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版高中数学第三章不等式33一元二次不等式及其解法一学案新人教B版必修5(数学教案)

3.3 一元二次不等式及其解法(一) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元 二次不等式.3.体会数形结合、分类讨论思想. 知识点一 一元二次不等式的概念 思考 我们知道,方程 x =1 的解集是{1,-1},解集中的每一个元素均可使等式成立.那 么你能写出不等式 x >1 的解集吗? 2 2 梳理 (1)只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式不等式,称为__________ 不等式. (2)能使不等式成立的未知数 x 的一个值称为不等式的一个解. (3)不等式所有解的________称为解集. 知识点二 “三个二次”的关系 思考 分析二次函数 y=x -1 与一元二次方程 x -1=0 和一元二次不等式 x -1>0 之间的关 系. 2 2 2 梳理 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表. Δ =b -4ac 2 Δ >0 Δ =0 Δ <0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有__________ __________ 有__________ __________ 没有实 数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 __________ __________ {x|x≠- } 2a b R 1 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 __________ ? ____ 知识点三 一元二次不等式的解法 思考 根据上表,尝试解不等式 x +2>3x. 2 梳理 解一元二次不等式的步骤: (1)化为基本形式 ax +bx+c>0 或 ax +bx+c<0(其中 a>0); (2)计算 Δ =b -4ac,以确定一元二次方程 ax +bx+c=0 是否有解; (3)有根求根; (4)根据图象写出不等式的解集. 2 2 2 2 类型一 一元二次不等式的解法 命题角度 1 二次项系数大于 0 例 1 求不等式 4x -4x+1>0 的解集. 2 反思与感悟 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先化为一般形式,在具体求解一个 一般形式的一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的 图象. 跟踪训练 1 求不等式 2x -3x-2≥0 的解集. 命题角度 2 二次项系数小于 0 例 2 解不等式-x +2x-3>0. 2 2 2 反思与感悟 将-x +2x-3>0 转化为 x -2x+3<0 的过程注意符号的变化, 这是解本题关键 之处. 跟踪训练 2 求不等式-3x +6x>2 的解集. 2 2 2 命题角度 3 含参数的二次不等式 例 3 解关于 x 的不等式 ax -(a+1)x+1<0. 2 反思与感悟 解含参数的不等式,可以按常规思路进行:先考虑开口方向,再考虑判别式的 正负,最后考虑两根的大小关系,当遇到不确定因素时再讨论. 跟踪训练 3 解关于 x 的不等式(x-a)(x-a )<0. 2 类型二 “三个二次”间对应关系的应用 例 4 已知关于 x 的不等式 x +ax+b<0 的解集为{x|1<x<2},试求关于 x 的不等式 bx + 3 2 2 ax+1>0 的解集. 反思与感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口及与 x 轴的交 点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练 4 已知不等式 ax -bx+2<0 的解集为{x|1<x<2},求 a,b 的值. 2 1.不等式 2x -x-1>0 的解集是( ? ? 1 A.?x|- <x<1? 2 ? ? 2 ) B.{x|x>1} ? ? 1 D.?x|x<- 或x>1? 2 ? ? C.{x|x<1 或 x>2} 2.不等式-6x -x+2≤0 的解集是( ? 2 1? A.?x|- ≤x≤ ? 3 2? ? ? 1? C.?x|x≥ ? 2? ? 2 2 ) ? 2 1? B.?x|x≤- 或x≥ ? 3 2? ? ? 3? D.?x|x≤- ? 2? ? 3.不等式 x +x-2<0 的解集为___________________________________________. 4.若不等式(a-2)x +2(a-2)x-4<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 2 4 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等 式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax +bx+c>0(a>0)或 ax +bx+c<0(a>0); ②求方程 ax +bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数 y=ax +bx+c 图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当 m<n 时,若(x-m)(x-n)>0,则可得 x>n 或 x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得 m<x<n. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间. 2.含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不 漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数 a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:两根(Δ >0),一根(Δ =0),无根(Δ <0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2. 2 2 2 2 5 - 高氯酸 对阿胶 进行湿 法消化 后, 用 导数火 焰原子 吸收光 谱技术 测定阿 胶中的 铜、 “中 药三大 宝, 人 参、鹿 茸和阿 胶。 ”阿胶 的药用 已有 两千多 年的悠 久历史, 历代 宫① 马 作峰. 论疲劳 源于肝 脏[J]. 广西中 医药,20 08,31( 1):31. ① 史 丽萍,马


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