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【新课标】2018-2019学年北师大版必修2高中数学《空间图形基本关系的认识、空间图形的公理》练习

高中数学 1.4 第 1 课时空间图形基本关系的认识、空间图形 的公理(公理 1,2,3)课时训练 北师大版必修 2 一、选择题 1.(2013·日照高一检测)下列叙述中错误的是( A.若 P∈α∩β且α∩β=l,则 P∈l B.三点 A,B,C 只能确定一个平面 C.若直线 a∩b=A,则直线 a 与 b 能够确定一个平面 D.若 A∈l,B∈l 且 A∈α,B∈α,则 l 【解析】 不共线的三点才能确定平面,所以 B 错. 【答案】 B 2.(2013·桂林高一检测)下列说法正确的是( A.平面α和平面β只有一个公共点 B.两两相交的三条直线必共面 C.不共面的四点中,任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合 【解析】 四点中,若三点共线,则四点便成了一条直线和直线 外一点,则共面,所以与四点不共面矛盾,所以 C 正确. 【答案】 C 3.已知 a,b 是异面直线,直线 c∥a,则 c 与 b( A.一定是异面直线 C.不可能是平行直线 B.一定是相交直线 D.不可能是相交直线 ) ) ) 【解析】 若 a,b 异面,c∥a,则 c 与 b 相交或异面,则 C 正确. 【答案】 C 图 1-4-6 4.(2013·烟台高一检测)如图 1-4-6,平面α∩平面β=l,点 A ∈α,点 B∈α,且点 C∈β,点 C?l.又 AB∩l=R,设 A,B,C 三点 确定的平面为γ,则β∩γ是 ( ) B.直线 BC D.直线 AR ABC,而 R∈AB,∴R A.直线 AC C.直线 CR 【解析】 ∵C∈平面 ABC,AB ∈平面 ABC.而 C∈β,l R∈l,∴R∈β, ∴点 C,点 R 为两平面 ABC 与β的公共点,∴β∩γ=CR. 【答案】 C 5.在四面体 ABCD 的棱 AB,BC,CD,DA 上分别取 E,F, G,H 四点,如果 EF 与 HG 交于点 M,则( A.M 一定在直线 AC 上 B.M 一定在直线 BD 上 C.M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.M 不在 AC 上,也不在 BD 上 【解析】 因为 E,F,G,H 分别是四面体 ABCD 的棱 AB, BC,CD,DA 上的点,EF 与 HG 交于点 M,所以点 M 为平面 ABC 与平面 ACD 的公共点,而两个平面的交线为 AC,所以 M 一定在直 线 AC 上. ) 【答案】 A 二、填空题 图 1-4-7 6.如图 1-4-7 所示,用符号语言可表示为________. 【解析】 根据图形语言与符号语言之间的转化可得α∩β=m, n m∩n=A. 【答案】 α∩β=m,n m∩n=A 图 1-4-8 7.(2013·合肥高一检测)如图 1-4-8,在这个正方体中,① BM 与 ED 平行; ②CN 与 BM 是异面直线; ③CN 与 BE 是异面直线; ④DN 与 BM 是异面直线. 以上四个命题中,正确命题的序号是________. 【解析】 观察图形可知①③错误,②④正确. 【答案】 ②④ 8.下列说法中正确的个数是________. ①两条直线无公共点,则这两条直线平行; ②两直线若不是异面直线,则必相交或平行; ③过平面外一点与平面内一点的连线, 与平面内的任意一条直线 均构成异面直线; ④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. 【解析】 对于①,空间两直线无公共点,则可能平行,也可能 异面,因此①不正确;对于②,因空间两条不重合的直线的位置关系 只有三种:平行、相交或异面,故②正确;对于③,过平面外一点与 平面内一点的连线, 和平面内过该点的直线是相交直线, 故③不正确; 对于④,和两条异面直线都相交的两直线可能是相交直线,故④不正 确.故正确的个数为 1. 【答案】 1 三、解答题 9.用符号表示下列语句,并画出图形. (1)三个平面α,β,γ相交于一点 P,且平面α与平面β相交于 PA, 平面α与平面γ相交于 PB,平面β与平面γ相交于 PC; (2)平面 ABD 与平面 BDC 相交于 BD,平面 ABC 与平面 ADC 相交于 AC. 【解】 (1)语句可表示为α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB, β∩γ=PC,图形如图①所示. (2)语句可表示为平面 ABD∩平面 BDC=BD,平面 ABC∩平面 ADC=AC.图形如图②所示. 图 1-4-9 10.如图 1-4-9 所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD, 直线 AB,BC,AD,DC 分别与平面α相交于点 E,G,H,F.求证: E,F,G,H 四点必定共线. 【证明】 ∵AB∥CD, ∴可设 AB,CD 确定一个平面β. 又∵AB∩α=E,AB ∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面α与β的一个公共点. 同理可证 F,G,H 均为平面α与β的公共点. ∵由公理 3 两个平面有公共点, 它们有且只有一条通过公共点的 公共直线. ∴E,F,G,H 四点必定共线. 11.已知 a、b、c、d 是两两相交且不共点的四条直线,求证: 直线 a、b、c、d 共面. 【证明】 (1)无三线共点情况. 如图所示,设 a∩d=M, b∩d=N,c∩d=P,a∩b=Q, a∩c=R,b∩c=S,∵a∩d=M, ∴a、d 可确定一个平面α. ∵N∈d,Q∈a,∴N∈α,Q∈α, ∴NQ b c ∴a、b、c、d 共面. (2)有三线共点的情况, 如图所示, 设 b、c、d 三线相交于点 K,与直线 a 分别相交于点 N、P、M 且 K?a, ∵K?a,∴K 和 a 确定一个平面,设为β. ∵N∈a,a 同理 c d N∈β,∴NK b . a、b、c、d 共面, 由(1)(2)可知 a、b、c、d 共面.


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