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2018-2019学年人教A版高中数学必修二课件:第一章1.3-1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

第一章 空间几何体

1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与 体积

[学习目标] 1.了解柱体、锥体、台体的表面积公式 和体积公式的推导过程,会用公式求简单几何体的表面积 和体积(重点). 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表 面积之间的关系,并能利用它求几何体的表面积(易混、 易误点). 3.利用柱体、锥体、台体的表面积公式和体 积公式解决实际问题(难点).

[知识提炼·梳理]
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的多面 体,因此它们的表面积等于各个面的面积之和,也就是 展开图的面积.

2.圆柱、圆锥、圆台的表面积
底面积:S 底=πr2 圆
侧面积:S 侧=2πrl 柱
表面积:S=2πrl+2πr2 底面积:S 底=πr2 圆 侧面积:S 侧=2πrl 锥 表面积:S=πrl+πr2

底面积:S 底=π(r′2+r2) 圆
侧面积:S 侧=π(r′l+rl) 台
表面积:S=π(r′2+r2+r′l+rl)

3.柱体、锥体、台体的体积
(1)柱体:柱体的底面面积为 S,高为 h,则 V=Sh. (2)锥体:锥体的底面面积为 S,高为 h,则 V=13Sh. (3)台体:台体的上,下底面面积分别为 S′,S,高为 h,则体积 V=13(S+ SS′+S′)h.

[思考尝试·夯基]
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出.( ) (2) 棱 台 的 侧 面 展 开 图 是 由 若 干 个 等 腰 梯 形 组 成 的.( ) (3)圆台的高就是相应母线的长( ) 答案:(1)√ (2)× (3)×

2.将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴

旋转一周,所得几何体的侧面积是( )

A.4π

B.3π

C.2π

D.π

解析:底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2πrh=2π

×1×1=2π.

答案:C

3.若圆锥的高等于底面直径,则它的底面积与侧面 积之比为( )
A.1∶2 B.1∶ 3 C.1∶ 5 D. 3∶2 解析:设圆锥的高为 h,由 h=2r,则 l= r2+h2=
5r. 所以 S 底=πr2,S 侧=πrl= 5πr2
故 S 底∶S 侧=πr2∶ 5πr2=1∶ 5. 答案:C

4.正方体的表面积为 96,则棱长 a=________. 解析:由 S 表=6a2=96,得 a=4. 答案:4

5.已知棱台的上、下底面面积分别为 4、16,高为 3, 则该棱台的体积为________.
解析:因为 S 上底=4,S 下底=16,h=3. 所以台体=13(4+16+ 4×16)×3=28. 答案:28

类型 1 柱体、锥体、台体的表面积(自主研析)
[典例 1] 已知正四棱台(正四棱锥被平行于底面的 平面所截,截面与底面间的部分)上底面边长为 4,侧棱 和下底面边长都是 8,求它的侧面面积.

解:设正四棱台为 ABCD-A1B1C1D1,如图.设 B1F 为斜高.
在 Rt△B1FB 中,因为 BF=12×(8-4)=2,B1B=8, 所以 B1F= BB12-BF2= 82-22=2 15, 所以 S 正棱台侧=4×12×(4+8)×2 15=48 15.

归纳升华 1.圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时 需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与 底面圆的面积之和. 2.多面体的表面积一般是分解转化为各个面的面积 之和.

3.结合三视图考查几何体的表面积是高考的热点, 解决此类问题的关键是正确地观察三视图,把它们还原为 直观图,特别要注意从三视图中得到几何体的相关量,再 结合表面积公式求解.

[变式训练] 圆台的上、下底面半径分别是 10 cm 和 20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是 180°,求圆 台的表面积.
解:如图所示,设圆台的上底面周长为 c cm,由于 扇环的圆心角是 180°,则 c=π·SA=2π×10,解得 SA= 20(cm).

同理可得 SB=40(cm), 所以 AB=SB-SA=20(cm). 所以 S 表=S 侧+S 上+S 下= π×(10+20)×20+π×102+π×202= 1 100π(cm2).

类型 2 柱体、锥体、台体的体积(互动探究)
[典例 2] (1)如下图所示,在长方体 ABCD?A′B′C′D′ 中,截下一个棱锥 C-A′DD′,求棱锥 C-A′DD′的体积与剩 余部分的体积之比.

(2)圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是 16 2

π ,则圆锥的体积是( )

64π A. 3

128π B. 3

C.64π

D.128 2π

(1)解:(1)长方体可以看成四棱柱 ADD′A′?BCC′B′,

设它的底面 ADD′A′的面积为 S,高为 h,则它的体积 V

=Sh.

而棱锥 C-A′DD′的底面积为12S,高是 h,故棱锥 C? A′DD′的体积为 V 棱锥 C-A′DD′=13×12Sh=16Sh.
剩余部分的体积是 Sh-16Sh=56Sh. 所以棱锥 C-A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为 1∶5.

(2)解析:作圆锥的轴截面(如图所示).
由题设,在△POB 中,∠APB=90°,PA=PB. 设圆锥的高为 h,底面半径为 r,则 h=r,PB= 2r. 由 S 侧=π·r·PB=16 2π,得 2πr2=16 2π.

所以 r=4.则 h=4. 故圆锥的体积 V 圆锥=13πr2h=634π. 答案:A

[迁移探究 1] (变换条件,改变问法) 将典例 2 中 第(2)题的条件“侧面积是 16 2π”改为“若其体积为 3 π”,求该圆锥的侧面积.
解:设圆锥的底面半径为 r,则高 h=r,母线 l=PB
= 2r.

由 V 圆锥=13πr2·h=13πr3= 3π, 得 r= 3,母线 l= 6. 故 S 圆锥侧=πrl= 3× 6π=3 2π.

[迁移探究 2] (变换条件) 若将典例 2 中第(2)题的 条件变换为“已知某几何体的三视图如图所示”,求该 几何体的体积.

解:由三视图知,该几何体是底面为直角梯形,高为 4 的直四棱柱,如图所示.
2+5 则 S 底= 2 ×4=14,高 h=4. 所以 V 四棱柱=S 底·h=56.

归纳升华 1.求解柱体体积的关键是根据条件找出相应的底面 积和高,对于旋转体要充分利用旋转体的轴截面,将待求 的量转化到轴截面内求. 2.求解锥体体积的关键是明确锥体的底面是什么图 形,特别是三棱锥,哪个三角形作为底面是解题的关键点.

类型 3 简单组合体的表面积和体积(互动探究) [典例 3] 已知△ABC 的三边长分别是 AC=3,BC =4,AB=5,以 AB 所在直线为轴,将此三角形旋转一 周,求所得旋转体的表面积和体积. 解:如图所示,在△ABC 中, 过 C 作 CD⊥AB,垂足为 D.
由 AC=3,BC=4,AB=5, 知 AC2+BC2=AB2,则 AC⊥BC.

因为 BC·AC=AB·CD, 所以 CD=152,记为 r=152,那么△ABC 以 AB 所在 直线为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥,且底半径 r =152, 母线长分别是 AC=3,BC=4,

所以 S 表面积=πr·(AC+BC)=π×152×(3+4)=854π, V=13πr2(AD+BD)=13πr2·AB=13π×???152???2×5=458π. 所以,所求旋转体的表面积是854π,体积是458π.

归纳升华 1.求组合体的表面积与体积的关键是弄清组合体中 各简单几何体的结构特征及组合形式.对于与旋转体有关 的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半 径及母线长,再分别代入公式求解.

2.已知几何体的三视图求其表面积或体积时,先由 三视图还原作出直观图,然后根据三视图中所给数据,得 到直观图中计算表面积和体积所需要的有关数据,再进行 代入计算.

[变式训练] (2015·重庆卷)某几何体的三视图如图 所示,则该几何体的体积为( )

A.13+π C.13+2π

B.23+π D.23+2π

解析:由三视图知,该几何体为一个半圆柱与一个三

棱锥的组合体,其中半圆柱的底面半径为 1,高为 2;三

棱锥的底面为一个斜边长为 2 的等腰直角三角形,高为 1.

则 V 三棱锥=13×12×1×2×1=13, V 半圆柱=12π×12×2=π. 故该几何体的体积 V=13+π. 答案:A

1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开 图面积,因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各 线段与原旋转体的关系,是掌握它们的侧面积公式及解 有关问题的关键.

2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系. V=Sh―S′―=→S V=13(S′+ S′S+S)hS―′―=→0V=13Sh.

3.计算柱体、锥体和台体的体积,关键是根据条件 找出相应的底面面积和高,要充分运用多面体的有关截 面及旋转体的轴截面,将空间问题转化为平面问题.
4.在几何体的体积计算中,注意体会“分割思 想”“补体思想”及“等价转化思想”的应用.



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