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高一数学数列的求和测试题


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专题研究:数列的求和·例题解析

【例 1】
1 2

求下列数列的前 n 项和 Sn:
1 4 , 1 2 1 8 ? , ? , (n ? 2 3
4

(1 ) 1 (2 )

,2 2 3
2

,3 1 3
3

1 2 2
6 n

), ? ; 1 3 1 2 +
2 n ?1

1 3

?

, ? 1 4

1 3
5

?

,?,

3

?

2 3
2n

,?; 1 2
n ?1

(3 )1 , 1 +

, 1+

1 2

, ? , 1+

1 4

+?+

,?.

解 (1 )S n = 1

1 2

?2

1 4

?3

1 8

? ? ? (n ? 1 2

1 2 ?
n

) ? 1 8 ? ? ? 1 2
n

= (1 + 2 + 3 + ? + n) + (
1 = n(n + 1 ) 2 ? 2 1 2 1 2
n n

1 4

)

(1 ? 1? ? 1 2

)

= 1+

n ( n ? 1) 2

(2 )S n =

1 3

?

2 3
2

?

1 3
3

?

2 3
4

? ? ? 1 )+(
1 3 1
2 2n

1 3 2 3
)
2 2 n ?1

? 2 3
4

2 3
2n

= (

1 3

+

1 3
3

+? +
1

3

2 n -1

+

+? +

2 3
2n

)

1 = 3

(1 ? 1?

3 1 3

2n

) ?

2 3
2

(1 ? 1?

2

3

?

5 8

(1 ?

1 3
2n

)

(3)先对通项求和
an = 1? 1 2 ? 1 4 ? ? ? 1 2
n ?1

? 2?

1 2 1 2 1
n ?1

∴ S n = (2 + 2 + ? + 2 ) - (1 +

+

1 4

+? +

1 2
n -1

)

= 2 n - (1 + = 2 n- 2 +

1 2 1 2

+

1 4

+? +

2

n -1

)

n ?1

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【例 2】
(1 ) 1 1· 2 1 1· 5 1 2· 5

求和:
+ ? ? 1 2· 3 1 3· 7 1 5· 8 + ? ? 1 3· 4 1 5· 9 1 8· 11 +? ? ? ? ? 1 n ( n ? 1) 1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 ) 1 ( 3 n ? 1)( 3 n ? 2 )

(2 )

(3 )

? ? ?

解 (1 )

1 n(n + 1 )

?

1 n

?

1 n?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) 1 2 2 3 3 4 n n?1
? 1? ? n n?1
1 (2 n ? 1 )(2 n + 3 ) 1 4 [1 ? 1 2n ? 1 1 5 ? ? 1 3 1 2n ? 1 ? ? 1 1 ? 1 2n ? 3

1 n?1

(2 )

4 2n ? 1 1 7 ? 1 5 ? 1 2n ? 3 1 9

(

) 1 ?

∴ Sn =

? ? ? ]

2n ? 3

?

= ?

1 4

[1 ?

1 3

?

1 2n ? 1

?

1 2n ? 3

]

n ( 4 n ? 5) 3 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 3 ) 1 1 1 1 3n ? 2 ? 1 11

(3)

(3n ? 1)(3n + 2 ) 1 3 [( 1 2 ? 1 5

?

3 3n ? 1 1 5 ? 1 8 )?(

(

? 1 8

) 1 3n ? 1 ? 1 3n ? 2

∴ Sn =

)?(

)?? ?(

)]

= ?

1 1 1 ( ? ) 3 2 3n ? 2 n 6n ? 4

【例 3】
1+ 1, 1 a

求下面数列的前 n 项和:
+ 4, 1 a
2

+ 7, ? ,

1 a
n ?1

+ (3 n - 2 ) , ?

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分析 将数列中的每一项拆成两个数,一个数组成以

1 a

为公比的等

比数列,另一个数组成以 3n-2 为通项的等差数列,分别求和后再合并. 解 设数列的通项为 an,前 n 项和为 Sn
1 a
n ?1

则an =

+ (3n ? 2) 1 a ? 1 a
2

∴ S n = (1 ?

? ? ?

1 a
n ?1

) + [1 + 4 + 7 + ? + (3n - 2)]

当 a = 1时 , S n = n + 1? 当 a ≠ 1时 , S n = 1?

[ 1 ? ( 3 n ? 2 )] · n 2 1

?

3n ? n
2

2
n

n (1 ? 3 n ? 2 ) n a ?1 ( 3 n ? 1) n a ? ? n ? n ?1 1 2 2 a ?a

a

说明

等比数列的求和问题,分 q=1 与 q≠1 两种情况讨论.
2 2 2

【 例 4 】 设 a k = 1 + 2 + ? + k (k ∈ N *) , 则 数 列

3 a1



5 a2



7 a3



?的前 n 项之和是 [
A. 6n n?1 B. 3n n?1 C. 6 ( n ? 1) n D. 6 ( n ? 1) n?2

]

解 设数列

3 a1



5 a2



7 a3

,?,的通项为bn.

则bn =

2n ? 1 an
2 2 2

又∵ an = 1 +2 +?+n ∴ bn = 6 n(n + 1 ) = 6( 1 n ?

=

1 6 )

n(n + 1)(2n + 1 )

1 n +1

数列{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+?+bn
= 6[( 1 ? = 6 (1 ? = 6n n+1 1 2 ? 1 3 ) ? ? ? 1 n )?( 1 2 ? 1 3 ? ? ? 1 n ? 1 n?1

)]

1 n?1

选 (A ) .
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【例 5】

求在区间[a,b](b>a,a,b∈N)上分母是 3 的不可约分数之和.
3a 3 , 3 , 3a ? 1 3 3b ? 1 , 3b 3 , 3a ? 2 3 它是以 ,

解 法 一 区 间 [a , b ] 上 分 母 为 3 的 所 有 分 数 是 a + 1, 3a 3 3a ? 4 3 1 3
1 2 (3 b - 3 a + 1 )(a + b )



3a ? 5 3

, a + 2 , ? , b - 1,

3b ? 2 3

为首项,以

为公差的等差数列.

项 数 为 3 b - 3 a + 1, 其 和 S =

其中,可约分数是 a,a+1,a+2,?,b
其 和 S′ = 1 2 (b - a + 1 )(a + b )

故不可约分数之和为
S- S′ = 1 2 (a + b )[(3 b - 3 a + 1 ) - (b - a + 1 )]

=b2-a2 解法二
∵ S = 3a + 1 3 + 3a + 2 3 + 3a + 4 3 + 3a + 5 3 + ? + 3b ? 2 3 + 3b ? 1 3

∴ S = (a +

1 3

) + (a + 1 3 1 3

2 3

) + (a + 2 3

4 3

) + (a + 4 3

5 3

) + ? + (b - 5 3

2 3

) + (b - 2 3 )+

1 3

)

而 又 有 S = (b - (a +

) + (b - )

) + (b -

) + (b -

) + ? + (a +

两式相加:2S=(a+b)+(a+b)+?+(a+b) 其个数为以 3 为分母的分数个数减去可约分数个数. 即 3(b-a)+1-(b-a+1)=2(b-a) ∴ 2S=2(b-a)(a+b) ∴ S=b2-a2 【例 6】 求下列数列的前 n 项和 Sn:

(1)a,2a2,3a3,?,nan,?,(a≠0、1); (2)1,4,9,?,n2,?; (3)1,3x,5x2,?,(2n-1)xn-1,?,(x≠1)
(4 ) 1 2 , 2 4 , 3 8 ,?, n 2
n

,?.

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解 (1)Sn=a+2a2+3a3+?+nan ∵ a≠0 ∴ aSn=a2+2a3+3a4+?+(n-1)an+nan+1 Sn-aSn=a+a2+a3+?+an-nan+1 ∵ a≠1
∴ (1 ? a ) S n ? Sn ? a (1 ? a )
n

a (1 ? a )
n

1? a ? na
n ?1

? na

n?1

(1 ? a )

2

1? a

(2)Sn=1+4+9+?+n2 ∵ (a+1)3-a3=3a2+3a+1 ∴ 23-13=3×12+3×1+1 33-23=3×22+3×2+1 43-33=3×32+3×3+1 ?? n3-(n-1)3=3(n-1)2+3(n-1)+1 (n+1)3-n3=3n2+3n+1 把上列几个等式的左右两边分别相加,得 (n+1)3-13=3(12+22+?+n2)+3(1+2+?+n)+n
= 3 (1 + 2 + 3 + ? + n ) +
2 2 2 2

3 n ( n ? 1) 2

+n

∴ 12+22+32+?+n2
1 3 1 3 3 n ( n ? 1) 2 2

= =

[(n + 1 ) - 1 -
3 2

3

- n] - n]

[n + 3 n + 3 n -

3 n ( n ? 1)

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= =

1 6 1 6

n(2 n + 3 n + 1 ) n(n + 1 )(2 n + 1 )

2

(3)∵

Sn=1+3x+5x2+7x3+?+(2n-1)xn-1

∴ xSn=x+3x2+5x3+?+(2n-3)xn-1+(2n-1)xn 两式相减,得 (1-x)Sn=1+2x(1+x+x2+?+xn-2)-(2n-1)xn
= 1 - (2 n - 1 )x + (2 n ? 1 )x
n +1 n

2x(x

n ?1

? 1) ? (1 ? x )

x?1
n

= ∴ Sn =

? ( 2 n ? 1) x 1? x
n

(2 n ? 1 )x

n +1

? ( 2 n ? 1) x (1 ? x )
2

? (1 ? x )

(4 ) ∵ S n = 1 2 Sn ?

1 2 2

? 1
2

2 2 ?
2

? 2

3 2 ?
3

? ? ? 3

n 2
n

2

3

2

4

? ? ?

n 2
n ?1

两式相减,得
1 2 Sn ? 1 2 1 ? 2 ? 1 2
2

? 1 2 1 2
? 1
n

1 2 ) ?
3

? ? ?

1 2
n

?

n 2
n ?1

(1 ? 1?
1 2
n

n 2
n ?1

? 1?

n 2
n ?1

∴ S n = 2-

2

n ?1

?

n 2
n

说明

求形如{an·bn}的数列的前 n 项和,若其中{an}成等差数列,{bn}成等

比数列,则可采用推导等比数列求和公式的方法,即错位相减法,此方法体现了化 归思想.
【 例 7 】 设 等 差 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n , 且 S n = ( an ?1 2 ) ,
2

n∈N*,若 bn=(-1)n·Sn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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分析

求{bn}的前 n 项和, 应从通项 bn 入手, 关键在于求{an}的前 n 项和 Sn,

而由已知只需求{an}的通项 an 即可.
an ?1 2
2

解 法 一 ∵ {a n } 是 等 差 数 列 , S n = ( 当 n = 1时 , a 1 = ( a1 ? 1 2 ) 解得a1 = 1
2

)

当 n = 2时 , a 1+ a 2 = (

a2 ? 1 2

) 解 得 a 2 = 3或 a 2 = - 1 ) , 由 a 2 = 3, 解 得 a 3 = 5或 a 3 =
2

2

当 n = 3时 , a 1 + a 2 + a 3 = (

a3 ? 1 2

-3,由 a2=1,解得 a3=1.
又Sn = ( an ?1 2 ) ≥ 0 , ∴ a 2 = - 1, a 3 = - 3 , a 3 = 1 ( 舍 )
2

即 a1=1,a2=3,a3=5,∴ d=2 an=1+2(n-1)=2n-1 Sn=1+3+5+?+(2n-1)=n2 bn=(-1)n·Sn=(-1)n·n2 Tn=-12+22-32+42-?+(-1)n·n2 当 n 为偶数时,即 n=2k,k∈N* Tn=(-12+22)+(-32+42)+?+[-(2k-1)2+(2k)2] =3+7+?+(4k-1)
= [3 + (4 k ? 1 )] · k 2 n ( n ? 1) 2

= (2 k + 1 )k =

当 n 为奇数时,即 n=2k-1,k∈N* Tn=-12+22-32+42-?-(2k-1)2 =-12+22-32+42-?-(2k-1)2+(2k)2-(2k)2

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=(2k+1)k-(2k)2 =-k(2k-1)
= - n ( n ? 1) 2
n

∴ Tn = ( - 1 ) ·

n ( n ? 1) 2

n∈ N * (a 1 + a n ) · n 2 ,求a n.

也 可 利 用 等 差 数 列 的 前 n项 和 公 式 S n =
a1 ? 1 2

解 法 二 取 n = 1, 则 a 1 = ( 又Sn = n(a 1 + a n ) 2 可得:

)

2

∴ a1 = 1 ? ( an ?1 2 )
2

(1 ? a n ) · n 2

∵ an≠-1 ∴ an=2n-1 以下同解法一. 说明 本题以“等差数列”这一已知条件为线索,运用方程思想,求数列{an}

的通项 an,在求数列{bn}的前 n 项和中,通过化简、变形把一般数列的求和问题转 化为等差数列的求和问题.由于(-1)n 的作用,在变形中对 n 须分两种情况讨论

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