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高一数学必修一集合教案


一、集合的含义

一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合 ( 简 称集 ) . 1. 集合中元素具的有几个特征 ⑴确定性-因集合是由一些元素组成的总体,当然,我们所说的 “一些元 素”是确定的. ⑵互异性-即集合中的元素是互不相同的,如果出现了两个 ( 或几个 ) 相同 的元素就只能算一个,即集合中的元素是不重复出现的. ⑶无序性-即集合中的元素没有次序之分. 例子 1 A={1,3}, 问 3, 5 哪个是 A 的元素? 2 3 4 B={ 素质好的人 }能否表示成为集合? C={2 , 2 , 4}表示是否正确?

D={ 太平洋,大西洋 } E={ 大西洋,太平洋 } 集合 D ,E 是不是表示相同的集合? 2. 常用的数集及其记法 我们通常用大写拉丁字母A,B,C,?表示集合,用小写拉丁字母 a , b, c ,?表示集合中的元素. 常用数集及其记法 非负整数集(或自然数集) ,记作 N 正整数集,记作 N*或 N+; 整数集,记作 Z 有理数集,记作 Q 实数集,记作 R

3 .元素与集合之间的关系

4. 反馈演练 1.填空题

2.选择题 ⑴ 以下四种说法正确的 ( ) (A) “实数集”可记为 {R} 或 { 实数集 } (B){a,b,c,d} 与 {c,d,b,a} 是两个不同的集合 (C)“我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合 , 因为其元 素不确定 ⑵ 已知 2 是集合 M={ (A) 2 (B)0 或 3 5 .小结 ? 集合的含义 ? 元素与集合之间的关系 ? 集合中元素的三个特征 (C) 3 } 中的元素,则实数 为( )

(D)0,2,3 均可

二、集合的几种表示方法
1 、 列举法-将所给集合中的元素一一列举出来,写在大括号里,元素与 元素之间用逗号分开.

* 有限集与无限集 * ⑴ 有限集 ------- 含有有限个元素的集合叫有限集 例如 : A={1~20 以内所有质数 } ⑵ 无限集 -------- 含有无限个元素的集合叫无限集 例如 : B={ 不大于 3 的所有实数 } 2 、 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合的方法 . 具体方法 : 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及以取值 ( 或变化 ) 范围 , 再画一条竖线 , 在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同 特征 .

3 、 图示法 -- 画一条封闭曲线 , 用它的内部来表示一个集合 . 常用于表示 不 需 给具体元素的抽象集合 . 对已给出了具体元素的集合也当然可以用图 示法来表示 . 如 : 集合 {1,2,3,4,5} 用图示法表示为 :

4 、课堂练习

5 、本节小结 ( 思 考 ) 本节课主要学研究哪些基本内容 ? 集合的三种表示方法各有怎样的 优点 ? 用其表示集合各应注意什么 ?

三、集合间的基本关系 观察下面几组集合,集合 A 与集合 B 具有什么关系? (1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形},B={四边形}. (4) A= ? ,B={0}. (5)A={银川九中高一(11)班的女生},B={银川九中高一(11)班的学生}。 1.子集 定义:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A ? B(或 B ? A),即若任意 x ? A,有 x ? B,则 A ? B(或 A ? B)。这时我们也说集合 A 是集合 B 的子集(subset) 。 如果集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,就记作 A?B(或 B?A) ,即:

若存在 x ? A,有 x ? B,则 A?B(或 B?A) 说明:A ? B 与 B ? A 是同义的,而 A ? B 与 B ? A 是互逆的。 规定:空集 ? 是任何集合的子集,即对于任意一个集合 A 都有 ? ? A。 例 1.判断下列集合的关系. (1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q; 2 2 (5) A={x| (x-1) =0}, B={y|y -3y+2=0}; (6) A={1,3}, B={x|x2-3x+2=0}; (7) A={-1,1}, B={x|x2-1=0}; (8)A={x|x 是两条边相等的三角形} B={x|x 是等腰三角形}。 问题:观察(7)和(8) ,集合 A 与集合 B 的元素,有何关系? ?集合 A 与集合 B 的元素完全相同,从而有: 2.集合相等 定义:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素 (即 A ? B) ,同时集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素(即 B ? A) ,则称集 合 A 等于集合 B,记作 A=B。如:A={x|x=2m+1,m ? Z},B={x|x=2n-1,n ? Z}, 此时有 A=B。 问题: (1)集合 A 是否是其本身的子集?(由定义可知,是) (2)除去 ? 与 A 本身外,集合 A 的其它子集与集合 A 的关系如何?(包 含于 A,但不等于 A) 3.真子集: 由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论: (1)A ? A (任何集合都是其自身的子集); (2)若 A ? B,而且 A ? B(即 B 中至少有一个元素不在 A 中) ,则称集合 A 是集 合 B 的真子集(proper subset) ,记作 A? (空集是任何非空集合的真子集) ≠B。 ? (3)对于集合 A,B,C,若 A? B,B? C,即可得出 A? C;对 A? ≠B,B≠C,同样 有 A? 即:包含关系具有“传递性” 。 ≠C, 4.证明集合相等的方法: (1) 证明集合 A,B 中的元素完全相同; (具体数据) (2) 分别证明 A ? B 和 B ? A 即可。 (抽象情况) 对于集合 A,B,若 A ? B 而且 B ? A,则 A=B。 例 1.判断下列两组集合是否相等? (1)A={x|y=x+1}与 B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与 B={正整数}

例 2.解不等式 x-3>2,并把结果用集合表示。

结论:一般地,一个集合元素若为 n 个,则其子集数为 2n 个,其真子集数为 2n-1 个,特别地,空集的子集个数为 1,真子集个数为 0。 5.课堂练习 1.设 A={0,1},B={x|x ? A},问 A 与 B 什么关系?

2.判断下列说法是否正确? (1)N ? Z ? Q ? R; (3){圆内接梯形} ? {等腰梯形}; (5) ? ? { ? }; (2) ? ? A ? A; (4)N ? Z; (6) ? ? { ? }

4.有三个元素的集合 A,B,已知 A={2,x,y},B={2x,2,2y},且 A=B,求 x, y 的值。

6.本节小结 1. 能判断存在子集关系的两个集合,谁是谁的子集,进一步确定其是否为 真子集; 注意:子集并不是由原来集合中的部分元素组成的集合。 (因为: “空集是 任何集合的子集” ,但空集中不含任何元素; “A 是 A 的子集” ,但 A 中含有 A 的全部元素,而不是部分元素) 。 2. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集; 3.注意区别“包含于” , “包含” , “真包含” , “不包含” ; 4. 注意区别“ ? ”与“ ? ”的不同涵义。

课堂练习:
集合的含义与表示 1.用符号 ? 或 ?填空: (1) 2 3 (2)3 (3) ( ?1,1)

{x | x ? 11} ;
{x | x ? n 2 ? 1, n ? N ? } ; { y | y ? x 2 } , ( ?1,1) {(x, y) | y ? x 2 }.

2.用列举法表示下列集合: (1) {( x, y) | x ? y ? 3, n ? N , y ? N } ; (2) {(x, y) | y ? x 2 ? 1,| x |? 2, x ? Z }.

? x ? y ? 3, 3.可以表示方程组 ? 的解集是 ? x ? y ? ?1

。 (写出所有正确答案的序号)

(1) {x ? 1, y ? 2} ; (2) {1,2} ; (3) {(1,2)}; (4) {( x, y) | x ? 1, 或y ? 2} ;
x ? 1,? ; 2 2 (5) {(x, y) | x ? 1, 且y ? 2} ; (6) ?( x, y) ? ? ? (7) {(x, y) | ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 0}. ? y ? 2?

4.设集合 A ? {1, a, b}, B ? {a, a 2 , ab} ,且 A ? B ,求实数 a , b.

5.已知集合 M ? {?2,3x 2 ? 3x ? 4, x 2 ? x ? 4} ,若 2 ? M , 求 x.

集合间的基本关系 1.下列各组中的两个集合相等的有( ) ① P ? {x | x ? 2n, n ? Z }, Q ? {x | x ? 2(n ? 1), n ? Z } ; ② P ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N ? }, Q ? {x | x ? 2n ? 1, n ? N ? } ; ③ P ? {x | x 2 ? x ? 0} , Q ? {x | x ? A.①②③ B.①③

1 ? (?1) n , n ? Z}. 2
D.①②

? 2.设集合 A ? {2,8, a}, B ? {2, a 2 ? 3a ? 4} ,且 A ? B ,求 a 的值。

C.②③

3.(1)已知集合 A ? {1,3}, B ? {x | mx ? 3 ? 0}, 且 B ? A ,则 m 的值是 值范围。



(2)已知集合 A ? {x | ?2 ? x ? 5}, B ? {x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1} ,若 B ? A ,求实数 m 的取

4.(1)以下各组中两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来。 ①0 与 {0} ;②0 与 ? ;③ ? 与 {0} ;④ {0,1} 与 {(0,1)} ;⑤ {(b, a )} 与 {(a, b)}. (2)已知 A ? {0,1}, B ? {x | x ? A} ,则 A 与 B 的关系正确的是( ) A. A ? B A.16 个 B. A ? ? B B.15 个 C. B ? ? A C.7 个 D. A ? B D.6 个 5.(1)同时满足:① M ? {1,2,3,4,5} ;② a ? M ,则 6 ? a ? M 的非空集合 M 有( ) 6.(1)已知集合 X 满足 {1,2} ? X ? {1,2,3,4,5} ,求所有满足条件的 X。 ( 2 )设集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 0}, B ? {x | x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 1 ? 0, a ? R} 。若 B ? A , 求实数 a 的值。



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