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高中数学北师大版选修1-1第三章《导数应用》word教案

复习总结:导数应用 导读 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度,加速度,光滑曲线切线的斜率等) ;掌握函 数在一点处的导数的定义和导数的几何意义;理解导函数的概念. 2. 熟记八个基本导数公式(c, x m (m 为有理数), sin x, cos x, e , a , ln x, log a x 的导 数);掌握两个函数和、差、积、商的求导法则,了解复合函数的求导法则,会求某些简单 函数的导数. 3.理解可导函数的单调性与其导数的关系;了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充 分条件(导数在极值点两侧异号);会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值. 知识网络 x x 导数的概念 导数 导数的求法 和、差、积、商、复合函数的导数 函数的单调性 导数的应用 函数的极值 函数的最值 高考导航 导数的应用价值极高,主要涉及函数单调性、极大(小)值,以及最大(小)值等,遇 到有关问题要能自觉地运用导数. 典型例题 例 1.求函数 y= x2 ? 1 在 x0 到 x0+Δ x 之间的平均变化率. 2 解 ∵Δ y= ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 2 ( x0 ? ?x) 2 ? 1 ? x0 ?1 ? 2 x0?x ? (?x)2 ( x0 ? ?x) ? 1 ? 2 2 x0 ?1 ,? ?y 2 x0 ? ?x ? . 2 ?x ( x0 ? ?x)2 ? 1 ? x0 ?1 变式训练 1. 求 y= x 在 x=x0 处的导数 解 x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ?y ? lim ? lim ?x?0 ?x ?x?0 ?x?0 ?x ?x( x0 ? ?x ? x0 ) lim ? lim 1 x0 ? ?x ? x0 ?x ?0 ? 1 2 x0 . 例 2. 求下列各函数的导数: (1) y ? x ? x5 ? sin x x2 2? ; (2) y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3); (4) y ? 3 2 x x? (3) y ? ? sin ? ?1 ? 2 cos2 ?; 4? 1 1 1? x ? 1 1? x . 解 (1)∵ y ? ? 3 x 2 ? x5 ? sin x x2 ?x ? ? x3 ? 3 2 ? 5 2 sin x x2 , ∴y′ ? ( x 2 )? ? ( x3 )? ? ( x ? 2 sin x)? ? ? x (2)方法一 方法二 2 ? 3 x 2 ? 2 x ?3 sin x ? x ? 2 cos x. 3 2 2 y=(x +3x+2) (x+3)=x +6x +11x+6,∴y′=3x +12x+11. ? y ? = ?( x ? 1)(x ? 2)? ( x ? 3) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)? =(? x ? 1)? ( x ? 2) ? ( x ? 1)(x ? 2)?? (x+3)+(x+1) (x+2) =(x+2+x+1) (x+3)+(x+1) (x+2)=(2x+3) (x+3)+(x+1) (x+2)=3x x x? 1 (3)∵y= ? sin ? ? ? cos ? ? sin x, 2? 1 2 2 2? 2 ∴ y? ? ? sin x ? ? (sin x)? ? cos x. ? ?1 ?2 ? ? 1 2 (4) y ? 1 1? x ? 1 1? x ? 1? x ?1? x (1 ? x )(1 ? x ) ? 2 , 1? x ∴ y? ? ? ? 2 ? 2 ? ? 2(1 ? x)? ? . ? ? (1 ? x) 2 (1 ? x) 2 ?1? x ? 变式训练 2:求 y=tanx 的导数. 解 y′ ? ? ? 1 ? sin x ? (sin x)? cos x ? sin x(cos x)? cos2 x ? sin 2 x ? ? . ? ? cos2 x cos2 x cos2 x ? cos x ? 例 3. 已知曲线 y= x3 ? . (1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (2)求曲线过点(2,4)的切线方程. 解 (1)∵y′=x ,∴在点 P(2,4)处的切线的斜率 k= y ? |x=2 2 1 3 4 3 ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2),即 4x-y-4=0. (2)设曲线 y= x3 ? 则切线的斜率 k= y ? | 1 3 4 1 3 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A? ? ? x0 , x0 3 ? 3 4? ?, 3? x ? x0 =x . 2 0 2 4 1 3 4? 2 ∴切线方程为 y ? ? ? ? ? x0 ( x ? x0 ), 即 y ? x ? x ? x ? . ? x0 2 3 ?3 3? 0 3 0 3 2 3 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4= 2 x0 ? x0 ? , 2 3 4 3 3 2 3 2 2 2 即 x0 ? 3x0 ? 4 ? 0,? x0 ? x0 ? 4 x0 ? 4 ? 0, ∴ x0 ( x0 ? 1) ? 4( x0 ? 1)(x0 ? 1) ? 0, ∴(x0+1)(x0-2) =0,解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 4x-y-4=0 或 x-y+2=0. 变式训练 3:若直线 y=kx 与曲线 y=x -3x +2x 相切,则 k= 答案 2 或? 1 4 1 (a,b∈Z),曲线 y ? f ( x ) 在点 ( 2, f ( 2)) 处的切线方程为 y=3. x?b 3 2 2 . 例 4


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