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福建省仙游一中2012-2013学年度下学期期末考高二理科数学试题


福建省仙游一中 2012-2013 学年度下学期期末考

高二理科数学试题
满分 150 分,答卷时间 120 分钟
一:选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.选项填在答题卷上。 1.复数 z 满足: ( z ? i)(2 ? i) ? 5 ;则 z ? ( D )

A. ?2 ? 2i B. ?2 ? 2i C. ? ? ?i D. ? ? ?i 2 2. 如果随机变量ξ ~N(0,σ ),且 P(-2<ξ ≤0)=0.4 ,则 P(ξ >2)等于( B ) A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 3.

?

4

?2

e dx 的值等于
( A) e4 ? e?2
(B) e4 ? e2 (C) e4 ? e2 ? 2 (D) e4 ? e?2 ? 2

x

( C



4.已知不等式 ( x ? y)( ? ( B ). A. 2 5. 曲线 ?

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值为 y
C. 6 D. 8

B. 4

? x ? ?2 ? 2t , ? (t 为参数) 上的点与 A (-2, 的距离为 2 , 3) 则该点坐标是 ( B ) y ? 3 ? 2t ? ?
D.(-4,5)或(0,1) )

A.(-4,5) B.(-3,4)或(-1,2) C.(-3,4) 6.

?

x ? 1 的展开式中,只有第 6 项的系数最大,则 x 4 的系数为( A

?

n

A.45 B.50 C.55 D.60 7.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;

? ②设有一个回归方程 y ? 3 ? 5 x ,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位;

? ? ? ③线性回归方程 y ? bx ? a 必过( x, y );
其中错误的个数是 ( B ) .. A.0 B.1 C.2 D.3 8.编号为 A、B、C、D、E 的五个小球放在如右图所示的五个盒子 中,要求每个盒子只能放一个小球,且 A 不能放 1,2 号,B 必需放在与 A 相邻的盒子中,则不同的放法有( C )种 A.42 B.36 C.30 D.28 9. 将一颗骰子抛掷两次, 所得向上点数分别为 m , n , 则函数 y ? 上为增函数的概率是

2 3 mx ? nx ? 1 在 ?1 , ? ?? 3
( B )

1 A. 2

5 B. 6

3 C. 4

2 D. 3

1

10. f(x)、 设 g(x)是定义域为 R 的恒大于 0 的可导函数, f′(x)g(x)-f(x)g′(x)<0, 且 则当 a<x<b 时有( C ) B. f(x)g(a)>f(a)g(x) C. f(x)g(b)>f(b)g(x) D. f(x)g(x)>f(a)g(x)

A. f(x)g(x)>f(b)g(b)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卷上。 11、已知圆 ? ? 2 cos ? 与直线 3? cos ? ? 4 ? sin ? ? a=0 相切,则实数 a 的值是_____-8 或 2_______.
12. 某厂一批产品的合格率是 98%,检验单位从中有放回地随机抽取 10 件,则计算抽出的

10 件产品中正品数的方差是

0.196



13..已知 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? (1 ? x)3 ? ? ? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n ,且

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 126 ,那么 (3 x ?

1 n ) 的展开式中的常数项为 x

?540

.

14、已知函数 f (x) 的定义域为[—2, ? ?) ,部分对应值如下表, f ' ( x) 为 f (x) 的导函

数,

函数 y ? f ' ( x) 的图象如右图所示:

x
f (x)

—2 1

0 —1

4 1

若正数 a , b 满足 f (2a ? b) ? 1 ,则

b?3 的取值范围是 a?3

3 7 ( , ) 5 3

15.如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如 下规则标上数字标签:原点处标数字 O,点(1,0)处标数字 1,点 (1,一 1)处标数字 2,点(O,-1)处标数字 3,点(-1,-1)处 标数字 4,点(-1,0)处标数字 5,点(-1,1)处标数字 6, 点(0,1)处标数字 7,?以此类推, ①标数字 50 的格点的坐标为__(4,2)__. ②记格点坐标为(m,n)的点(m、n 均为正整数)处所标的数字为 f(m,n),若 n>m,则 f(m, n)= __(2n+1)2+m-n-1__. 【解题思路】f(1,0)=12,f(2,1)=32,f(3,2)=52,…,f(n+1,n)=(2n+1)2. ∵n>m,∴n≥m-1,∴当 n>m 时,f(m,n)=(2n+1)2+m-n-1.

三、解答题(本题 16,18,21 小题每题 14 分;19 题 12 分;17,20 小题每题 13 分,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 14 分)(1)已知曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

36 ; 4 cos ? ? 9sin 2 ?
2

(Ⅰ)若以极点为原点,极轴所在的直线为 x 轴,求曲线 C 的直角坐标方程;

2

(Ⅱ)若 P ( x, y ) 是曲线 C 上的一个动点,求 3 x ? 4 y 的最大值 (2)已知 a,b,c 为实数,且 a ? b ? c ? 2 ? 2m ? 0, a 2 ? (I)求证: a ?
2

1 2 1 2 b ? c ? m ? 1 ? 0. 4 9

1 2 1 2 (a ? b ? c) 2 b ? c ? ; 4 9 14

(II)求实数 m 的取值范围。

16 解:(1) (Ⅰ)

x2 y 2 ? ? 1 ;???3 分 9 4

(Ⅱ)设 P (3cos ? , 2sin ? ) ,则 3 x ? 4 y = 9 cos ? ? 8sin ? ? 145 sin(? ? ? ) ??6

? ? ? R,? 当 sin(? ? ? ) ? 1 时, 3 x ? 4 y 的最大值为 145 ???7 分 1 1 (2)(I)由柯西不等式得 [a 2 ? ( b) 2 ? ( c) 2 ][12 ? 2 2 ? 3 2 ] ? (a ? b ? c) 2 2 3

1 2 1 2 1 2 1 2 (a ? b ? c) 2 2 2 即 (a ? b ? c ) ? 14 ? (a ? b ? c) ,? a ? b ? c ? 4 9 4 9 14
2

1 1 | b |? | c | 取得等号,?????????4 分 4 9 1 1 (II)由已知得 a ? b ? c ? 2m ? 2, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? m 4 9 5 ?14(1 ? m) ? (2m ? 2) 2 即2m 2 ? 3m ? 5 ? 0 ? ? ? m ? 1 2 1 1 5 又? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ? m ? 0, ? m ? 1,? ? ? m ? 1 4 9 2
当且仅当 | a |?

????7 分

17.(本小题满分 13 分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位:吨)进行统计,最近 50 天的统计结果如下: 1 1.5 2 日销售量 频数 频率 10 0.2 25 a 15 b

(1)求表中 a,b 的值; (2)若以上表频率作为概率,且每天的销售量相互独立. ①5 天中该种商品恰好有 2 天的销售量为 1.5 吨的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为 2 千元, ? 表示该种商品两天销售利润的和(单位: 千元),求 ? 的分布列和期望。 18.解:(1 ) 求得 a ? 0.5 b ? 0.3. (2) ①依题意,随机选取一天,销售量为 1.5 吨的概率 p ? 0.5 设 5 天中该种商品有 X 天的销售量为 1.5 吨,则 X ~B(5,0.5)
2 P( X ? 2) ? C5 ? 0.52 ? (1 ? 0.5) 3 ? 0.3125

?? 2 分

? 6分
2

② ? 的可能取值为 4,5,6,7,8,则 P(? ? 4) ? 0.2 ? 0.04

P (? ? 5) ? 2 ? 0.2 ? 0.5 ? 0.2 , P(? ? 6) ? 0.5 2 ? 2 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.37 P (? ? 7) ? 2 ? 0.3 ? 0.5 ? 0.3 , P(? ? 8) ? 0.3 2 ? 0.09

??11 分

? 的分布列:

3

?

4

5

6

7

8

p 0 0 0 0 0 .04 .2 .37 .3 .09

? 12 分
E? ? 4 ? 0.04 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.37 ? 7 ? 0.3 ? 8 ? 0.09 ? 6.2
13 分

18.(本小题满分 14 分)(1)已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 的最小值为 m ,实数

a, b, c, n, p, q
满足 a2 ? b2 ? c2 ? n2 ? p2 ? q 2 ? m .

(Ⅰ)求 m 的值;

n4 p 4 q 4 (Ⅱ)求证: 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b c

(2)已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2t cos ? (t 为非零常数,? 为 ? y ? 2sin ?

参数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方程为 ? sin(? ? (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程并说明曲线的形状; (Ⅱ)是否存在实数 t ,使得直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点 A 、 B ,且 OA ? OB ? 10 (其中 O 为坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.

?
4

)?2 2.

??? ??? ? ?

?2 x ? 6 ( x ? 4) ? (2 ? x ? 4) , 18. 解: (1)解:(Ⅰ)法一: f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ?2 ??2 x ? 6 ( x ? 2) ?
可得函数的最小值为 2.故 m ? 2 . 法二: f ( x) ? x ? 2 ? x ? 4 ? ( x ? 2) ? ( x ? 4) ? 2 , 当且仅当 2 ? x ? 4 时,等号成立,故 m ? 2 . (Ⅱ)? [(

n2 2 p2 q2 n2 p2 q2 ) ? ( )2 ? ( )2 ] ? (a 2 ? b2 ? c 2 ) ? ( ? a ? ? b ? ? c) 2 a b c a b c

即: (

n4 p 4 q 4 n4 p 4 q 4 ? 2 ? 2 ) ? 2 ? (n2 ? p2 ? q2 )2 ? 4 ,故 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a2 b c a b c x2 ? y 2 ? 4 . ??1 分 2 t

(2)解:(Ⅰ)∵ t ? 0 ,∴可将曲线 C 的方程化为普通方程:

①当 t ? ?1 时,曲线 C 为圆心在原点,半径为 2 的圆; ??2 分
4

②当 t ? ?1 时,曲线 C 为中心在原点的椭圆. ??3 分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为: x ? y ? 4 ? 0 . ??4 分

联立直线与曲线的方程,消 y 得

x2 ? ( x ? 4)2 ? 4 ,化简得 (1 ? t 2 ) x2 ? 8t 2 x ? 12t 2 ? 0 . t2

若直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点,则 ? ? 64t 4 ? 4(1 ? t 2 ) ?12t 2 ? 0 ,解得 t 2 ? 3 .

8t 2 12t 2 , x1 x2 ? , 又 x1 ? x2 ? ? 1? t2 1? t2

??6 分

故 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16 ? 10 . 解得 t 2 ? 3 与 t 2 ? 3 相矛盾. 19. (本小题满分 12 分)
2 数列{a n }中,a1 ? 1, a n ?1 ? 2 (n ? 3)a n ? 3a n ? 1 (n ? 2),当n ? 2时,a n ? a1 . n ?1

??? ??? ? ?

故不存在满足题意的实数 t .

??7 分

(1)求a 2 , a3 , a 4 . (2)求数列 a n }的通项公式。 { 1 2n ? 3 (3)若bn ? ( ) an ?1 , s n为数列{bn }的前n项和,试比较 n 与 s 的大小 2 n ?1

5

19

解:)令n ? 2得a 2 ? 1或2,又当n ? 2时,a n ? a1 ,? a 2 ? 2.同上,依次令n ? 3,4, 可得 (1 a3 ? 3,a 4 ? 4 ~~~~~~~~~~``3分 (2)猜想a n ? n, 下面用数学归纳法证明 : 1.)n ? 1,2,3时,显然成立 2)假设n ? k (k ? 3)时,命题成立,即 k ? k , 那么 a
2 (k ? 2)a k ?1 ? 3a k ?1 ? 1 k2 ? k ?1 a ? ? k 2 , 解得:a k ?1 ? k ? 1或 ? (舍去) k k ?2 故对n ? k ? 1是也成立 2 k

有1),2)知a n ? n ~~~~~~~~~~~~~~~~~ 8分 1 1 (3)bn ? ( ) n ?1 ,的s n ? 2 ? n ?1 ? 2 2 2 2n ? 3 1 又 ? 2? ?2 n ?1 n ?1 2n ? 3 故s n ? ~~~~~~~~~~~~~~~~ 12分 n ?1

开始 输入 x, y

20.(本小题满分 13 分)
某慈善机构举办一次募捐演出,有一万人参加, 每人一张门票,每张 100 元. 在演出过程中穿插 抽奖活动.第一轮抽奖从这一万张票根中随机抽 取 10 张,其持有者获得价值 1000 元的奖品,并 参加第二轮抽奖活动.第二轮抽奖由第一轮获奖 者独立操作按钮, 电脑随机产生两个数 x ,y( x , y ? {1, 2,3} ),随即按如右所示程序框图运行相应

x ?1 ? y ? 2 ? 2
是 输出 “中奖”



输出 “谢谢”

程序.若电脑显示“中奖”,则抽奖者获得 9000 结束 元奖金;若电脑显示“谢谢”,则不中奖. (Ⅰ)已知小曹在第一轮抽奖中被抽中,求小曹在第二轮抽奖中获奖的概率; (Ⅱ)若小叶参加了此次活动,求小叶参加此次活 动收益的期望; (Ⅲ)若此次募捐除奖品和奖金外,不计其它支出,该机构想获得 96 万元的慈善款.问该 慈善机构此次募捐是否能达到预期目标.

6

20.解:(Ⅰ)从 1,2,3 三个数字中有重复取 2 个数字,其基本事件有
(1,1),(1, 2),(1,3),(2,1),(2, 2),(2,3),(3,1),(3, 2),(3,3) 共 9 个,

????????2 分
2 . 9

设“小曹在第二轮抽奖中获奖”为事件 A , 且事件 A 所包含的基本事件有 (3,1), (3,3) 共 2 个,∴ P( A) ? (Ⅱ)设小叶参加此次活动的收益为 ? , ? 的可能取值为 ?100, 900, 9900 .
P(? ? ?100) ? P(? ? 9900) ? 999 1 7 7 , P(? ? 900) ? , ? ? 1000 1000 9 9000 1 2 2 . ? ? 1000 9 9000

??????4 分

?????????????5 分

∴ ? 的分布列为 ? ?100
P
999 1000

900
7 9000

9900
2 9000

???????????8 分
999 7 2 ∴ E? ? ?100 ? ? 900 ? ? 9900 ? ? ?97 . 1000 9000 9000

???????????10 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,购票者每人收益期望为 ?97 . ∵有一万人购票,除奖金和奖品外,不计其它支出, ∴该机构此次收益期望为 97 ?10000 ? 970000 元= 97 万元, ∵ 97 ? 96 , ∴该慈善机构此次募捐能达到预期目标. ?? ????????13 分 21.(本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? b ln(x ? 1) ? x 2 (I)若对定义域的任意 x ,都有 f ( x) ? f (1) 成立,求实数 b 的值; (II)若函数 f (x) 在定义域上是单调函数,求实数 b 的取值范围;
n (III)若 b ? ?1 ,证明对任意的正整数 n,不等式 ? f ( 1 ) 1 ? 1 ? 1 ? ......? 1 都成立. < k 2 3 33 n3 k ?1

21.解:(1)由 x + 1>0 得 x> – 1∴f(x)的定义域为( - 1,+ ∞). 对 x∈( - 1,+ ∞),都有 f(x)≥f(1). ∴f(1)是函数 f(x)的最小值,故有 f/ (1) = 0. 解得 b= - 4.

f / ( x) ? 2 x ?

b b ,? 2 ? ? 0, x ?1 2

-----------------------4 分

b 2x 2 ? 2x ? b ? (2)∵ f ( x) ? 2 x ? . x ?1 x ?1
/

又函数 f(x)在定义域上是单调函数 ∴f/ (x) ≥0 或 f/(x)≤0 在( - 1,+ ∞)上恒成立. 若 f/ (x) ≥0,∵x + 1>0,∴2x2 +2x+b≥0 在( - 1,+ ∞)上恒成立. 即 b≥-2x2 -2x = ? 2( x ?

1 1 2 1 ) ? 恒成立,由此得 b≥ . 2 2 2

若 f/ (x) ≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2 +2x+b≤0,即 b≤-(2x2+2x)恒成立, 因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上没有最小值.
7

∴不存在实数 b 使 f(x) ≤0 恒成立. 综上所述, 实数 b 的取值范围是 ? ,?? ? . -----------9 分 (3)当 b= - 1 时,函数 f(x) = x2 - ln(x+1) 令函数 h(x)=f(x) – x3 = x2 – ln(x+1) – x3.则 h/(x) = - 3x2 +2x -

?1 ?2

? ?

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ?? . x ?1 x ?1

∴当 x ? ?0,??? 时,h/(x)<0 所以函数 h(x)在 x ? ?0,??? 上是单调递减. 又 h(0)=0,∴当 x ? ?0,??? 时,恒有 h(x) <h(0)=0, 即 x2 – ln(x+1) <x3 恒成立.故当 x ? ?0,??? 时,有 f(x) <x3. 1 1 1 1 ∵ k ? N * ,? ? ?0,?? ?, 取 x ? , 则有 f ( ) < 3 . k k k k ∴

? f ( k )<1 ? 2
k ?1

n

1

1
3

?

1 1 ? ......? 3 33 n

.

--------------14 分

8


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