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平面向量信息迁移题赏析

平面向量信息迁移题赏析
山东 尹承利

所谓信息迁移题是指以考生已知的知识为基础,在此基础上设置一个新的数学情境,或

把已有的知识进一步引申,设置一个简单而又熟悉的物理情境、生活情境或定义新的数学内

容.此类题目是要求考生在阅读理解的基础上及时捕捉和利用信息,结合原有所学知识作出

判断、推理、概括、运算和表述的一种新题型.这类题型题意新疑、构思精巧,极富思考性

和挑战性,因而备受各级各类考试命题者的青睐.下面精选几道平面向量中的信息迁移题并

分类解析,旨在探究题型规律.

一、定义新性质

例1 已知凸函数的性质定理:“若函数 f (x) 在区间 D 上是凸函数,则对于区间 D 内

的任意

x1,x2,…,xn ,有

1[ f n

(x1) ?

f

(x2 ) ? … ?

f (xn )]≤

f

? ??

x1

?

x2

?…? n

xn

? ??

”.若函数

y

? sin x

在区间 (0,π) 内是凸函数,则在 △ABC 中, sin A ? sin B ? sinC 的最大值是( )

A. 1 2

B. 3 2

C. 3 3 2

D. 3 2

解析:由凸函数的性质定理,有 1 (sin A ? sin B ? sin C) ≤sin A ? B ? C ? sin 60 ? 3 .

3

3

2

?sin A ? sin B ? sin C ≤ 3 3 ,故选(C). 2

二、规定新的运算

例 2 已 知 向 量 m ? (a,b) , n ? (c,d) , p ? (x,y) , 定 义 新 运 算

m ? n ? (ac ? bd,ad ? bc) ,其中等式右边是通常的加法和乘法运算.如果对于运算向量 m

都有 m ? p ? m 成立,则向量 p 为( )

A. (1,0)

B. (?1,0)

C. (0,1)

D. (0,?1)

解析: m ? p ? m , (a,b) ? (x,y) ? (ax ? by,ay ? bx) ? (a,b) ,

?

?ax ??ay

? ?

by bx

? ?

a b

,即

?a(x ?1) ? by ??ay ? b(x ?1)

? ?

0 0



由于对任意 m ? (a,b) ,都有 (a,b) ? (x,y) ? (a,b) 成立.

?

? ? ?

x y

?1? ?0

0

,解得

?x

? ?

y

? ?

1 0

,?

p

?

(1,0)



故选(A) 三、构建新的体系

例 3 如图 1,在平面斜坐标系 xOy 中,?xOy ? 60 ,平

面上任意一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若

OP ? x e1 ? y e2(其中 e1,e2 分别为与 x 轴,y 轴同方向的单
位向量),则 P 点斜坐标为 (x,y) . (1) 若点 P 在斜坐标 xOy 中的坐标为 (2,? 2) ,求 P 点 到原点 O 的距离.

(2) 求以原点 O 为圆心,1 为半径的圆在斜坐标系 xOy 中的方程. (3) 在斜坐标系 xOy 中,若直线 x ? t(0 ? t ? 1) 交图 2 中的圆于 A,B 两点,则当 t 为 何值时, △AOB 的面积取得最大值?并求此最大值. 解析:将平面直角坐标系改为平面斜坐标系,圆的形状是否改变?圆的方程是否改变? 如何求两点间的距离?如何求三角形的面积?等等.总之,情景发生了变化,事物总是跟着 发生一系列的变化,这是一个多么有趣的数学问题!数学真的很美,让我们共同探索一下吧!

(1) P 点斜坐标为 (2,? 2) ,?OP ? 2e1 ? 2e2 .

2
? OP

? (2e1 ? 2e2 )2 ? 4e12 ? 8e1· e2 ? 4e22 ? 8 ? 8?1?1? cos 60

?8? 4 ? 4.

? OP ? 2 ,即 P 点到原点的距离为 2.

(2)设圆上动点 M 的斜坐标为 (x,y) ,则 OM ? x e1 ? y e2 ,

? ( x e1 ? y e2 ) 2 ? 1.? x2 e12 ?2xy e1· e2 + y 2 e22 ? 1 .

? x2 ? y2 ? xy ? 1 .故所求方程为 x2 ? y2 ? xy ? 1.

(3)如图 2,在斜坐标系 xOy 中,直线 x ? t 是平行于 y 轴的
一 族 直 线 , 当 0?t ?1 时 , 与 圆 有 两 个 交 点 , 设 为 A(x1,y1),B(x2,y2 ) .



?x ? t

? ?

x

2

?

y2

?

xy

?

整理得 1

y2

?

ty

?

t2

?1?

0



由根与系数的关系,得 y1 ? y2 ? ?t , y1 y2 ? t2 ?1 ,

? y1 ? y2 ? ( y1 ? y2 )2 ? 4y1y2 ? 4 ? 3t2 .

? S△AOB

?

1 2

y1

?

y2· ·t sin 60

?

3t 4

4 ? 3t2 ? 3 4

?3t4 ? 4t2 ? 3 4

?3??? t 2

?

2

2
?

3 ??

?

4 3



当 t2 ? 2 ,即 t ? 3

6 3

时,

S△ AOB

取得最大值

1 2





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