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河北省永清县第一中学2018_2019学年高二数学上学期第二次质量检测试题理

永清县第一中学 2018-2019 上学期第二次质量检测

高二数学理科试题
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1. 抛物线 y ? x 2 的焦点坐标是( ).

A. ( 1 , 0) 2

B.(0, 1 ) 2

C.(0, 1 ) 4

2.“x>1"是"x>2"的( )条件

D.(0,- 1 ) 4

A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要

3.已知双曲线 C



x2 a2

?

y2

?1( a

?

0 )的一条渐近线与直线 l

: 2x

?

y

?1?

0 垂直,则实

数a ?(

)

A. 2 B. ? 2

1
C.

D. ? 1

2

2

4.将一枚硬币连掷了 3 次,正面朝上的情形出现了 2 次,若用 A 表示这一事件,则 A 的( )

2 A.概率为 3

1
B.概率为
3

1 C.概率为 4

5.如图,该程序运行后输出结果为( )

A.14 B.16

C.18 D.64

3 D.概率为 8

(第 5 题)

第6题

6.如图,正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直,且 AC=BC=2,∠ACB= 90°,F,G 分别是线段 AE,BC 的中点,则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为( )
- 1 - / 14

A.

3 6

B.-

3 6

C.

3 3

D.-

3 3

7.下列结论错误的是( )
A.命题“若 p ,则 q ”与命题“若 ? q ,则 ? p ”互为逆否命题 B.命题 p:? x∈[0,1],ex≥1,命题 q:? x∈R,x2+x+1<0,则 p∨q 为真命题 C.“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题为真命题 D.若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题 8.与直线 2x-y+4=0 平行的函数 y=x2 的切线方程是( )

A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0

9.已知椭圆 x2 ? y2 ? 1 与 x 轴交于 A、B 两点,P 为椭圆上一动点(不与 A、B 重合),则 32
kPA ?k PB? ( )

A. 3

B. ? 3

C. 2

2

2

3

D. ? 2 3

? ? 10 . 过 抛 物 线 y2 ? 2 px p ? 0 焦 点 F 的 直 线 L 交 抛 物 线 于 A、B 两 点 , 且

AF ? 3 BF ? 3 ,则此抛物线的方程为( )

A. y2 ? 3 x 2

B. y2 ? 3x

C. y2 ? 9 x 2

D. y2 ? 9x

11.已知双曲线

C: x2 a2

?

y2 b2

? 1(a>0,b>0)

的左、右焦点分别是

F1,

F2

,以

F2

为圆心和

双曲线的渐近 线相切的圆与双曲线的一个交点为 M ,若 △MF1F2 为等腰三角形,则 C 的离 心率是( )

4

5

A. 3

B. 3 C.3

D.5

12.在区间?0,1? 上任意取两个数 a, b ,则二次方程 x2 ? ax ? b2 ? 0 有实数根的概率为( )

A. 1 3

B. 2 3

C. 1 4

D. 3 4

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分)

- 2 - / 14

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分;)
13.已知命题 p : ?x ? R , sin x ≤1,则 ?p 是

14.已知函数 f ? x? 的导函数为 f ?? x? ,且满足 f ? x? ? 2xf ??e? ? lnx ,则 f ??e? ?

15.知双曲线方程是 x2

?

y2 2

? 1 ,过定点 P(2,1)作直线交双曲线于 P1、P2 两点,并使 P(2,

1)为 P1P2 的中点,则此直线方程是



16. 正四棱锥 S--ABCD 中,O 为顶点在底面上的射影,P 为侧棱 SD 的中点,且 SO=OD,则直线

BC 与面 PAC 的夹角的大小为



三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17. (10 分)命题 p :直线 y ? kx ? 3 与圆 x2 ? y2 ? 1相交于 A, B 两点;命题 q :曲线

x2 ? y2 ? 1表示焦点在 y 轴上的双曲线,若 p ? q 为真命题,求实数 k 的取值范围. k?6 k

x2 y2 ? ? 1, (a ? b ? 0)

3

18.(12 分)设椭圆 C: a 2 b 2

过点(0,4),离心率为 5 .

⑴求椭圆 C 的方程

4 ⑵求过点(3,0)且斜率为 5 的直线被 C 所截线段的中点坐标.

19.(12 分)某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问 50 名职工.根据

这 50 名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:

[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].

(1)求频率分布直方图中 a 的值; (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于 80 的概率; (3)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取 2 人,求此 2 人的评分都在[40,50)的概 率.
- 3 - / 14

20.(12 分) 如图所示, DC ? 平面 BCEF ,且四边形 ABCD 为矩形, 四边形 BCEF 为 直角梯形, BF // CE , BC ? CE , DC ? CE ? 4 , BC ? BF ? 2 .
(Ⅰ) 求证: AF // 平面 CDE ;
(Ⅱ) 求平面 AEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值.
21.(12 分)如图,在几何体 ABCDE中, BE ? 平面 ABC, CD // BE , ?ABC是等腰直 角三角形, ?ABC ? 900 ,且 BE ? AB ? 4 , CD ? 2 ,点 F 在线段 AC 上, 且 AF ? 3FC
(1)求异面直线 DF 与 AE 所成角; (2)求平面 ABC 与平面 ADE 所成二面角的余弦值。

22.(12

C:
分)已知椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

? 0)

的两个焦点分别为 F1 ,

F2 ,离心率为

2 2,

? ? 2, 2

且过点



(1)求椭圆 C 的标准方程.

( 2 )M 、N 、P 、Q 是椭圆 C 上的四个不同的点,两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 1 ?1
分别过点 F1 , F2 ,且这条直线互相垂直,求证: MN PQ 为定值.

永清一中 2018-2019 高二上学期第二次月考 - 4 - / 14

数学理科试题答题纸

二、填空题 (每小题 5 分,共 20 分;)

13.

14.

15.

16.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤.)

17.(10 分)

18. (12 分) - 5 - / 14

19.(12 分) - 6 - / 14

20.(12 分) - 7 - / 14

21.(12 分) - 8 - / 14

22.(12 分) - 9 - / 14

CBADB ACDDB BC

永清一中 2018-2019 高二上学期第二次月考 数学理科试题答案

13. ? x0∈R ,sinx0>1 17.(10 分)

1 14 - e

15. 4x-y-7=0

16.30°

.

- 10 - / 14

18.(12 分)⑴ x2 ? y 2 ? 1 ----------------------4 分 25 16

⑵( 3 ,- 6 ) ------------------------8 分 25
19.解:(1)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以 a=0.006.---------4



(2)由所给频率分布直方图知,50 名受访职工评分不低于 80 的频率为(0.022+0.018)×

10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为 0.4.---------8 分

(3)受访职工中评分在[50,60)的有:

50×0.006×10=3(人),记为 A1,A2,A3;

受访职工中评分在[40,50)的有:50×0.004×10=2(人),记为 B1,B2.

从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人,所有可能的结果共有 10 种,它们是{A1,A2},{A1,

A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}.又因

为所抽取 2 人的评分都在[40,50)的结果有 1 种,即{B1,B2},故所求的概率为110.

-------12



20、(12 分)解:(Ⅰ)

- 11 - / 14

以 C 为原点,CB 所在直线为 x 轴,CE 所在直线为 y 轴,CD 所在直 线为 z 轴 建立如图所示空间直角坐标系.根据题意,可得以下点的坐标: C(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) ,

D(0, 0, 4) , E(0, 4, 0) , A(2, 0, 4) , F (2, 2, 0)

则 AF ? (0, 2, ?4) ,

CB ? (2,0,0) .

CB ? (2, 0, 0) 为平面 CDE 的一个法向量. ………………3 分

又 AF ?CB ? 0? 2 ? 2? 0 ? (?4) ? 0 ? 0 ,? AF ? CB ,

AF ? 平面 CDE ? AF // 平面 CDE .

………………5 分

(Ⅱ)设平面 AEF 的一个法向量为 n1 ? (x1, y1, z1) ,则 ???n1 ? AE ? 0 ??n1 ? AF ? 0

AE ? (?2, 4, ?4), AF ? (0, 2, ?4)

???2?2y1x1??44z1y?1 ?04z1 ? 0 , 取 z1 ? 1,得 n1 ? (2, 2,1) . ………………8 分 又 CE ? 平面 ABCD ,?平面 ABCD 一个法向量为 n2 ? CE ? (0, 4,0) ,

设平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的大小为? ,则 cos? ? n1 ? n2 ? 2? 4 ? 2 n1 n1 3? 4 3
因此,平面 ADE 与平面 BCEF 所成锐二面角的余弦值为 2 . ………………12 分 3

21(12 分)

- 12 - / 14

- 13 - / 14

22.(12 分)

解:(1)∵

e ? c ? 2 ,∴ a2

b2 a2

?

a2 ? c2 a2

?1? e2

?

1 ,∴ 2

a2 ? 2b2 ,

? ? ∴

椭圆

C

的方程为

x2 2b2

?

y2 b2

? 1,又点

2,

2 在椭圆上,∴

22 2b2

( ?

2)2 b2

?1

解得 b2 ? 4 ,∴ a2 ? 8 ,∴ 椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .-------------4 分 84

( 2 )由(1)得椭圆 C 的焦点坐标为 F1 ??2,0? , F2 ?2,0? ,

①当直线 MN 的斜率为 0 时,则 MN ? 4 2,?PQ ? 2 2 ,

∴ 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 3 2 . ---------------6 分 MN PQ 4 2 2 2 8

②当直线 MN 的斜率为 0 时,设其 方程为y ? k ? x ? 2? ,
由直线 MN 与 PQ 互相垂直,可得直线 PQ的方程为y ? ? 1 ? x ? 2? ,
k
y ? k ?x ? 2?
? ? 由{ x2 ? y2 ? 1 消去 y 整理得 2k2 ?1 x2 ? 8k2x ? 8k2 ? 8 ? 0 , 84

设 M ? x1, y1 ?, N ? x2, y2 ? ,



x1

?

x2

?

?8k 2 2k 2 ?1



x1x2

?

8k 2 2k 2

?8 ?1



---------------------------8 分

? ? ∴

MN ?

1? k2

? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2

4 ?

2 1? k2 2k 2 ?1



4 2 ?1? k2 ?
同理 PQ ? k 2 ? 2 ,

------------------

10 分

? ? ? ? ? ? ∴

1 ?1?

2k 2 ?1 ?

k2 ?2

? 3k 2 ? 3 ? 3 2 .

MN PQ 4 2 1? k 2 4 2 1? k 2 4 2 1? k 2 8

综上可得 1 ? 1 ? 3 2 为定值。 MN PQ 8

------------ 12 分

- 14 - / 14



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