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福建省福清东张中学2016届高三上学期期中考试数学(理)试题

福清东张中学 2015—2016 学年度第一学期期中考高三年

数 学 试 卷(理科)
(完卷时间:120 分钟,满分:150 分) 命题人:廖 涌 审稿人:谢威星 一。选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给同的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1、已知集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2},则 A ? B =
2

A . [-1,2)

B . [-2,-1]
)

C .[-1,1]

D .[1,2)

2、对于集合A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤3},则由下列图形给出的对应f中,能构成从A 到B的函数的是(

3、函数f(x)=

1 log22 x ?1

的定义域为(

)

? 1? A.?0, ? ? 2?

? 1? B.(2,+∞) C.?0, ?∪(2,+∞) ? 2?

? 1? D.?0, ?∪[2,+∞) ? 2?
)

1 4、若f(x)是幂函数,且满足错误!未找到引用源。,则f( )=( 2 1 A. 3 B.-3 C. 3 1 D.- 3

5、记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ?

1? k2 A. - k
2 2

B.

1? k2 k
2 2

C.

k 1? k
2

D. -

k 1? k2
)
2 2

6、命题“若a +b =0,a,b∈R,则a=b=0”的逆否命题是( A.若a≠b≠0,a,b∈R,则a +b =0 C.若a≠0且b≠0,a,b∈R,则a +b ≠0
2 2

B.若a≠0或b≠0,a,b∈R,则a +b ≠0 D.若a=b≠0,a,b∈R,则a +b ≠0
2 2

1 2 7、已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x + ,则f(-1)=(

x

)

A.2

B.1

C.-2

D.0

o o o o 8、 sin 20 cos10 ? cos 20 sin170 =(

) D.

A. ?

3 2

B.

3 2

C. ?

1 2

1 2
)

9、已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则α 的值为( A.-1 B.-2
x

C. 1

D.2
3

10、设a>0且a≠1,则“函数f(x)=a 在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x 在R上是增 函数”的( A.充要条件 ) B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

11.如果函数 y=3 cos ? 2x+? ? 的图像关于点 ? A.

? 4? ? ,0 ? 中心对称,那么 | ? | 的最小值为 ? 3 ?
D .

? 4

B .
2

? 6
2

C.

? 2

? 3
)

12已知函数f(x)=-x +ax+b -b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成 立,若当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则实数b的取值范围是( A.b<-1或b>2 B.b>0 C.-1<b<0

D.不能确定

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 1 1 2 13、已知f(x- )=x + 2,则f(3)=______.

x

x

14、已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?
3 2 2

3 ? ,则 tan( ? 2? ) ? 5 4

.

15、若f(x)=x +ax +bx+a 在x=1处有极值10,则a+b=________. 1 16具有性质:f( )=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数:

x

x,0<x<1, ? ? 0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x 1 ? ?-x,x>1.
其中满足“倒负”变换的函数是________.

福清东张中学 2015—2016 学年度第一学期期中考高三年


考号

学 答 题 卡(理科)
审稿人:谢威星 4、 10、 5、 11、 6、 12、

命题人:廖涌 1、 7、 2、 8、 3、 9、

一.选择题(本题共 25 小题,每题只有一个选项符合题意,每小题 2 分,共 50 分。 )

二.填空题 (本题共 5 小题,共 40 分) 13、____ _ 14.

15.

16.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

座号 姓名 班级

17、(本小题满分12分)已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)若A? B ,求实数m的取值范围;(2)若A∩B=(1,2),求实数m的取值范围;(3)若A∩B=?,求实数m 的取值范围.

18、 (本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知

a 2 ? c 2 ? 2b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b

19、(本小题满分12分)已知函数f(x)=x +2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求

2

f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)当a=1
时,求f(|x|)的单调区间.

20、(本小题满分12分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-

1 2

.(1)

π 2 若0<α < ,且sinα = ,求f(α )的值;(2) 求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 2 2

21、(本小题满分12分)已知函数f(x)= 是奇函数.(1)求实数m的值;(2)设g(x)=2 共点,求实数a的取值范围.
x+1

4 +m x 2 -a,若函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公

x

2 22、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? b , g ( x) ? e x (cx ? d ) 若曲线 y ? f ( x)

和曲线 y ? g ( x) 都过点 P(0,2) ,且在点 P 处有相同的切线 y ? 4 x ? 2 .(Ⅰ)求 a , b , c ,

d 的值; (Ⅱ)若 x ? -2 时, f ( x) ? kg( x) ,求 k 的取值范围.

福清东张中学 2015—2016 学年度第一学期期中考高三年


1、 7、 B C 2、 8、 D D

学 答 案(理科)
3、 9、 C D 4、 10、 C A 5、 11、 A B 6、 B 12、 A

一.选择题(本题共 25 小题,每题只有一个选项符合题意,每小题 2 分,共 50 分。 )

二.填空题 (本题共 5 小题,共 40 分) 13. __11______14.

?

1 7

15.

-7

16.

①③

三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分) 1-m>2m, ? ? 17解析 (1)由A? B,得?2m≤1, ? ?1-m≥3, 得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].
?2m≤1, ? (2)由已知,得? ? ?1-m=2

1 ? ?m≤ , ?? 2 ? ?m=-1,

∴m=-1.

(3)由A∩B=?,得

1 ①若2m≥1-m,即m≥ 时,B=?,符合题意; 3 1 ? ?m< , 1 ②若2m<1-m,即m< 时,需? 3 3 ? ?1-m≤1 1 1 得0≤m< 或?,即0≤m< . 3 3 综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞). 18 、 解 法 一 : 在 ?ABC 中 ? sin A cos C ? 3cos A sin C, 则 由 正 弦 定 理 及 余 弦 定 理 有 : a? 1 ? ?m< , 3 或? ? ?2m≥3,

a 2 ? b2 ? c 2 b2 ? c 2 ? a 2 ?3 ? c, 化 简 并 整 理 得 : 2(a 2 ? c2 ) ? b2 . 又 由 已 知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 ? 2b ? 4b ? b2 .解得 b ? 4或b ? 0(舍) .
解法二: 由余弦定理得:

a 2 ? c 2 ? b2 ? 2bc cos A .
又 所以 又

a 2 ? c 2 ? 2b , b ? 0 。

b ? 2c cos A ? 2 ?????????????①

sin A cos C ? 3cos A sin C ,
? sin A cos C ? cos A sin C ? 4 cos A sin C
sin( A ? C ) ? 4cos A sin C ,
即 sin B ? 4cos A sin C

由正弦定理得 sin B ? 故

b sin C , c

b ? 4c cos A ?????????②
2 2

由①,②解得 b ? 4 。 19解析 (1)当a=-2时,f(x)=x -4x+3=(x-2) -1,由于x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增. ∴f(x)的最小值是f(2)=-1,又f(-4)=35,f(6)=15,故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图像开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4,6]上是单调 函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4. (3)当a=1时,f(x)=x +2x+3,
2

∴f(|x|)=x +2|x|+3,此时定义域为x∈[-6,6],
?x +2x+3,x∈?0,6], ? 且f(x)=? 2 ?x -2x+3,x∈[-6,0]. ?
2

2

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0]. π 2 2 20解:(1) 因为0<α < ,sinα = ,所以cosα = . 2 2 2 所以f(α )= 2 ? 2 2? 1 1 ×? + ?- = . 2 ? 2 2? 2 2

1 1 1+cos2x 1 1 1 2 2 (2) 因为f(x)=sinxcosx+cos x- = sin2x+ - = sin2x+ cos2x= 2 2 2 2 2 2 2 π? ? sin?2x+ ?, 4? ? 2π 所以T= =π . 2 π π π 由2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z,得 2 4 2 3π π kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z. 8 8 3π π 所以f(x)的单调递增区间为[kπ - ,kπ + ],k∈Z. 8 8 21解析 (1)由函数f(x)是奇函数可知f(0)=1+m=0,解得m=-1. 4 -1 x+1 (2)函数f(x)与g(x)的图像至少有一个公共点,即方程 x =2 -a至少有一个实根, 2 即方程4 -a·2 +1=0至少有一个实根. 令t=2 >0,则方程t -at+1=0至少有一个正根. 1 方法一:由于a=t+ ≥2,∴a的取值范围为[2,+∞).
x
2

x

x

x

t

方法二:令h(t)=t -at+1,由于h(0)=1>0, Δ ≥0, ? ? ∴只需?a >0, ? ?2

2

解得a≥2.

∴a的取值范围为[2,+∞ 22、解: (Ⅰ)由已知得 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x) = 2 x ? b , g ?( x) = e (cx ? d ? c ) ,∴ a =4, b =2, c =2, d =2;??4 分
x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 4 x ? 2 , g ( x) ? 2e ( x ? 1) ,
2 x

设函数 F ( x) = kg ( x) ? f ( x) = 2ke ( x ? 1) ? x ? 4 x ? 2 ( x ? ?2 ) ,
x 2

F ?( x) = 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 = 2( x ? 2)(ke x ? 1) ,
有题设可得 F (0) ≥0,即 k ? 1 , 令 F ?( x) =0 得, x1 = ? ln k , x2 =-2, (1) 若1 ? k ? e , 则-2< x1 ≤0, ∴当 x ? (?2, x1 ) 时,F ( x) <0, 当 x ? ( x1 , ??) 时,F ( x)
2

>0,即 F ( x) 在 (?2, x1 ) 单调递减,在 ( x1 , ??) 单调递增,故 F ( x) 在 x = x1 取最小值 F ( x1 ) , 而 F ( x1 ) = 2 x1 ? 2 ? x12 ? 4 x1 ? 2 = ? x1 ( x1 ? 2) ≥0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (2)若 k ? e ,则 F ?( x) = 2e ( x ? 2)(e ? e ) ,
2
2 x 2

∴当 x ≥-2 时, F ?( x) ≥0,∴ F ( x) 在(-2,+∞)单调递增,而 F (?2) =0, ∴当 x ≥-2 时, F ( x) ≥0,即 f ( x) ≤ kg ( x) 恒成立, (3)若 k ? e ,则 F (?2) = ?2ke
2 ?2

? 2 = ?2e ?2 (k ? e 2 ) <0,

∴当 x ≥-2 时, f ( x) ≤ kg ( x) 不可能恒成立, 综上所述, k 的取值范围为[1, e ].
2

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