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【精品】2018-2019学年高中数学北师大版必修一《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》同步测试

第三章 §6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 一、选择题 1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应 该是( ) B.y=log100x D.y=100x A.y=100x C.y=x100 [答案] [解析] D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则当 x 越来越大时,函数 y=100x 的增长速度最快. 2.若-1<x<0,则不等式中成立的是( A.5-x<5x<0.5x C.5x<5-x<0.5x [答案] [解析] B 在同一坐标系内作出 y=5x,y=0.2x,y=0.5x B.5x<0.5x<5-x D.0.5x<5-x<5x ) 的图像,由-1<x<0,观察图像知 5x<0.5x<5-x. 3.已知函数 f(x)=3x,g(x)=2x,当 x∈R 时,有( A.f(x)>g(x) C.f(x)≥g(x) [答案] [解析] A 在同一直角坐标系中画出函数 f(x)=3x,g(x) B.g(x)>f(x) D.g(x)≥f(x) ) =2x 的图像,如图所示,由于函数 f(x)=3x 的图像在函数 g(x)=2x 的图像的上方,则 f(x)>g(x). 4. 某个企业的一个车间有 8 名工人, 以往每人年薪为 1 万元.从今年起,计划每人的年薪比上一年增加 10%,另外 每年新招 3 名工人,每名新工人的第一年年薪为 8 千元,第 二年起与老工人的年薪相同.若以今年为第一年,那么第 x 年企业付给工人的工资总额 y(万元)表示成 x 的函数,其表 达式为( ) A.y=(3x+5)1.1x+2.4 B.y=8×1.1x+2.4x C.y=(3x+8)1.1x+2.4 D.y=(3x+5)1.1x-1+2.4 [答案] [解析] A 第一年企业付给工人的工资总额为 8×1.1+3×0.8(万元), 第二年应付给工人的工资总额为 (8+3)×1.12+3×0.8(万元), 依次类推:第 x 年企业付给工人的工资总额应为 y=[8+3(x-1)]×1.1x+2.4=(3x+5)×1.1x+2.4. 5.下列函数 f(x)中,满足“对任意 x1,x2∈(0,+∞), 当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的是( A.f(x)= 1 x ) B.f(x)=(x-1)2 D.f(x)=ln(x+1) C.f(x)=ex [答案] [解析] A 由题意得函数 f(x)是减函数,在四个选项中, 只有 A 符合,故选 A. 6.若镭经过 100 年后剩留原来质量的 95.76%,设质 量为 1 的镭经过 x 年后剩留量为 y,则 y 与 x 的函数关系为 ( ) x A.y=0.9576100 ?0.9576? ?x C.y=? ? 100 ? ? ? B.y=0.9576100x x D.y=1-0.0424100 [答案] [ 解析 ] A 设镭 每年放射掉其 质 量的百分比 为 t , 则 有 100 95.76%=(1-t) ,所以 ?95.76? 1 ? t=1-? ? 100 ?100 ? ? ,所以 y=(1 x -t) =0.9576100 . x 二、填空题 7.方程 2x=2-x 的解的个数为____________. [答案] [解析] 1 分别作出函数 y=2x 与 y=2-x 的图像如图所 示,易得两图像只有一个交点,即原方程只有一个解. 8.某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个…,这样,一个细胞分裂 x 次后,得到的细胞个数 y 与 x 的函数关系是________. [答案] [解析] y=2x(x∈N+) 该函数为指数函数型 y=2x(x∈N+). 三、解答题 9.求方程 logax=x-2(0<a<1)的实数解的个数. [解析] ∵求方程 logax=x-2(0<a<1)有实数解的个 数,就是求函数 y=logax(0<a<1)与函数 y=x-2 的图像的 交点个数,如图所示,可知只有一个实数解. 10.已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性. [解析] (1)由 ax-1>0 得 ax>1, ∴当 a>1 时,函数 f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,函数 f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数; 当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. 证明如下: 当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 ax1<ax2, ∴0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1), 即 f(x1)<f(x2). 故函数 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 同理可证:当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上是增函数. 一、选择题 1.当 2<x<4 时,2x,x2,log2x 的大小关系是( A.2x>x2>log2x C.2x>log2x>x2 [答案] [解析] B 在同一平面直角坐标系中画出函数 y=log2x, B.x2>2x>log2x D.x2>log2x>2x ) y=x2,y=2x 的图像,在区间(2,4)上从上往下依次是 y=x2, y=2x,y=log2x 的图像. 所以 x2>2x>log2x. 32 23 22 2.设 a=( )5 ,b=( )5 ,c=( )5 ,则 a,b,c 的 5 5 5 大小关系是( A.a>c>b C.c>a>b [答案] [解析] ∴a>c. 2 ∵y=( )x(x∈R)为减函数,∴c>b.∴a>c>b. 5 二、填空题 3.函数 ? ?x+1 y =? x ? ?e ) B.a>b>c D.b>c>a A 2 ∵y=x5 在(0,+∞)上是增加的, x<0 x ≥0 的反函数是________. [


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