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2017年高考试题数学文分类汇编:专题05 解析几何


专题 05 解析几何
1.【2017 课表 1,文 5】已知 F 是双曲线 C: x 2 ? A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为 A.
1 3

y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 上一点,且 PF 与 x 轴垂直,点 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 2

【答案】D 【解析】

【考点】双曲线 【名师点睛】本题考查圆锥曲线中双曲线的简单运算,属容易题.由双曲线方程得 F (2,0) ,结合 PF 与 x 轴垂直,可得 | PF |? 3 ,最后由点 A 的坐标是(1,3),计算△APF 的面积. 2.【2017 课标 II,文 5】若 a ? 1 ,则双曲线 A. ( 2, ??) 【答案】C 【解析】由题意 e2 ?

x2 ? y 2 ? 1的离心率的取值范围是 2 a
D. (1, 2)

B. ( 2, 2)

C. (1, 2)

1 c2 a2 ? 1 1 1 ? 1 ? ? 2 ,则 1 ? e ? 2 ,故选 C. a ? 1 ,因为 ,所以 ? ? 1 ? a2 a2 a2 a2

【考点】双曲线离心率 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等 式,再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式,而建立关于 a, b, c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 3.【2017 浙江,2】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 4

A.

13 3

B.

5 3

C.

2 3

D.

5 9

【答案】B 【解析】 试题分析: e ?

9?4 5 ,选 B.学优高考网 ? 3 3

【考点】 椭圆的简单几何性质 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等 式,再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式,建立关于 a, b, c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和双 曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 4.【2017 课标 II,文 12】过抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点 F ,且斜率为 3 的直线交 C 于点 M ( M 在 x 轴上 方), l 为 C 的准线,点 N 在 l 上且 MN ? l ,则 M 到直线 NF 的距离为 A. 5 B. 2 2 C. 2 3 D. 3 3

【答案】C

【考点】直线与抛物线位置关系

[来源:gkstk.Com]

【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达 定理或求根公式进行转化,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数关系,设而不求法计算弦长;涉及 垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算;涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线 的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法. 5. B 是椭圆 C: 【2017 课标 1, 文 12】 设 A、 则 m 的取值范围是 A. (0,1] ? [9, ??) C. (0,1] ? [4, ??) B. (0, 3] ? [9, ??) D. (0, 3] ? [4, ??)

x2 y 2 若 C 上存在点 M 满足∠AMB=120° , ? ? 1 长轴的两个端点, 3 m

【答案】A 【解析】 试题分析:当 0 ? m ? 3 ,焦点在 x 轴上,要使 C 上存在点 M 满足 ?AMB ? 120? ,则

a ? tan 60? ? 3 , b



3 ? 3 ,得 0 ? m ? 1 ;当 m ? 3 ,焦点在 y 轴上,要使 C 上存在点 M 满足 ?AMB ? 120? ,则 m
3 ,即

a ? tan 60? ? b
【考点】椭圆

m ? 3 ,得 m ? 9 ,故 m 的取值范围为 (0,1] ? [9, ??) ,选 A. 3

【名师点睛】本题设置的是一道以椭圆的知识为背景的求参数范围的问题.解答问题的关键是利用条件确 定 a , b 的关系,求解时充分借助题设条件 ?AMB ? 120? 转化为

a ? tan 60 ? ? 3 ,这是简化本题求解过程 b

的一个重要措施,同时本题需要对方程中的焦点位置进行逐一讨论. 6.【2017 课标 3,文 11】已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1, (a>b>0)的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线段 A1A2 a 2 b2


为直径的圆与直线 bx ? ay ? 2ab ? 0 相切,则 C 的离心率为(

A.

6 3

B.

3 3

C.

2 3

D.

1 3

【答案】A

【考点】椭圆离心率 【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a, b, c 的方程或不等 式,再根据 a, b, c 的关系消掉 b 得到 a , c 的关系式,而建立关于 a, b, c 的方程或不等式,要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等. 7. 【2017 天津, 文 5】 已知双曲线

x2 y 2 △OAF ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点为 F , 点 A 在双曲线的渐近线上, a 2 b2

是边长为 2 的等边三角形( O 为原点) ,则双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? y 2 ? 1(D) x 2 ? ?1 4 12 12 4 3 3

【答案】 D 【解析】

? ?c ? 2 ? 2 2 2 试题分析:由题意结合双曲线的渐近线方程可得: ?c ? a ? b ,解得: a 2 ? 1, b2 ? 3 , ?b ? ? tan 600 ? 3 ?a
双曲线方程为: x ?
2

y2 ? 1,本题选择 D 选项. 学优高考网 3

【考点】双曲线方程 【名师点睛】 本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质, 属于基础题. 解题时要注意 a 、

b 、 c 的关系 c 2 ? a 2 ? b2 ,否则很容易出现错误.解本题首先画图,掌握题中所给的几何关系,再结合双
曲线的一些几何性质,得到 a, b, c 的关系,联立方程,求得 a, b, c 的值, 8.【2017 天津,文 12】设抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F,学优高考网准线为 l.已知点 C 在 l 上,以 C 为圆心的 圆与 y 轴的正半轴相切于点 A.若 ?FAC ? 120? ,则圆的方程为 . 【答案】 ( x ? 1)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 【解析】

【考点】1.抛物线的方程;2.圆的方程. 【名师点睛】本题设计比较巧妙,考查了圆,抛物线的方程,同时还考查了向量数量积的坐标表示,本题
0 只有一个难点,就是 ?CAF ? 120 ,会不会用向量的坐标表示 cos ?CAF ,根据图象,可设圆心为

C ? ?1, m? ,那么方程就是 ? x ? 1? ? ? y ? m ? ? 1 ,若能用向量的坐标表示角,即可求得 m ,问题也就迎刃
2 2

而解了. 9.【2017 北京,文 10】若双曲线 x 2 ? 【答案】2 【解析】 试题分析: a2 ? 1, b2 ? m ,所以 【考点】双曲线的方程和几何性质 【名师点睛】 本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质, 属于基础题. 解题时要注意 a 、

y2 ? 1的离心率为 3 ,则实数 m=__________. m

c 1? m ? ? 3 ,解得 m ? 2 . a 1

b 、 c 的关系 c 2 ? a 2 ? b2 ,否则很容易出现错误.以及当焦点在 x 轴时,哪些量表示 a 2 , b 2 ,根据离心率
的公式计算. 10.【2017 山东,文 15】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的右支与焦点为 F 的 a 2 b2
.

抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 交于 A,B 两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 【答案】 y ? ? 【解析】

2 x 2

【考点】抛物线的定义与性质、双曲线的几何性质 【名师点睛】若 AB 是抛物线 y ? 2 px ? p ? 0? 的焦点弦,设 A(x1,y1),B(x2,y2).则
2

p2 2p 1 1 2 (1)y1y2=-p2,x1x2= .(2)|AB|=x1+x2+p= 2 (θ 为 AB 的倾斜角).(3) + 为定值 . 4 sin θ |AF| |BF| p (4)以 AB 为直径的圆与准线相切.(5)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.

11.【2017 课标 3,文 14】双曲线 【答案】5

3 x2 y 2 ? ? 1 (a>0)的一条渐近线方程为 y ? x ,则 a= 2 5 a 9

.

【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为: y ? ? 【考点】双曲线渐近线 【名师点睛】1.已知双曲线方程

3 x ,结合题意可得: a ? 5 .学优高考网 a

x2 y 2 x2 y 2 b ? ? 1 ? 2 ?0? y ?? x 求渐近线: 2 2 2 a b a b a

2.已知渐近线 y ? mx 设双曲线标准方程 m2 x 2 ? y 2 ? ? 3.双曲线焦点到渐近线距离为 b ,垂足为对应准线与渐近线的交点. 12. 【2017 江苏, 8】在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 其焦点是 F1 , F2 ,则四边形 F1 PF2Q 的面积是 【答案】 2 3 ▲ .
x2 ? y 2 ? 1 的右准线与它的两条渐近线分别交于点 P , Q , 3
[来源:gkstk.Com]

【考点】双曲线渐近线

x2 y 2 x2 y 2 b 【名师点睛】1.已知双曲线方程 2 ? 2 ? 1 求渐近线: 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x a b a b a
2 2 2 2.已知渐近线 y ? mx 设双曲线标准方程 m x ? y ? ?

3,双曲线焦点到渐近线距离为 b ,垂足为对应准线与渐近线的交点.

??? ? ??? ? 13. 【2017 江苏, 13】 在平面直角坐标系 xOy 中, A(?12, 0), B(0, 6), 点 P 在圆 O:x2 ? y 2 ? 50 上,若 PA ? PB ≤ 20,
则点 P 的横坐标的取值范围是 【答案】 [?5 2,1] 【解析】设 P( x, y ) ,由 PA ? PB ? 20 ,易得 2 x ? y ? 5 ? 0 ,由 ? ▲ .

??? ? ??? ?

?2 x ? y ? 5 ? 0 ? x ? y ? 50
2 2

,可得 A : ?

? x ? ?5 或 ? y ? ?5

?x ? 1 ,由 2 x ? y ?5 ?0 得 P 点在圆左边弧 ? AB 上,结合限制条件 ?5 2 ? x ? 5 2 ,可得点 P 横坐标 B:? y ? 7 ?

的取值范围为 [?5 2,1] . 【考点】直线与圆,线性规划 【名师点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线, 其次确定目标函数的几何意义,是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还 是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 14.【2017 课标 1,文 20】设 A,B 为曲线 C:y= (1)求直线 AB 的斜率; (2)设 M 为曲线 C 上一点,C 在 M 处的切线与直线 AB 平行,且 AM ? BM,求直线 AB 的方程. 【答案】 (1)1; (2) y ? x ? 7 . 【解析】

x2 上两点,A 与 B 的横坐标之和为 4. 4

将 y ? x ? m 代入 y ?

x2 得 x2 ? 4 x ? 4m ? 0 . 4

当 ? ? 16(m ? 1) ? 0 ,即 m ? ?1 时, x1,2 ? 2 ? 2 m ? 1 . 从而 |AB|= 2 | x1 ? x2 |? 4 2(m ? 1) . 由题设知 | AB |? 2 | MN | ,即 4 2(m ? 1) ? 2(m ? 1) ,解得 m ? 7 . 所以直线 AB 的方程为 y ? x ? 7 .学优高考网 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 【名师点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的, 圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程

问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用 韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用. 15.【2017 课标 II,文 20】设 O 为坐标原点,动点 M 在椭圆 C 为 N,点 P 满足 NP ? 2 NM (1)求点 P 的轨迹方程; (2)设点 Q 在直线 x ? ?3 上,且 OP ? PQ ? 1 .证明过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F. 【答案】 (1) 【解析】 试题分析: (1)转移法求轨迹:设所求动点坐标及相应已知动点坐标,利用条件列两种坐标关系,最后代 入已知动点轨迹方程,化简可得所求轨迹方程, ( 2 )证明直线过定点问题,一般方法以算代证:即证 ,先设 P(m,n) ,则需证 3 ? 3m ? tn ? 0 ,根据条件 OP ? PQ ? 1 可得 ?3m ? m2 ? tn ? n2 ? 1 , 而 ,代入即得 3 ? 3m ? tn ? 0 . (2)见解析 上,过 M 作 x 轴的垂线,垂足

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

(2)由题意知 F(-1,0) ,设 Q(-3,t) ,P(m,n) ,则 , . 由 得 ?3m ? m2 ? tn ? n2 ? 1 ,又由(1)知 ,故

3 ? 3m ? tn ? 0 .
所以 左焦点 F
[来源:学优高考网 gkstk]

, 即

.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ, 所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的

【考点】求轨迹方程,直线与椭圆位置关系 【名师点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少,或者将该

问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似,在求定 点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 16.【2017 课标 3,文 20】在直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? mx ? 2 与 x 轴交于 A,B 两点,点 C 的坐标 为 (0,1) .当 m 变化时,解答下列问题: (1)能否出现 AC⊥BC 的情况?说明理由; (2)证明过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值. 【答案】 (1)不会; (2)详见解析 【解析】试题分析: (1)设 A ? x1 ,0? , B ? x2 ,0? ,由 AC⊥BC 得 x1 x2 ? 1 ? 0 ;由韦达定理得 x1 x2 ? ?2 ,矛 盾,所以不存在( 2 )可设圆方程为 x2 ? y 2 ? mx ? Ey ? 2 ? 0 , 因为过 (0,1) ,所以 E ? 1 ,令 x ? 0 得

y 2 ? y ? 2 ? 0 ? y ? 1或y ? ?2 ,即弦长为 3.

令 x ? 0 得 y1 ? 1, y2 ? ?2 ,所以过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 1 ? ? ?2? ? 3 ,所以 所以过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为定值 解法 2:设过 A,B,C 三点的圆与 y 轴的另一个交点为 D, 由 x1 x2 ? ?2 可知原点 O 在圆内,由相交弦定理可得 OD OC ? OA OB ? x1 x2 ? 2 , 又 OC ? 1,所以 OD ? 2 , 所以过 A,B,C 三点的圆在 y 轴上截得的弦长为 OC ? OD ? 3 ,为定值. 【考点】圆一般方程,圆弦长 【名师点睛】 :直线与圆综合问题的常见类型及解题策略

(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.代数方法:运 用根与系数的关系及弦长公式: | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 1 ? k
2 2

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 (2)圆的切线问题的

处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.学优高考网

17.【2017 山东,文 21】 (本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的 a 2 b2

离心率为

2 ,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 2 . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)动直线 l:y=kx+m(m≠0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点,圆 N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与圆 N 分别相切于点 E,F,求 ? EDF 的最小值.

x2 y 2 π ? ? 1 ;(Ⅱ) ? EDF 的最小值为 . 【答案】(Ⅰ) 2 4 2
【解析】

(2k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 2m2 ? 4 ? 0 ,确定 D (?

2m 2km m , 2 ) , DN ? 2 k 4 ? 3k 2 ? 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

所以 sin ?FDN ?

ON DN

?

2k 2 ? 1 2 k 4 ? k 2 ?1

?

2 π π ,由此可得 ?FDN 的最小值为 , ?EDF 的最小值为 . 4 2 2

(Ⅱ)设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) , 联立方程 ?

? y ? kx ? m 2 2 ?x ? 2 y ? 4

得 (2k 2 ? 1) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 4 ? 0 , 由? ? 0
2 2 得 m ? 4k ? 2

(*)

4km , 2k 2 ? 1 2m 因此 y1 ? y2 ? , 2k 2 ? 1 2km m , 2 ) , 所以 D (? 2 2k ? 1 2k ? 1 又 N (0, ?m) , 2km 2 m 2 ) ?( 2 ? m) 2 所以 ND ? (? 2 2k ? 1 2k ? 1
且 x1 ? x2 ? 整理得: ND ? 因为 NF ? m
2

4m2 (1 ? 3k 2 ? k 4 ) , (2k 2 ? 1)2

所以

ND NF
2

2 2

?

4(k 4 ? 3k 2 ? 1) 8k 2 ? 3 ? 1 ? (2k 2 ? 1) 2 (2k 2 ? 1) 2

令 t ? 8k ? 3, t ? 3
2 故 2k ? 1 ?

t ?1 4

所以

ND NF

2 2

? 1?

16t 16 ? 1? . 2 1 (1 ? t ) t? ?2 t

令y?t?

1 1 ,所以 y ? ? 1 ? 2 . t t

当 t ? 3 时, y? ? 0 ,

设 ?EDF ? 2? , 则 sin ? ?

NF ND

?

1 , 2

所以 ? 得最小值为

? . 6 ? ,此时直线 l 的斜率时 0 . 3
? .学优高考网 3

从而 ? EDF 的最小值为

综上所述:当 k ? 0 , m ? (? 2,0) ? (0, 2) 时, ? EDF 取得最小值为 【考点】圆与椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、

【名师点睛】圆锥曲线中的两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线 或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.常见解法:①几何法,若 题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法,若题目的条件和结论 能体现一种明确的函数关系,则可先建立起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、 配方法及 导数法求解. 18.【2017 天津,文 20】已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F (?c, 0) ,右顶点为 A ,点 E 的坐标 a 2 b2

为 (0, c ) , △ EFA 的面积为 (I)求椭圆的离心率;

b2 . 2

(II) 设点 Q 在线段 AE 上,| FQ |?

3 c, 延长线段 FQ 与椭圆交于点 P , 点 M ,N 在 x 轴上,PM ∥QN , 2

且直线 PM 与直线 QN 间的距离为 c ,四边形 PQNM 的面积为 3c . (i)求直线 FP 的斜率; (ii)求椭圆的方程. 【答案】 (Ⅰ) 【解析】

x2 y 2 1 3 ? ?1 (Ⅱ) (ⅰ) (ⅱ) 2 4 16 12

试题解析: ( Ⅰ ) 解 : 设 椭 圆 的 离 心 率 为 e. 由 已 知 , 可 得

1 b2 2 2 2 ( c ? a )c ? .又由 b ? a ? c ,可得 2 2
1 . 2

2c2 ? ac ? a 2 ? 0 ,即 2e2 ? e ? 1 ? 0 .又因为 0 ? e ? 1 ,解得 e ?
所以,椭圆的离心率为

1 .学优高考网 2 1 . m

(Ⅱ) (ⅰ)依题意,设直线 FP 的方程为 x ? my ? c(m ? 0) ,则直线 FP 的斜率为 由(Ⅰ)知 a ? 2c ,可得直线 AE 的方程为

x y ? ? 1 ,即 x ? 2 y ? 2c ? 0 ,与直线 FP 的方程联立,可解 2c c (2m ? 2)c 3c (2m ? 2)c 3c ,y? , ). 得x? ,即点 Q 的坐标为 ( m?2 m?2 m?2 m?2 3c (2 m ? 2) c 3c 2 3c 2 4 ? c] 2 ? ( ) ?( ) ,整理得 3m2 ? 4m ? 0 ,所以 m ? ,即直线 FP 由已知|FQ|= ,有 [ 2 m?2 m?2 2 3 3 的斜率为 . 4

【考点】1.椭圆方程;2.椭圆的几何性质;3.直线与椭圆的位置关系. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,是一道难题重点考察了计算能力,以及转化与化归的能力, 解答此类题目,利用 a, b, c, e 的关系,确定椭圆离心率是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程 的方程组, 一般都是根据根与系数的关系解题, 但本题需求解交点坐标, 再求解过程逐步发现四边形 PQNM 的几何关系,从而求解面积,计算结果,本题计算量比较大, 19.【2017 北京,文 19】已知椭圆 C 的两个顶点分别为 A(?2,0),B(2,0),焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 D 为 x 轴上一点,过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不同的两点 M,N,过 D 作 AM 的垂线交 BN 于 点 E.求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为 4:5. 【答案】(Ⅰ) 【解析】
3 . 2

x2 ? y 2 ? 1 ;(Ⅱ)详见解析. 4

试题分析:(Ⅰ)根据条件可知 a ? 2,

c 3 ,以及 b2 ? a 2 ? c 2 ,求得椭圆方程;(Ⅱ)设 M (m, n) , ? a 2

则 D(m,0), N (m, ?n) ,根据条件求直线 DE 的方程,并且表示直线 BN 的方程,并求两条直线的交点,根

1 ? BD ? yE S?BDE 2 据 ? S?BDN 1 ? BD ? y N 2

,根据坐标表示面积比值.

试题解析:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) . a 2 b2

?a ? 2, ? 由题意得 ? c 3 解得 c ? 3 . , ? ? 2 ?a
2 2 2 所以 b ? a ? c ? 1 .

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

2 2 由点 M 在椭圆 C 上,得 4 ? m ? 4n .

4 n. 5 1 2 又 S△BDE ? | BD | ? | y E |? | BD | ? | n | , 2 5 1 S△BDN ? | BD | ? | n | , 2
所以 y E ? ? 所以 △BDE 与 △BDN 的面积之比为 4 : 5 . 【考点】1.椭圆方程;2.直线与椭圆的位置关系.

【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高,重点考察了计算能力,以及转化与化归的能力,解答此类题 目,利用 a, b, c, e 的关系,确定椭圆方程是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,一 般都是根据根与系数的关系解题,但本题需求解交点坐标,再根据面积的几何关系,从而求解面积比值, 计算结果, 本题易错点是复杂式子的变形能力不足, 导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、 运算求解能力、分析问题解决问题的能力等. 学优高考网 20. 【2017 江苏, 17】 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E :
F2 ,离心率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 , a 2 b2

1 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位于第一象限,过点 F1 作 直线 PF1 的垂线 l1 ,过 2

点 F2 作直线 PF2 的垂线 l2 . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 E 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标. y

F1

?

O

F2

?

x

(第 17 题)

【答案】 (1)

x2 y 2 4 7 3 7 ? ? 1 (2) ( , ) 4 3 7 7

(2)由(1)知, F1 (?1,0) , F2 (1,0) . 设 P( x0 , y0 ) ,因为点 P 为第一象限的点,故 x0 ? 0, y0 ? 0 . 当 x0 ? 1 时, l2 与 l1 相交于 F1 ,与题设不符.

当 x0 ? 1 时,直线 PF1 的斜率为

y0 y0 . ,直线 PF2 的斜率为 x0 ? 1 x0 ? 1

[来源: 学优高考网]

又 P 在椭圆 E 上,故

2 x0 y2 ? 0 ? 1. 4 3

2 2 2 2 ? x0 ? x0 ? y0 ?1 ? y0 ?1 ? 2 ? 4 7 3 7 2 由?x ,解得 x0 ? ; ? x2 y 2 ,无解. , y0 ? y0 0 0 0 7 7 ? ? 1 ?1 ? ? ? 3 3 ?4 ?4

4 7 3 7 , ) 7 . 因此点 P 的坐标为 7 (
【考点】椭圆方程,直线与椭圆位置关系 【名师点睛】直线和圆锥曲线的位置关系,一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组,利用韦达 定理或求根公式进行转化,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲线上则点的坐标满足曲线方程.
[来源:gkstk.Com]

21.【2017 浙江,21】(本题满分 15 分)如图,已知抛物线 x 2 ? y ,点 A ( ? , ) , B ( , ) ,抛物线上 的点 P ( x, y )( ?

1 1 2 4

3 9 2 4

1 3 ? x ? ) .过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q. 2 2

(Ⅰ)求直线 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ)求 | PA | ? | PQ | 的最大值. 【答案】(Ⅰ) (?1,1) ;(Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ) 由两点求斜率公式可得 AP 的斜率为 x ?

27 16

1 1 3 , 由? ? x ? , 得 AP 斜率的取值范围; (Ⅱ) 2 2 2

联立直线 AP 与 BQ 的方程, 得 Q 的横坐标, 进而表达 | PA | 与 | PQ | 的长度, 通过函数 f (k ) ? ?(k ?1)(k ? 1)3 求解 | PA | ? | PQ | 的最大值.学优高考网

解得点 Q 的横坐标是 xQ ?

? k 2 ? 4k ? 3 1 2 2 ,因为|PA|= 1 ? k ( x ? ) = 1 ? k (k ? 1) 2 2 2(k ? 1)
(k ? 1)(k ? 1) 2 k ?1
2

|PQ|=

1 ? k 2 ( xQ ? x) ? ?

,所以|PA||PQ|= ? (k ?1)(k ? 1)

3

3 2 令 f (k ) ? ?(k ?1)(k ? 1) , 因为 f ' (k ) ? ?(4k ? 2)(k ? 1) , 所以 f(k)在区间 ( ?1, ) 上单调递增,( ,1) 上

1 2

1 2

单调递减,因此当 k=

1 27 时, | PA | ? | PQ | 取得最大值 . 2 16

【考点】直线与圆锥曲线的位置关系 【名师点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思 想方法和运算求解能力, 通过表达 | PA | 与 | PQ | 的长度, 通过函数 f (k ) ? ?(k ?1)(k ? 1)3 求解 | PA | ? | PQ | 的最大值.



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