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(课件1)3.1数系的扩充和复数的概念_图文

3.1数系的扩充 复习回顾 自然数 数 系 的 扩 充 用图形表示包含关系: 整数 有理数 Q R 无理数 实数 Z N 思考2:在实数集中,方程x2+1=0无解, 假设使方程x2+1=0有解,其解为i. 则这个解i 应该满足什么条件?i 是否 在实数集中? 为此,我们引入一个新数i,叫做虚数单位,对 虚数单位i 的规定 ① i 2= -1; ②i 可以与实数一起进行四则运算,并且加法、 乘法运算律不变. 问题点拨 定义:我们把形如a+b i(其中 a、b ?R )的数 称为 复数, 记作: z 即z=a+bi z 的_______ 其中a叫做复数__ 实部 、 z 的________. 虚部 b叫做复数___ 全体复数 C 集记为______. 请指出下列复数的实部和虚部 2 ? 3i,8 ? 5i,11? 2i,3i, 1、定义:复数z=a+bi(a、b?R) ①当且仅当_______ ,z是实数 b=0 b?0 时, z叫虚数, 特别的当 a=0 且b?0时,z叫纯虚数 ②当______ 有理数 实数(b=0) 复数z=a+bi (a、b?R) 无理数 虚数 (b?0) 概念理解练习 特别的当 a=0 时,为纯虚数 ? ? 1、显然,实数集R是复数集C的集合关系,即R____C. 2、a=0是z=a+bi(a、b?R)为纯虚数的 必要不充分 条件. 问题尝试 3、下列复数中,哪些是实数、哪些是虚数、哪些是纯虚数? 2 1 ? 2i,2 ? 5 , i,?5 ? 3i, i sin ? , i 2 ,7 ? ( 3 ? 2)i 2 解:实数2 ? 5, i sin ? , i 2 2 虚数: 1 ? 2i, i,?5 ? 3i, ,7 ? ( 3 ? 2)i 2 2 纯虚数: i 2 例1、实数m取什么值时,复数Z=m+1+(m-1)i是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 解: ( 1)当m ? 1 ? 0, 即m ? 1时,z是实数; (2)当m ? 1 ? 0,即m ? 1时,z是虚数; (3)当m ? 1 ? 0, 且m ? 1 ? 0, 即m ? ?1时,z是纯虚数。 例2:已知复数Z= a ? 7a ? 6 2 ? (a ? 5a ? 6)i 2 a ?1 2 试求实数a取什么值时,Z分别为 : (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 解: ( 1)当z为实数时,则有: ?a 2 ? 5a ? 6 ? 0, ?a ? ?1或a ? 6 ?? ? a ? 6. ? 2 ? a ? ?1, ? a ? 1 ? 0, ?当a ? 6时,z为实数。 (2)当z为虚数时,则 ?a 2 ? 5a ? 6 ? 0, ?a ? ?1且a ? 6, ?? ? a ? ?1且a ? 6. ? 2 ?a ? ?1 ? a ? 1 ? 0, ?当a ? ( ? ?, ? 1) ? ( ? 1,1 ) ? ( 1,6) ? (6, ? ?)时, z为虚数。 (3)当z为纯虚数时,则 ? a ? 5a ? 6 ? 0, ? 2 ? a ? 7a ? 6 ? 0 , 2 ? ? a ?1 ?a ? ?1且a ? 6, ?? a ? 6. ? 2 ? 不存在实数a使得z为纯虚数。 2. 两个复数相等 ?a ? c ? 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d?R),则 z1=z2? ?b ? d , 即实部等于实部,虚部等于虚部. 特别地,a+bi=0? a=b=0 . 注意:一般地,两个复数只能说相 等或不相等,而不能比较大小. 思考3:对于任意的两个复数到底能否比较大小? 答案:当且仅当两个复数都是实数时,才能比较大小. 即:若z1>z2 ? z1,z2∈R且z1>z2. 例3、已知 ( x ? y) ? ( x ? 2 y)i ? (2 x ? 5) ? (3x ? y)i 求实数x,y的值. 解:由两个复数相等的充要条件得: X+y=2x-5 X-2y=3x+y 解得:x=3、y=-2 变式: (2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i, 其中x, y ? R, 求x, y的值。 解,由复数相等可知: 5 ? ?2 x ? 1 ? y ?x ? 即? ? 2 ? y ?3 ?1 ? ?y ? 4 问题拓展 例4.已知方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0有实数解,a为实数, 求a的值. 解:设方程的解为x0 2 2 代入方程化简得: ( x0 ? 2ax0 ? 5) ? ( x0 ? 2x0 ? 3)i ? 0 2 ( x0 ? 2ax0 ? 5) ? 0 2 ( x0 ? 2x0 ? 3) ? 0 由复数相等 7 解得: a ? 或a ? ?3 3 练习:已知关于x的方程x2+(1+2i)x+(-3m+1)i=0有实根,求 实数m的值. ? x ? x0 ? 0 1 1 ? m ? 或m ? ? ? 3 3 2 x ? 3 m ? 1 ? 0 ? 0 2 0 课堂练习 1:当m为何实数时,复数 Z ? m ? m ? 2 ? (m ? 1)i 2 2 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? (1) : m ? ?1; (2)m ? ?1; (3)m ? ?2. 2、已知Z=m2(1+i)-(m+i),m为实数,当m为何 值时,复数Z是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数? (1)m ? ?1; (2)m ? ?1; (3)m ? 0. 3、若x,y为实数,且 2 2 求? x,y 2 ? x ? y ? x ? 2 ? x ? ?3 ?? . ? y ? 4 ? y ? 4 ? ? 2 ? x ? y ? x ?? yi ? 2 ? 4i 4.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0,求x的值. i 2 ?2 x ? 3 x ? 2


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