (6)能熟练运 用正弦函数的性质解题。 过程与方法 通过正弦线表示α ,-α,π-α,π+α ,2π-α,从而体会各 正弦线之间的关系; 或从正弦函数的图像中找出α,-α,π-α, π+α,2π-α,让学生从中发现正弦函数的诱导公式;通过正 弦函数在 R 上的图像, 让学生探索出正弦函数的性质; 讲解例题, 总结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,培养学生创新能力、探索归纳能力;让学生体 验自身探索成功的喜悦感,培养学生的自信心;使学生认识到转 化“矛盾”是解决问题的有效途经;培养学生形成实事求是的科 学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式,正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用,正弦函数的性质应用。
29

数学必修 4 第一章三角函数教案

三、学法与教学用具 在上一节课的基础上, 运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角 的关系,引发学生探索出正弦函数的诱导公式;通过例题和练习 掌握诱导公式在解题中的作用;在正弦函数的图像中,直观判断 出正弦函数的性质,并能上升到理性认识;理解掌握正弦函数的 性质;以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 正弦函数诱导公式

一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在上一节课中,我们已经学习了任意角的正弦函数定义,以及终 边相同的角的正弦函数值也相等,即 sin(2kπ+α)=sinα (k ∈ Z),这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求 0°~ 360°的角的正弦函数值。如果还能把 0°~360°间的角转化为 锐角的正弦函数,那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就 是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 复习: (公式 1)sin(360?k+?) = sin? 对于任一 0?到 360?的角,有四种可能(其中?为不大于 90?的非 负角)

30

数学必修 4 第一章三角函数教案

? ? 当? ? 0 ? , 90? ) ? ? ? 180?) ?180 ? ? 当? ? 90 , ??? ? ? 270?) ?180 ? ? 当? ? 180 , ?360? ? ? 当? ? 270? , 360?) ?

? ? ?

?

?为第一象限角 ?为第二象限角 ?为第三象限角 ?为第四象限角

(以下设?为任意角)

公式 2:

设?的终边与单位圆交于点 P(x,y),则 180?+?终边与单位圆交 于点 P’(-x,-y),由正弦线可知:
y P (x,y) o


sin(180?+?) = ?sin?
y P(x,y)

x P (-x,-y) P’(x,-y)

M

o

x

4.公式 3: 如图:在单位圆中作出α与-α角的终边,同样可得: sin(??) = ?sin?, 公式 4:由公式 2 和公式 3 可得: sin(180???) = sin[180?+(??)] = ?sin(??) = sin?, 同理可得: sin(180???) = sin?,

6.公式 5:sin(360???) = ?sin? 【巩固深化,发展思维】 例题讲评 求下列函数值 (1)sin(-1650?); (2)sin(-150?15’);
7 (3)sin(- 4

π)
31

数学必修 4 第一章三角函数教案

解: (1) sin(-1650?)=-sin1650?=-sin(4〓360?+210?) =-sin210?
1 =-sin(180?+30?)=sin30?= 2

(2) sin( - 150?15 ’ ) =- sin150?15 ’=- sin(180? - 29?45’)=-sin29?45’=-0.4962 (3) 例
7 sin(- 4

? π)=sin(-2π+ 4

? )=sin 4



2 2

?

sin ?2? ? ? ?sin ?3? ? ? ? 2.化简: sin ?? ? ? ? ?sin ?3? ? ? ?sin ?? ? ? ? ?

解: (略,见教材 P24) 学生练习 教材 P24 练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的 主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

?

1

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6

32

数学必修 4 第一章三角函数教案

第二课时 教学思路

正弦函数的性质

【创设情境,揭示课题】 同学们,我们在数学一中已经学过函数,并掌握了讨论一个函数 性质的几个角度,你还记得有哪些吗?在上一次课中,我们已经 学习了正弦函数的 y=sinx 在 R 上图像, 下面请同学们根据图像 一起讨论一下它具有哪些性质? 【探究新知】 让学生一边看投影,一边仔细观察正弦曲线的图像,并思考以下 几个问题: 正弦函数的定义域是什么? 正弦函数的值域是什么? 它的最值情况如何? 它的正负值区间如何分? ?(x)=0 的解集是多少? 师生一起归纳得出: 定义域:y=sinx 的定义域为 R 值域:引导回忆单位圆中的正弦函数线,结论:|sinx|≤1(有 界性) 再看正弦函数线(图象)验证上述结论,所以 y=sinx 的值 域为[-1,1] 3.最值:1?对于 y=sinx 当且仅当
? x=2k?+ 2

,k?Z 时 ymax
33

数学必修 4 第一章三角函数教案

=1 当且仅当时
? x=2k?- 2

, k?Z 时 ymin=-1

2?当 2k?<x<(2k+1)? (k?Z)时 y=sinx>0 当(2k-1)?<x<2k? (k?Z)时 y=sinx<0 4.周期性: (观察图象) 1?正弦函数的图象是有规律不断重复 出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出 现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx 也可以说明 结论:y=sinx 的最小正周期为 2? 5.奇偶性 sin(-x)=-sinx ∈R)是奇函数 6.单调性 x sin -1 x
? 增区间为[- 2 ? 减区间为[ 2 ? -2

(x∈R)

y=sinx

(x



0



? 2



π



3? 2

0
? 2

1

0

-1

+2kπ,
3? 2

+2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1;

+2kπ,

+2kπ](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。

34

数学必修 4 第一章三角函数教案

【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.利用五点法画出函数 y=sinx-1 的简图,根据函数图像 和解析式讨论它的性质。 解: (略,见教材 P26) 2.课堂练习 教材 P27 的练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主 要数学思想方法有哪些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:习题 1—4 第 3、4、5、6、7 题. 四、课后反思

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数学必修 4 第一章三角函数教案

§5 余弦函数(2 课时) 教学目标: 知识与技能 (1)了解任意角的余弦函数概念; (2)理解余弦函数的几何意 义; (3)掌握余弦函数的诱导公式; (4)能利用五点作图法作出 余弦函数在[0,2π]上的图像; (5)熟练根据余弦函数的图像推 导出余弦函数的性质; (6)能区别正、余弦函数之间的关系; (7) 掌握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 过程与方法 类比正弦函数的概念,引入余弦函数的概念;在正、余弦函数定 义的基础上,将三角函数定义推广到更加一般的情况;让学生通 过类比,联系正弦函数的诱导公式,自主探究出余弦函数的诱导 公式;能学以致用,尝试用五点作图法作出余弦函数的图像,并 能结合图像分析得到余弦函数的性质。 情感态度与价值观 使同学们对余弦函数的概念有更深的体会; 会用联系的观点看问 题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分 析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感, 培养学生的自信心;使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有 效途经; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精 神。 二、教学重、难点
36

数学必修 4 第一章三角函数教案

重点:余弦函数的概念和诱导公式,以及余弦函数的性质。 难点: 余弦函数的诱导公式运用和性质应用。 三、学法与教学用具 我们已经知道正弦函数的概念是通过在单位圆中, 以函数定义的 形式给出来的,从而把锐角的正弦函数推广到任意角的情况;现 在我们就应该与正弦函数的概念作比较,得出余弦函数的概念; 同样地,可以仿照正弦函数的诱导公式推出余弦函数的诱导公 式。用五点作图的方法作出 y=cosx 在[0,2π]上的图像,并由 图像直观得到其性质。 教学用具:投影机、三角板

37

数学必修 4 第一章三角函数教案

第一课时 一、教学思路

余弦函数的概念和诱导公式

【创设情境,揭示课题】 在初中,我们不但学习了正弦函数,也学习了余弦函数,sinα
邻边 = 斜边 。同样地,当我们把角放在平面直角坐标系中以后,就可

以得到余弦函数的定义。 下面请同学们类比正弦函数的定义,自主学习课本 P30—P31. 【探究新知】 1.余弦函数的定义 在直角坐标系中,设任意角α与单位圆交于点 P(a,b), 那么点 P 的横坐标 a 叫做角α余弦函数,记作:a=cos α(α∈ P(a,b) R).
r 通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将余弦函数表示 y

为 y=cosx(x∈R). 如图,有向线段 OM 称为角α的余弦线。

O

M

x

其实,由相似三角形的知识,我们知道,只要已知角α 的终边上任意一点 P 的坐标(a,b) ,求出|OP|,记为 r,则
b 角α的正弦和余弦分别为:sinα= r a ,cosα= r π . -α
α

在今后的解题中,我们可以直接运用这种方法,简化运算过程。 2.余弦函数的诱导公式 从右图不难看出,角α和角 2π+α,2π-α, (-α)的终边
38

数学必修 4 第一章三角函数教案

与单位圆的交点的横坐标是相同的,所以,它们的余弦函数值相 π +α 等;
-α 角α和角π+α, π-α的终边与单位圆的交点的横坐标是相反

数, 所以,它们的余弦函数值互为相反数。 由此归纳出公式: cos(2π+α)=cosα cos(-α) = cosα cos(2π-α) =cosα cos(π+α) =-cosα cos(π-α) =-cosα
? 请同学们观察右图,角α与角 2
P(x,y) M M’ o P’ x y

+α的正弦、余弦函数值有

什么关 系?由图可知,Rt⊿OMP≌Rt⊿OM’P’,点 P 的横坐标 cosα与 点 P’的纵坐标
? sin( 2

+α)
? cos( 2

相等; 点 P 的纵坐标 sinα与点 P’ 的横坐标 反数。我们可以得到:
? sin( 2

+α)互为相

+α)=cosα
? sin( 2

? cos( 2

+α)=-sinα

问题与思考:验证公式

+α)=cosα

39

数学必修 4 第一章三角函数教案

? cos( 2

+α)=-sinα
y

以上公式统称为诱导公式, 其中α可以是任意角。 利用诱导公式, 可以将任意角的正、余弦函数问题转化为锐角的正、余弦函数问 题。 【巩固深化,发展思维】 例题讲评
2 x

例 1.已知角α的终边经过点 P(2,-4)(如图),求角α的余 -4 弦 函数值。 解:∵x=2,y=-4 , ∴ r=|OP|=2 5
x ∴cosα= r
P



5 5

例 2.如果将例 1 中点 P 的坐标改为(2t,-4t)(t≠0),那么 怎样求角α的余弦函数值。 解:(提示:在 r=|OP|=2 5 |t|中,分 t<0 和 t>0 两种情况, 见教材 P31) 例 3.求值:
11? (1)cos 6 9? (2)cos 8 3? (3)cos(- 4

)

(4)cos(-1650°)
11? 解: (1)cos 6

(5)cos(-150°15’)
? )=cos 6

? =cos(2π- 6



3 2

40

数学必修 4 第一章三角函数教案

9? (2)cos 8

? =cos(π+ 8

? )=-cos 8

≈-0.9239

(3)、 (4) 、 (5)略,见教材 P33 例
cos?2? ? ? ? cos?3? ? ? ? 4.化简: cos?? ? ? ? ?cos?3? ? ? ?cos?? ? ? ? ?

解: (略,见教材 P33) 学生练习 教材 P31 的练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思 和 P34 的练习 1、2、3

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数学必修 4 第一章三角函数教案

第二课时 教学思路

余弦函数的图像与性质

【创设情境,揭示课题】 在上一次课中,我们知道正弦函数 y=sinx 的图像,是通过等分 单位圆、平移正弦线而得到的,在精确度要求不高时,可以采用 五点作图法得到。那么,对于余弦函数 y=cosx 的图像是不是也 是这样得到的呢?有没有更好的方法呢? 【探究新知】 1.余弦函数 y=cosx 的图像 由诱导公式有: 与正弦函数关系
? sin(x+ 2 ? ∵ y = cosx = cos( - x) = sin[ 2

- ( - x)] =

) x?R 与函数
? y=sin(x+ 2

结论: (1)y=cosx, 相同 (2)将 y=sinx

)

x?R 的图象

? 的图象向左平移 2

即得 y=cosx 的图象 x?[0,2?]的五个点关

(3)也同样可用五点法作图:y=cosx 键是(0,1)
?

? (2

,0) (?,-1)
y
?
2

3? (2

,0) (2?,1)
3 ? 2

?
2

-1

y 1 o 11

?

2 ?

x
x
42

数学必修 4 第一章三角函数教案

( 4 ) 类 似 地 , 由 于 终 边 相 同 的 三 角 函 数 性 质 y = cosx x?[2k?,2(k+1)?] k?Z,k?0 的图像与 y=cosx x?[0,2?] 图

像形状相同只是位臵不同(向左右每次平移 2π个单位长度)

4 ?

3 ?

2 ?

?

1 y o 1

?

2 ?

3 ?

4 ?

5 ?

6x ?

y x

2.余弦函数 y=cosx 的性质 观察上图可以得到余弦函数 y=cosx 有以下性质: (1)定义域:y=cosx 的定义域为 R (2)值域: y=cosx 的值域为[-1,1],即有 |cosx|≤1(有界 性) (3)最值: 1?对于 y=cosx 当且仅当 x=2k?,k?Z 时 ymax= 1 当且仅当时 x=2k?+π, k?Z 时 ymin=-1 2?当 当
? 2k?- 2 ? <x<2k?+ 2

(k?Z)时 y=cosx>0 (k?Z)时 y=cosx<0

? 2k?+ 2

3? <x<2k?+ 2

(4)周期性:y=cosx 的最小正周期为 2? (5)奇偶性 cos(-x)=cosx (x∈R) y=cosx (x∈
43

数学必修 4 第一章三角函数教案

R)是偶函数 (6)单调性 增区间为[(2k-1)π, 2kπ](k∈Z) ,其值从-1 增至 1; 减区间为[2kπ, (2k+1)π](k∈Z) ,其值从 1 减至-1。

【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.请画出函数 y=cosx -1 的简图,并根据图像讨论函数 的性质。 解: (略,见教材 P36) 2.课堂练习 教材 P37 的练习 1、2、3、4 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:P38 的习题 8、9、10、11 四、课后反思

44

数学必修 4 第一章三角函数教案

§6 正切函数(2 课时) 洋浦实验中学 教学目标: 知识与技能 (1)了解任意角的正切函数概念; (2)理解正切函数中的自变 量取值范围; (3)掌握正切线的画法; (4)能用单位圆中的正切 线画出正切函数的图像; (5)熟练根据正切函数的图像推导出正 切函数的性质; (6)能熟练掌握正切函数的图像与性质; (7)掌 握利用数形结合思想分析问题、解决问题的技能。 过程与方法 类比正、余弦函数的概念,引入正切函数的概念;在此基础上, 比较三个三角函数之间的关系;让学生通过类比,联系正弦函数 图像的作法,通过单位圆中的有向线段得到正切函数的图像;能 学以致用, 结合图像分析得到正切函数的诱导公式和正切函数的 性质。 情感态度与价值观 使同学们对正切函数的概念有一定的体会; 会用联系的观点看问 题,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分 析问题、解决问题的能力;让学生体验自身探索成功的喜悦感, 培养学生的自信心; 培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不 舍的钻研精神。 二、教学重、难点
45

吴永和

数学必修 4 第一章三角函数教案

重点: 正切函数的概念、诱导公式、图像与性质 难点: 熟练运用诱导公式和性质分析问题、解决问题 三、学法与教学用具 我们已经知道正、余弦函数的概念是通过在单位圆中,以函数定 义的形式给出来的,从而把锐角的正、余弦函数推广到任意角的 情况;现在我们就应该与正、余弦函数的概念作比较,得出正切 函数的概念;同样地,可以仿照正、余弦函数的诱导公式推出正 切函数的诱导公式;通过单位圆中的正切线画出正切函数的图 像,并从图像观察总结出正切函数的性质。 教学用具:投影机、三角板

第一课时 一、教学思路

正切函数的定义、图像及性质

【创设情境,揭示课题】 常见的三角函数还有正切函数,在前两次课中,我们学习了任意 角的正、余弦函数,并借助于它们的图像研究了它们的性质。今 天我们类比正弦、余弦函数的学习方法,在直角坐标系内学习任 意角的正切函数,请同学们先自主学习课本 P40。 【探究新知】 正切函数的定义
? 在直角坐标系中,如果角α满足:α∈R,α≠ 2

+kπ(k∈Z),

46

数学必修 4 第一章三角函数教案

那么,角α的终边与单位圆交于点
b 根据函数定义,比值 a

b P(a,b) ,唯一确定比值 a

.

是角α的函数,我们把它叫作角α的正切 +kπ,k∈Z. (α∈R,

函数,记作

? y=tanα,其中α∈R,α≠ 2

sin ? 比较正、余弦和正切的定义,不难看出:tanα= cos ?

? α≠ 2

+kπ,k∈Z).

由此可知,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数 值的函数,我们统称为三角函数。 下面,我们给出正切函数值的一种几何表示. 如右图,单位圆与 x 轴正半轴的交点为 A(1 ,0) ,任意角α
o y 30? T A x

的终边与单位圆交于点 P,过点 A(1 ,0)作 x 轴的垂线,与角 的终边或终边的延长线相交于 T 点。从图中可以看出: 210? 当角α位于第一和第三象限时,T 点位于 x 轴的上方;
P 当角α位于第二和第四象限时,T 点位于 x 轴的下方。

分析可以得知,不论角α的终边在第几象限,都可以构造两 个相似三角形,使得角α的正切值与有向线段 AT 的值相等。因 此, 我们称有向线段 AT 为角α的正切线。 2.正切函数的图象 (1)首先考虑定义域:
x ? k? ?

?
2

?k ? z ?

47

数学必修 4 第一章三角函数教案

(2)为了研究方便,再考虑一下它的周期:
? tan?x ? ? ? ? sin ?x ? ? ? ? sin x ? ? ? ? ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? cos?x ? ? ? ? cos x 2 ? ?

? ? ? y ? tan x? x ? R, 且x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ? 的周期为 T ? ? ∴

(最小正

周期)
? ? ?? ?? , ? (3)因此我们可选择 ? 2 2 ? 的区间作出它的图象。
y

?

?
2

? 2

x

O

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函 数 y ? tan x x ? R ,且
x?

?
2

? k? ?k ? z ?

的图像,称“正切曲线”

48

数学必修 4 第一章三角函数教案

y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

从上图可以看出, 正切曲线是由被相互平行的直线

? x= 2

+kπ(k

∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的, 这些直线叫作正切曲线各支的 渐近线。 3.正切函数 y=tanx 的性质 引导学生观察,共同获得:
? ? ? ? x | x ? ? k? , k ? z ? 2 ?, (1)定义域: ?

(2)值域:R 观察:当 x 从小于
k? ?

?
2

?k ? z ?



x? ?? k? ?

? 2

?? ? 时, tan x ?

49

数学必修 4 第一章三角函数教案

?

当 x 从 大 于
tan x ? ?? ?? 。

2

? k? ?k ? z ?



x? ??

?
2

? k?

时 ,

(3)周期性: T ? ? (4)奇偶性: tan?? x? ? ? tan x 奇函数。
? ? ? ? ? ? ? k? , ? k? ?k ? z 2 ? (5)单调性:在开区间 ? 2 内,函数单调递增。

二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时

正切函数的诱导公式及例题讲评

一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同学们已经知道,在正、余弦函数中,我们是先学诱导公式,再 学图像与性质的。在学正切函数时,我们为什么要先学图像与性 质,再学诱导公式呢? 【探究新知】
50

数学必修 4 第一章三角函数教案

观察下图,角α与角 2π+α,2π-α,π+α,π-α, -α的正切函数值有何关系? y

3 ? ? 2

?? ? ? 2

0

? 2

?

3 x ? 2

我们可以归纳出以下公式:π-α, tan(2π+α)=tanα tan(-α)=-tanα tan(2π-α)=-tanα tan(π-α)=-tanα tan(π+α)=tanα 【巩固深化,发展思维】 例题讲评 例 1.若
2 tanα= 3

,借助三角函数定义求角α的正弦函数值和
51

数学必修 4 第一章三角函数教案

余弦函数值。
2 解:∵tanα= 3

>0,∴α是第一象限或第三象限的角
2 tanα= 3

(1)如果α是第一象限的角,则由 必有一点 P(3,2). 所以 x=3, y=2. ∵r=|OP|= 13
x α= r

可知,角α终边上

y ∴sinα= r

2 13 = 13 , cos

3 13 = 13 .
y 如果α是第三象限角,同理可得:sinα= r

(2)

2 13 =- 13 ,

x cosα= r

3 13 =- 13 .



tan?2? ? ? ? tan?3? ? ? ? 2.化简: tan?? ? ? ? ? tan?3? ? ? ? tan?? ? ? ? ?

?? tan? ? tan? ?? ? ? ? ? t an ? t an 解:原式= ?? t an?? ? ? ??t an?? ? ? ??? t an?? ? ? ?? = tan? ?? tan? ??? tan? ? =
1 - tan ?

.

2.学生课堂练习 教材 P45 的练习 1、2、3、4 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及的主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。
52

数学必修 4 第一章三角函数教案

(3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:P45 习题 A 组 1—11 四、课后反思

§7 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质(1 课时) 洋浦实验中学 教学目标: 知识与技能 (1)进一步理解表达式 y=Asin(ωx+φ),掌握 A、φ、ωx +φ的含义; (2)熟练掌握由
y?sin x

吴永和

的图象得到函数 y=Asin(ωx

y ? A sin(?x ? ?) ? k ( x ? R) 的图象的方法; (3)会由函数

+φ)的图像讨论其性质; (4)能解决一些综合性的问题。 过程与方法 通过具体例题和学生练习,使学生能正确作出函数 y=Asin(ωx +φ)的图像;并根据图像求解关系性质的问题;讲解例题,总 结方法,巩固练习。 情感态度与价值观 通过本节的学习,渗透数形结合的思想;通过学生的亲身实践, 引发学生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习 态度;让学生感受数学的严谨性,培养学生逻辑思维的缜密性。 二、教学重、难点
53

数学必修 4 第一章三角函数教案

重点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图像,函数 y=Asin(ωx+φ) 的性质。 难点: 各种性质的应用。 三、学法与教学用具 在前面,我们讨论了正弦、余弦、正切函数的性质,如:定义域、 值域、 最值、 周期性、 单调性和奇偶性, 那么, 对于函数 y=Asin(ω x+φ )的性质会是什么样的呢?今天我们这一节课就研究这个 问题。 教学用具:投影机、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 函数 y=Asin(ωx+φ)的性质问题,是三角函数中的重要问题, 是高中数学的重点内容, 也是高考的热点, 因为, 函数 y=Asin(ω x+φ)在我们的实际生活中可以找到很多模型, 与我们的生活息 息相关。 【探究新知】 复习提问: (1)如何由 y ? sin x 的图象得到函数 y ? A sin(?x ? ?) 的图 象? (2)如何用五点法作 y ? A sin(?x ? ?) 的图象? (3) A、?、? 对函数 y ? A sin(?x ? ?) 图象的影响作用 函数 y ? Asin(?x ? ?), x ? ?0,??), (其中A ? 0, ? ? 0) 的物理意义: 函数表示一个振动量时:
54

数学必修 4 第一章三角函数教案

A:这个量振动时离开平衡位臵的最大距离,称为“振幅” T: f:
T? 2? ?

往复振动一次所需的时间,称为“周期”

f ?

1 ? ? T 2? 单位时间内往返振动的次数,称为“频率”

?x ? ? :称为相位

? :x

= 0 时的相位,称为“初相”

? y ? A sin( ?x ? ?), ( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ) 2 的最小值是 ?2 ,其图 例一.函数

象最 高点与最低点横坐标差是 3?,又:图象过点(0,1),求函数解析 式。 解:易知:A = 2
?? 1 3
T ? 3? 2 半周期

∴T = 6?

2? ? 6? 即?

从而:

1 y ? 2 sin( x ? ?) 3 设:
| ? |? ? 2

令 x = 0 有 2 sin ? ? 1
? 6 1 ? y ? 2 sin( x ? ) 3 6 ∴所求函数解析式为
? 倍,再向左平移 2 个

又:



??

例二.函数 f (x)的横坐标伸长为原来的 2 单位所得的曲线是 解:将 即
y? y?

1 sin x 2 的图像,试求 y ? f ( x) 的解析式。

? 1 1 ? sin x y ? sin( x ? ) 2 2 2 的图像向右平移 2 个单位得: 1 2

1 y ? ? cos x 2

的图像再将横坐标压缩到原来的

得:
55

数学必修 4 第一章三角函数教案

1 y ? ? cos 2 x 2
1 y ? f ( x) ? ? cos 2 x 2 ∴

例三.求下列函数的最大值、最小值,以及达到最大值、最 小值时 x 的集合。 (1) y=sinx-2
? 4
4 (2)y= 3 1 sin 2

x

1 (3)y= 2

cos(3x+

)
? x=2kπ+ 2

解: (1)当

(k∈Z)时,sinx 取最大值 1,此时函数

y=sinx-2 取最大值-1; 当
3? x=2kπ+ 2

(k∈Z)时, sinx 取最小值-1, 此时函数 y=sinx

-2 取最小值-3; (2) 、 (3)略,见教材 P59 例四. (1)求函数 (2)求函数
1 y=2sin( 2

? x- 3

)的递增区间; )的递减区间。

1 5? y= 3 cos(4x+ 6

解:略,见教材 P60 【巩固深化,发展思维】 学生课堂练习:教材 P60 练习 3 五、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主 要数学思想方法有那些?
56

数学必修 4 第一章三角函数教案

(2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业: 习题 1-7 第 4,5,6 题. 七、课后反思

§7 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象(2 课时) 洋浦实验中学 教学目标: 知识与技能 (1)熟练掌握五点作图法的实质; (2)理解表达式 y=Asin(ω x+φ),掌握 A、φ、ωx+φ的含义; (3)理解振幅变换和周 期变换的规律,会对函数 y=sinx 进行振幅和周期的变换; (4) 会利用平移、伸缩变换方法,作函数 y=Asin(ωx+φ)的图像; (5)能利用相位变换画出函数的图像。 过程与方法 通过学生自己动手画图像,使他们知道列表、描点、连线是作图 的基本要求;通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图 像,发现规律,总结提练,加以应用;要求学生能利用五点作图 法,正确作出函数 y=Asin(ωx+φ)的图像;讲解例题,总结 方法,巩固练习。
57

吴永和

数学必修 4 第一章三角函数教案

情感态度与价值观 通过本节的学习,渗透数形结合的思想;树立运动变化观点,学 会运用运动变化的观点认识事物;通过学生的亲身实践,引发学 生学习兴趣;创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度; 让学生感受图形的对称美、运动美,培养学生对美的追求。 二、教学重、难点 重点: 相位变换的有关概念,五点法作函数 y=Asin(ωx+φ) 的图像 难点: 相位变换画函数图像,用图像变换的方法画 y=Asin(ωx +φ)的图像 三、学法与教学用具 在前面,我们知道精确度要求不高时,可以用五点作图法,是哪 五个关键点;首先请同学们回忆,然后通过物理学中的几个情境 引入课题; 主要让学生动手实践, 两节课尽可能多地让他们画图, 教师只是加以点拨;可以从几个具体的、简单的例子开始,在适 当的时候加以推广;先分解各个小知识点,再综合在一起,上升 更高一层。 教学用具:投影机、三角板

第一课时

y=sinx 和 y=Asinx 的图像, y=sinx 和

y=sin

(x+φ)的图像
58

数学必修 4 第一章三角函数教案

一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 在物理和工程技术的许多问题中,经常会遇到形如 y=Asin(ωx +φ)的函数,例如:在简谐振动中位移与时间表的函数关系就 是形如 y=Asin(ωx+φ)的函数。正因为此,我们要研究它的 图像与性质,今天先来学习它的图像。 【探究新知】 例一.画出函数 y=2sinx 解:由于周期 T=2? x 0 0 sinx 0 2sinx
1 2 1 -2 1 x?R;y= 2

sinx

x?R 的图象(简图) 。

∴不妨在[0,2?]上作图,列表: ? 1 0
3? 2

? 2

2? -1 0

2

0

-2

0



1 2

0 sinx
y=2sinx 2 y 1 2 1 -1 O -21 ? ?2

0

0 图:

y=sinx

y= 1 sinx
2

?

?

2? 2 ?

x

59

数学必修 4 第一章三角函数教案

配套练习:函数 关系?

2 y= 3

sinx 的图像与函数 y=sinx 的图像有什么

引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.y=Asinx,x?R(A>0 且 A?1)的图象可以看作把正数曲线上的 所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的 A 倍得到的。 2.若 A<0 可先作 y=-Asinx 的图象 ,再以 x 轴为对称轴翻折。 性质讨论:不变的有定义域、奇偶性、单调区间与单调性、周期 性 变化的有值域、最值、 由上例和练习可以看出:在函数 y=Asinx(A>0)中,A 决定了 函数的值域以及函数的最大值和最小值,通常称 A 为振幅。 例二.画出函数 图像(简图) 。 解:由于周期 T=2? ∴不妨在[0,2?]上作图,列表:
? y=sin(x+ 3

)

(x?R)和

? y=sin(x? 4

)

(x?R)的

? x+ 3

0
? ?3

? 2

?
2? 3

3? 2

2?
5? 3

x

? 6

7? 6

60

数学必修 4 第一章三角函数教案

sin(x+
? 3

0

1

0

-1

0

)

y=sinx

1
?

O ?1
y=sin(x+

?
? ) 3

2?

3?
? ) 4

4?

x

y=sin(x-

配套练习:函数 有什么关系?

? y=sin(x- 15 )的图像与函数

y=sinx 的图像

引导,观察,启发:与 y=sinx 的图象作比较,结论: y=sin(x+φ) ,x?R(φ?0)的图象可以看作把正数曲线上的所 有点向左平移φ (φ >0)个单位或向右平移-φ个单位 (φ< 0= 得到的。 性质讨论:不变的有定义域、值域、最值、周期 变化的有奇偶性、单调区间与单调性
61

数学必修 4 第一章三角函数教案

由上例和练习可以看出:在函数 y=sin(x+φ) ,x?R(φ?0)中, φ决定了 x=0 时的函数,通常称φ为初相,x+φ为相位。 【巩固深化,发展思维】 课堂练习:P52 练习第 3 题 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、课后反思

第二课时

y=sinx 和 y=sinωx 的图像, y=sinx 和

y=

Asin(ωx+φ)的图像 一、教学思路 【创设情境,揭示课题】 上一节课, 我们已过 y=sinx 和 y=Asinx 的图像, y=sinx 和 y =sin(x+φ)的图像间的关系,请与 y=Asin(ωx+φ)比较 一下,还有什么样的我们没作过? 【探究新知】 例一.画出函数 y=sin2x
1 x?R;y=sin 2

x

x?R 的图象(简图) 。
62

数学必修 4 第一章三角函数教案

解:∵函数 y=sin2x 令 t=2x 列表: t=2x x sin2x 作图: 0 0 0 则
t x= 2

周期 T=?

∴在[0, ?]上作图

从而 sint=sin2x

? 2 ? 4

?
? 2

3? 2 3? 4

2? ? 0

1

0

-1
y=sin 1 x

1y O ? 1 y=sin2x

?

?

2?

2?

4?? 3? 4

2

x

y=sinx

函数 列表

x 2 y=sin

周期 T=4?

∴在[0, 4?]上作图

x t= 2

0 0

? 2

? 2?

3? 2

2? 4?

x

?

3?

x 2 sin

0

1

0

-1

0

63

数学必修 4 第一章三角函数教案

配套练习:函数 什么关系?

2 y=sin 3

x 的图像与函数 y=sinx 的图像有

引导, 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较,结论: 1.函数 y=sinωx, x?R (ω>0 且ω?1)的图象,可看作把正弦
1

曲线上所有点的横坐标缩短 (ω >1) 或伸长 (0<ω <1)到原来的 ? 倍(纵坐标不变) 2.若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图。 由上例和练习可以看出:在函数 y=sinωx, x?R (ω>0 且ω?1) 中,ω决定了函数的周期 为频率。 例二.画出函数
? y=3sin(2x+ 3

2? T= ?

,通常称周期的倒数

1 f= T

? = 2?

)

x?R 的图象。 0
? ?6
? 2

解:周期 T=?(五点法) , 设
? t=2x+ 3

? 2x+ 3

?
? 3

3? 2 7? 12

2?
5? 6

t?

则 x=

3 ? t ?? 2 2 6

?

x 3sin(2x
? +3

?
12

0 )

3

0

-3

0

y=sin(2x+ ? )
3

y=sin(x+ ? )
3

64

数学必修 4 第一章三角函数教案

1y
?

? ?? 3 6

O ?1

?

5? ? 6

3?

4?

x

小结平移法过程(步骤)
作 y=sinx(长度为 2?的某闭区间) 沿 x 轴平 移|φ |个单位 得 y=sin(x+φ ) 横坐标伸 长或缩短 得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短 横坐标 伸长或缩短 得 y=sinω x 沿 x 轴平 移|

? |个单位 ?

得 y=sin(ω x+φ ) 纵坐标伸 长或缩短

得 y=Asin(ω x+φ )的图象,先在一 个周期闭区间上再扩充到 R 上。

65

数学必修 4 第一章三角函数教案

两种方法殊途同归 【巩固深化,发展思维】 教材 P58 练习 1、2、3 二、归纳整理,整体认识 (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 三、布臵作业:教材 P62 习题 2、3、4 四、课后反思 §8 同角三角函数的关系(1 课时)

教学目标: 知识与技能 ( 1)能根据三角函数的定义,导出同角三角函数的基本关系; (2)能正确运用进行三角函数式的求值运算; (3)能运用同角 三角函数的基本关系求一些三角函数(式)的值,并从中了解一 些三角运算的基本技巧; (4)运用同角三角函数的基本关系式进 行三角函数恒等式的证明。 过程与方法 回忆初中所学的几个三角函数之间的关系, 用高中所学的同角三
66

数学必修 4 第一章三角函数教案

角函数之间的关系试着进行证明; 掌握几种同角三角函数关系的 应用;掌握在具体应用中的一定技巧和方法;理解并掌握同角三 角关系的简单变形;提高学生恒等变形的能力,提高分析问题和 解决问题的能力。 情感态度与价值观 通过本节的学习,使同学们加深理解基本关系在本章中的地位; 认识事物间存在的内在联系, 使学生面对问题养成勤于思考的习 惯; 培养学生良好的学习方法, 进一步树立化归的数学思想方法。 二、教学重、难点 重点: 同角三角函数之间的基本关系,化简与证明。 难点: 化简与证明中的符号,同角三角函数关系的灵活运用。 三、学法与教学用具 在初中,学生已经见过同角三角函数之间的关系,在高中就要求 学生能对这些关系进行证明,最主要的还是在于运用。主要有三 方面的应用,即计算、化简、证明。正因为这样,本节课通过例 题讲评和学生练习的形式开展教学。 教学用具:投影机、三角板 四、教学思路 【创设情境,揭示课题】 同角三角函数之间的关系我们在初中就已经学过, 只不过当时应 用不是很多, 那么到底有哪些?它们成立的条件是什么?学习实 践中,你还发现了哪些关系?今天这节课,我们就来讨论这些问
67

数学必修 4 第一章三角函数教案

题。 【探究新知】 在初中我们已经知道,对于同一个锐角α,存在关系式:
sin ? ? cos ? ? 1
2 2

sin ? ? tan ? cos ?

理论证明: (采用定义)
1? ? x 2 ? y 2 ? r 2 y x , cos? ? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 r r ? sin ? y x y r y 2 ? 当? ? k? ? (k ? Z )时, ? ? ? ? ? ? tan? 2 cos? r r r x x 且 sin ? ?

注意:1?“同角”的概念与角的表达形式无关,
? 2 ? tan ? ? 2 cos 2 sin

如:

sin 2 3? ? cos2 3? ? 1

2?上述关系 (公式 2) 都必须在定义域允许的范围内成立。 3?据此,由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另两个三 角函数值,且因为利用“平方关系”公式,最终需求平方根,会 出现两解,因此应尽可能少用(实际上,至多只要用一次) 。 【巩固深化,发展思维】 1.例题讲评 例 1.已知 解: ∵ sin
2

3 sinα=- 5 ,且α在第三象限,求

cosα和 tanα.

? ? cos ? ? 1
2

3 16 ∴cos2α=1-sin2α=1-(- 5 )2= 25 4 ∴cosα=- 5

又∵α在第三象限,cosα<0

,tanα=

68

数学必修 4 第一章三角函数教案

sin ? cos ?

3 =4

例 2.已知 cos? ? m (m ? 0, m ? ?1), 求?的其他三角函数值。 解:若?在第一、二象限,则
sin ? ? 1 ? m 2 tan? ? 1 ? m2 m

若?在第三、四象限,则
sin ? ? ? 1 ? m
2

1 ? m2 tan? ? ? m

2 ? 例 3.化简: 1 ? sin 440

解:原式 ? 例

1 ? sin 2 (360 ? ? 80 ? ) ? 1 ? sin 2 80 ? ? cos 2 80 ? ? cos 80 ?

cos ? 1 ? sin ? ? 4.求证: 1 ? sin ? cos ?

证一:
?

左边 ?

cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) cos?(1 ? sin ?) ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) 1 ? sin 2 ? cos2 ?

1 ? sin ? ? 右边 cos ?

? 等式成立

(利用平方关系)
且 1 ? sin ? ? 0, cos? ? 0

2 2 证二:? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) ? 1 ? sin ? ? cos ?

?

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(利用比例关系)

cos? 1 ? sin ? cos2 ? ? (1 ? sin ?)(1 ? sin ?) cos2 ? ? (1 ? sin 2 ?) ? ? ? ? (1 ? sin ?) cos? (1 ? sin ?) cos? 证三: 1 ? sin ? cos?
? cos2 ? ? cos2 ? ?0 (1 ? sin ?) cos?
? cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?

(作差)

2.学生课堂练习 教材 P66 练习 1 和 P67 练习 2 五、归纳整理,整体认识
69

数学必修 4 第一章三角函数教案

(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到主 要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向 老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? 六、布臵作业 教材 P68 习题中 1—6 七、课后反思

本章复习与小结(1 课时) 洋浦实验中学 教学目标: 知识与技能 ( 1)了解本章的知识结构体系,在整体上有一个初步的认识; (2)加深对任意角、弧度及三角函数的理解; (3)掌握三角函 数的图像与性质,能利用性质进行解题; (4)掌握一定的解题方 法,形成较好的能力。 过程与方法 三角函数是一种重要的函数, 通过整理本章的各知识点以及它们 之间的联系,帮助学生系统地认识本章内容,从而对本章内容有 全面的认识,上升到更高一个水平;启发学生将本章内容与数学
70

吴永和

数学必修 4 第一章三角函数教案

1、数学 2 的横向联系,形成知识的网络化。 情感态度与价值观 通过本节的复习,使同学们对三角函数有一个全面的认识;以辩 证唯物主义的观点看待任何事,养成一种科学的态度;帮助学生 树立正确的世界观和人生观,树立远大理想,立志为国争光,为 洋浦的开发建设贡献力量。 二、教学重、难点 重点: 三角函数定义,以及三角函数的图像与性质 难点: 本章内容的系统掌握与灵活运用 三、学法与教学用具 师生共同整理本章的知识结构体系,从角到角的度量,从三角函 数的定义到它们之间的关系,再到三角函数的图像与性质;整理 本章出现的各种题目,从中理顺它们的关系,将它们适当归类, 提炼其中的方法,争取做到举一反三、触类旁通。 教学用具:投影仪、三角板 四、教学思路 【知识的初步整合】
同 角 三角 函 数的关系 诱导公式

任意角 的概念

角度制与 弧度制

任意角的三 角函数定义

三 角 函数 的 图像与性质

弧长与扇形 面积公式
71

数学必修 4 第一章三角函数教案

【知识的概括与引申】 1.角是由射线的旋转所产生的,那么就有旋转量与旋转方向的 问题,所以必须推广到任意正角、负角和零角。为了使弧长公式 在形式上变得简单,引进了弧度制,这一度量单位不仅使弧长公 式、扇形面积公式得以简化,也为定义任意角的三角函数作好了 准备。 2.同角三角函数的基本关系的作用是:已知某任意角的一种三 角函数值,就能求出另一种三角函数值。 3.诱导公式的作用是:把求任意角的三角函数值转化为求锐角 三角函数值。 4.三角函数的图像和性质是本章的重要内容,是三角函数应用 的基础。 【例题选讲】 例 1.求图中公路弯道处弧 AB 的长 l (精确到 1m)
60 R=45

72

数学必修 4 第一章三角函数教案

图中长度单位为:m 解: ∵ ∴
l ? ? ?R ?
60 ? ?

?
3

?
3

? 45 ? 3.14 ? 15 ? 47 (m)

已知?是第三象限角且 解:∵

cos

?
2

?0

? ,问 2

是第几象限角?

(2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ?

?
2

(k ? Z )

∴ 角 又∵

k? ?

?
2

?

?
2

? k? ?

3? 4

(k ? Z )

? 则2

是第二或第四象限

cos

?
2

?0

? 则2

是第二或第三象限角

? ∴2

必为第二象限角



sin ? ? 4 cos ? 及 sin 2 ? ? 2 sin ? cos ?的值。 sin ? ? 2 cos ? 5 sin ? ? 2 cos ? 3.已知 ,求

解:? sin ? ? 2 cos?
?

? tan? ? 2

sin ? ? 4 cos ? tan ? ? 4 ?2 1 ? ? ?? 5 sin ? ? 2 cos ? 5 tan ? ? 2 12 6

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ?

sin 2 ? ? 2 sin ? cos? tan2 ? ? 2 tan? 4 ? 2 6 ? ? ? 4 ?1 5 sin 2 ? ? cos2 ? tan2 ? ? 1



?? ? y ? t an? 3x ? ? 3 ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、 ? 4.函数

奇偶性、单调性。 解:由
3x ?

?
3

? k? ?

?
2



x?

k? 5? ? 3 18



73

数学必修 4 第一章三角函数教案

k? 5? ? ? ? , k ? z? ? x | x ? R, 且x ? 3 18 ? ? 所求定义域为 ?
T?

?
3 ,是非奇非偶函数。

值域为 R,周期

? k? ? k? 5? ? ? , ? ? ??k ? z ? 在区间 ? 3 18 3 18 ? 上是增函数。

【随堂练习】 【教学小结】

教材 P77 复习题一 A 组 1—11

本章涉及到的主要数学思想方法有那些?你在这节课中的表现 怎样?你的体会是什么?【布臵作业】 教材 P77 复习题一 A 组 12—15 【课后反思】

第二章 平面向量 2.1 从位移、速度、力到向量(1 课时)

一、教学目标:
74

数学必修 4 第一章三角函数教案

1.知识与技能 (1)理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别; (2)理解向量的实际背景与基本概念,理解向量的几何表示, 并体会学科之间的联系. (3)通过教师指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻 辑思维能力 2.过程与方法 通过力与力的分析等实例,引导学生了解向量的实际背景,帮助 学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示; 最后 通过讲解例题,指导学生能够发现问题和提出问题,善于独立思 考,学会分析问题和创造地解决问题. 3.情感态度价值观 通过本节的学习,使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一 个基本的认识;激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的 情操,培养学生坚忍不拔的意志,实事求是的科学学习态度和勇 于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的
75

数学必修 4 第一章三角函数教案

内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 实例:老鼠由 A 向西北逃窜,猫在 B 处向东追去, 问:猫能否追到老鼠?(画图) 结论:猫的速度再快也没用,因为方向错了. 【探究新知】 1.学生阅读教材思考如下问题 [展示投影](学生先讲,教师提示或适当补充) 1. 举例说明什么是向量?向量与数量有何区别? 既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等 注意:①数量与向量的区别: 数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 ②从 19 世纪末到 20 世纪初, 向量就成为一套优良通性的数学体 系,用以研究空间性质。 2.向量的表示方法有哪些? ①几何表示法:有向线段
a A(起点) B (终点) A B

有向线段:具有方向的线段叫做有向线段。记作: AB 注意:起点一定写在终点的前面。

? ??

76

数学必修 4 第一章三角函数教案
? ??

有向线段的长度:线段 AB 的长度也叫做有向线段 AB 的长 度 有向线段的三要素:起点、方向、长度 ②字母表示法:也可用字母 a、b、c(黑体字)来表示,即 AB 可 表示为 a (印刷时用黑体字) 3. 向量的模的概念是如何定义的? 向量 AB 的大小——长度称为向量的模。 记作:| AB |
? ?? ? ?? ? ??

模是可以比较大小的

4.两个特殊的向量: ①零向量——长度(模)为 0 的向量,记作 0 。 0 的方向是任意 的. 注意 0 与 0 的区别 ②单位向量——长度(模)为 1 个单位长度的向量叫做单位向 量。 思考:①温度有零上零下之分, “温度”是否向量? 答:不是。因为零上零下也只是大小之分。 ②
? ??

AB

与 BA 是否同一向量?

? ??

答:不是同一向量。 ③有几个单位向量?单位向量的大小是否相等?单位向 量是否都相等? 答:有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量 不一定相等。
77

数学必修 4 第一章三角函数教案

5.向量间的关系: 平行向量:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作: a ∥ b ∥ c 规定: 0 与任一向量平行 相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作: a = b 规定: 0 = 0 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与 起点无关。 共线向量:任一组平行向量都可移到同一条直线上 , 所以平行向量也叫共线向量。
a b c

C

O

B

A

? ??

OA = a

? ??

OB = b

OC = c

? ??

[展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例题:如图,设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,①分别写出图 中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量;②分别写出图中与向量 OD 、
OE 、 OE 共线的向量.
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

B O C

A

F
78

D

E

数学必修 4 第一章三角函数教案

[学习小结](学生总结,其它学生补充) ①向量及其表示方法. ②向量的模. ③零向量与单位向量 (零向量的方向任意; 单位向量不一定相等) ④相等向量与平行向量. 五.作业:P86 习题 2—1 六. 课后反思

79

数学必修 4 第一章三角函数教案

2.2 从位移的合成到向量的加法(2 课时)

一、教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握向量加法的概念;能熟练运用三角形法则和平行四边 形法则做几个向量的和向量; 能准确表述向量加法的交换律和结 合律,并能熟练运用它们进行向量计算. (2)了解相反向量的概念;掌握向量的减法,会作两个向量的 减向量 (3)通过实例,掌握向量加、减法的运算,并理解其几何意义.
80

数学必修 4 第一章三角函数教案

(4)初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法, 一方面启发我 们利用位移的合成去探索两个向量的和, 另一方面帮助我们利用 物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减 法;最后通过讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括 能力和逻辑思维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对向量加法的三角形法则和平行 四边形法则有了一定的认识, 进一步让学生理解和领悟数形结合 的思想;同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法,这样有助 于激发学生学习数学的兴趣和积极性, 实事求是的科学学习态度 和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 难点: 向量的减法转化为加法的运算. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想
81

数学必修 4 第一章三角函数教案

【创设情境】 提出课题:向量是否能进行运算? 某人从 A 到 B,再从 B 按原方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC
? ??

A

B

C

? ??

? ??

若上题改为从 A 到 B,再从 B 按反方向到 C, 则两次的位移和:
? ??

C A

B

AB

+ BC = AC

? ??

? ??

C

某车从 A 到 B,再从 B 改变方向到 C, 则两次的位移和: AB + BC = AC 船速为 AB ,水速为 BC , 则两速度和: AB + BC = AC 提出课题:向量的加法 【探究新知】 1.定义:求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。 注意:两个向量的和仍旧是向量(简称和向量) 2.三角形法则:
a C b a a
? ?? ? ??

? ??

? ??

A

B C

? ??

? ??

A

B

A a+b aB

A

b

B a+b

C

C a+b A

B

b

强调:
82

数学必修 4 第一章三角函数教案

① “向量平移” (自由向量) :使前一个向量的终点为后一 个向量的起点 ②可以推广到 n 个向量连加 ③a?0 ? 0?a ? a ④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 [展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 1、已知向量 a 、 b ,求作向量 a + b 作法:在平面内取一点, 作 OA ? a
? ?? ? ?? ? ? ??

O b

a

A b a

AB ? b
a

?

b

则 OB ? a ? b 【探究新知】

?

?

B
验证结果相同

3.加法的交换律和平行四边形法则 思考:上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同 从而得到:1?向量加法的平行四边形法则 2?向量加法的交换律: a + b = b + a 4.向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c )(可请学生先上来 做,不足之处学生更正) 证:如图:使 AB ? a ,
? ?? ? ?? ? ?? ? ? ??

D
? ? ?? ?

BC ? b , CD ? c
? ??

a+b+c

b+c a+b

c C b

则( a + b ) + c = AC ? CD ? AD
a+

A a

( b + c ) = AB ? BD ? AD

? ??

? ??

? ??

∴( a + b ) + c = a + ( b + c )

B

从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来
83

数学必修 4 第一章三角函数教案

进行。 [展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 2.如图,一艘船从 A 点出发以 2 3km / h 的速度 向垂直于对岸的方向行驶, 同时水的流速为 2km / h , 求船实际航行的速度的大小与方向。 解:设 AD 表示船垂直于对岸的速度, AB 的速度, 以 AD,AB 为邻边作平行四边形 ABCD,则 AC 就是船实际航行的速 度 在 Rt ?ABC 中, | AB |? 2 , | BC |? 2 3
2 2 所以 | AC |? | AB | ? | BC | ? 4 ? ?? ? ?? ? ??
? ?? ? ??
? ??
? ?? ? ??

表示水流

因为

tan?CAB ?

2 3 ? 3 ? ?CBA ? 60? 2

【探究新知】 思考:已知 a , b ,怎样求作 a ? b ? 这个问题涉及到两个向量相减,到底如何运算呢?首先引入“相 反向量”这个概念. 5.用“相反向量”定义向量的减法 ①“相反向量”的定义:与 a 长度相同、方向相反的向量;记作 ?a ②规定:零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0
84

?

?

?

?

数学必修 4 第一章三角函数教案

如果 a、b 互为相反向量,则 a = ?b, 0

b = ?a,

a + b =

③向量减法的定义: 向量 a 加上的 b 相反向量, 叫做 a 与 b 的差。 即:a ? b = a + (?b) 减法。 6.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算: 若 b + x = a,则 x 叫做 a 与 b 的差,记作 a ? b 7.请同学们自己解决思考题:
? ? a ? b 的作法:

求两个向量差的运算叫做向量的

方法一、已知向量 a 、 b ,在平 面 内 任 取 一 点
? ?? ? ? ?? ?
? ??

?

?

O , 作
? ?

OA ? a, OB ? b ,则 BA ? a ? b 。即 ? ? ? ? a ? b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量

方法二、 在平面内任取一点 O, 作 OA ? a, OB ? b 则 AB ? a ? b 。 即 a? b ? ? 也可以表示为从向量 a 的起点指向向量 b 的起点的向量.
? ?? ? ? ?? ?

? ??

? ? ??

?

? ??

?

?

?

?

方法三、在平面内任取一点 的平行四边形法则可得 OC ? [展示投影]思考与讨论:
?
? ??

O,作 OA ? a, OB ? ? b ,则由向量加法
?

a ? (? b ) ? a ? b .

?

?

?

思考:从向量 a 的终点指向向量 b 的终点的向量是什么?( b ? a )
a ∥ b 时, 讨论: 如右图, 怎样作出 a ? b ?

?

?

?

?

?

?

呢?
85

数学必修 4 第一章三角函数教案

[展示投影]例题讲评(学生讲,学生评,教师提示或适当补充) 例 3.已知向量 a、b、c、d,求作向量 a?b、c?d。 解:在平面上取一点 O,作 OA = a,
? ??

? ??

? ??

OB =

b,

OC =

? ??

c,

OD =

? ??

d, 作

BA

,

DC ,

? ??

则 BA = a?b,
b d c

? ??

DC =

? ??

c?d
A B D

a

O

C

例 4.平行四边形中, AB = a , AD = b ,用 a 、b 表示向量 AC D , DB . 解:由平行四边形法则得:
? ??

? ??

?

? ??

?

?

?

? ??

? ??

C

AC =

a + b,

? ??

DB = AB

? ??

- AD = a?b

? ??

A

B

86

数学必修 4 第一章三角函数教案

变式一: 当 a, b 满足什么条件时, a+b 与 a?b 垂直? (|a| = |b|) 变式二:当 a, b 满足什么条件时,|a+b| = |a?b|?(a, b 互 相垂直) 变式三:a+b 与 a?b 可能是相当向量吗?(不可能,∵ 方向不同) 对角线

例 5.试用向量方法证明:对角线互相平分的四边形是平行四边 形。 证:由向量加法法则:
? ??

D
? ?? ? ??

C O

AB

=

? ??

AO + OB ,
? ?? ? ??

? ??

DC = DO + OC
? ??

? ??

由已知: AO = OC , ∴
? ??

OB = DO

? ??

A

B

AB

= DC

? ??

即 AB 与 CD 平行且相等

∴ABCD 为平行四边形 [学习小结](学生总结,其它学生补充) ①向量加法的三角形法则与平行四边形法则. ②向量加法运算律. ③相反向量及向量减法的运算法则. 五、评价设计 1.作业:习题 2.2 A 组第 1、2、3、4、5、6 题. 2. (备选题) : ①证明:对于任意给定的向量 a.b 都有 ②证明:
a ? b ? a?b ? a ? b

a?b ? a ? b

并说明什么时候取等号?
87

数学必修 4 第一章三角函数教案

提示:可用例 5 的图当 a 、 b 不共线时,由三角形两边之和大于 第三边,而两边之差小于第三边得
a ? b ? AC ? AB ? BC ? a ? b
a ? b ? a?b ? a ? b

?

?



a ? b ? AC ? AB ? BC ? a ? b



六、课后反思:

2.3 从速度的倍数到数乘向量(2 课时)
88

数学必修 4 第一章三角函数教案

一、教学目标: 1.知识与技能 (1)要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义. (2)了解数乘运算的运算律,理解向量共线的充要条件。 (3)要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量 表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。 (4)通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件, 平面向量的基本定理有更深刻的理解, 并能用来解决一些简单的 几何问题。 2.过程与方法: 教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积(强调: 1. “模”与“方向”两点) 2.三个运算定律(结合律,第一分 配律,第二分配律) ) ,在此基础上得到数乘运算的几何意义;通 过正交分解得到平面向量基本定理(定理的本身及其实质) 。为 了帮助学生消化和巩固相应的知识,教材设臵了几个例题;通过 讲解例题,指导发现知识结论,培养学生抽象概括能力和逻辑思 维能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对实数与向量积以及平面向量基 本定理有了较深的认识, 让学生理解和领悟知识将各学科有机的 联系起来了,这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性,有
89

数学必修 4 第一章三角函数教案

助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 1. 实数与向量积的定义及几何意义. 2.平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示 难点: 1. 实数与向量积的几何意义的理解. 2. 平面向量基本定理的理解. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1.思考: (引入新课)已知非零向量 a (? a )+(? a )+(? a )
? a
O

?

作出 a + a + a 和

?

?

?

?

?

?

? a
A

? a
B

? a

? ?a
N

? ?a
M

? ?a
Q

? ?a

C P

? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? OC = OA ? AB ? BC = a + a + a =3 a ? ??

? ? ? ? PN = PQ? QM ? MN =(? a )+(? a )+(? a )=?3 a

? ??

? ??

? ??

讨论:① 3 a 与 a 方向相同且|3 a |=3| a | ② ?3 a 与 a 方向相反且|?3 a |=3| a |
90

?

?

?

?

?

?

?

?

数学必修 4 第一章三角函数教案

2. 从而提出课题: 实数与向量的积; 实数λ与向量 a 的积, 记作: λa
?

?

定义:实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a ①|λ a |=|λ|| a |
? ?

?

?

②λ>0 时λ a 与 a 方向相同;λ<0 时λ a 与 a 方向相反;λ=0 时 λ a = 0 (请学生自己解释其几何意义) [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生评, 教师提示或适当补充) 例 1.(见 P96 例 1)略 [展示投影] 思考:根据几何意义,你能否验证下列实数与向量的积的是否满 足下列运算定律(证明的过程可根据学生的实际水平决定) 结合律:λ(μ a )=(λμ) a
? ? ? ? ?
?

?

?

?

?

① ② ③

第一分配律:(λ+μ) a =λ a +μ a 第二分配律:λ( a + b )=λ a +λ b 结合律证明:
?

?

?

?

如果λ=0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则①式成立 如果λ?0,μ?0,a ? 0 有:|λ(μ a )|=|λ||μ a |=|λ||μ|| a | |(λμ) a |=|λμ||
? ? ? ? a |=|λ||μ|| a | ?
? ? ? ?

?

∴|λ(μ a )|=|(λμ) a | 如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与 a 同向; 如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与 a 反向。 从而λ(μ a )=(λμ) a
? ? ? ?

91

数学必修 4 第一章三角函数教案

第一分配律证明: 如果λ=0,μ=0, a = 0 至少有一个成立,则②式显然成立 如果λ?0,μ?0, a ? 0 当λ、μ同号时,则λ a 和μ a 同向, ∴|(λ+μ) a |=|λ+μ|| a |=(|λ|+|μ|)| a | |λ a +μ a |=|λ a |+|μ a |=|λ|| a |+|μ|| a |=(|λ|+|μ|)| a | ∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与 a 同向 即:|(λ+μ) a |=|λ a +μ a | 当λ、μ异号,当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λ a 同向 当λ<μ时 ②两边向量的方向都与μ a 同向 还可证:|(λ+μ) a |=|λ a +μ a | ∴②式成立 第二分配律证明: 如果 a = 0 ,b = 0 中至少有一个成立,或λ=0,λ=1 则③式显然成 立 当 a ? 0 , b ? 0 且λ?0,λ?1 时 1?当λ>0 且λ?1 时在平面内任取一点 O,
? 作 OA = a ? ? a OB 则 = +b
? ?? ? ??
? ??

?

?

?

?

?

?

?

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?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

B1 B

AB

? b =
? ??

? OA1 =λ a

? ??

? ?? ? A1 B1 =λ b

? ? OB1 ? λ a b +λ
? ??

O

A
? ??

A1

由作法知:
| OA1 |
? ?? ? ??

AB ∥ A1 B1 有?OAB=?OA1B1

? ??

|

? ??

AB |=λ| A1 B1 |

?

| A1 B1 | | AB |
? ??

? ??

?

∴ | OA |

λ

∴△OAB∽△OA1B1
92

数学必修 4 第一章三角函数教案

| OB1 |
? ??

? ??

?

∴ | OB | λ ?AOB=? A1OB1 因此,O,B,B1 向也相同 λ( a + b )=λ a +λ b
?

在同一直线上,| OB1 |=|λ OB |
?

? ??

? ??

OB1 与λ OB 方

? ??

? ??

?

?

B

当λ<0 时 可类似证明:λ( a + b )=λ a +λ b ∴ ③式成立

?

?

?

?

A1 O B1 A

【探究新知】 (师生共同分析向量共线的充要条件) 若有向量 a ( a ? 0 )、 b ,实数λ,使 b =λ a 的定义知: a 与 b 为共线向量
? ? ? ? ? ? ? ? ? a a a a b b b b 0 若 与 共线( ? )且| |:| |=μ,则当 与 同向时 =μ a ;
?
? ?

?

?

?

则由实数与向量积

?

? ? ? ? a b b 当 与 反向时 =?μ a

从而得:向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是:有且只有一个 非零实数λ,使 b =λ a . [展示投影]例题讲评(师生共同分析,学生动手做) 例 2. (见 P97 例 2)略 例 3.(P97 例 3 改编)如图: OA , OB 不共线,P 点在 AB 上,求 证:存在实数 ?.?且? ? ? ? 1 使 OP ? ? OA ? ? OB
? ?? ? ?? ? ??
? ?? ? ??

?

?

?

?

P

B O A

(证明过程与 P97 例 3 完全类似;略) 思考:由本例你想到了什么?(用向量证明三点共线)
93

数学必修 4 第一章三角函数教案

【巩固深化,加强基础】 1.见 P98 练习 1、2、3、4 题.
OA , OB 不共线, OB 表示 OP . AP =t AB (t?R)用 OA , 2.如例 3 图,
? ?? ? ??
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

【探究新知、展示投影】 1.思考: ①. 是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?且分解是 唯一? ②.对于平面上两个不共线向量 e1 , e2 是不是平面上的所有向量 都可以用它们来表示? 2.教师引导学生分析 设 e1 , e2 是不共线向量, a 是平面内任一向量
e1
a
?
M M O N B

e2
OM = λ 1 e1

C M

OA = e1

? OC = a = OM

+ ON = λ 1 e1 + λ

2 e2
OB = e2 ON =λ2 e2

得平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向 量,那么对于这一平面内的任一向量 a ,有且只有一对实数λ1, λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . [注意几个问题]: ① e1 、 e2 必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底. ② 这个定理也叫共面向量定理.
94

?

?

数学必修 4 第一章三角函数教案

③λ1,λ2 是被 a , e1 , e2 唯一确定的数量. ④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组 合. [展示投影]例题讲评(教师可从中选择几个例题让学生先做,学 生评讲,教师提示或适当补充; ) 例 4.1kg 的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图) , 已知两细绳与水平线分别成 30?, 60?角,问两细绳各受到多大的 力? 解:将重力在两根细绳方向上分解,两细绳间夹角为 90?
| OP | =1
? ??

?

(kg)

?P1OP=60? =0.5

?P2OP=30? (kg) (kg)
P2 P 30? 60? P1

1 ? ?? ? ?? | OP | | OP | ∴ 1 = cos60?=1? 2
? ??
? ??

| OP2 | = | OP | cos30?=1?

3 2 =0.87

即两根细绳上承受的拉力分别为 0.5 kg 和 0.87 kg 例 5.如图 ABCD 的两条对角线交于点 M,且
? ??

AB

? ? ?? ? a b AD = , = ,

? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? a MC b MB MA 用 , 表示 , , 和 MD

解:在 ABCD 中 ∵ AC =
? ??

D b A M B M

C M

? ??

? ??

? ? AB + AD = a + b
? ??

DB = AB

? ??

? AD = a ? b

? ??

?

?

a

1 ? 1 ?? ∴ MA =? 2 AC =? 2
? ??

1 1 ? ? ? ? a a b b 2 2 ( + )=? ? 1 1 1 ? ? MC = 2 AC = 2 a + 2 b
? ??

1 1 MB = 2 DB = 2
? ??

1 1 ? ? ? ? a a b b 2 2 ( ? )= ?

95

数学必修 4 第一章三角函数教案

1 1 1 ? ? ?? ? MD =? MB =? 2 DB =? 2 a + 2 b
? ?? ? ??

例 6. 如图,在△ABC

中, AB

? ??

? ?? ? ? a BC b = , = ,AD

为边 BC 的中线,G
? b

为△ABC 的重心,求向量 AG
A
? ??

解法 1:∵

? ??

AB

=

? a

,

? ??

BC

=



1 ? 1 ?? ? a BD = 2 BC = 2 b

b D C B 1 2 ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? M ? M ∴ AD = AB + BD = a + 2 b 而 AG = 3 AD

2 1 ? ? A3 b ∴ AG = 3 a +
? ??

E、 M F

B

a E G M b M D

F M C M

解法 2:过 G 作 BC 的平行线,交 AB、AC 于

∵ △ AEF ∽ △ ABC
? ??



2 2 ? ?? ? AE = 3 AB = 3 a
? ??

2 ? 2 ?? ? EF = 3 BC = 3 b

? ??

1 1 ? ? ?? EG = 2 EF = 3 b

2 1 ? ? ∴ AG = AE + EG = 3 a + 3 b
? ??
? ??

? ??



7. 设 e1 , e2 是两个不共线向量, 已知 AB =2 e1 +k e2 , 若三点 A, B, D 共线,求 k 的值.
? ??

? ??

? ??

CB = e1 +3 e2 ,

CD =2 e1 ? e2 ,
? ??

? ??

解: BD = CD ? CB =(2 e1 ? e2 )?( e1 +3 e2 )= e1 ?4 e2 ∵A, B, D 共线 ∴ AB , BD 共线
? 2?? ? ∴ ?k ? ?4?
? ?? ? ??

? ??

∴存在λ使 AB =λ BD ∴k=?8

? ??

? ??

即 2 e1 +k e2 =λ( e1 ?4 e2 ) 【巩固深化,发展思维】

96

数学必修 4 第一章三角函数教案

1. 在 2.已知

ABCD

? ? ?? ? ? ? a a AC b b BD 中, 设对角线 = , = 试用 , 表示 AB ,BC
? ??

ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,
? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ??

求证: OA + OB + OC + OD =4 OE . 3.见 P100 练习 1、2 题. [学习小结](学生总结,其它学生补充) ①数乘向量的几何意义理解.
? ? b ②向量 与非零向量 a 共线的条件是: 有且只有一个非零实数λ,
? ? b 使 =λ a .

③平面向量基本定理的理解及注意的问题. 五、评价设计 1.作业:习题 2.3 A 组第 4、5、6、7 题. 2.(备选题)如图,已知梯形 ABCD 中,AB∥CD 且 AB=2CD,M, N 分别是 DC, AB 中点, 设 AD = a ,
? ??
? ??

?

? ??

AB

=b , 试以 a ,

?

?

? ?? ? b 为基底表示 DC ,

BC , MN
? ??

? ??

1 1 ? ? ?? DC b 2 2 AB 解: = =
? ?? ? ??
? ??

连 ND 则 DC╩ND

D

1 ? ? a BC ND AN b 2 AD ∴ = = ? = ?
? ??

N M O M M

C M

A

1 ? 1 ?? ? ? ?? 又∵ DM = 2 DC = 4 b

B M

∴ MN = DN ? DM = CB ? DM =? BC ? DM
1 1 ? ? 1 ? ? ? =(? a + 2 b )? 4 b = 4 b ? a

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

3.体会向量在平面几何中的应用.
97

数学必修 4 第一章三角函数教案

六、课后反思:

98

数学必修 4 第一章三角函数教案

2.4 平面向量的坐标(2 课时)

一、教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握平面向量正交分解及其坐标表示. (2)会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算. (3)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.过程与方法 教材利用正交分解引出向量的坐标, 在此基础上得到平面向量线 性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示;最后通过讲解例题, 巩固知识结论,培养学生应用能力.
99

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们对认识到在全体有序实数对与坐 标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系 (即点或向量都 可以看作有序实数对的直观形象) ;让学生领悟到数形结合的思 想;培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 (回忆)平面向量的基本定理(基底)
? a =λ1 e1 +λ2 e2

其实质: 同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向 量的线性组合. 【探究新知】 (一) 、平面向量的坐标表示 1.在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考:在坐标系下,向量是否可以用坐标来表示呢?
100

数学必修 4 第一章三角函数教案

取 x 轴、 y 轴上两个单位向量 i , j 作基底,则平面内作一向量
a ? xi ? y j

记作: a =(x, y)
y A c O
? ??

?

称作向量 a 的坐标

?

? a

b

B

a = OA = 2i ? 2 j =(2, 2) x 如:

?

? ??

?? ? ? b = OB = 2i ? j =(2,

?1)

c = OC = i ? 5 j =(1,
C

?5) i =(1, 0) j =(0, 1) 0 =(0, 0)

由以上例子让学生讨论: ①向量的坐标与什么点的坐标有关? ②每一平面向量的坐标表示是否唯一的? ③两个向量相等的条件是?(两个向量坐标相等) [展示投影]思考与交流: 直接由学生讨论回答: 思考 1. (1)已知 a (x1, y1) 标 (2)已知 a (x, y)和实数λ,
?

?

? b (x2,

y2)

求 a + b , a ? b 的坐

?

?

?

?

?

求λ a 的坐标

?

解: a + b =(x1 i +y1 j )+(x2 i +y2 j )=(x1+ x2) i + (y1+y2) j 即: a + b =(x1+ x2,y1+y2) 同理: a ? b =(x1?x2, y1?y2) λ a =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λ a =(λx, λy)
101

? ?

?

?

?

?

?

数学必修 4 第一章三角函数教案

结论:①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标 的和与差. ②.实数与向量的积的坐标,等于用这个实数乘原来的向量相应 的坐标。 思考 2.已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 你觉得 AB 的坐标与 A、B 点的坐标有 什么关系? ∵
? ??

? ??

AB

= OB ? OA =(

? ??

? ??

x2, y2) ? (x1,y1)

A(x1, y1)

y B(x2, y2) O x

= (x2? x1, y2? y1) 结论:③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标。

[展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1.(教材 P104 例 2) 例 2. (教材 P104 例 3) 例 3. 已知三个力 F1 (3, 4),
F1 + F2 + F3 = 0 F2

(2, ?5), F3 (x, y) 的合力

求 F3 的坐标. 解:由题设 F1 + F2 + F3 = 0
?3 ? 2 ? x ? 0 ? 即: ?4 ? 5 ? y ? 0

得:(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0) ∴ F3 (?5,1)

? x ? ?5 ? ∴? y ?1

例 4.已知平面上三点的坐标分别为 A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4),求点 D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 解:当平行四边形为 ABCD 时, 仿例 2 得:D1=(2, 2)
D3 B D1 A O
102

y C

D2

x

数学必修 4 第一章三角函数教案

当平行四边形为 ACDB 时, 仿例 2 得:D2=(4, 6) 当平行四边形为 DACB 时, 仿例 2 得:D3=(?6, 0) 【巩固深化,发展思维】 1.若 M(3, -2) N(-5, -1) 且 解:设 P(x, y)
4 ? ?x ? 3 ? ? ?y?2? 1 ? 2 ?
MP ?
? ??

1 ? ?? 2 MN ,

求 P 点的坐标;
1 2

则(x-3,

1 y+2)= 2

(-8, 1)=(-4,
3 -2

)

? ? x ? ?1 ?y ? ? 3 2 ? ∴?

∴P 点坐标为(-1, C(3, 4) 则
? ??

)
? ??

2.若 A(0, 1), B(1, 2),

AB

?2 BC =(-3,-3) D(5, -3) 求

3.已知:四点 A(5, 1), B(3, 4), 证:四边形 ABCD 是梯形。 解:∵ AB =(-2, 3) ∴ AB ∥ DC
? ?? ? ??

C(1, 3),

DC =(-4,
? ??

? ??

6)

∴ AB =2 DC ∴四边形 ABCD 是梯形

? ??

? ??

? ??



| AB |?| DC |

? ??

【探究新知】 [展示投影]思考与交流:
? ? b 思考:共线向量的条件是有且只有一个实数λ使得 =λ a ,那么

这个条件如何用坐标来表示呢? 设 a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) 其中 b ? 0 由 a ? ?b 得
? x ? ?x2 ?? 1 ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ) ? y1 ? ?y2

消去λ: x1 y2 ? x2 y1 ? 0 ∵ b ? 0 ∴ x2 , y 2 中至少有一个不为 0
103

数学必修 4 第一章三角函数教案

结论: a ∥ b ( b ? 0 )用坐标表示为 x1 y2 ? x2 y1 ? 0 注意: ①消去λ时不能两式相除 ∵y1, y2 有可能为 0.

?

?

②这个条件不能写成

y1 y 2 ? x1 x 2

∵ x1 , x2 有可能为 0.
a ? ?b

? ? ? ③向量共线的两种判定方法: a ∥ b ( b ? 0 ) x1 y2 ? x2 y1 ? 0

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补 充) 例 5.如果向量 AB ? i ? 2 j, BC ? i ? mj, 其中i, j分别是x轴, y轴正方向上的单位 向量,试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线 解法 1.利用
? ??

? ? ?1 ? AB ? ? BC 可得 i ? 2 j ? ? (i ? m j) 于是 ??m ? ?2 得 m ? ?2
? ??

解法 2.易得 AB ? (1,?2).BC ? (1, m),由AB、BC共线得m ? 2 ? 0得m ? ?2 故当 m ? ?2 时,三点共线 例 6.若向量 a =(-1,x)与 b =(-x, 2)共线且方向相同,求 x
? ? a b 解:∵ =(-1,x)与 =(-x,
?

?

2) 共线

∴(-1)〓2-x(-x)=0 ∴x=
2

∴x=〒

2

? ? a b ∵ 与 方向相同

[学习小结](学生总结,其它学生补充) 【巩固深化,发展思维】 1.教材 P105 练习 1--5 2.已知 a ? (2,?1),b ? ( x,2), c ? (?3, y),且a // b // c, 求x, y的值 3.已知点 A(0,1) B(1,0) C(1,2) D(2,1) 求证:AB∥CD
104

数学必修 4 第一章三角函数教案

4.证明下列各组点共线:① A (1,2),B(-3,4), C(2,3.5) ② P (-1,2), Q(0.5,0), R(5,-6)
? ? ? ? a a b b 5.已知向量 =(-1,3) =(x,-1)且 ∥

求x .

[学习小结] (学生总结,其它学生补充) ①向量加法运算的坐标表示. ②向量减法运算的坐标表示. ③实数与向量的积的坐标表示. ④向量共线的条件. 五、评价设计 1.作业:习题 2--4 A 组第 1,2,3,7,8 题. 2. (备选题) :已知 A(-1, -1) B(1,3) C(1,5) D(2,7) 向量 AB 与
CD 平行吗?直线
? ??

? ??

? ??

AB 与平行于直线 CD 吗?
CD
? ??

解:∵ AB =(1-(-1), 3-(-1))=(2, 4) 又∵2〓2-4-1=0 ∴ AB ∥ CD
? ??

=(2-1,7-5)=(1,2)

? ??

又∵ AC =(1-(-1), 5-(-1))=(2,6) 2〓4-2〓6?0 ∴A,B,C 不共线 六、课后反思: ∴ AC 与 AB 不平行 ∴AB 与 CD 不重合
? ??
? ??

? ??

AB

=(2, 4)

∴AB∥CD

105

数学必修 4 第一章三角函数教案

106

数学必修 4 第一章三角函数教案

2.5 从力做的功到向量的数量积(2 课时)

一、教学目标: 1.知识与技能 (1)通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及 其物理意义、几何意义. (2)体会平面向量的数量积与向量投影的关系. (3)掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用. (4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系. 2.过程与方法 教材利用同学们熟悉的物理知识( “做功” )得到向量的数量积的 含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的 知识,教材设臵了 4 个例题;通过讲解例题,培养学生逻辑思维
107

数学必修 4 第一章三角函数教案

能力. 3.情感态度价值观 通过本节内容的学习, 使同学们认识到向量的数量积与物理学的 做功有着非常紧密的联系;让学生进一步领悟数形结合的思想; 同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积, 有助于激发学生 学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神. 二.教学重、难点 重点: 向量数量积的含义及其物理意义、几何意义;运算律. 难点: 运算律的理解 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法: (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 (学生阅读教材 P107—108,师生共同讨论) 思考:请同学们回忆物理学中做功的含义,问对 一般的向量 a 和 b,如何定义这种运算? 1.力做的功:W = |F|?|s|cos? ?是 F 与 s 的夹角 2.定义:平面向量数量积(内积)的定义,a?b = |a||b|cos?, 并规定 0 与任何向量的数量积为 0。?
? = 0? A B ? = 180? O B O A O ? B A A O ? B O A ? B O C A B
108

F
?

s

?

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.向量夹角的概念:范围 0?≤?≤180?

C

[展示投影] 由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别; 因此强调注 意的几个问题: ①两个向量的数量积是一个实数,不是向量,符号由 cos? 的符号所决定。 ②两个向量的数量积称为内积,写成 a?b;今后要学到两个 向量的外积 a〓b,而 ab 是两个数量的积,书写时要严格区分。 ③在实数中,若 a?0,且 a?b=0,则 b=0;但是在数量积中, 若 a?0,且 a?b=0,不能推出 b=0。因为其中 cos?有可能为 0.这 就得性质 2. ④已知实数 a、b、c(b?0),则 ab=bc ? a=c.但是 a?b = b
a

?c ? a = c 如右图:a?b = |a||b|cos? = |b||OA| b?c = |b||c|cos? = |b||OA| ?a?b=b?c 但 a ? c
O

??

c b A

⑤在实数中,有(a?b)c = a(b?c),但是(a?b)c ? a(b?c)
109

数学必修 4 第一章三角函数教案

显然,这是因为左端是与 c 共线的向量,而右端是 与 a 共线的向量,而一般 a 与 c 不共线. [展示投影]思考与交流: 思考与交流 1.射影的概念是如何定义的,举例(或画图)说明; 并指出应注意哪些问题.
B O b O O ? A B O b ? a B1 O B1 O O a O A B O b ? O (B ) 1 OO a A

定义:|b|cos?叫做向量 b 在 a 方向上的射影。 注意:①射影也是一个数量,不是向量。 ②当?为锐角时射影为正值; 当?为钝角时射影为负值; 当?为直角时射影为 0; 当? = 0?时射影为 |b|; 当? = 180?时射影为 ?|b|. 思考与交流 2.如何定义向量数量积的几何意义?由向量数量积 的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质 (学生讨论完 成,教师作必要的补充). 几何意义: 数量积 a?b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上投影|b|cos?
110

数学必修 4 第一章三角函数教案

的乘积。 性质:设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量。 ①e?a = a?e =|a|cos? ②a?b ? a?b = 0 ③当 a 与 b 同向时,a?b = |a||b|;当 a 与 b 反向时,a? b = ?|a||b|。 特别的 a?a = |a|2 或 | a |? a ? a ④cos?
a?b = | a || b | (|a||b|≠0)

⑤ |a?b|≤|a||b| 【巩固深化,发展思维】 判断下列各题正确与否: ① 若 a = 0 , 则 对 任 一 向 量 b , 有 a ? b = 0. ( √ ) ② 若 a ? 0 , 则 对 任 一 非 零 向 量 b , 有 a ? b ? 0. ( 〓 ) ③ 若 ( 〓 ) ④若 a?b = 0,则 a 、b 至少有一个为零. ( 〓 ) ⑤ ( 〓 ) ⑥若 a?b = a?c,则 b = c 当且仅当 a ? 0 时成立.
111

a

?

0 , a ? b

=

0 , 则

b

=

0.



a

?

0 , a ? b

=

a ? c , 则

b

=

c.

数学必修 4 第一章三角函数教案

( 〓 ) ⑦ 对 任 意 向 量 a 、 b 、 c , 有 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c). ( 〓 ) ⑧ ( √ ) [展示投影]思考与交流: 思考:根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义,你能否验 证下列向量的数量积是否满足下列运算定律 (证明的过程可根据 学生的实际水平决定) 1.交换律:a?b = b?a 证:设 a,b 夹角为?,则 a?b = |a||b|cos?,b?a = |b||a|cos? ∴a?b = b?a 2.数乘结合律:( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b) 证:若 ? = 0, 此式显然成立. 若 ? > 0, ( ? a) ?b = ? |a||b|cos?,
? (a?b)











a





a2

=

|a|2.

= ? |a||b|cos?,

a? ( ? b) = ? |a||b|cos?, 所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 若 ? < 0 , ( ? a) ? b =| ? a||b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?) = ? |a||b|cos?,
? (a?b)

= ? |a||b|cos?,

a? ( ? b) =|a|| ? b|cos(???) = ? ? |a||b|(?cos?)
112

数学必修 4 第一章三角函数教案

= ? |a||b|cos?。 所以( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b). 综上可知( ? a) ?b = ? (a?b) = a? ( ? b)成立. 3.分配律:(a + b) ?c = a?c 证:在平面内取一点 ∵a + b + b?c
? ??

A
? ??

O,作 OA =

a,

AB

=

a OC = b, ?1 ? A
1

? ??

?2 b

B

c,
c B
1

(即 OB )在

? ??

c 方向上的投影 O

C

等于 a、b 在 c 方向上的投影和,

即:|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2 ∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2 ∴c? (a + b) = c?a + c?b 即:(a + b) ?c = a?c + b?c.

[展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1.已知:
2

a ? 2, b ? 3, a与b的夹角为 1200 , 求(1)a ? b .(2) a ? b .
2 2 2

2

2

解: (1) (2)

a ? b ? a ? b ? 4 ? 9 ? ?5

a ? b ? (a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b ?

2

2

a ? 2 a b cos? ? b ? 7

2

2

b 都是非零向量,且 a ? 3b与7a ? 5b 垂直, 例 2.已知 a、

a ? 4b与7a ? 2b 垂直,求 a、 b 的夹角。

解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

① ②

两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹 角为?,

113

数学必修 4 第一章三角函数教案

则 cos?

a?b b2 1 ? ? 2 = | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60
A

D

例 3.用向量方法证明:菱形对角线互相垂直。 证:设 AB = DC = a , ∵ABCD 为菱形 ∴ AC ? BD = ∴ AC ? BD
? ??
? ?? ? ??

? ??

? ??

AD = BC =

? ??

C a b

b

∴|a| = |b|

? ??

? ??

(b + a)(b ? a) = b2 ? a2 = |b|2 ? |a|2 = 0

B

即菱形对角线互相垂直。 【巩固深化,发展思维】 1.教材 P109 练习 1、2 题 2. 教材 P111 练习 1、2、3、4、5 题 [学习小结] (学生总结,其它学生补充) ①有关概念:向量的夹角、射影、向量的数量积. ②向量数量积的几何意义和物理意义. ③向量数量积的五条性质. ④向量数量积的运算律. 五、评价设计 1.作业:习题 2.5 A 组第 3、4、5、6、7 题. 2. (备选题) : ①在ΔABC 中,设边 BC,CA,AB 的长度分别为 a,b,c,用向量 方法证明: a
2

? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A

②求证:平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。

114

数学必修 4 第一章三角函数教案
? ?? ? ?? ? ?? ? ??
? ??

解:如图: ABCD 中:
? ??
? ?? ? ??

AB ? DC , AD ? BC , AC = AB
? ?? ? ?? ? ??

? ??

+ AD

? ??

∴| AC |2=| AB + AD |2= AB 2+ AD 2+2 AB ? AD 而 BD = AB - AD
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

D

C

∴| BD |2=| AB - AD |2= AB 2+ AD 2-2 AB ? AD ∴ | |
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

A

? ??

B

? ??

AC

|2

+
? ??

|

? ??

BD

|2

=

2

? ??

AB

2+2

? ??

AD

2=

AB

|2+| AD |2+| BC |2+| DC |2

? ??

? ??

六、课后反思:

2.6 平面向量数量积的坐标表示(1 课时)

一.教学目标: 1.知识与技能 (1)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. (2)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个 平面向量的垂直关系. (3)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识. 2.过程与方法 通过本节课的学习, 让学生体会应用向量知识处理解析几何问题 是一种有效手段,通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式, 然后和同学一起总结方法,最后巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一
115

数学必修 4 第一章三角函数教案

个崭新的认识;提高学生迁移知识的能力. 二.教学重、难点 重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直 关系的坐标表示. 难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未 掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 [展示投影]引入: 请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共 线的坐标表示: 【探究新知】 平面两向量数量积的坐标又如何表示呢? 1. 推导坐标公式:设 a = (x1, y1),b = (x2, y2),x 轴上单 位向量 i,y 轴上单位向量 j,则:i?i = 1,j?j = 1,i?j = j ?i = 0. ∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j

∴a?b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i?j + x2y1i ?j + y1y2j2
116

数学必修 4 第一章三角函数教案

= x1x2 + y1y2 从而获得公式:a?b = x1x2 + y1y2 2.长度、角度、垂直的坐标表示 ①a = (x, y) ② 若
? ??

? A =

|a|2 = x2 + y2 (x1, y1) , B

? |a| = = (x2,

x2 ? y2

y2) , 则

AB

=

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

③cos?

a?b ? =| a |?|b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量 共线的坐标表示) 【巩固深化,发展思维】 1.设 a = (5, ?7),b = (?6, ?4),求 a?b 2.已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),求证:△ABC 是直角三角 形. 3.教材 P114 练习 1、2 题. 4.已知 a = (3, ?1),b = (1, 2),求满足 x?a = 9 与 x?b = ?4 的向量 x. [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1. 教材 P113 例 1. 例 2. 教材 P113 例 2. [展示投影]思考: 1.什么是方向向量? 2.怎样把一个已知向量转化为单位向量?
117

数学必修 4 第一章三角函数教案

[展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 3. 教材 P114 例 3. 【巩固深化,发展思维】 教材 P115 习题 A 第 1、2、3、4、5、6 题. [学习小结] ①a = (x, y) ? |a|2 = x2 + y2
x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

? |a| =
? ??

x2 ? y2

②若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则| AB |= ③cos?
a?b ? =| a |?|b|
x2 ? y2
2 2

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

④∵a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0 五、评价设计 1.作业:习题 2.6 B 组第 1,2,3,4 题. 2. (备选题) : ① 如图, 以原点和 A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB, 使?B B = 90?, 求点 B 和向量 AB 的坐标。 解:设 B 点坐标(x, ∵ OB ? AB 2y = 0 又∵| OB | = | AB | 10x + 4y = 29
? 7 3 ? x1 ? x2 ? ?x 2 ? y 2 ? 5x ? 2 y ? 0 ? ? ? 2 或? 2 ?? ? 3 7 10 x ? 4 y ? 29 ? ? y1 ? ? ? y2 ? ? 2 ? 2 ? 由
? ??
? ??

A
? ??

y),则 OB =

(x, y),

? ??

AB

= (x?5, y?2)

O

? ??

? ??

∴x(x?5) + y(y?2) = 0 即:x2 + y2 ?5x ?

∴x2 + y2 = (x?5)2 + (y?2)2 即:

118

数学必修 4 第一章三角函数教案

∴B

3 7 7 3 7 3 3 7 ? ?? ( , ) (? , ) ( ,? ) ( ? ,? ) 点坐标 2 2 或 2 2 ; AB = 2 2 或 2 2
? ??

②在△ABC 中, 为直角, 求 k 值。

AB

=(2, 3), AC =(1, k),且△ABC 的一个内角

? ??

解:当 A = 90?时, AB ? AC = 0,∴2〓1 +3〓k = 0 当 B = 90?时, (?1, k?3) ∴2〓(?1) +3〓(k?3) = 0 当 C =
3 ? 13 = 2
? ??

? ??

? ??

∴k =

?

3 2

AB

? BC =

? ??

0, BC = AC ? AB

? ??

? ??

? ??

= (1?2, k?3) =

∴k

11 =3

90?时, AC ? BC =

? ??

? ??

0,∴?1 + k(k?3) = 0

∴k

六、课后反思:

2.7 平面向量应用举例(2 课时)

一.教学目标: 1.知识与技能 (1)经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问 题与其它一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、 物理问题等的工具. (2)揭示知识背景,创设问题情景,强化学生的参与意识;发
119

数学必修 4 第一章三角函数教案

展运算能力和解决实际问题的能力. 2.过程与方法 通过本节课的学习,让学生体会应用向量知识处理平面几何问 题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具;和同 学一起总结方法,巩固强化. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了 一个初步的认识;提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实 际问题的能力. 二.教学重、难点 重点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的 平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题, 体会向量在几何、 物理中的应用. 难点: (体现向量的工具作用) ,用向量的方法解决某些简单的 平面几何问题、 力学问题与其它一些实际问题, 体会向量在几何、 物理中的应用. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法+探究式学习法 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未 掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想
120

数学必修 4 第一章三角函数教案

【探究新知】 [展示投影] 同学们阅读教材 P116---118 的相关内容思考: 1.直线的向量方程是怎么来的? 2.什么是直线的法向量? 【巩固深化,发展思维】 教材 P118 练习 1、2、3 题 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做) 例 1.如图,AD、BE、CF 是△ABC 的三条高,求证:AD、BE、CF 相交于一点。 证:设 BE、CF 交于一点 H,
? ??

A E

AB

= a,

? ??

AC =

b,

AH

? ??

= h,
? ??

F

H C

则 BH = h ? a , ∵ BH ? AC ,
? ??

? ??

CH

? ??

= h ? b ,

BC =

b ? a

? ??

CH

? ??

? AB

? ??

B

D

( h ? a) ? b ? 0 ? ? ? (h ? a) ? b ? (h ? b) ? a ? h ? (b ? a) ? 0 ∴ (h ? a) ? a ? 0?

∴ AH

? ??

? BC

? ??

又∵点 D 在 AH 的延长线上,∴AD、BE、CF 相交于一点 [展示投影]预备知识: 1.设 P1, P2 是直线 l 上的两点,P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一 点,存在实数λ,使 P1 P =λ PP2 有三种情况:
P1 P P2 P1 P2 P P P1 P2
121
? ?? ? ??

,λ叫做点 P

分 P1 P2

? ??

所成的比,

数学必修 4 第一章三角函数教案

λ>0(内分) (-1<λ<0) 注意几个问题:

(外分) λ<0 (λ<-1)

( 外分)λ<0

①λ是关键,λ>0 内分 若 P 与 P1 重合,λ=0 ②始点终点很重要,如 P λ=2

λ<0 外分 P 与 P2 重合 分 P1 P2
? ??

λ?-1 λ不存在 则P 分 P2 P1 的定比
? ??

1 的定比λ= 2

2.线段定比分点坐标公式的获得: 设 P1 P =λ PP2
? ?? ? ?? ? ??
2 点 P1, P, P2 坐标为(x1,y1) (x,y) (x2,y2)

P

由向量的坐标运算
P1 P =(x-x1,y-y1)
? ?? ? ??

P1

P

PP2

? ??

=( x2-x1, y2-y1)

O

∵ P1 P =λ PP2 即(x-x1,y-y1) =λ( x2-x1, y2-y1)
? x ? x1 ? ? ( x2 ? x) ? ∴ ? y ? y1 ? ? ( y 2 ? y)
? ?x ? ?? ?y ? ? x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?

定比分点坐标公式
x1 ? x 2 2 y1 ? y 2 y? 2 x?

3.中点坐标公式:若 P

是 P1 P2

? ??

中点时,λ=1

中点公式是定比分点公式的特例。 [展示投影]例题讲评(教师引导学生去做) 例 2.已知点 P( x,1).P1 (?1,?5).P2 (2,4).① 求点P分 P1 P2 的比?1及x的值
? ??

122

数学必修 4 第一章三角函数教案
? ??

②求点 P1分 P2 P的比?2的值。 解:①由 ②由
y? y? y1 ? ?1 y 2 ? 5 ? 4?1 x ? ?1 x2 ?1 得1 ? 解得?1 ? 2 ? x ? 1 1 ? ?1 1 ? ?1 1 ? ?1

x1 ? ?2 x2 2 ? ?2 3 得 ?1 ? 解得?2 ? ? 1 ? ?2 1 ? ?2 2

A(x1 , y).B( x. y).C( x, y), D是边AB的中点,G是CD 例 3. ?ABC的三个顶点分别为
CG ?2 上的一点,且 GD 求点

G 的坐标。
( x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ), 又CG ? 2GD 2 2

解: 由 D 是 AB 的中点, 所以 D 的坐标为
?x ? x3 ? 2 ?

x1 ? x2 y ? y2 y3 ? 2 ? 1 x ? x 2 ? x3 y ? y 2 ? y3 2 2 ? 1 ?y ? ? 1 1? 2 3 1? 2 3
( x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 , ) 3 3

即 G 的坐标为

————.重心坐标公式
P1
?

例 4.过点 P1(2, 3), PP2|=3, 求 P 点坐标 解:当 P 当P 内分 P1 P2
? ?? ? ??

P2(6, -1)的直线上有一点 P,使| P1P|:|



? ?3

O

?

P
? P2 ? P’

外分 P1 P2

时 ? ? ?3 当 ? ? 3 得

P(5,0)

当 ? ? ?3 得 P(8,-3) 例 5.如图,在平面内任取一点 O,设
P1 OP 1 ? a , OP 2 ? b ,? P 1 P ? OP ? a , PP 2 ? b ? OP , P 1 P ? ? PP 2
? ?? ? ? ?? ?

P2
? ??

? ??

? ??

? ? ??

?

? ?? ? ??

P

? ( OP ? a ) ? ? ( b ? OP ),? OP ?

? ??

?

?

? ??

? ??

1 ? ? ? a? b 1? ? 1? ?

O

这就是线段的定比分点向量公式。
? ??

特别当,当 P 为线段 P1P2 的中点时,有

OP ?

1 ? ? (a ? b) 2

123

数学必修 4 第一章三角函数教案

例 6.教材 P119 例 2. 例 7.教材 P119 例 3. 例 8.某人骑车以每小时 a 公里的速度向东行驶,感到风从正东 方向吹来,而当速度为 2a 时,感到风从东北方向吹来,试求实 际风速和方向。
B v?2a A v O P

解:设 a 表示此人以每小时 a 公里的速度向东行驶的向量, 无风时此人感到风速为?a,设实际风速为 v, 那么此时人感到的风速为 v ? a, 设 OA = ?a, OB = ?2a ∵ PO + OA = PA ∴ PA = v ? a,这就是感到由正北方向吹来的风 速, ∵ PO + OB = PB
? ?? ? ??
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

∴ PB = v ?2a,于是当此人的速度是原来的 2 倍
? ??

? ??

时所感受到由东北方向吹来的风速就是 PB , 由题意:?PBO = 45?, PA?BO, BA = AO 从而, △POB 为等腰直角三角形, ∴PO = PB = ∴实际风速是
2a 2a

即: |v | =

2a

的西北风

【巩固深化,发展思维】 1.教材 P119 练习 1、2、3 题. 2.已知平行四边形 ABCD 为
3 M(3, ), 2 则

9 A(? ,?7), B(2,6), 对角线的交 2 的两个顶点为

点 .

另外两个顶点的坐标为

21 , 10),(4, ? 3) (2
124

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.△ABC 顶点 A(1, 1), B(-2, 10), C(3, 7) BC 边于 D, 求 D 点 坐 标

?BAC 平分线交

.

41 (1, 5 )

[学习小结]:略 五、评价设计 1.作业:习题 2.7 A 组第 1、2、3、4 题. 2. (备选题) :①若直线 l : mx ? y ? 2 ? 0 与线段 AB 有交点,其中 A (-2,3) ,B(3,2),求 m 的取值范围. 解 : 设 l 交 有 向 线 段 AB 于 点 P ( x,y ) 且

AP ? ? (? ? 0,当 ? ? 0时直线过 A点) PB

? 2 ? 3? ? ?x ? 1 ? ? 2m ? 5 5 4 因P点在l上,故可得? ? ? 0, 得m ? 或m ? ? ? 3 ? 2? 3m ? 4 2 3 ? y? 1 ? ? ? 则可得

由于设 ? 时,无形中排除了 P,B 重合的情形,要将 B 点坐标代入
4 5 4 m ? ? , 故m ? 或m ? ? 3 2 3 直线方程得

②已知 O 为△ABC
? ?? ? ??

所在平面内一点,且满足| OA |2
? ??
? ?? ? ??

? ??

+ | BC |2 =
? ??

? ??

A

| OB |2 + | CA |2 = | OC |2 + | AB |2,求证: AB ? OC . 证:设 OA = a, 则 BC =
? ?? ? ?? ? ??

OB =
? ??

b,

OC =

? ??

c,
? ??

O B

c ? b,
? ??

CA =

a ? c, = OB 2
? ??

AB

= b ? a = OC 2
? ??

C

由题设: OA 2

+ BC 2

? ??

+ CA 2

? ??

+ AB 2,

? ??

化简:a2 + (c ? b)2 = b2 + (a ? c)2 = c2 + (b ? a)2
125

数学必修 4 第一章三角函数教案

得: 从而

c?b = a?c = b?a
? ??

AB

? OC =

? ??

(b ? a)?c = b?c ? a?c = 0 同理: BC ? OA ,
? ?? ? ?? ? ??

∴ AB ? OC

? ??

? ??

CA ? OB

? ??

六、课后反思:

126

数学必修 4 第一章三角函数教案

第二章 平面向量复习课(2 课时)
127

数学必修 4 第一章三角函数教案

[第一部分:知识归纳] 1.知识结构
向量的加法、减法 平面向量 向量地运算 数乘向量 向量的内积

用坐标表示向量的运算 两向量平行与垂直的条件 向量长度公式 基本公式 夹角公式 距离公式

向量在平面几 何中的应用 向量在解析几 何中的应用

向量在几何 中的应用

向量的应用 力向量 向量在物理 中的应用

速度向量

2.重要公式、定理 ①.平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线 向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数λ1, λ2 使 a =λ1 e1 +λ2 e2 . ②.
? ? ? a b b ? 0 向量共线的两种判定方法: ∥ ( ) x1 y2 ? x2 y1 ? 0 a ? ?b
?

?

③. a = (x, y)

?

|a|2 = x2 + y2

? |a| =
? ??

x2 ? y2

④.若 A = (x1, y1),B = (x2, y2),则 AB =

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

128

数学必修 4 第一章三角函数教案

⑤.cos?

a?b ? =| a |?|b|

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2 2

x2 ? y2

2

2

⑥.a?b ? a?b = 0 即 x1x2 + y1y2 = 0(注意与向量共线的 坐标表示) 3.学习本章应注意的问题及高考展望 ①.在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首 先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示, 然后选择适 当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转 化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系, 注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。 ②.向量是数形结合的载体,在本章的学习中,一方面通过数形 结合来研究向量的概念和运算; 另一方面, 我们又以向量为工具, 运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量 的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能, 丰富了 我们研究问题的范围和手段。 ③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质,这类题一般 难度不大,用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等 问题。 ④.以解答题出现的题目,一般结合其它数学知识,综合性较强, 难度大,以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本,掌 握双基,精读课本是关键. [第二部分:基础测试](供选用) 教材 P125—126 第 1、2、3 题
129

数学必修 4 第一章三角函数教案

[第三部分:应用举例](供选用) 例 1.如图△ABC 中,
? ??

C
? ??

AB

=

c, BC =

? ??

b a, CA = b,则下列推导 a A

不正确的是……………(



A.若 a?b < 0,则△ABC 为钝角三角形。 B.若 a?b = 0,则△ABC 为直角三角形。 C.若 a?b = b?c,则△ABC 为等腰三角形。 D.若 c? (a + b + c) = 0,则△ABC 为正三角形。

c a

B

解:A.a?b = |a||b|cos? < 0,则 cos? < 0,?为钝角 B.显然成立 C.由题设:|a|cosC = |c|cosA,即 a、c 在 b 上的投影 相等 D.∵a + b + c = 0, ∴上式必为 0,∴不能说明△ABC 为正三角形 例 2.设非零向量 a、b、c、d,满足 d = (a?c) b ? (a?b)c,求 证:a?d 证:内积 a?c 与 a?b 均为实数, ∴a?d = a? [(a?c) b ? (a?b)c] = a? [(a?c) b] ? a? [(a?b)c] = (a?b)(a?c) ? (a?c)(a?b) = 0 ∴a?d 例 3.已知|a| = 3,b = (1,2),且 a∥b,求 a 的坐标。 解:设 a = (x,y) 又:∵a∥b ∵|a| = 3 ∴
x2 ? y2 ? 3

…①

∴1?y ? 2?x = 0 …②
130

数学必修 4 第一章三角函数教案

? x? ? ? ? ?y ? ? 解之: ?

3 5 5 6 5 5

? 3 5 x?? ? ? 5 ? ?y ? ? 6 5 5 ? 或?

即:a =

3 5 6 5 , ( 5 5 )

或a = (

?

3 5 6 5 ,? 5 5

)

例 4.已知 a、b 都是非零向量, a + 3b 与 7a ? 5b 垂直,且 a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a 与 b 的夹角。 解:由(a + 3b)(7a ? 5b) = 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0 (a ? 4b)(7a ? 2b) = 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0 两式相减:2a?b = b2 代入①或②得:a2 = b2 设 a、b 的夹角为?,则 cos? 例 5.已知:|a| =
2 ,|b|

① ②

a?b b2 1 ? ? 2 = | a || b | 2 | b | 2

∴? = 60?

= 3,a 与 b 夹角为 45?,求使 a+ ? b

与 ? a+b 夹角为锐角的 ? 的取值范围。 解:由题设:a?b = |a||b|cos? = 3〓
2〓
2 2

= 3

(a+ ? b)?( ? a+b) = ? |a|2 + ? |b|2 + ( ? 2 + 1)a?b = 3 ? 2 + 11 ? + 3 ∵夹角为锐角 ∴
??

∴必得 3 ? 2 + 11 ? + 3 > 0

? 11? 85 ? 11 ? 85 ?? 6 6 或

例 6.a、b 为非零向量,当 a + tb(t?R)的模取最小值时,①求 t 的值;②求证:b 与 a + tb 垂直 解:① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b|
131

数学必修 4 第一章三角函数教案

∴当 t =

?

2a ? b a ?b ?? 2 | b | 时, 2|b|

|a + tb|最小
| b |2 a?b |b| =

② ∵b? (a + tb) = a?b ?

0

∴b 与 a + tb 垂直

例 7.证明:三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离 的两倍。
CB = a, 证: 设 AC = b, 则 AD = AC + CD =
? ?? ? ??
? ??

? ??

? ??

1 b+ 2

a,

? ??

EB ? EC ? CB =a
A

? ??

? ??

1 +2

b

∵A, G, D 共线,B, G, E 共线 ∴可设 AG =λ AD , EG = μ EB ,
1 则 AG =λ AD =λ(b+ 2
? ??
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

F G B

E

1 a)=λb+ 2

λa,

D

C

? ??

EG =
? ??

μ EB =
? ??

? ??

1 μ( 2

1 b+a)= 2

μb+μa, b +
1 (2

∵ AE ? EG ? AG
1 ∴(μ? 2

? ??

1 即: 2 1 (2

μb+μa) ∵a,

1 =λb+ 2

λa

λ)a +

1 μ?λ+ 2

)b = 0

b 不平行,

2 1 ? ? ?? ? 3 ? ? ? 2? ? 0 ?? ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? 0 ?? ? 2 3 ? ∴ ?2
? ??

? ??

2 ? ?? AG = 3 AD
? ??

例 8.设

AB

=

2 2

(a+5b),BC =?2a

? ??

+

8b,CD =3(a

?b), 求证: A,B,D

三点共线。 证: AD = AB + BC + CD = = (1+
2 2
? ?? ? ??

? ??

? ??

2 2 2 2

(a+5b) + ( ?2a + 8b) + 3(a ?b) )b = (1+
2 2

)a + (5 + 5

)(a + 5b)
132

数学必修 4 第一章三角函数教案

而 AB =
? ??

? ??

2 2

(a+5b)
? ??

∴ AD = (

? ??

2+

1) AB

又∵ AD ,

AB

有公共点

∴A,B,D 三点共线

例 9.已知:A(1,?2),B(2,1),C(3,2),D(?2,3),①求证:A, B,C 三点不共线 ②以
? ??

AB

、 AC 为一组基底来表示 AD + BD + CD
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

解:①∵

AB

=(1,3),

? ??

AC =(2,4)

∵1〓4?3〓2?0 ∴

? ??

? ??

AB

AC

∴A,B,C 三点不共线 ② AD + BD + CD =(?3,5)+(?4,2)+(?5,1) = (?12,8) 设: AD + BD + CD = m AB + n AC 即:(?12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
?? 12 ? m ? 2n ? m ? 32 ?? ? 8 ? 3 m ? 4 n ?n ? ?22 ∴?
? ?? ? ?? ? ?? ? ??

? ??

? ??

∴ AD + BD + CD = 32 AB ?22 AC

? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

例 10.求证:|a + b |≤|a| + |b| 证:|a + b |2 = (a + b)2 = |a|2 + |b|2 + 2a?b = |a|2 + |b|2 + 2|a||b|cos? ≤ |a|2 + |b|2 + 2|a||b| = ( |a| + |b| )2 即:|a + b |≤|a| + |b| 例 11.设作用于同一点 O 的三个力 F1、F2、F3 处于平衡状态, 如果| F1|=1,|F2|=2,F1 与 F2 ②.∠F3OF2 的大小. 解:①F1、F2、F3 三个力处于平衡状态,故 F1+F2+F3=0,即 F3= -(F1+F2).
133

2? 的夹角为 3

.求①.F3 的大小;

数学必修 4 第一章三角函数教案

∴| F3|=| F1+F2|=

( F1 ? F2 ) 2 ? F1 ? F2 ? 2 F1 ? F2

2

2

? 1 ? 4 ? 2 ? 1 ? 2 cos

2? ? 3 3

②如图:以 F2 所在直线为 x 轴,合力作用点为坐标原点,建立
y

直角坐标系.将向量 F1、F3 正交分解,设∠F3OM= ? 由受力平衡知
2? ? ?| F3 | cos? ? | F1 | cos(? ? 3 ) ?| F2 | ? 2? ? ? | F3 | sin ? ?| F1 | cos( ? ) 3 2 ?
F1 M N F2 F3 Q x P

解之得
?? ?
6

于是 ∠F3OF2
?? ?

?
6

?

5? 6

作业设计: 1、 写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有 何计划. 2、完成教材 P126---127 中 A 组习题第 4---14 题. 3、 (选做)复习题 2 的 B、C 组试题. [课后反思]

134

数学必修 4 第一章三角函数教案

平面向量试题(供选用) (时间 120 分钟,满分 150 分 ;) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分,把答案填到第二卷对应空格 中)
B A C
135

D

O

数学必修 4 第一章三角函数教案
? ?? ? ? ?? ?

1.如图在平行四边形 ABCD
? ?? ? ? ?? ?

中 OA ? a, OB ? b ,

OC ? c , OD ? d , 则下列运算正确的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? d ? 0 a ? b ? c ?d ?0 A、 B、

C、 a ? b ? c ? d ? 0

?

?

?

?

?

D、 a ? b ? c ? d ? 0 )

?

?

?

?

?

2.下面给出的关系式中正确的个数是( ①

? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a ?b a ? a 0? a ? 0 ② a ? b ? b ? a ③ ④ (a ? b )c ? a(b ? c ) ⑤

A、 0

B、1

C、 2

D、 3 ) D、

3.已知 A(2,1),B(3,2),C(-1,5),则ΔABC 的形状是( A、锐角三角形 任意三角形 B、直角三角形

C、钝角三角形

4.已知 P(4,-9),Q(-2,3)且 y 轴与线段 PQ 的交点为 M, 则 M 分 PQ 所成的比是( A、 2 ) C、 1/2 ) B、
? ? ? ? ? a // b ? a在b 上的投影为a

? ??

B、 3

D、 1/3

5.下列命题中真命题是(
? ? ? ? ? ? a ? b ? 0 ? a ? 0或b ? 0 A、

C、

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ?b ? a ?b

? ?2

? ? ? ? ? ? a D、 ? c ? b ? c ? a ? b
a, b共线的有(e1 , e2不共线) .

6. 下 面 向 量
a ? e1 ? e2,  b ? ?2e1 ? 2e2,



a ? 2e1,  b ? ?2e2;



b ? 2e1 ? 2e2 b ? e1 ? 0.1e2, ③ a ? 4e1 ? 0.4e2,  ④ a ? e1 ? e2, 

A、①③④
? ?

B、②③④

C、②③

D、①②③④ )

7.已知 a ,b 为两个单位向量,下列四个命题中正确的是( A、 a 与 b 相等
? ?

B、如果 a 与 b 平行,那么 a 与 b 相等
136

?

?

?

?

数学必修 4 第一章三角函数教案
? ? ? ? ? ? ? ?

C、 a 与 b 共线

D、如果 a 与 b 平行,那么 a = b 或 a =- b

8.设 e1 , e2 为两不共线的向量,则 a ? e1 ? ?e2 与 b ? ??2e2 ? 3e1 ?共线的 条件是( A、
??
3 2

) B、
??
2 3

C、

???

2 3

D、

???

3 2

9.下列说法中正确的序号是(



①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底; ②两个非零向量平行,则他们所在直线平行; ③零向量不能作为基底中的向量; ④两个单位向量的数量积等于零。 A、①③ B、②④ C、③ D、②③
P1 P ? 2 PP2
? ?? ? ??

10.已知 P1 ?2,?1?, P2 ?0,5?且点 P 在 P1P2 延长线上, 使 坐标是( A、(-2,11) )
4 B、( 3

, 则点 P

,3)

C、

2 (3

,3)

D、(2,-7)

11. 已 知 ?A B C 的 三 个 顶 点 A 、 B 、 C 及 平 面 内 一 点 P , 且
? ??

PA ? PB ? PC ? AB ,则点

? ??

? ??

? ??

P 与 ?ABC 的位臵关系是( B、P 在 ?ABC 外部 D、P 在 AC 边上
?



A、P 在 ?ABC 内部 C、P 在 AB 边上或其延长线上
?

12.已知向量 a =(2cos ? ,2sin ? ) ,向量 b =(3cos ? 向 量 a 与 向 量 b 的 夹 角 为 60 , 则 直 线
( x ? co s? ) 2 ? ( y ? s i n? ) 2 ? 1 2 的位臵关系为(
? ?
0

,3sin ? ) ,
1 ?0 2

x co s? ? y s i n ??

与圆


137

数学必修 4 第一章三角函数教案

A、相交(

B、相切
? ? a ? 3, b ? (1,2)

C、相离

D、无法判断

二、填空题(每题 4 分,共 16 分) 13. 已 知 向 量
? ? ? a , 且 ?b , 则 a 的 坐 标 是

_________________. 14. 若
? ? ? ? ? a 2 ? 1, b 2 ? 2, a ? b ? a ? 0

?

?

, 则

? ? a与b

的 夹 角 为

__________________. 15. Δ ABC 中, A(1,2),B(3,1), 重心 G(3,2) ,则 C 点坐标为 ________________. 16. 已 知 a = ( 4 , 2 ) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标 是 .
B C
? ?

三、解答题(共 74 分,应有必要的解题步骤) 17.如图,已知 OA, OB 不共线,点 C 满足 CB
? ?? ? ??
? ??

? ?? ? ??

? ??

? 2 AC ,
O

? ??

试以 OA, OB 为基底表示 OC 并画出表达式的图形。 (10

分)

A

138

数学必修 4 第一章三角函数教案

? ? ? ? ? ? ? a ? 3 e ? 2 e , b ? 4e1 ? e2 , 其中e1 ? (1,0),e2 ? (0,1) 1 2 18.已知向量

求①

? ? ? ? a ? b; a ? b

的值;

? ? a b ② 与 的夹角。 (14 分)

19.已知四边形 ABCD 的顶点分别为 A(2,1),B(5,4),C(2,7), D(-1,4)
139

数学必修 4 第一章三角函数教案

求证:四边形 ABCD 为正方形。 (12 分)

(0 ? ? ? ? ? ? ) 是平面上的两个向量 20.设 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? )  

140

数学必修 4 第一章三角函数教案

求证: a ? b与a ? b 垂直. (12 分)

21. 已知直线 l1 : 3x ? 4 y ? 12 ? 0 和 l 2 : 7 x ? y ? 28 ? 0 ,用向量的方法 求直线 l1 与 l 2 的夹角.(12 分)

141

数学必修 4 第一章三角函数教案

22.如图,海轮以 30 海里/小时的速度航行,在 A 点测的海面上 油井 P 在南偏东 60 度,向北航行 40 分钟后到达 B 点,测的油井 P 在南偏东 30 度,海轮改为北偏东 60 度航行 80 分钟到达 C 点, 求 PC 之间的距离。 (14 分)
北 C
142

B

数学必修 4 第一章三角函数教案

第三章 三角恒等变形 3.1 两角和与差的三角函数(两课时) 3.1.1 两角差的余弦函数 3.1.2 两角和的 正、余弦函数

一.教学目标: 1.知识与技能 (1)能够推导两角差的余弦公式;
143

数学必修 4 第一章三角函数教案

(2)能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两 角和的正、余弦公式; (3)能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明; (4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (5)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学 生的参与意识. 2.过程与方法 通过创设情境:通过向量的手段证明两角差的余弦公式,让学生 进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函 数,然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余 弦公式;讲解例题,总结方法,巩固练习. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全 新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思 维的能力. 二.教学重、难点 重点: 公式的应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主性学习法:通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法:通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的 过程.
144

数学必修 4 第一章三角函数教案

(3)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情境】 思考:如何求 cos(45-30)0 的值. 【探究新知】 1. 思考:如何用任意角α与β 的正弦、 余弦来表示 cos(α-β)? 你认为会是 cos(α-β)=cosα-cosβ吗? [展示课件]在直角坐标系作出单位圆, 利用向量的方法求解 (如 教材图 3.1). 学生思考:以上推导是否有不严谨之处? 教师引导学生分析其中的过程发现: 上述证明仅仅是对α与β为 锐角的情况,但α与β为任意角时上述过程还成立吗? 当α -β是任意角时,由诱导公式总可以找到一个角θ∈ [0,2 π) ,使 cosθ=cos(α-β) 若θ∈[0,π θ=cos(α-β) 若θ∈[π,2π),则 2π -θ∈[0,π ],且 OA ? θ)=cosθ=cos(α-β). 结论归纳: 对任意角α与β都有 cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ? 这个公式称为:差角的余弦公式 C? ??
145
? ?? ? ??

],则 OA ? OB =

? ??

? ??

cos

OB =cos(2π-

数学必修 4 第一章三角函数教案

注意:1.公式的结构特点 2.对于α,β,只要知道其正弦或余弦,就可以求出 cos(α-β) [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1.利用差角余弦公式求 cos 15 的值 分析: cos 15 = cos (45 ? 30) = cos (60 ? 45) = cos (135? 120)
0 0

0

0

0

思考:你会求 sin 75 的值吗? 例 2.已知 cos
? ??
3 5

0

,

? ? ? ( ,? )
2

,求 cos

(

?
4

??)

的值.

【巩固深化,发展思维】 1.cos 175 〃cos 55 +sin 175 〃sin 55 =
0
0

0

0

. .
? 2

0 0 0 0 2.cos (? ? 21 ) 〃 cos (? ? 24 ) +sin (? ? 21 ) 〃 sin (? ? 24 ) =

3.已知

1 sin??sin?=? 2

1 ,cos??cos?= 2

,??(0,

? 2 ),??(0,

),

求 cos(???)的值. [展示投影]思考: 如何利用差角余弦公式导出下列式子: cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ? sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos ? 〃sin ? sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos ? 〃sin ? (可让学生自己讲解,教师只是适当点拨而已) [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 3.已知 sin
??
4 5



? ? ? ( ,? )
2

, cos

? ??

5 3? , ? ? (? , ), 13 2 求

cos (? ? ? ) ,

sin (? ? ? ) 的值.
146

数学必修 4 第一章三角函数教案

思考题:已知 ? 、 ? 都是锐角 , cos cos ? . [学习小结]

??

4 5

, cos

(? ? ? ) ? ?

5 , 13 求

①.两角差的余弦公式:cos (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? +sin ? 〃sin ?
C? ??

②.两角和的余弦公式:cos (? ? ? ) = cos ? 〃cos ? - sin ? 〃sin ?
C? ? ?

两角和的正弦公式: sin (? ? ? ) =sin ? 〃cos ? ? cos ? 〃sin ?
S? ? ?

两角差的正弦公式: sin (? ? ? ) =cos ? 〃cos ? -cos ? 〃sin ?
S? ? ?

③.注意公式的结构特点 五、评价设计 1.作业:习题 3.1 A 组第 1,2,3 题. 2. (备选题) :求证:cos?+
1 证一:左边=2( 2
3 sin?=2sin( 6

?

+ ?) sin?)

cos?+

3 2

? sin?)=2(sin 6

? cos?+cos 6

? =2sin( 6

+?)=右边
? cos?+cos 6

(构造辅助角)
1 sin?)=2( 2

? 证二:右边=2(sin 6

cos?+

3 2

sin?)

= cos?+

3 sin?=左边

3、进一步理解这四个公式的特点.
147

数学必修 4 第一章三角函数教案

六、课后反思:

148

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.1.3 两角和与差的正切函数(1 课时) 一、教学目标: 1、知识与技能 (1)能够利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的 正切公式; (2)能够运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明; (3)揭示知识背景,引发学生学习兴趣; (4)创设问题情景,激发学生分析、探求的学习态度,强化学 生的参与意识. 2、过程与方法 借助两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式, 让学生进一步体会各个公式之间的联系及结构特点;讲解例题, 总结方法,巩固练习. 3、情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对两角和与差的三角函数有了一个全 新的认识;理解掌握两角和与差的三角的各种变形,提高逆用思 维的能力. 二、教学重、难点
149

数学必修 4 第一章三角函数教案

重点: 公式的应用. 难点: 公式的推导. 三、学法与教学用具 学法:(1)自主性学习+探究式学习法:通过通过类比分析、探 索、掌握两角和与差的正切公式的推导过程。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距。 教学用具:电脑、投影机 四、教学设想 【探究新知】 1.两角和与差的正切公式 T?+? ,T???

问:在两角和与差的正、余弦公式的基础上,你能用 tan?,tan? 表示 tan(?+?)和 tan(???)吗?(让学生回答) [展示投影] ∵cos (?+?)?0 tan(?+?)=
sin( ? ? ? ) sin? cos ? ? cos? sin ? ? cos( ? ? ? ) cos? cos ? ? sin? sin ?

分子分母同时除以 cos?cos?得:

tan(?+?)=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

当 cos?cos??0 时

以??代?得:

tan(???)=

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

2.运用此公式应注意些什么?(让学生回答) [展示投影] 注意:1?必须在定义域范围内使用上述公式。即:
150

数学必修 4 第一章三角函数教案

tan?, tan?, tan(?〒?)只要有一个不存在就不能使用这个公式, 只能(也只需)用诱导公式来解;2?注意公式的结构,尤其是符 号。 ) [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 1.求 tan15?,tan75?及 cot15?的值:
3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3 1?

解:1? tan15?= tan(45??30?)=
1?

2? tan75?= tan(45?+30?)= 3? cot15?= cot(45??30?)= 例 2.(见课本 P134 例 1) 例 3.已知

3 3 ? 3 ? 3 ? 12 ? 6 3 ? 2 ? 3 6 3 3? 3 1? 3
1? 3 3 ?1 ? 4?2 3 ? 2? 3 2

(为什么?)

1 tan?= 3 ,tan?=?2

求 cot(???),并求?+?的值,其

中 0?<?<90?,

90?<?<180?.
1 ? tan ? tan ? 1 1 ? ? tan(? ? ? ) tan ? ? tan ? 7

解:cot(???)=

∵ tan(?+?)=

tan? ? tan ? ? 1 ? tan? tan ?

1 ?2 3 ? ?1 1 1 ? ? (?2) 3

又∵0?<?<90?, 90?<?<180? ∴?+?=135? 例 4.

∴90?<?+?<270?

求 下 列 各 式 的 值 : 1?

1 ? tan 75? 1 ? tan 75?

2?tan17?+tan28?+tan17?tan28?
151

数学必修 4 第一章三角函数教案

tan 45? ? tan 75? ? tan(45? ? 75? ) ? tan120? ? ? 3 ? ? 解:1?原式= 1 ? tan 45 tan 75 tan( 17? ? 28? ) ? tan17? ? tan 28? 1 ? tan17? tan 28?

2? ∵ ∴

tan17?+tan28?=tan(17?+28?)(1?tan17?tan28?)=1?

tan17?tan28? ∴原式=1? tan17?tan28?+ tan17?tan28?=1 [展示投影]练习 教材 P135 第 1、2、3、4 题. [学习小结] 1.必须在定义域范围内使用上述公式。即:tan?,tan?,tan(? 〒?)只要有一个不存在就不能使用这个公式,只能(也只需)用 诱导公式来解; 2.注意公式的结构,尤其是符号。 五、评价设计 作业:习题 3.1 A 组第 4、5、6、7、8 题. 六、课后反思:

3.2 二倍角的正、余弦和正切 一.教学目标: 1.知识与技能

3.3 半角的三角函数(两课时)

(1)能够由和角公式而导出倍角公式; (2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明,增强学生灵
152

数学必修 4 第一章三角函数教案

活运用数学知识和逻辑推理能力; (3)能推导和理解半角公式; ( 4)揭示知识背景,引发学生学习兴趣,激发学生分析、探求的 学习态度,强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力. 2.过程与方法 让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式, 领会从一般 化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学 数学的兴趣;通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所学知 识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新 的认识;理解掌握三角函数各个公式的各种变形,增强学生灵活 运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的 能力. 二.教学重、难点 重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己由和角公式导出倍角 公式,领会从一般化归为特殊的数学思想,体会公式所蕴涵的和 谐美,激发学生学数学的兴趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的
153

数学必修 4 第一章三角函数教案

内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【探究新知】 1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式: 2、提出问题:公式中如果 ? ? ? ,公式会变得如何? 3、让学生板演得下述二倍角公式:
sin 2? ? 2 sin ? cos?
tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ?

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 注意:1.每个公式的特点,嘱记:尤其是“倍角”的意义是相
? ? 对的,如: 4 是 8 的倍角.

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角—— 升次) 3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2

这两个形式今后常用.

[展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补 充)

例 1.(公式巩固性练习)求值:
1 2 sin 45? ? 4 ①.sin22?30’cos22?30’= 2
154

数学必修 4 第一章三角函数教案

②. ③. ④.

2 cos 2

? ? 2 ? 1 ? cos ? 8 4 2

sin 2

? ? ? 2 ? cos 2 ? ? cos ? ? 8 8 4 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 cos cos cos ? 4 sin cos cos ? 2 sin cos ? sin ? 48 48 24 12 24 24 12 12 12 6 2

8 sin

例 2.化简 ①. ②.
(sin 5? 5? 5? 5? 5? 5? 5? 3 ? cos )(sin ? cos ) ? sin 2 ? cos2 ? ? cos ? 12 12 12 12 12 12 6 2
? ? ? ? ? ? ? sin 4 ? (cos 2 ? sin 2 )(cos 2 ? sin 2 ) ? cos ? 2 2 2 2 2 2

cos 4

1 1 2 tan ? ? ? ? tan 2? 2 ③. 1 ? tan ? 1 ? tan ? 1 ? tan ?

④. 1 ? 2 cos 例 3、已知

2

? ? cos2? ? 1 ? 2 cos2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 2
5 ? , ? ? ( , ?) 13 2 ,求 5 ? , ? ? ( , ?) 13 2

sin ? ?

sin2?,cos2?,tan2?的值。 ∴
cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ?
120 169

解:∵

sin ? ?

12 13

∴sin2? = 2sin?cos? = cos2? = tan2? =
1 ? 2 sin 2 ? ?
120 119

?

119 169

?

[展示投影]思考:你能否有办法用 sin?、cos?和 tan?表示多倍 角的正弦、余弦和正切函数?你的思路、方法和步骤是什么?试 用 sin?、cos?和 tan?分别表示 sin3?,cos3?,tan3?. [展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充)
155

数学必修 4 第一章三角函数教案



4.

cos20?cos40?cos80?

=

1 sin 40 ? cos 40 ? cos 80 ? sin 20? cos 20? cos 40? cos80? 2 ? sin 20 ? sin 20?
1 1 sin 160 ? sin 80 ? cos 80 ? 1 8 4 ? ? ? ? ? 8 sin 20 sin 20
2 例 5.求函数 y ? cos x ? cos x sin x 的值域.

解:

y?

1 ? cos2 x 1 2 ? 1 ? sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 4 2

————降次

[展示投影]学生练习: 教材 P140 练习第 1、2、3 题 [展示投影]思考(学生思考,学生做,教师适当提示) 你能够证明:
sin 2 ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ? , cos 2 ? , tan 2 ? 2 2 2 2 2 1 ? cos ?
? 2?, 2

证:1?在

cos2? ? 1 ? 2 sin ?
2

中,以?代
? 2

代?

即得:

cos ? ? 1 ? 2 sin 2



sin 2

? 1 ? cos ? ? 2 2

2?在

cos2? ? 2 cos ? ? 1
2

中,以?代 ∴

? 2?, 2

代? 即得:

cos ? ? 2 cos 2

? ?1 2 tan 2

cos 2

? 1 ? cos ? ? 2 2

3?以上结果相除得:

? 1 ? cos ? ? 2 1 ? cos ?

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么?
? 注意:1?左边是平方形式,只要知道 2 角终边所在象限,就可以

开平方。
156

数学必修 4 第一章三角函数教案

? 2?公式的“本质”是用?角的余弦表示 2

角的正弦、余弦、

正切 3?上述公式称之谓半角公式(课标规定这套公式不必记 忆)
sin ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ? 1 ? cos? ?? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos?
tan ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 2 1 ? cos ? sin ?

4?还有一个有用的公式: 己证)

(课后自

[展示投影]例题讲评 (学生先做, 学生讲, 教师提示或适当补充) 例 6.已知 cos 例
??
7 ? ? ? sin , cos , tan 25 ,求 2 2 2

的值.

? 7.求 cos 8 的值.

例 8.已知 sin

? ??

4 3? ? ? ? ? ? (? , ) sin , cos , tan 5, 2 ,求 2 2 2

的值.

[展示投影]练习 教材 P145 练习第 1、2、3 题. [学习小结]
? 1.公式的特点要嘱记:尤其是“倍角”的意义是相对的,如: 4 ? 是 8 的倍角.

2.熟悉“倍角”与“二次”的关系(升角——降次,降角—— 升次).
157

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.特别注意公式的三角表达形式,且要善于变形:
cos 2 ? ? 1 ? cos 2? , 2 sin 2 ? ? 1 ? cos 2? 2

这两个形式今后常用.

? 4.半角公式左边是平方形式,只要知道 2 角终边所在象限,就可 ? 以开平方;公式的“本质”是用?角的余弦表示 2

角的正弦、余

弦、正切. 5.注意公式的结构,尤其是符号. 五、评价设计 1.作业:习题 3.2 A 组第 1、2、3、4 题. 2. 作业:习题 3.3 A 组第 1、2、3、4 题. 六、课后反思:

158

数学必修 4 第一章三角函数教案

3.4 三角函数的和差化积与积化和差 (两课时) 洋浦实验中学 一.教学目标: 1.知识与技能 赵生碧

3.5 三角函数的简单应用

(1)能够推导“和差化积”及“积化和差”公式,并对此有所 了解.
159

数学必修 4 第一章三角函数教案

(2)能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒 等关系,进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用,体会 如何综合利用这些公式解决问题.(3)揭示知识背景,培养学生 的应用意识与建模意识. 2.过程与方法 让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三 角恒等变形公式的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发 学生学数学的兴趣; 同时让学生初步体会如何利用三角函数研究 简单的实际问题.通过例题讲解,总结方法.通过做练习,巩固所 学知识. 3.情感态度价值观 通过本节的学习, 使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有 一个初步的认识;理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形,体 会公式所蕴涵的和谐美, 增强学生灵活运用数学知识解决实际问 题的能力. 二.教学重、难点 重点:三角恒等变形. 难点: “和差化积”及“积化和差”公式的推导. 三.学法与教学用具 学法:(1)自主+探究性学习:让学生自己根据已有的知识导出 “和差化积”及“积化和差”公式,领会这些三角恒等变形公式 的意义和作用,体会公式所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴
160

数学必修 4 第一章三角函数教案

趣。 (2)反馈练习法:以练习来检验知识的应用情况,找出未掌握的 内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想 【创设情景】 请回忆两角和的正弦公式、两角差的正弦公式、两角和的余弦公 式、两角差的余弦公式;问你能否用 sin (? ? ? ) 与 sin (? ? ? ) 表示 sin ? 〃 cos ? 和 cos ? 〃 sin ? ?类似地能否用 cos (? ? ? ) 与 cos (? ? ? ) 来表示 cos ? 〃cos ? 和 sin ? 〃sin ? ? 【探究新知】 [展示投影](在学生已完成的基础上进行评价) 积化和差公式的推导 sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos?
1 =2

?

sin?cos?

[sin(? + ?) + sin(? ? ?)] ? cos?sin?

sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin?
1 =2

[sin(? + ?) ? sin(? ? ?)]
1 =2

cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? + ?) + cos(? ? ?)]

[cos(?

cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin? ? sin?sin? =

161

数学必修 4 第一章三角函数教案

1 ?2

[cos(? + ?) ? cos(? ? ?)]

[展示投影]这组公式有何特点?应注意些什么? 这套公式称为三角函数积化和差公式,熟悉结构,不要求记忆, 它的优点在于将“积式”化为“和差” ,有利于简化计算。 (在告 知公式前提下) [展示投影]练习 1.求 2.求
sin

?
12

cos

5? 12 5? 12

的值 的值
?? ??? ??? ?? 2 , 2

sin

?
12

sin

3.在积化和差中若令? + ? = ?,? ? ? = φ,则

代入可得什么的式子,做做看: (教师巡视,先观察学生做的情 况,再决定是否示范)
sin ??? ??? 1 ??? ??? ??? ??? 1 cos ? [sin( ? ) ? sin( ? )] ? (sin ? ? sin ?) 2 2 2 2 2 2 2 2
sin ? ? sin ? ? 2 sin ??? ??? cos 2 2



sin ? ? sin ? ? 2 cos

??? ??? sin 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ??? ??? cos ? ? cos ? ? ?2 sin sin 2 2

引导学生观察这套公式的特点:这套公式称为和差化积公式,其 特点是同名的正 (余) 弦才能使用, 它与积化和差公式相辅相成, 配合使用. [展示投影]例题讲评(学生先做,学生讲,教师提示或适当补
162

数学必修 4 第一章三角函数教案

充) 例 1.教材 P148 例 2. 例 2.教材 P149 例 3. [展示投影]练习. 教材 P149 第 1、2 题. [展示投影]例题讲评(学生边做教师边提示) 例 3. 已知 cos? ? cos ? = + ?)的值 解:∵cos? ? cos ? = sin? ? sin ? = ∵
sin ? ?? ?0 2
? 1 2 1 2

,sin? ? sin? =

?

1 3 ,求

tan(?

,∴

? 2 sin

??? ? ?? 1 sin ? 2 2 2

① ②

1 ??? ? ?? 1 ? 2 cos sin ?? 3 ,∴ 2 2 3



? tan

??? 3 ?? 2 2



tan

??? 3 ? 2 2

3 2 2 ? ? 12 tan( ? ? ?) ? ? ? ?? 9 5 1 ? tan2 1? 2 4 ∴ 2 tan 2?

? ??

例 4.教材 P150 例 6. (学生做,教师巡视,鼓励学生用多种方 法求解) [展示投影]练习 1.化简① 1 ? sin 80 ; ② 1 ? cos80 ; ③
0 0

1 ?n i s 2? ? 1 ? n i s 2? (0 ? ? ?

?
4

)

2. 教材 P151 练习第 1、2、3、4 题. [展示投影]例题讲评(学生边思考教师边提示)
163

数学必修 4 第一章三角函数教案

例 5.要使半径为 R 的半圆形木料截成长方形(如图) ,应怎样截 取才能使长方形的面积最大?
O

[学生自主学习阶段] 学生阅读教材 P154~158 相关内容,学生提问,学生回答,教师 控制课堂节奏。 学生自主学习检测:教材 P158~159 的相应习题。 [学习小结] 尝试由学生小结,学生补充的形式. 五、评价设计 1.作业:习题 3.4 A 组第 1、2、3、4、5、6、7 题. 2. 作业:习题 3.5 A 组第 4 题(选做) . 六、课后反思:

164

数学必修 4 第一章三角函数教案

第三章 三角恒等变形复习课(2 课时) 洋浦实验中学 赵生碧

[第一部分:基础知识] 基本公式 常见变形

一、两角和与差公式及规律
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? . cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin ? . tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? . 1 tan ? tan ? (1) tan ? ,tan ? 的和(差)与积互相转化 : tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? )(1 tan ? tan ? ).

常见变形

? 1 ? tan ? (2)特例 : tan( ? ? ) ? . 4 1 tan ?

二、二倍角公式及规律

常见变
165

数学必修 4 第一章三角函数教案


sin 2? ? 2sin ? cos ? .
? cos ? ? sin 2? sin 2? ? ? ,sin ? ? . 1 ? sin ? ? (sin ? cos ) 2 . 2 cos ? 2 cos ? 2 2

cos 2? ? cos ? ? sin ?
2 2

? 2cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? .

? ? 2 cos 2 . ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?2sin 2 ? . ? ? 2

? 2 ? 1 ? cos ? . ?cos 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? . ?sin 2 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? tan 2 ? 1 ? cos ? . ? ? 2 ? 1 ? cos ? . ?cos 2 ? 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? . ?sin 2 2 ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? tan 2 ? 1 ? cos ? . ?

? ? 2 cos 2 . ? ? 2 ? 1 ? cos ? ? ? ?2sin 2 ? . ? ? 2
tan 2? ? 2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

( ※ )三、积化和差与和差化积公式

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )]. 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )]. 2

. 2 2 ? ?? ? ?? sin ? ? sin ? ? 2 cos sin . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos . 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? ?2sin sin . 2 2

sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??

cos

? ??

166

数学必修 4 第一章三角函数教案

四、学习本章应注意的问题 1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础,应记准该公式 的形式.
2 2 2、倍角公式 cos2? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? 有升、降幂的功能,如

果升幂,则角减半,如果降幂,则角加倍,根据条件灵活选用. 3、公式的“三用” (顺用、逆用、变用)是熟练进行三角变形的 前提.

[第二部分:基本技能与基本数学思想方法]

整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分 析入手,寻求三角变形的思维指向; 角度配凑方法 如
? ??
2 ?

? ? (? ? ? ) ? ? ? ? ? ( ? ? ? ) ?

? ??
2

? 2

? ??
2 ?

? 2

? ??
2

??

2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? ( ? ? ? ) ? 2(

? ??

? ??

) ? 2(

? ??
2

?

? ??
2

)?

等; 方程思想; 消参数思想;
167

数学必修 4 第一章三角函数教案

“1”的代换; 关于 sin ? ? cos ?与sin ? cos ? 间的互相转化; 关于 sin ? ,cos ? 的齐次分式、二次齐次式与 tan ? 间的互相转化; 配凑辅助角公式:
? sin ? ? cos ? ? ? 2 sin(? ? ). 4 ? sin ? ? 3 cos ? ? ?2sin(? ? ). 6 ? 3 sin ? ? cos ? ? ?2sin(? ? ). 3
2 2 一般地, a sin ? ? b cos ? ? a ? b sin(? ? ? ). 其中

?

?

?

a ? , ?cos ? ? 2 a ? b2 ? ? b ?sin ? ? . 2 ? a ? b2 ?

?a sin ? ? b sin ? ? m ? 9、关于已知条件是 ?a cos ? ? b cos ? ? n 的求值、化简、证明的变形

及其思维方法。其中 ? , ? 是任意角;等等。

[第三部分:应用举例](供选用)

[例1]已知 求 若
f( 52? ); 3

f ( x) ?

sin(3? ? x) cos( x ? ? ) tan( x ? ? ) cot( cos(n? ? x)

n? ? x) 2 , (n ? Z )

cos(? ?

3? 4 )? , 2 5 求 f (? ) 的值.

[分析]求三角函数式的值,一般先化简,再代值计算.
168

数学必修 4 第一章三角函数教案

[略解]当 n ? 2k (n ? Z ) 时,
f ( x) ? ? sin x cos x tan x cot x ? ? sin x; cos x
f ( x) ? ? sin x cos x tan x( ? tan x) ? ? sin x tan 2 x. cos x

当 n ? 2k ? 1(k ? Z ) 时,
cos(? ?

3? 4 ) ? ? sin ? ,? sin ? ? ? . 2 5

故当 n 为偶数时,
52? 52? 4? 3 ) ? ? sin ? ? sin ? , 3 3 3 2 4 f (? ) ? ? sin ? ? ; 5 f(

当 n 为奇数时,
52? 52? 52? 4? 4? 3 3 ) ? ? sin tan 2 . ? ? sin tan 2 ? , 3 3 3 3 3 2 sin 2 ? 9 f (? ) ? ? sin ? tan 2 ? ? ? sin ? ? ? . 2 cos ? 16 f(

3sin ? ? sin 3? [例2]已知 tan ? ? 3, 求 3cos ? ? cos 3?

的值.

[分析]已知三角函数式的值,求其它三角函数式的值的基本思 路:考虑已知式与待求式之间的相互转化.
3sin ? ? (3sin ? ? 4sin 3 ? ) 3 [略解]原式= 3cos ? ? (4cos ? ? 3cos ? )
sin ? (3 ? 2sin 2 ? ) 2cos3 ? sin ? (sin 2 ? ? 3cos 2 ? ) ? 2cos3 ? 1 ? tan ? (tan 2 ? ? 3) 2 ? 18. ?
169

数学必修 4 第一章三角函数教案

2 1 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? . 3 5 [例3]已知

求 tan ? cot ? 的值; 当
? ? ? ? ? ? ? ? (? , ), ? ? ? ? (? , )
2 2 2 2

时,求 sin 2? 的值.

[分析]从角度关系分析入手,寻求变形的思维方向.

[略解] (1)
2 ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? , ? ? 3 ? ?sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 1 , ? 5 ? 13 7 ? sin ? cos ? ? , cos ? sin ? ? . 30 30 [方法1]

从而,

tan ? cot ? ?

sin ? cos ? 13 ? . cos ? sin ? 7 sin ? cos ? , cos ? sin ?

[方法2]设

x ? tan ? cot ? ?

sin(? ? ? ) 10 ? ,且 sin(? ? ? ) 3 sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) cos ? cos ? tan ? ? tan ? ? ? sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) tan ? ? tan ? cos ? cos ? tan ? ?1 x ?1 tan ? ? ? , tan ? ?1 x ?1 tan ?
? x ? 1 10 13 ? , ? tan ? cot ? ? x ? . x ?1 3 7

(2)由已知可得

170

数学必修 4 第一章三角函数教案

sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )sin(? ? ? ) ? 4 6? 5 . 15

[例

1 1 cos(? ? ? ) ? , cos(? ? ? ) ? , 2 2 求 tan ? tan ? 4]已知

的值.

[分析]根据问题及已知条件可先“化切为弦” 。由
tan ? tan ? ? sin ? sin ? cos ? cos ?

,只需求出 sin ? sin ? 和 cos? cos ? ,问题即可迎

刃而解. [略解]
1 ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , ? ? 2 ? 1 ?cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? , ? 3 ? 5 1 ? cos ? cos ? ? ,sin ? sin ? ? ? . 12 12

? tan ? tan ? ?

sin ? sin ? 1 ?? . cos ? cos ? 5

[点评] 对公式整体把握,可“居高临下”的审视问题。 [例
1 1 sin ? ? cos ? ? , cos ? ? sin ? ? , 2 3 5]已知

求 sin(? ? ? ) 的值.

[分析]要想求出 sin(? ? ? ) 的值,即要求出 sin ? cos ? ? cos? sin ? 的值, 而要出现 sin ? cos ? 和 cos ? sin ? ,只需对条件式两边平方相加即可。 [ 略解 ] 将两条件式分别平方,得
1 sin 2 ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? ? , 4 1 cos 2 ? ? 2 cos ? sin ? ? sin 2 ? ? . 9

将上面两式相加,得
171

数学必修 4 第一章三角函数教案

13 , 36 59 ? sin(? ? ? ) ? . 72 2 ? 2sin(? ? ? ) ?
2 ? [ 例 6] 已 知 方 程 mx ? (2m ? 3) x ? (m ? 2) ? 0 有 两 根 t a n

, ta ?n , 求

t a n? ( ? ? 的最小值 ) .

[分析] 可借助于一元二次方程的根与系数关系求出 tan(? ? ? )关 于 m 的解析式。 [ 略解]
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 3 ? m ? . 1 ? tan ? tan ? 2

又 解得 故 [ 例

?m ? 0, ? 2 ? ? (2m ? 3) ? 4m(m ? 2) ? 0,
m? 9 3? m 3 , 且m ? 0. ? ?? . 4 2 4

3 ? 。 tan(? ? ? ) 的最小值为 4

7] 已 知

0 ?? ? , ? ? 4 4

?

?

3

? , c o s ?( ? 4 4

?

?

3

?) 5

3

?

5 , s ? i? n ( ? 4 求1 3

)

,

sin(? ? ? ) 的值.
(
3? ? 3? ? ? ( ? ?) ( ?? ) ? ? ) ? ( ? ? ) ? ? (? ? ? ), 4 4 2 可通过 4 与 4

[ 分析 ] 注意到

的正、余弦值来求出 sin(? ? ? ) 的值。 [略解] 由已知可得

172

数学必修 4 第一章三角函数教案

sin(? ? ? ) ? sin[(

3? ? ? ? ? ) ? ( ?? ) ? ] 4 4 2 3? ? ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4 3? ? 3? ? ? ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) ? sin( ? ? )sin( ? ? ) 4 4 4 4 12 3 5 4 56 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? . 13 5 13 5 65
sin 7 ? cos15 sin 8 cos 7 ? sin15 sin 8

[



8]









( ) A. 2 ? 3 B. 2 ? 3
2? 3 C. 2 2? 3 D. 2

[分析]从角度关系分析入手,尝试配凑已知角、待求角、特殊角 之间的和、差、倍、半表示式。 [略解]
原式 ? ? sin(150 ? 80 ) ? cos150 sin 80 cos(150 ? 80 ) ? sin150 sin 80

sin150 cos80 ? cos150 sin 80 ? cos150 sin 80 cos150 cos80 ? sin150 sin 80 ? sin150 sin 80 tan 450 ? tan 300 ? tan150 ? tan(450 ? 300 ) ? 1 ? tan 450 tan 300 ? 2 ? 3.

故选 B.
0 0 [例 9]求函数 f ( x) ? 3sin( x ? 20 ) ? 8sin( x ? 80 ) 的最小值。 0 0 0 0 0 [分析]注意到 ( x ? 80 ) ? ( x ? 20 ) ? 60 ,故可把 x ? 80 用 x ? 20 表示。

[略解]
f ( x) ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin[( x ? 200 ) ? 600 ] ? 3sin( x ? 200 ) ? 8sin( x ? 200 ) cos 600 ? 8cos( x ? 200 )sin 600 ? 7sin( x ? 200 ) ? 4 3 cos( x ? 200 ) ? 97 sin( x ? 200 ? ? ).
173

数学必修 4 第一章三角函数教案

其中

7 ? ?cos? ? 97 , ? ? ?sin ? ? 4 3 . ? 97 ?

故函数的最小值为 ? 97 。

[ 例 10] 已知 a, ? 满足方程 a cos x ? b sin x ? c ,其中 a, b, c 为常数,且
a 2 ? b2 ? 0 。

求证:当 a ? ? 时,

4 cos 2

?
2

cos 2

?
2

?

(a ? c) 2 . a 2 ? b2

? ? [分析]从角度关系分析入手,先将 2 、 2

转化为 a, ? 。

[略解]由 b sin x ? c ? cos x, 两边平方,并化简得
(a2 ? b2 )cos2 x ? 2ac cos x ? c2 ? b2 ? 0. ①

依题意, cos ? , cos ? 是方程①的两个实根。
? cos ? ? cos ? ?
4 cos 2

2ac c2 ? b2 cos ? ? cos ? ? . a 2 ? b2 a 2 ? b2

?
2

cos 2

?
2

? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? )

(a ? c) 2 2 2 =1 ? cos? ? cos ? ? cos? cos ? = a ? b
x y cos ? ? sin ? ? 1(1), a b x y sin ? ? cos ? ? 1(2), a b

[ 例 11] 若
x2 y 2 ? ?2 a 2 b2 .



求证:

[分析] 比较条件式与已知式,可以发现需要消去 ? . [证明] (1)? cos? ? (2) ? sin ? 得
x ? cos ? ? sin ? a 。┅┅(3)

(1)? sin ? ? (2) ?cos? 得

174

数学必修 4 第一章三角函数教案

y ? sin ? ? cos ? b

。┅┅(4)

(3)2 ? (4)2 得

x2 y 2 ? ?2 a 2 b2 .

作业设计: 1、 写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有 何计划. 2、完成教材 P162~163 中 A 组习题. 3、 (选做)复习题 3 的 B、C 组试题. [课后反思]

175



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