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高中数学北师大版选修1-1第三章《导数应用》word教案


复习总结:导数应用 导读 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c, x m (m 为有理数), sin x, cos x, e , a , ln x, log a x 的导 数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单 函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 知识网络 x x 导数的概念 导数 导数的求法 和、差、积、商、复合函数的导数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇 到有关问题要能自觉地运用导数. 典型例题 例 1.求函数 y= x2 ? 1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 2 解 ∵Δ y= ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 x0?x ? (?x)2 ( x0 ? ?x) ? 1 ? 2 2 x0 ?1 ,? ?y 2 x0 ? ?x ? . 2 ?x ( x0 ? ?x)2 ? 1 ? x0 ?1 变式训练 1. 求 y= x 在 x=x0 处的导数 解 x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ?y ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x?0 ?x ?x( x0 ? ?x ? x0 ) lim ? lim 1 x0 ? ?x ? x0 ?x ?0 ? 1 2 x0 . 例 2. 求下列各函数的导数: (1) y ? x ? x5 ? sin x x2 2? ; (2) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3); (4) y ? 3 2 x x? (3) y ? ? sin ? ?1 ? 2 cos2 ?; 4? 1 1 1? x ? 1 1? x . 解 (1)∵ y ? ? 3 x 2 ? x5 ? sin x x2 ?x ? ? x3 ? 3 2 ? 5 2 sin x x2 , ∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ? 2 sin x)? ? ? x (2)方法一 方法二 2 ? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x. 3 2 2 y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11. ? y ? = ?( x ? 1)(x ? 2)? ( x ? 3) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)? =(? x ? 1)? ( x ? 2) ? ( x ? 1)(x ? 2)?? (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x x x? 1 (3)∵y= ? sin ? ? ? cos ? ? sin x, 2? 1 2 2 2? 2 ∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x


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