9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省福州市八县(市)一中高二数学下学期期末联考试题理

福建省福州市八县(市)一中 2018-2019 学年高二数学下学期期末联

考试题 理
考试时间:7 月 9 日 完卷时间:120 分钟 满分:150 分 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.∴∴∴。,、

1. (x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) (x ?15)(x ? N? , x ? 15) 可表示为( )

A.

A13 x?2

B.

A14 x?2

C.

A13 x ?15

D.

A14 x ?15

2.为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两个同学各自独立做了 15 次和 20 次

试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线为 l1 和 l2,已知在两人的试验中发现对变量 x 的观测数据的平均值恰好相等,都为 s,对变量 y 的观测数据的平均值也恰好相等,都为 t,

那么下列说法正确的是(

)∴∴∴。,、

A.直线 l1 和直线 l2 有交点(s,t) C.直线 l1 和直线 l2 必定重合

B.直线 l1 和直线 l2 相交,但交点未必是点(s,t) D.直线 l1 和直线 l2 由于斜率相等,所以必定平行

3.“中国梦”的英文翻译为“China Dream”,其中 China 又可以简写为 CN,从“CN Dream”

中取 6 个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有( )∴∴∴。,、

A.360 种

B.480 种

C.600 种

D.720 种∴∴∴。,、

4.已知下列说法:

①对于线性回归方程 y? ? 3 ? 5x ,变量 x 增加一个单位时, y? 平均增加 5 个单位;

②甲、乙两个模型的 R2 分别为 0.98 和 0.80 ,则模型甲的拟合效果更好;

③对分类变量 X 与Y ,随机变量 K 2 的观测值 k 越大,则判断“ X 与Y 有关系”的把握程度

越大;

④两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数就越接近 1.其中说法错误的个数为( )

∴∴∴。 ,、
A.1

B. 2

C. 3

D. 4

5.在市高二下学期期中考试中,理科学生的数学成绩 X N (90,? 2 ) ,已知 P(70<X≤90)

=0.35,则从全市理科生中任选一名学生,他的数学成绩小于 110 分的概率为( )∴∴∴。,、

A.0.15

B. 0.50

C.0.70

D. 0.85

6.抛掷甲、乙两颗骰子,若事件 A:“甲骰子的点数大于 3”;事件 B:“甲、乙两骰子的点

数之和等于 7”,则 P(B/A)的值等于(

)∴∴∴。,、

-1-

A.

B.

C.

D.

7.现有一条零件生产线,每个零件达到优等品的概率都为 p.某检验员从该生产线上随机抽

检 50 个零件,设其中优等品零件的个数为 X.若 D(X)=8,P(X=20)<P(X=30),

则 p=(

)∴∴∴。,、

A.0.16

B.0.2

C.0.8

D.0.84

8.某市践行“干部村村行”活动,现有 3 名干部甲、乙、丙可供选派,下乡到 5 个村蹲点指

导工作,每个村至少有 1 名干部,每个干部至多住 3 个村,则干部甲住 3 个村的概率为 ( )∴∴∴。,、

A. 2 15

B. 4 15

C. 2 5

D. 3 5

9.定义在区间[0,1]上的函数 f (x) 的图象如下图所示,以 A(0, f (0)) 、B(1, f (1)) 、C(x, f (x))

为顶点的△ABC 的面积记为函数 S(x) ,则函数 S(x) 的导函数 S ?(x) 的大致图象为( )∴∴∴。,、

10.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中,对同余除法有较深的研究.设 a,b, m(m ? 0) 为整数,若 a 和 b 被 m 除得余数相同,则称 a 和 b 对模 m 同余.记为 a ? b(modm ).若 a ? C300 ? C310 ? 2 ? C320 ? 22 ? … ?230 , a ? b(mod10) ,则 b 的值可以是( )

A. 2019

B. 2020

C. 2021

D. 2022

? ? 11. 设 集 合 A ? ( x1 , x2 , x3 , x4 )i x?? ? 1 ,?0 , 1?i , 1 , ,2 ,那3 ,么4 集 合 A 中 满 足 条 件

“ x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? 4 ”的元素个数为( )

A. 60

B. 65

C. 80

D. 81

12.已知函数 f (x) 的导函数为 f ?(x) ,且对任意的实数 x 都有 f ?(x) ? e?x (2x ? 3) ? f (x) ( e

是自然对数的底数),且 f (0) ? 1,若关于 x 的不等式 f (x) ? m ? 0 的解集中恰有两个整

数,则实数 m 的取值范围是(

)∴∴∴。,、

? ? A. ? e2,0

B. ?? e,0?

C.?? e,0?

二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

? ? D. ? e2,0

-2-

13.已知 X 的分布列为

X -1

0

1

P

1 2

1 3

a

设 Y=2X+3,则 E(Y)的值为________

14.设(x2+1)(4x﹣3)8=a0+a1(2x﹣1)+a2(2x﹣1)2+…+a10(2x﹣1)10,则 a1+a2+…+a10

=________________.

∴∴∴。, 、

15.甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛,采用三局二胜制,先胜两局者赢得比赛,比赛随即 结束,已知任一局甲胜的概率为 p,若甲赢得比赛的概率为 q,则 q﹣p 取得最大值时 p=

________________.∴∴∴。,、

16.将 4 个相同的白球、 5 个相同的黑球、 6 个相同的红球放入 4 个不同盒子中的 3 个中,使 得有1个空盒且其他 3 个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有________________.∴∴∴。,、
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.∴∴∴。,、

(一)必考题:共 60 分.

? 17.(12 分) 已知 ??

x

?

1 2? 6

x

?n ??

的展开式中,前三项系数成等差数列.

(1)求含 x2 项的系数;

? (2)将二项式 ??

x

?

1 2? 6

x

?n ??

的展开式中所项重新排成一列,求有理项互不相邻的概率.

18.(12 分) 某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响,随机选取 名驾驶员先 后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试. 测试的方案:电脑模拟驾驶,以某速度 匀速行驶,记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子完全停下所需要的 距离).无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表 1 和表 2.∴∴∴。,、
表1

停车距离 (米)

频数

26

40

24

8

2

-3-

表2 平均每毫升血液酒精含量 毫克
平均停车距离 米
? 统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值例如区间 ?1, 2 的中点值为1.5 )作为代表;

(1)根据最小二乘法,由表 2 的数据计算 关于 的回归方程



(2)该测试团队认为:驾驶员酒后驾车的平均“停车距离” y 大于无酒状态下(表 1)的停

车距离平均数的 3 倍,则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(1)中的回归方程,预测当每毫升血

液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”?∴∴∴。,、

n

n

? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx ? y

回归方程 y? ? b?x ? a? 中, b? ? i?1 n

? i?1 n

, a? ? y ? b?x .

? ? xi ? x ?2

? xi2 ? nx 2

i ?1

i ?1

19.(12 分) 伴随着智能手机的深入普及,支付形式日渐多样化,打破了传统支付的局限性和

壁垒,有研究表明手机支付的使用比例与人的年龄存在一定的关系,某调研机构随机抽取了

50 人,对他们一个月内使用手机支付的情况进行了统计,如表:∴∴∴。,、

年龄(单位:[15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75)

岁)

人数

5

10

15

10

5

5

使用手机支

3

10

12

7

2

1

付人数

(1)若以“年龄 55 岁为分界点”,由以上统计数据完成下面的 2×2 列联表,并判断是否

有 99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关;∴∴∴。,、

年龄不低于 55 岁的人数 年龄低于 55 岁的人数 合计

使用

不适用

合计 (2)若从年龄在[55,65),[65,75)内的被调查人中各随机选取 2 人进行追踪调查,记选 中的 4 人中“使用手机支付”的人数为 ξ ,求随机变量 ξ 的分布列与数学期望;∴∴∴。,、
参考数据如下:

-4-

P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.001

k0

3.841 6.635 10.828

参考格式:K2=

,其中 n=a+b+c+d

20.(12 分) 由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏,第一关解密码锁,3 个人依 次进行,每人必须在 1 分钟内完成,否则派下一个人.3 个人中只要有一人能解开密码锁,则 该团队进入下一关,否则淘汰出局.根据以往 100 次的测试,分别获得甲、乙解开密码锁所 需时间的频率分布直方图.∴∴∴。,、

(1)若甲解开密码锁所需时间的中位数为 47,求 a、b 的值,并分别求出甲、乙在 1 分钟

内解开密码锁的频率;∴∴∴。,、

(2)若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概

率,并且丙在 1 分钟内解开密码锁的概率为 0.5,各人是否解开密码锁相互独立.∴∴∴。,、

①求该团队能进入下一关的概率;

②该团队以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目 X 的数学期望达到最小,并

说明理由.21.(12 分)

已知函数

f (x) ? ln x ? a ?1,

g(x) ?

a(sin x ?1) ? 2
∴∴∴。 ,、

x

x

(1)讨论函数 f (x) 的单调性;

(2)求证:当 0 ? a ? 1时, f (x) ? g(x) .
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第

-5-

一题计分. 22.(10 分)【选修 4-4:坐标系与参数方程】

??x=2+cosα , 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为???y=2+sinα (α 为参数),直线 C2 的方程为 y

= 3x,以 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.∴∴∴。,、

(1)求曲线 C1 和直线 C2 的极坐标方程;

1

1

(2)若直线 C2 与曲线 C1 交于 A,B 两点,求 |OA| + |OB|.∴∴∴。,、

23.(10 分)【选修 4-5:不等式选讲】
已知函数 f ? x? ? 2x ?1 ? x ?1 . (1)解不等式 f ? x? ? 2 ;
(2)若不等式 m ?1 ? f (x) ? x ?1 ? 2x ?3 有解,求实数 m 的取值范围.

-6-

2018-2019 学年第一学期八县(市)一中期末联考 高二数学(理科)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答案 B

B

C

A

D

C

C

A

D CD B

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13. 7 3

14. 3 4

15. 3 ? 3 6

16. 720

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

11 17.解:(1)∵前三项系数 1,2C1n,4C2n成等差数列.

…………………1 分∴∴∴。,、

1

1

∴2·2C1n=1+4C2n,即 n2-9n+8=0.∴n=8 或 n=1(舍去)

…………………3 分∴∴∴。,、

∴展开式中通项公式 Tr+1= C8r (

x )8?r ( 1 )r 26 x

?

Cnr

(1)r 2

4? 2 r
x3

,r=0,1,…,8.

…4 分

令 4- 2 r=2,得 r=3,

3

∴含

x2

项的系数为

C 83

(

1 2

)3

?

7

(2)当 4- 2 r 为整数时,r=0,3,6. 3

…………………5 分∴∴∴。,、 …………………6 分∴∴∴。,、
…………………8 分∴∴∴。,、

∴展开式共有 9 项,共有 A99 种排法.

…………………9 分

其中有理项有 3 项,有理项互不相邻有 A66 A73 种排法,

………………11 分

∴有理项互不相邻的概率为 P ?

A66 A73 A99

?5 12

………………12 分

18.解:(1)依题意,可知 x ? 50, y ? 60 ,

……………………1 分

5
? xi yi ? 10? 30 ? 30? 50 ? 50? 60 ? 70? 70 ? 90? 90 ? 17800
i ?1

5
? xi2 ? 102 ? 302 ? 502 ? 702 ? 902 ? 16500
i ?1

……………………3 分

-7-

5

?? b? ??

xi yi ? 5x ? y
i ?1
5
xi2 ? 5x 2

? 17800 ? 5? 50 ? 60 16500 ? 5? 502

?7 10

i ?1

a? ? y ? b?x ? 60 ? 7 ?50 ? 25 10

所以回归直线方程为 y? ? 0.7x ? 25 .

……………………4 分
……………………5 分 ……………………6 分

(2)停车距离的平均数为

d ? 15? 26 ? 25? 40 ? 35? 24 ? 45? 8 ? 55? 2 ? 27 ………………9 分

100

100

100

100

100

当 y ? 3? 27 ,即 y ? 81时认定驾驶员是“醉驾”,

令 y? ? 81,得 0.7x ? 25 ? 81,解得 x ? 80 ,

……………………11 分

所以当每毫升血液酒精含量大于 80 毫克时认定为“醉驾”. …………………12 分

19.解:(1)根据题意填写 2×2 列联表,如下;

年龄不低于 55 岁的人数 年龄低于 55 岁的人数 合计

使用

3

32

35

不适用

7

8

15

合计

10

40

50

……………………2 分

根据表中数据,计算 K2 的观测值 k = 50? (3?8 ? 32? 7)2 = 200 ≈9.524>6.635, 35?15?10? 40 21

……………………4 分

所以有 99%的把握认为“使用手机支付”与人的年龄有关; ……………………5 分

(2)由题意可知 ξ 所有可能取值有 0,1,2,3;

P(?

? 0)

?

C32 C52

? C42 ? C52

?

9 50



P(?

? 1) ?

C21 ? C31 ? C42 C52 ? C52

?

C32 ? C11 ? C41 C52 ? C52

?

12 25

P(?

? 2) ?

C21 ? C31 ? C11 ? C41 C52 ? C52

?

C22 C52

? ?

C42 C52

?3 10

, P(?

? 3) ?

C22 ? C11 ? C41 C52 ? C52

?

1 25

……………………9 分

所以 ξ 的分布列是:

-8-

?

0

1

2

3

p

……………………10 分

ξ 的数学期望是 E(ξ )=0× +1× +2× +3× = .………………12 分

20.解:(1)甲解开密码锁所需时间的中位数为 47,

∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×(47﹣45)=0.5,

解得 b=0.026;

……………………1 分∴∴∴。,、

∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10=0.5,

解得 a=0.024;

……………………2 分∴∴∴。,、

∴甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 f 甲=1﹣0.01×10=0.9;

……………3 分

乙在 1 分钟内解开密码锁的频率是 f 乙=1﹣0.035×5﹣0.025×5=0.7;……………4 分

(2)由(1)知,甲在 1 分钟内解开密码锁的频率是 0.9,乙是 0.7,丙是 0.5,

且各人是否解开密码锁相互独立;

① 令“团队能进入下一关”的事件为 A ,“不能进入下一关”的事件为 A

P( A) ? (1﹣0.9)(1﹣0.7)(1﹣0.5)=0.015,

……………………5 分

∴该团队能进入下一关的概率为

P( A) ? 1? P( A) ? 1﹣0.015=0.985;

……………………7 分

②设甲、乙、丙三个人各自能完成任务的概率分别 p1,p2,p3,且 p1,p2,p3 互不相等,

根据题意知 X 的取值为 1,2,3;

则 P(X=1)=p1

P(X=2)=(1﹣p1)p2

P(X=3)=(1﹣p1)(1﹣p2)

E(X)=p1+2(1﹣p1)p2+3(1﹣p1)(1﹣p2)=3﹣2p1﹣p2+p1p2

∴E(X)=3﹣(p1+p2)+p1p2﹣p1,

……………………9 分∴∴∴。,、

若交换前两个人的派出顺序,则变为 3﹣(p1+p2)+p1p2﹣p2,

由此可见,当 p1>p2 时,

交换前两人的派出顺序可增大均值,应选概率大的甲先开锁; ……………………10 分

若保持第一人派出的人选不变,交换后两人的派出顺序,

-9-

∵E(X)=3﹣(p1+p2)+p1p2﹣p1=3﹣2p1﹣(1﹣p1)p2, ∴交换后的派出顺序则变为 3﹣2p1﹣(1﹣p1)p3, 当 p2>p3 时,交换后的派出顺序可增大均值;

所以先派出甲,再派乙,最后派丙,

这样能使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小. ……………………12 分

21.解:(1)

f

'(x)

?

1 x

?

a ?1 x2

?

x

? (a ?1) x2

, (x ? (0,??))

……………1 分

当 a ?1? 0 ,即 a ?1时, f '(x) ? 0 ,函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增 …………2 分

当 a ?1 ? 0 ,即 a ?1时,

由 f '(x) ? 0 解得 0 ? x ? a ?1,由 f '(x) ? 0 解得 x ? a ?1 ,

∴ 函数 f (x) 在 (0, a ?1) 上单调递减,在 (a ?1,??) 上单调递增.

综上所述,当 a ?1 时,函数 f (x) 在 (0, ??) 上单调递增;

当 a ?1时函数 f (x) 在 (0, a ?1) 上单调递减,在 (a ?1,??) 上单调递增. …………4 分

(无综上所述,若分类清楚不扣分)

(2) 令 F(x) ? f (x) ? g(x) ? ln x ? a ?1 ? a(sin x ?1) ? 2 = x ln x ? a sin x ?1

x

x

x

当 0 ? a ?1时,欲证 f (x) ? g(x) ,即证 F(x) ? 0 ,即 x ln x ? asin x ?1 ? 0 ,

即证 x ln x ? asin x ?1
证法一:
①当 0 ? a ?1时

……………………5 分

h(x) ? x ? sin x, h'(x) ? 1? cosx ? 0 ,所以 h(x) 在 (0,??) 上单调递增,

h(x) ? h(0) ? 0, 即 x ? sin x ?ax ?1? asin x ?1

……………………6 分

0 ? a ?1, ?x ?1? ax ?1

令 u(x) ? x ln x ? x ?1,u'(x) ? ln x , u '(x) ? 0 得 x ?1,

则列表如下:

x

( 0,1)

1

(1,??)

u'(x)



0

?

- 10 -

u(x)

极小值

?u(x) ? u(1) ? 0 ,即 x ln x ? x ?1

∴当 0 ? a ?1时, x ln x ? x ?1? ax ?1? asin x ?1 ……………………9 分

②当 a ? 0 时,即证 x ln x ? ?1 令 v(x) ? x ln x ?1, v?(x) ? ln x ?1, v?(x) ? 0 得 x ? 1 e

可得

v(x)



? ??

0,

1 e

? ??

上单调递减,在

? ??

1 e

,

??

? ??

上单调递增,



v(x)

?

v

? ??

1 e

? ??

?

?

1 e

?

1

?

0

,故

x

ln

x

?

?1

……………………11 分

综上①②可知当 0 ? a ? 1时, f (x) ? g(x) 成立.

……………………12 分

证法二:
先证: xln x≥ax ?1.

设 g(x) ? x ln x ? ax ?1. 则 g?(x) ?1? ln x ? a ? ln x ?1? a , ………………6 分

∴ f (x) 在 (0, ea?1) 上单调递减,在 (ea?1,??) 上单调递增. ……………………7 分

∴ g(x)≥g(ea?1) ? (a ?1)ea?1 ? aea?1 ?1 ? 1? ea?1 .

……………………8 分

∵ 0≤a≤1, ∴1? ea?1≥0 ,则 g(x)≥0 ,

即 x ln x≥ax ?1,当且仅当 x ? 1, a ? 1时取等号. 再证: ax ?1≥asin x ?1.
设 h(x) ? x ? sin x ,则 h' (x) ? 1? cos x≥0 .

……………………9 分

∴ h(x) 在 (0,??) 上单调递增,则 h(x) ? h(0) ? 0 ,即 x ? sin x .

∵ 0≤a≤1,所以 ax ?1≥asin x ?1.当且仅当 a ? 0 时取等号. …………11 分

又 x ln x≥ax ?1与 ax ?1≥asin x ?1两个不等式的等号不能同时取到,

即 x ln x ? asin x ?1成立, 当 0 ? a ? 1时, f (x) ? g(x) 成立.

……………………12 分

22.解:(1)曲线 C1 的普通方程为(x-2)2+(y-2)2=1, 即 x2+y2-4x-4y+7=0,

……………………1 分

- 11 -

所以极坐标方程为 ρ 2-4ρ cosθ -4ρ sinθ +7=0.

……………………2



π 直线 C2 极坐标方程为 θ = 3 (ρ ∈R). (2)直线 C2 与曲线 C1 的极坐标方程联立,

……………………4 分∴∴∴。,、

可得 ρ 2-(2+2 3)ρ +7=0 .

……………………6 分∴∴∴。,、

设 A,B 两点对应的极径分别为 ρ 1,ρ 2,

则 ρ 1+ρ 2=2+2 3>0,ρ 1ρ 2=7>0,∴ρ 1,ρ 2 同正,

……………………8 分

∴∴∴。 ,、

?1? 1 ? OA OB

1?1 ?1 ?2

? ?1 ? ? 2 ?1 ? ?2

? 2?2 7

3

23.解:

……………………10 分

???x ? 2, ?

x??1 2

(1) f ? x? ? 2x ? 1 ? x ?1 = ??3x,
?

? 1 ? x ?1, 2

?x ? 2, x ? 1

??



?? x ?

?

?

1 2

???x ? 2 ?

2



??? ?

1 2

?

x

??3x ? 2

?

1



?x ?? x

? ?

1 2

?

2



解得 ?4 ? x ? ? 1 或 ? 1 ? x ? 2 或无解,

22

3

……………………2 分 ……………………4 分

综上,不等式

f

?

x?

?

2

的解集是

?? x ?

?4

?

x

?

2?

3

? ?



……………………5 分

(2) f ? x? ? x ?1 ? 2x ? 3 ? 2x ?1 ? x ?1 ? x ?1 ? 2x ? 3 ? 2x ?1 ? 2x ? 3

? 2x ?1? ?2x ? 3? ? 4 ,

……………………6 分

当 ? 1 ? x ? 3 时等号成立不等式 m ?1 ? f ? x? ? x ?1 ? 2x ? 3 有解,

2

2

∴ m ?1 ? ?? f ? x? ? x ?1 ? 2x ? 3 ??min ,

∴ m ?1 ? 4,

……………………8 分



∴∴。, 、
∴ m ?1 ? ?4 或 m ?1 ? 4 ,即 m ? ?3 或 m ? 5 ,
∴实数 m 的取值范围是 ???, ?3? ?5,???

……………………10 分

- 12 -



学霸百科 | 新词新语

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图