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2[1].3.1


2.3.2 等差数列的前n项和 等差数列的前n
第一课时

一、新课 1. 数列前 项和 数列前n项和 项和: 一般地,我们称 为数列{a 的前 项和, 的前n项和 一般地,我们称a1+a2+…+an为数列 n}的前 项和, 常用Sn表示,即Sn=a1+a2+…+an 常用 表示,

n =1 ?S1, 2. Sn与an的关系 an = ?S S , n 2 ? n ? n?1 ≥
练习:试求下列数列的前 项和. 练习:试求下列数列的前100项和 项和 (1)2,2,2,2,…… ) , , , , (2)-1,1,-1,1,…… ) , , , , (3)1,2,3,4,…… ) , , , , 200 0 5050
高斯(1777 1855) 高斯(1777—1855) (1777 1855 德国著名数学家

一、新课

n(n + 1) 问题: 问题:1+2+3+…+n=? ? 2
1 + 2 + n + n-1 + (n+1) + (n+1) + … … … + + +

倒序相加法 n-1 2 (n+1) + n + 1 + (n+1)

对公差为d的等差数列 对公差为 的等差数列{an} ,有 的等差数列 Sn=a1+a2+…+an=? ? Sn=an+an-1+…+a1 2Sn=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

一、新课 对公差为d的等差数列 对公差为 的等差数列{an} ,有 的等差数列 Sn=a1+a2+…+an Sn=an+an-1+…+a1 所以2S 所以 n=(a1+a2+…+an)+(an+an-1+…+a1) =(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) =(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an) n个 个 =n(a1+an) 倒序相加法

n(a1 + an ) ∴ Sn = 2

一、新课

n(a1 + an ) 等差数列的前n项和公式 项和公式: 等差数列的前 项和公式: S n = 2

n( n ? 1) Sn = na1 + d 2

比较以上两个公式的共同点与不同点

共同点:须知a1和n, 不同点:前者还需知an , 后者还需知d, 解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。

二、练习 1.若等差数列 n}满足下列条件,求前 项和 n: 若等差数列{a 满足下列条件 求前n项和 满足下列条件, 项和S 若等差数列 (1)a1=5,an=95,n=10; 500 ) , , ; (2)a1=14.5,d=0.7,an=32; 604.5 ) , , ; (3)a7=8,d=3,n=15; 620 ) , , ; (4)若a8=5,你能求出 15吗? ) ,你能求出S 结论:等差数列 的前2n-1项和公式: 项和公式: 结论:等差数列{an}的前 的前 项和公式

(2n ? 1 (a1 + a2 n ?1 ) ) S 2 n ?1 = = (2n ? 1)an 2
2. 在a、b之间插入 个数,使它们同这两个数成等 之间插入10个数 、 之间插入 个数, 差数列,求这10个数的和 个数的和。 差数列,求这 个数的和。 5(a+b)

二、练习 3.等差数列 ,-6,-2,…的前多少项的和为 ? 等差数列-10, , , 的前多少项的和为 的前多少项的和为54? 等差数列 设题中的等差数列为{a 解: 设题中的等差数列为 n}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. 设 Sn= 54, 即 ? 10n + n( n ? 1) × 4 = 54 2 2-6n-27=0 整理得n 整理得 n2=-3(舍去)。 舍去)。 ∴n1=9, 舍去 ,-6,- 项和是54 ∴等差数列 -10,- ,- ,2, ···前9项和是 ,- ,-2, , 前 项和是

1 3 15 例3.在等差数列{ an}中,已知d = , an = , Sn = ? , 4. 2 2 2 求a1 及n.

二、练习

1 3 15 例3.在等差数列{ an}中,已知d = , an = , Sn = ? , 4、 、 2 2 2 3 求a1 及n. a1 +

2 × n = ? 15 , ① 2 2 解 :由已 知 , 得 1 3 ② a1 + ( n ? 1) × = . 2 2 1 由 ② , 得 a1 = ? n + 2 , 代入① 后化简, 得 2 n 2 ? 7n ? 30 = 0 .所以 n = 10 或 ? 3 ( 舍去 ) , 从而 a1 = ?3 .

注:在等差数列的通项公式与前n项和公式中, 含有a1 , d , n, an , Sn 五个量, 只要已知其中三个量, 就可以求 出余下的两个量.

三、例题

在三位的正整数集合中有多少被7整 例2. 在三位的正整数集合中有多少被 整 除的数?求它们的和。 除的数?求它们的和。

三、例题
1 已知数列{a 的前 的前n项和为 例3. 已知数列 n}的前 项和为 Sn = n + 2 n ,求该
2

数列的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是, 数列的通项公式,这个数列是等差数列吗?如果是, 由此可知,数列{a 是一个首项为 是一个首项为1.5,公差为2的 由此可知,数列 n}是一个首项为 ,公差为 的 等差数列 它的首项和公差分别是什么? 它的首项和公差分别是什么? 解:∵Sn=a1+a2+…+an,Sn-1=a1+a2+…+an-1(n>1)
∴当n>1时, 时

1 1 2 an = Sn ? Sn?1 = n + n ?[(n ?1) + (n ?1)] 2 2 1 = 2n ? ① 2 1 3 2 当n=1时, 1 = S1 = 1 + ×1 = 时 a 2 2 也满足① ∴ a1也满足①式
2

1 所以数列{an}的通项公式为 an = 2n ? 所以数列 的通项公式为: 的通项公式为 2

三、例题 若已知数列 项和为S 若已知数列{an}前n项和为 n,则该数列的 数列 前 项和为 n=1 通项公式为 an= S1, Sn- Sn-1,n≥2 注意:(1)这种做法适用于所有数列; 注意: 这种做法适用于所有数列; 这种做法适用于所有数列 (2)用这种方法求通项需检验 1是否满足 n. 用这种方法求通项需检验a 用这种方法求通项需检验 是否满足a 若是, 若是,则an = Sn- Sn-1 练习: 练习:若Sn=2n2+3n-1,求an; ,

三、例题 数列{a 为等差数列 数列 n}为等差数列 Sn = An2 + Bn,( A, B为常数) 探究: 探究: 一般地,如果一个数列{a 的前 项和为S 的前n项和为 一般地,如果一个数列 n}的前 项和为 n=pn2+qn+r,其 , 为常数, 中p、q、r为常数,且p≠0,那么这个数列一定是等差数列 、 、 为常数 , 若是,则它的首项与公差分别是什么? 吗?若是,则它的首项与公差分别是什么? 判断以下命题是否为真命题, 判断以下命题是否为真命题, 分析: 分析:∵当n>1时, an=Sn-Sn-1 若为假命题请修缮一下 时 条件,使之成为真命题. 条件,使之成为真命题 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r =pn =2pn-p+q 1. 若数列 n}的前 项和为关于 的二次函数,则该数 若数列{a 的前 项和为关于n的二次函数 的前n项和为关于 的二次函数, 当n=1时 时 列为等差数列. 列为等差数列 ,a1=S1=p+q+r 又∵ 时 2.若数列当n}为等差数列,则该数列的前n项和为关于 若数列{an=1时,a1=2p-p+q=p+q 为等差数列,则该数列的前 项和为关于n 若数列 为等差数列 项和为关于 当且仅当r 时 满足a ∴当且仅当 =0时,a1满足 n=2pn-p+q 的二次函数. 的二次函数 故只有当r=0时该数列才是等差数列 时该数列才是等差数列, 故只有当 时该数列才是等差数列, 此时首项a ,公差d=2p(p≠0) 此时首项 1=p+q,公差

小结 1.等差数列的前 项和公式: 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 项和公式:

n(n ? 1) n(a1 + an ) = na1 + d Sn = 2 2
d d = An + Bn ( A = , B = a1 ? ) 2 2
2

n(a1 + an ) 2.等差数列的前 项和公式:S n = 等差数列的前n项和公式 等差数列的前 项和公式: 2 n(n ? 1) S n = na1 + d 2

四、小结 1. 若已知数列 n}前n项和为 n,则该数列的通项公式 若已知数列{a 前 项和为 项和为S S 1, n=1 为 a n= Sn-Sn-1,n≥2

推导等差数列前n项和的方法 注:1.推导等差数列前 项和的方法“倒序相加法” 推导等差数列前 项和的方法“倒序相加法” 2.方程组思想的应用,“知三求一” ,“知三求 方程组思想的应用, 知三求一” 方程组思想的应用 二” 3.等差数列 n}的前 等差数列{a 的前 的前2n-1项和公式: 项和公式: 等差数列 项和公式

(2n ? 1 (a1 + a2 n ?1 ) ) S2 n ?1 = = (2n ? 1)an 2

三、例题 日教育部颁发了《 例1. 2000年11月14日教育部颁发了《关于在中小学实 年 月 日教育部颁发了 校校通”工程的通知》 施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施 校校通”工程的总目标: 年起用10年时间 “校校通”工程的总目标:从2001年起用 年时间, 年起用 年时间, 在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算, 在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算,2001 该市用于“校校通”工程的费用为500万元,为了保 万元, 年该市用于“校校通”工程的费用为 万元 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年 证工程的顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年 增加50万元 那么从2001年起的未来 年内,该市在 万元. 年起的未来 增加 万元.那么从 年起的未来10年 校校通”工程中的总投入是多少? “校校通”工程中的总投入是多少? 解:根据题意,从2001-2010年,该市每年投入“校校 根据题意, 年 该市每年投入“ 工程的经费都比上一年增加50万元 万元. 通”工程的经费都比上一年增加 万元 所以,可以建立一个等差数列{a 表示从2001年起 所以,可以建立一个等差数列 n} ,表示从 年起 各年投入的资金, 各年投入的资金,其中 a1=500 d=50

三、例题 解:根据题意,从2001-2010年,该市每年投入“校校 根据题意, 年 该市每年投入“ 工程的经费都比上一年增加50万元 万元. 通”工程的经费都比上一年增加 万元 所以,可以建立一个等差数列{a 表示从2001年起各 所以,可以建立一个等差数列 n} ,表示从 年起各 年投入的资金, 年投入的资金,其中 a1=500 d=50 那么, 那么,到2010年(n=10),投入的资金总额为 年 投入的资金总额为

S =10×500 + 10× (10 ?1) ×50 = 7250 10 2

该市在“ 答:从2001~2010”年,该市在“校校通”工程中的总 ~ 年 该市在 校校通” 投入是7250元. 投入是 元


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