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安徽省黄山市屯溪第一中学2018_2019学年高二数学下学期入学摸底考试试题

屯溪一中 2018–2019 学年度高二第二学期开学考试

数学(文科)试题

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。)

1. 和直线 l 都平行的直线 a, b 的位置关系是( )

A. 相交

B. 异面

C.平行 D.平行、相交或异面

2. 直线 x ? 3y ? 3 ? 0 的倾斜角为( )

?? A. 6

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

3. “ a ?1”是“直线 a2x ? y ? 3 ? 0 与 x ? ay ? 2 ? 0 垂直”的( )。

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4. 某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为( )

A.1 C.3

B. 2 D. 4

5. 设 A,B ,C ,D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点, ?ABC 为等边三角形且其面积为

9 3 ,则三棱锥 D ? ABC 体积的最大值为( )

A.12 3

B.18 3

C. 24 3

D. 54 3

6. 从甲、乙等 5 名同学中选 2 人参加社区服务,则甲恰被选中的概率为( )

A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3

7.

x2 双曲线 a2

? y2 b2

? 1 (a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2 ,则其渐近线方程为(



A. y ? ?

2x B. y ? ?

3x

y?? C.

2x 2

y?? 3x

D.

2

- 1 - / 11

8. 直线 3x ? 4y ? b 与圆 x2 ? y2 ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切,则 b 的值是( )

A. ? 2 或12

B. 2 或 ?12

C. ? 2 或 ?12

D. 2 或12

9. 已知抛物线 C : y2 ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C 的一个

交点,若 FP ? 4FQ ,则 QF ? ( )。

7 A. 2

B. 3

5 C. 2

D. 2

10. 设 A(?2,3) , B(1, 2) ,若直线 ax ? y ?1 ? 0 与线段 AB 相交,则 a 的取值范围是( )

A. [?1,1]

B. (?1,1)

C. (??, ?1]U[1, ??)

D. (??, ?1) U(1, ??)

11. 直线 x ? y ? 2 ? 0 分别与 x 轴,y 轴交 于 A ,B 两点,点 P 在圆 ? x ? 2?2 ? y2 ? 2 上,则 ?ABP

面积的取值范围是( )。

A.?2 ,6?

B.?4 ,8?

C. ?? 2 ,3 2??

D. ??2 2 ,3 2 ??

22

12.

M( 过2

,?

2 ) 作 圆 x2 ? y2 ?1 的 切 线 l , 直 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 抛 物 线

E : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, l 与 E 交于 A, B ,则 AB 的中点到 E 的准线的距离为( )

52 A. 2

B. 3 2

72 C. 2

D. 4 2

第Ⅱ卷(非选择题 满分 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置上。)

13. 命题“存在 x0 ? R, x02 ? 8x0 ?18 ? 0 ”的否定是

1 4. 在空间直角坐标系中,设 A(1,3, 0) , B(?3, 6,12) ,则 AB ?



15. 已知双曲线 C 的离心率为 3 ,焦点为 F1, F2 ,点 A 在曲线 C 上,若 F1A ? 3 F2 A ,则

cos ?AF2F1 ?



16.

x2 已知 F1 、 F2 是椭圆 C : a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是 C 的左顶点,点 P 在

3 过 A 且斜率为 6 的直线上,若 ?PF1F2 为等腰三角形, ?F1F2P ? 120o ,则 C 的离心率

- 2 - / 11





三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答 写在答题卡上的指定区域内。) 17. (本小题满分 10 分)
给 定 两 个 命 题 , 命 题 p : 对 于 任 意 实 数 x , 都 有 ax2 ? ?2ax ? 8 恒 成 立 ; 命 题 q : 方 程
x2 ? y2 ? 4x ? a ? 0 表示一个圆。若“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,求实数 a 的
取值范围。

18.

(本小题满分 12 分)

如图,在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 2 2 , PA ? PB ? PC ? AC ? 4 , O 为 AC 的中点.

⑴证明: PO ? 平面 ABC ;

⑵若点 M 在棱 BC 上,且 MC ? 2MB ,求点 C 到平面 POM 的距离.

- 3 - / 11

19. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : (x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 ,点 A(10,0) 。
⑴设点 P 是圆 C 上的一个动点,求 AP 的中点 Q 的轨迹方程; uuuur uuur
⑵直线 l : kx ? y ?10k ? 0 与圆 C 交于 M, N ,求 AM ? AN 的值。
20. (本小题满分 12 分) 如图,在四面体 ABCD 中,△ABC 是等边三角形,平面 AB C⊥平面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点, AB=2,AD= 2 3 ,∠BAD=90° ⑴求证:AD⊥BC; ⑵求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值; ⑶求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.
21.(本小题满分 12 分)
过抛物线 C : y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜 角为 45? 的直线 l ,直线 l 与抛物线 C 交于 A, B ,若 AB ?16 。 ⑴抛物线 C 的方程; ⑵若经过 M (1, 2) 的直线交抛物线 C 于 P,Q , N (5, 0) ,若 PN ? QN ,求直线 PQ 的方程。
- 4 - / 11

22. (本小题满分 12 分)
x2 y2 已知椭圆 E : a2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,点 P 是椭圆 E 上的一个动点, ?PF1F2 的周长为 6 ,且存在点 P 使得 ?PF1F2 为正三角形。 ⑴求椭圆 E 的方程; ⑵若 A, B,C, D 是椭圆 E 上不重合的四个点,AC 与 BD相交于点 F1 ,AC ? BD ? 0 。若 AC 的斜率为 3 ,求四边形 ABCD的面积。

屯溪一中 2018–2019 学年度高二 第二学期开学考试 数学(文科)参考答案 一、选择题(本大题共 12 小 题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A C B C B D B C A D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题卡的相应位置上。)

3

1

13. ?x ? R, x2 ? 8x ?18 ? 0; 14. 13 ; 15. 3 ; 16. 4 。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 解答 写在答题卡上的指定区域内。) 17. (本小题满分 10 分)

解:若 p 真,即对于任意实数 x ,都有 ax2 ? 2ax ? 8 ? 0 恒成立。

ⅰ)若 a ? 0 ,即对于任意实数 x ,都有 ax2 ? 2ax ? 8 ? 8 ? 0 恒成立;

?a ? 0 ⅱ)若 a ? 0,必须满足 ??? ? (2a)2 ? 4a ?8 ? 0
?0?a?8

由ⅰ)、ⅱ)得 p 真, a 的取值范围是[0,8)

……………… 5 分

若 q 真,即方程 x2 ? y2 ? 4x ? a ? 0 表示一个圆,只需 (?4)2 ? 4a ? 0 ,即 a ? 4 。

- 5 - / 11

所以 q 真, a 的取值范围是 (??, 4) 。

……………… 7 分

若“ p ? q ”为真命题,“ p ? q ”为假命题,即 p,q 一真一假。

所以 a 的取值范围是 (??, 0) U[4,8) 。

………………10 分

18. (本小题满分 12 分) ⑴因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP⊥AC,且 OP= .

连结 OB.因为 AB=BC= ,所 以△ABC 为等腰直角三角形,且 OB⊥AC,

OB= =2.



知,OP⊥OB.

由 OP⊥OB,OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC.

⑵作 CH⊥OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH,所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.
由题设可知 OC= =2,CM= = ,∠ACB=45°.

所以 OM= ,CH=

=.

所以点 C 到平面 POM 的距离为 .

【解析】分析:(1)连接 ,欲证 平面 ,只需证明

即可;(2)过

点作

,垂足为 ,只需论证 的长即为所求,再利用平面几何知识求解即可.

- 6 - / 11

详解:(1)因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OP⊥AC,且 OP= .

连结 OB.因为 AB=BC= ,所以△ABC 为等腰直角三角形, 且 OB⊥AC,OB= =2.



知,OP⊥OB.

由 OP⊥OB,OP⊥AC 知 PO⊥平面 ABC.

(2)作 CH⊥OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH,所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.
由题设可知 OC= =2,CM= = ,∠ACB=45°.

所以 OM= ,CH=

=.

所以点 C 到平面 POM 的距离为 .
19. (本小题满分 12 分) 解:⑴设 Q(x, y) ,则 P(2x ?10, 2y) ,由于点 P 是圆 C 上的一个动点,有
(2x ?10 ? 2)2 ? (2 y ? 2)2 ? 16 ? (2x ?12)2 ? (2 y ? 2)2 ? 16 ? (x ? 6)2 ? ( y ?1)2 ? 4
故 AP 的中点 Q 的轨迹方程为 (x ? 6)2 ? ( y ?1)2 ? 4 。……………… 6 分


- 7 - / 11

?(x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 16 ? ?kx ? y ?10k ? 0 ? x2 ? 4x ? 4 ? k 2x2 ? 2(10k ? 2)kx ? (10k ? 2)2 ?16 ? 0 ? (1? k 2 )x2 ? 2(10k 2 ? 2k ? 2)x ?100k 2 ? 40k ? 8 ? 0

2(10k2 ? 2k ? 2)

100k2 ? 40k ? 8

设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

1? k2

, x1x2 ?

1? k2

uuuur uuur AM ? AN ? (x1 ?10, y1) ? (x2 ?10, y2 )

? (x1 ?10)(x2 ?10) ? y1 y2

? x1x2 ?10(x1 ? x2 ) ? 100 ? k(x1 ? 10)k(x2 ? 10)

? (1 ? k 2 )[x1x2 ?10(x1 ? x2 ) ? 100]

? (1 ? k 2 )[100k 2 ? 40k ? 8 ?10 ? 20k 2 ? 4k ? 4 ? 100]

1? k2

1? k2

? 100k 2 ? 40k ? 8 ? 200k 2 ? 40k ? 40 ? 100k 2 ? 100

? 52

20. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)由平面 ABC⊥平面 ABD,平面 ABC∩平面 ABD=AB,AD⊥AB,可得 AD⊥平面 ABC,故 AD ⊥BC. (Ⅱ)解:取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND.又因为 M 为棱 AB 的中点,故 MN∥BC.所以∠DMN (或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角.

在 Rt△DAM 中,AM=1,故 DM= AD2 ? AM 2 = 13 .因为 AD⊥平面 ABC,故 AD⊥AC.

在 Rt△DAN 中,AN=1,故 DN= AD2 ? AN 2 = 13 .

1 MN cos ?DMN ? 2 ?

13

在等腰三角形 DMN 中,MN=1,可得

DM 26 .

13 所以,异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值为 26 .

(Ⅲ)解:连接 CM.因为△ABC 为等边三角形,M 为边 AB 的中点,故 CM⊥AB,CM= 3 .又因 为平面 ABC⊥平面 ABD,而 CM ? 平面 ABC,故 CM⊥平面 ABD.所以,∠CDM 为直线 CD 与平面

- 8 - / 11

ABD 所成的角. 在 Rt△CAD 中,CD= AC2 ? AD2 =4.

sin ?CDM ? CM ? 3

在 Rt△CMD 中,

CD 4 .

3 所以,直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值为 4 。

21. (本小题满分 12 分)

F( p , 0) l : y ? x ? p

解:⑴依题意: 2 ,

2

? y2 ? 2 px

? ? ?? y

?

x

?

p 2

?

(x

?

p )2 2

?

2

px

? x2 ? 3 px ? p2 ? 0 2

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 3 p 。

AB ? x1 ? x2 ? p ? 3p ? p ? 4 p ? 16 ? p?4

故抛物线 C 的方程为 y2 ? 8x 。

⑵若经过 M (1, 2) 的直线的斜率不存在,此时直线与抛物线交于 P,Q ,则 P,Q 关于 x 轴对称,

满足 PN ? QN ,即直线 x ?1满足题意。若经过 M (1, 2) 的直线的斜率存在,设它为 k ,则

PQ : y ? 2 ? k(x ?1) 。

?y2 ? 8x ?

? [kx ? (k ? 2)]2 ? 8x

? y ? 2 ? k(x ?1)

? k 2 x2 ? 2(k 2 ? 2k ? 4)x ? (k ? 2)2 ? 0

2k2 ? 4k ? 8

x3 ? x4 ?

k2

设 P(x3, y3 ),Q(x4 , y4 )

,则

即 x3 ? x4 ? k 2 ? 2k ? 4

2

k2

- 9 - / 11

?

y3

? 2

y4

? k(k2

? 2k k2

? 4 ?1) ? 2 ?

4 k

PN ? QN 说 明点 N (5, 0) 在线段 PQ 的中垂线上,即线段 PQ 的中垂线为:

y

?

4 k

?

?

1 k

(x

?

k2

? 2k k2

?

4) 0?


4 k

?

?

1 k

(5 ?

k2

? 2k k2

?

4)

4

?

5

?

k

2

? 2k k2

?

4

?

2k

?

4

?

0即 k

?

2

所以直线 PQ 的方程为 y ? 2 ? 2(x ?1)即y ? 2x 。

故直线 PQ 的方程为 x ?1 或 y ? 2x 。

22. (本小题满分 12 分)

?2a ? 2c ? 6 ?a ? 2

解:⑴设 c 为椭圆的半焦距,依题意,有: ??a ? 2c

解得 ??c ? 1 。

b2 ? a2 ? c2 ? 3

x2 ? y2 ?1 故椭圆 E 的方程为 4 3 。

……………… 4 分

⑵ AC ? BD ? 0 ? AC ? BD,又 kAC ?

3

kBD
,则

?

?

3 3。

? x2

? ?

4

?

y2 3

?1

??y ? 3(x ?1)

? x2 ? (x ? 1)2 ? 1 4

? 5x2 ? 8x ? 0

x ? ?8 ?x ?0或 5

? ? AC ? 1 ? 3 2 0 ? (? 8) ? 16

?

5 5。

……………… 7 分

? x2 ?? 4

?

y2 3

?1

?

? ??

y

?

?

3 (x ? 1) 3

? x2 ? (x ? 1)2 ? 1 49

? 9x2 ? 4(x ? 1)2 ? 36

?13x2 ? 8x ? 32 ? 0

- 10 - / 11

。 ………………分 。 故四边形的面积为。

………………分

- 11 - / 11



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