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2016_2017学年高中数学第一章导数及其应用1.4生活中的优化问题举例课件新人教版选修2_2_图文

第一章 导数及其应用 § 1.4 生活中的优化问题举例 学习 目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用. 2.掌握利用导数解决实际生活中简单的优化问题. 3.学会建立数学模型,并会求解数学模型. 栏目 索引 知识梳理 题型探究 当堂检测 自主学习 重点突破 自查自纠 知识梳理 自主学习 知识点一 利用导数解决生活中的优化问题的步骤 1.分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实 际问题中变量之间的函数关系 y=f(x); 2.求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; 3.比较函数在区间端点和在 f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者 为最大(小)值. 思考 答案 (1)什么是优化问题? 在生活中,人们常常遇到求使经营利润最大、用料最省、费用 最少、生产效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. (2)优化问题的常见类型有哪些? 答案 费用最省问题,利润最大问题,面积、体积最大问题等. 答案 知识点二 解决优化问题的基本思路 思考 解决生活中优化问题应注意什么? 答案 (1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们的关系,列出 变量间的关系式; (2)在建立函数模型的同时,应根据实际问题确定出函数的定义域; (3)在实际问题中,由 f′(x)=0常常得到定义域内的根只有一个,如果 函数在这点有极大值(极小值),那么不与端点处的函数值比较,也可以 判断该极值就是最大值(最小值); (4)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考查,不符 合实际意义的应舍去,例如,长度、宽度应大于0,销售价格为正数等. 答案 返回 题型探究 重点突破 题型一 利润最大问题 例1 某商品每件成本 9 元,售价 30元,每星期卖出 432 件 .如果降低售 价,销售量就会增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低 值x(单位:元/件,0≤x≤21)的平方成正比.已知每件商品的售价降低 2 元时,一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成关于x的函数; 解析答案 (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 解 对(1)中函数求导得f′(x)=-18x2+252x-432=-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 9 072 0 (0,2) - 2 0 极小值 (2,12) + 12 0 极大值 (12,21) - 0 21 ∴x=12时,f(x)取得极大值. ∵f(0)=9 072,f(12)=11 664, ∴30-12=18(元), 故定价为每件18元能使一个星期的商品销售利润最大. 反思与感悟 解析答案 解析答案 题型二 面积、容积最值问题 例2 已知一扇窗子的形状为一个矩形和一个半圆相接,其中半圆的直 径为2r,如果窗子的周长为10,求当半径r取何值时窗子的面积最大. 反思与感悟 解析答案 跟踪训练2 如图,将一个矩形花坛ABCD扩建成一个 更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上, 且对角线MN过C点,|AB|=3 m,|AD|=2 m. (1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2,则AN的长应在什么范围内? (2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求出最小面积; (3)若AN的长度不少于6 m,则当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最 小?并求出最小面积. 解析答案 题型三 成本最省问题 例3 甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得 超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和 固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为 b(b>0);固定部分为a元. (1) 把全程运输成本 y( 元 ) 表示为速度 v( 千米 / 时 ) 的函数,并指出这个函 数的定义域; ?a ? s ? 2 s y=a· v+bv · v=s?v+bv? ?, ? ? ∴所求函数及其定义域为 ?a ? ? ? y=s?v+bv?,v∈(0,c]. ? ? 解析答案 (2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? 反思与感悟 解析答案 跟踪训练3 工厂A到铁路的垂直距离为20 km,垂足为B,铁路线上距离 B处100 km的地方有一个原料供应站C,现在要从BC段上的D处向工厂修 一条公路,使得从原料供应站C到工厂A所需的运费最省,已知每千米的 铁路运费与公路运费之比为3∶5,则D点应选在何处? 解析答案 易错易混 易错点 因没有注意问题的实际意义而出错 某船由甲地逆水行驶到乙地,甲、乙两地相距 s(km) ,水的流速 例4 为常量 a(km/h) ,船在静水中的最大速度为 b(km/h)(b > a) ,已知船每 小时的燃料费用(以元为单位)与船在静水中的速度的平方成正比,比例 系数为k,则船在静水中的航行速度为多少时,其全程的燃料费用最省? 防范措施 解析答案 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( R 3 A. 2 和2R 4 7 C.5R 和5R 5 4 5 B. 5 R 和 5 R D.以上都不对 ) 解析答案 1 2 3 4 5 2.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使其体积最大,则高 为( ) 10 3 B. 3 cm 20 3 D. 3 cm 3 A. 3 cm 16 3 C. 3 cm 解析答案 1 2 3 4 5 3.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1 000元时,公寓会全 部租出去,月租金每增加50元,就会多一套租不出去,而租出去的公寓 1 800 元时可获得最大收入. 每月需花费100元维修费,则月租金定


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