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《概率论与数理统计》概率论2-3_图文

§2.3 连续型随机变量及其分布函数
2.3.1 定义与基本概念 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区 间, 对这种类型的随机变量, 不能象离散型随机 变量那样, 以指定它取每个值概率的方式, 去给 出其概率分布, 而是通过给出所谓“概率密度函 数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述 方法.

连续型随机变量及其概率密度的定义 对于随机变量 X 的分布函数F(x), 如果存在非负 可积函数 f (x) , x ? ? ??, ?? ? ,使得对任意实数 x , 有

F ? x? ? ?

x

??

f ? t ? dt ? P ? X ? x ?

则称 X为连续型随机变量, 称 f (x) 为 X 的概率密度 函数,简称为概率密度 . 连续型随机变量的分布函数在 R 上连续

概率密度的性质
1o

f ( x) ? 0

2o

?

?

??

f ( x)dx ? 1

这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的 概率密度的充要条件

面积为1

3 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P{ x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ?
x2 x1

f ( x )dx

利用概率密度可确 定随机点落在某个 范围内的概率

4

若 f (x) 在点 x 处连续 , 则有
F ?( x ) ? f ( x ).

积分的几何意义:概率值 P{ x1 ? X ? x2 } ? ?

x2 x1

f ( x )dx

为曲线y=f(x)与x轴及2直线x=x1和x=x2所围的平面图形 的面积
f (x)

o x x 1 2

x

对 f(x)的进一步理解:
若 x 是 f(x) 的连续点,则

F ? x ? ?x ? ? F ? x ? f ? x ? ? lim? ?x ? 0 ?x P ? x ? X ? x ? ?x ? ? lim? ?x ? 0 ?x
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值,恰好是X 落 在区间( x, x ? ?x ] 上的概率与区间长度 ?x 之比的极 限. 这里,如果把概率理解为质量, f (x) 相当于线 密度。

若不计高阶无穷小,有

P{x ? X ? x ? ?x} ? f ( x)?x
表示随机变量 X 取值于 ( x, x ? ?x] 的概率近似等 于 f ( x)?x .

f ( x)?x 在连续型随机变量理论中所起的作用与

P( X ? xk ) ? pk 在离散型随机变量理论中所起的
作用相类似.

f (x)

o

a

x

要注意的是,密度函数 f (x)在某点处a的高度, 并不反映X取值的概率. 但是,这个高度越大,则X 取a附近的值的概率就越大. 也可以说,在某点密度 曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.

请注意:
(1) 连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均 为0. 即 P ? X ? a? ? 0 .
这是因为

0 ? P ? X ? a? ? P ?a ? ?x ? X ? a? ? F ? a ? ? F ? a ? ?x ?
当 ?x ? 0 ? 时 , 得到

P ? X ? a? ? 0 .

由P(A)=0, 不能推出

A??

由P(B)=1, 不能推出 B=Ω

(2) 对连续型随机变量X , 有

P ( a ? X ? b) ? P ( a ? X ? b ) ? P ( a ? X ? b) ? P ( a ? X ? b)

例1 设随机变量X具有概率密度

? kx, 0? x?3, ? x ? f ( x) ? ?2? , 3? x? 4, 2 ? 0, 其它. ? ? (1)确定常数k;(2)求X 的分布函数F ( x); 7 (3)求P{1 ? X ? }. 2

2.3.2 几种常见的连续型随机变量
1. 均匀分布 若 随机变量 X的概率密度为:

? 1 , a? x?b ? f ( x) ? ? b ? a ? 其它 ? 0,

f ( x)

a

b

则称X在区间( a, b)上服从均匀分布,记作

X ~ U (a , b )

1? . X 的分布函数为: x?a ?0, ?x?a ? F ( x) ? P ? X ? x? ? ? , a? x?b ?b ? a x?b ? ?1

F(x)
1

O a

b

x

2? .对?x1 , x2 ? (a, b), x1 ? x2有 x2 ? x1 P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? b?a 即均匀分布随机变量落入(a, b)的任意子区间的 概率与子区间的长度成正比,而与子区间位置无关。

均匀分布常见于下列情形:

如在数值计算中,由于四舍五 入,小数点后某 一位小数引入的误差;
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间,即乘客的候车时间等.

例2 设电阻值R是一个随机变量, 均匀分布在 900?~1100?. 求R的概率密度及R落在 950?~1050?的概率.

2 . 指数分布 若 随机变量 X具有概率密度 x ? 1 ?θ ? e , x ? 0, f ? x? ? ? θ ? 0 , x ? 0, ?

其中 θ ? 0 为常数, 则称 X 服从参数为 θ 的指数分布。

性质:(1)f(x) ≥0; (2)

?

??

??

f ( x )dx ? ?

??

1

0

(3)X的分布函数为

?

e ? dx ? 1

?

x

x ? ? ?1 ? e ? , x ? 0 F ( x) ? P ? X ? x? ? ? ? 其它 ?0, (? ? 0)

f (x)的图形:
f(x) 3 2 1

?=1/3 ?=1
1 2

?=2
3
x

O

4. 如X 服从指数分布, 则任给x0, △x>0, 有 P{X> x0+△x | X > x0}=P{X > △x} 该性质称为无记忆性. 指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.

例3:某元件寿命(小时)服从 ? ? 2000 的指数分 布,某报警系统内装有4个這樣的元件,已知, 他们独立工作,且若要系统正常工作,至少需要 不少于3个元件正常工作,求该系统能正常工作 1000小时的概率。

3. 正态分布 (Normal Distribution) 若连续型随机变量 X 的概率密度为
? 1 f ( x) ? e 2?? ( x ? ? )2 2? 2

, ?? ? x ? ?

其中 ? 和 ? ( ? >0 )都是常数, 则称X服从参数为 ? 和 σ 的正态分布或高斯分布. 记作

X

N ( ? ,? 2 )

? 1 f ( x) ? e 2??

( x ? ? )2 2? 2

, ?? ? x ? ?

性质 :

?1?

f ? x? ? 0 ;
??

? 2 ? ? ?? f ? x ? dx ? 1;

? 1 2? 2 f ( x) ? e , ?? ? x ? ? 2?? ? 3 ? 曲线 f ? x ? 关于? 轴对称;

( x ? ? )2

P ? μ ? h ? X ? μ ? ? P ? μ ? X ? μ ? h?

?

? h ? 0?

? 4 ? 函数 f ? x ?在 ( ??, μ] 上单调增加,在 [ μ, ?? ) 上
单调减少,在 x ? μ 取得最大值;这表明对于同样长度 的区间, 当区间离 μ 越远, X 落在这个区间上的概率越

小.

? 5?

f (x) 以 x 轴为渐近线 当x→ ∞时,f(x) → 0.

(6)在x = ? ?? 处曲线有拐点. 曲线以Ox 轴为 渐近线.

正态分布

N ( ? , ? ) 的概率密度曲线图形特点
2

的陡峭程度.

? 决定了图形的中心位置,? 决定了图形中峰

正态分布 N ( ? , ? ) 的分布函数
2

设 X~

N (? ,? ) ,
2
x ? 1 e ? 2πσ ?? 2σ 2

X 的分布函数是

F ? x? ?

( t ? μ )2

dt , ? ? ? x ? ?

正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定, 当μ和 σ不同时,是不同的正态分布。

一种最重要的正态分布标准正态分布

? ? 0, ? ? 1 的正态分布称为标准正态分布,
记作 N (0,1)其密度函数和分布函数常用 ? ( x ) 和?( x) 表示:

φ? x ? ? ?? x? ?

1 e 2π 1 2π

x2 ? 2

, ?? ? x ? ?
t2 ? 2

?

x ??

e

dt , ? ? ? x ? ?

性质 :

; ?1? ? ? x ? ? 0 (当x ? ??时,? ( x) ? 0)

? 2 ? ? ??

??

1 ? ? x ? dx ? 2?

?

?? ??

e

x2 ? 2

dx ? 1 ;

? ? x ? 为偶函数, (3) ? ? ? x ? ? ? ? x ? ,因此, 图形关于y轴对称, x轴为曲线的水平渐近线; 1 ; 当x=0时,有最大值 ? ? 0 ? ? 2? 当 x ? ?1 时,曲线上对应拐点;
? ( x)
?( x )

? 4?

1 ? ? 0? ? , ? ? ? x ? ? 1 ? ? ? x ?. 2

引理

若 X ~ N ? ? ,?

2

?,则Z ?

X ??

?

~ N ? 0,1? .

标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正 态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.

因此我们有 (1)F ( x) ? P{ X ??

?

? x?? ? ? }? ?? ?; ? ? ? ? x2 ? ? ) ? ?( x1 ? ? )

x??

(2) P{x1 ? X ? x2 } ? F ( x2 ) ? F ( x1 ) ? ? (

?

?

通常,若某个数量指标X是很多随机因素的和, 而每个因素所起的作用均匀微小,则X为服从 正态分布的随机变量。如:大量生产某产品, 当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件 都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素, 则产品的质量指标近似服从正态分布; 注意:正态分布也是许多概率分布的极限分布。

如X~B(n,p),n充分大,p不是很小时,X近似服 从N(np,npq),则
? X ? np 1 P{? ? ? ?} ? ? e dt ? ?( ? ) ? ?(? ) ? npq 2?
t2 ? 2

正态分布表
书末附有标准正态分布函数数值表,有了它,可 以解决一般正态分布的概率计算查表.

1 ? ( x) ? 2?

?

x

??

e dt

t2 ? 2

表中给的是 x >0 时, Φ(x)的值. 当x<0时,

?( ? x) ? 1 ? ? ( x)

若 X~N(0,1),

P(a ? X ? b) ? ?(b) ? ?(a)
若 X ~ N ( ? , ? ), 则 Y ?
2

X ??

?

~N(0,1)

P ( a ? X ? b) ? P (

a??

?
b??

?Y ? ) ? ?(

b??

?
a??

) )

? ?(

?

?

例4 设X~N(0,1),求P{1<X<2}.

例5 设X~N(2.3,4), 求P{2<X<4}.

例6 设X~N(0,1),求x,使得P{|X|>x}<0.1.

3

?

准则

由标准正态分布的查表计算可以求得, 当X~N(0,1)时, P(|X|≤1)=2Φ(1)-1=0.6826
P(|X| ≤ 2)=2Φ(2)-1=0.9544 P(|X| ≤ 3)=2 Φ(3)-1=0.9974 这说明,X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间

内,超出这个范围的可能性仅占不到0.26%.

将上述结论推广到一般的正态分布,

X

N ( ? ,? 2 ) 时,

? X ?? P(| |? 2) ? 0.9544 ? X ?? P(| |? 3) ? 0.9974 ?
可以认为,Y 的取值几乎全部集中在

? X ?? P(| |? 1) ? 0.6826

Y?

X ??

~N(0,1)

? 准则” . 区间内. 这在统计学上称作“3

[ ? ? 3? , ? ?3? ]

??3?

??2?

???

???

??2? ??3?

68.26% 95.44% 99.74%

看一个应用正态分布的例子: 例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰 头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高X~ N(170,62),问车门高度应如何确定?

例8 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内. 调节器整定在d°C,液体的温度X (以°C计)是一个随 机变量, 且X~N (d, 0.52). (1) 若d=90, 求X小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于 0.99, 问d 至少为多少?

设X~N(0,1), 若 z ? 满足条件 P {X >z ? }=?, 0<?<1, 则称点 z ? 为标准正态分布的上? 分位点. 由 ? (x) 的对称性知 z1??? ?z ?

?
z?
?
z? 0.001 3.090 0.005 2.576 0.01 2.327 0.025 1.960 0.05 1.645 0.10 1.282



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