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【全国百强校】天津市静海县第一中学2017-2018学年高二10月学生学业

【全国百强校】天津市静海县第一中学 2017-2018 学年高二 10 月学 生学业能力调研数学试题(附加题) 一、解答题 1.如下图,三棱柱 ,O 为 中点. 中,侧面 底面 , ,且 (Ⅰ)证明: (Ⅱ)求直线 平面 与平面 ; 所成角的正弦; 平面 ,若不存在,说明理由;若存在,确定 (Ⅲ)在 上是否存在一点 ,使得 点 的位置. 【答案】(1)详见解析;(2) 【解析】(1)因为侧面 底面 ;(3) 为 的中点. 即可. ,所以只需证明 (2)可以以 O 为原点,ON,OC,OA1所在直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,然后用 向量的方法求解线面角的问题. (3)在(2)的基础上也可以用向量来求点 E 位置.也可以取 BC 的中点 M,连接 OM,取 BC1 的中点 E,连接 ME,则 OM//AB,ME//BB1//AA1,所以平面 OMB//平面 AA1B,所以 OE//平面 .从而确定 E 为 BC1 的中点. (Ⅰ)证明:因为 所以 又由题意可知,平面 所以 平面 所在直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系. 平面 ,交线为 ,且 平面 , ,且 O 为 AC 的中点, (Ⅱ)如图,以 O 为原点, 由题意可知, 又 所以得: 则有: 设平面 的一个法向量为 ,令 ,得 ,则有 所以 因为直线 (Ⅲ)设 与平面 所成角 和向量 与 所成锐角互余,所以 即 ,得 所以 令 即 平面 ,得 得 得 , 即存在这样的点 E,E 为 2.如图, 的中点 平面 , // , , , . 是平行四边行, (1)证明: //平面 ; 平面 ; 所成角的正弦值; 的平面角的正切值. (2)求证:平面 (3)求直线 (4)求二面角 与平面 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) ;(4) . 【解析】试题分析:(1)取 的中点 ,连 , ,利用平行四边形得到线线平行,进 而利用线面平行的判定定理进行证明;(2)先利用余弦定理、勾股定理证明线线垂直,再 利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明;(3)利用面面垂直的性质作出线面垂直, 进而找出线面角;(4)先作出二面角的平面角,再利用直角三角形进行求解. 试题解析:(1)取 则 又 所以 的中点 ,连 // , , 。由已知 // , , , 为平行四边形,所以 平面 //平面 , 平面 (2) 所以 ∴ ∵ ∴ 又 中, , ∴ 平面 又∵ 平面 ∴平面 于 与平面 , ,连 平面 ∴ 平面 ,可证 平面 平面 (3)作 为 , 所成角 , , 。 答: 直线 (4) 与平面 . 所成角的正弦值为 。 3.如图, 是平行四边行, 平面 , // , , , . (1)证明: //平面 ; 平面 ; 所成角的正弦值; 的平面角的正切值. ;(4) . (2)求证:平面 (3)求直线 (4)求二面角 与平面 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 【解析】试题分析:(1)取 的中点 ,连 , ,利用平行四边形得到线线平行,进 而利用线面平行的判定定理进行证明;(2)先利用余弦定理、勾股定理证明线线垂直,再 利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明;(3)利用面面垂直的性质作出线面垂直, 进而找出线面角;(4)先作出二面角的平面角,再利用直角三角形进行求解. 试题解析:(1)取 则 又 所以 的中点 ,连 // , , 。由已知 // , , , 为平行四边形,所以 平面 //平面 , 平面 (2) 所以 ∴ ∵ 中, , ∴ 平面 平面 ∴ 又 平面 又∵ ∴平面 于 与平面 , ,连 ∴ 平面 ,可证 平面 (3)作 为 , 平面 所成角 , , 。 答: 直线 (4) 与平面 . 所成角的正弦值为 。


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