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求函数值域练习附答案


师生互动,善教乐学 班级:一对一 课次:第 教学目标 教学重难点 一.选择题 1. (2006?陕西)函数 f(x)= (x∈R)的值域是( ) D. [0,1] 次 所授年级+科目: 高一数学 学生: 熟练掌握求函数值域的方法 求函数值域的方法 求函数值域——快速练习 授课教师: 上课时间:

A. (0,1) B. (0,1] C. [0,1) 考点: 函数的值域。811365 2 分析: 本题为一道基础题,只要注意利用 x 的范围就可以. 解答: 解:∵函数 f(x)= 点评: 注意利用 x ≥0(x∈R) . 2.函数 y= A. R (x∈[2,6])的值域是( D ) B. (﹣∞,0)∪(0,+∞) C.
2 2

(x∈R) ,∴1+x ≥1,所以原函数的值域是(0,1],

D.

考点: 函数的值域。811365 分析: 由函数的定义域可先求 x﹣1 的范围,进一步求解函数的值域. 解答: 解:∵2≤x≤6 则 1≤x﹣1≤5,∴ 点评: 本题主要考查了直接法求解函数的值域,属于基础试题. 3.f(x)的定义域为[﹣2,3],值域是[a,b],则 y=f(x+4)的值域是( A.[2,7] B.[﹣6,﹣1] C.[a,b] ) D.[a+4,b+4]

考点: 函数的值域。811365 分析: 因为从 f(x)到 y=f(x+4) ,其函数图象只是向左平移了 4 个单位;利用左右平 移的函数只是自变量发生了变化,而函数值不变,可以直接求出答案. 解答: 解:因为从 f(x)到 y=f(x+4) ,其函数图象只是向左平移了 4 个单位,自变量 发生了变化,而函数值不变,所以 y=f(x+4)的值域仍为[a,b]. 点评: 本题借助于图象平移来研究函数的值域.函数的平移变化分为两种:一:左右平 移的函数只是自变量发生了变化,而函数值不变; 二:上下平移的函数只是函 数值发生了变化,而自变量不变. 4.函数 y= 的值域是( B ) B. (﹣1,1] C. [﹣1,1) D. (﹣1,1)

A. [﹣1,1] 考点: 函数的值域。81 1365

1 / 10

师生互动,善教乐学 分析: 进行变量分离 y= = ﹣1,若令 t=1+x 则可变形为 y=
2

(t≥1)利用反

比例函数图象求出函数的值域. 解答: 解法一:y= = ﹣1.∵1+x ≥1,∴0<
2

≤2.∴﹣1<y≤1.

解法二:由 y=

,得 x =

2

.∵x ≥0,∴

2

≥0,解得﹣1<y≤1.

点评: 此类分式函数的值域通常采用逆求法、分离变量法,应注意理解并加以运用. 解法三:令 x=tanθ (﹣ <θ < ) ,则 y= =cos2θ .

∵﹣π <2θ <π ,∴﹣1<cos2θ ≤1,即﹣1<y≤1. 5.在区间(1,+∞)上不是增函数的是( C ) 2 A.y=2x B. C. y=2x ﹣6x ﹣1 考点: 函数单调性的判断与证明。811365 分析: 由于函数 y=2x﹣1 在 R 上是增函数,故排除 A, 由 在区间(1,+∞)上是增函数,故排除 B.

D.

y=2x ﹣2x

2

解答:

利用二次函数的图象特征和性质可得 C 满足条件,应排除 D. 解:由于函数 y=2x﹣1 在 R 上是增函数,故排除 A. 由于函数 除 B. 由于二次函数 y=2x ﹣6x 的对称轴为 x= ,开口向上,故函数在[ ,+∞)上是增函数,在(﹣∞, ] 上是减函数,故它在区间(1,+∞)上不是增函数,故满足条件. 由于二次函数 y=2x ﹣2x 的对称轴为 x= ,故函数在[ ,+∞)上是增函数,在(﹣∞, ]上是减函 数,故它在区间(1,+∞)上是增函数,故排除 D.
2 2

在区间(1,+∞)上是增函数,故

在区间(1,+∞)上是增函数,故排

点评: 本题主要考查函数的单调性的判断和证明,属于基础题. 二.填空 6.函数 的值域为 (﹣∞,1] .

分析: 先确定函数的定义域,再考查函数在定义域内的单调性,根据函数的单调性来确定函数的值 域.

2 / 10

师生互动,善教乐学 解答: 解:函数 的定义域是(﹣∞,1],且在此定义域内是减函数,

∴x=1 时,函数有最大值为 1,x→﹣∞时,函数值 y→﹣∞, ∴函数 的值域是(﹣∞,1].

点评: 先利用偶次根式的被开方数大于或等于 0 求出函数的定义域,再判断函数的单调性,由函数 的单调性确定函数的值域. 7.函数 的值域是 (﹣∞,1)∪(1,+∞) , 的值域是 (0,5] . 分析:

(1)把原函数化为 y=1﹣
2

,根据反比例函数的性质即可求解;

(2)先把函数化为:2yx ﹣4yx+3y﹣5=0,根据判别式△≥0 即可得出函数的值域. 解答: 解: (1)∵函数 =1﹣
2

,∴函数的值域为(﹣∞,1)∪(1,+∞) ;

(2)原式可化为:2yx ﹣4yx+3y﹣5=0, 2 ∴△=16y ﹣8y(3y﹣5)≥0,∴y(y﹣5)≤0,∴0≤y≤5, ,又 y=0 不可能取到 故答案为: (0,5]. 点评: 本题考查了函数的值域,属于基础题,关键是掌握函数值域的两种不同求法. 8.求函数 y=x+ 的值域 [ ,+∞) .

考点: 函数的值域。811365 专题: 计算题;转化思想。 分析: 先对根式整体换元 (注意求新变量的取值范围) , 把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值 域的问题即可. 解答: 解:令 t= , (t≥0) ,则 x= ,

问题转化为求函数 f(t)=

=

在 t≥0 上的值域问题,

因为 t≥0 时,函数 f(t)有最小值 f(0)= .无最大值,故其值域为[ ,+∞) . 即原函数的值域为[ ,+∞) . 点评: 本题主要考查用换元法求值域以及二次函数在闭区间上求值域问题.换元法求值域适合于函数 解析式中带根式且根式内外均为一次形式的题目. 9.函数 f(x)=x+|x﹣2|的值域是 [2,+∞) . 分析: 根据函数的解析式,去绝对值符号,根据函数的单调性求得函数的值域.
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师生互动,善教乐学 解答: 解:因为当 x∈(﹣∞,2]时,f(x)=2; 当 x∈(2,+∞)时,f(x)=2x﹣2>2,故 f(x)的值域是[2,+∞) . 点评: 本题考查函数的值域,去绝对值符号是解题的关键,属基础题. 10.已知函数 ,则函数 f(x)的值域为 (﹣∞,2] . 2 分析: 根据函数解析式的形式:采取换元法,令 t= ,t≥0,转化为二次函数 f(t)=2t﹣t +1 在[0,+∞)上求函数的值域,利用配方法即可求得结果. 2 2 2 解答: 解:令 t= ,t≥0,则 x=t ﹣1,∴f(t)=2t﹣t +1=﹣(t﹣1) +2,t≥0, ∴f(x)≤2,∴函数 f(x)的值域为(﹣∞,2]. 点评: 本题考查利用换元法求函数的值域,体现了转化的思想方法,同时考查二次函数在定区间上的 最值问题,注意换元后引进新变量的范围,是易错点,属基础题. 11.函数的值域 f(x)=2x﹣3+ 分析: 令 的值域是 (﹣∞,4] .

=t,将函数转化成关于 t 的二次函数求解.

解答: 解:令

=t,t≥0,则 x=



∴y=

,当且仅当 t=1 时取等号

故所求函数的值域为 (﹣∞,4], 点评: 通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域.换 元法是一种重要的数学解题方法, 掌握它的关键在于通过观察、 联想, 发现与构造出变换式 (或 新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式) . 12.函数 的值域是 (﹣∞,1] .

分析: 已知 f(x)的定义域,利用导数判断函数 f(x)的单调性,然后再求其值域; 解答: 解:∵函数 ,∴f′(x)= , ∵x≥2,∴f′(x)<0,∴f(x)为减函数;f(x)≤f(2)=1, ∴函数 f(x)的值域为(﹣∞,1],故答案为(﹣∞,1]. 点评: 此题考查函数的值域,利用导数先判断函数的单调性,再求值域,是一种新的方法,同学们要 掌握. 13.函数的值域:y=
2



[0,2] .

分析: 设 μ =﹣x ﹣6x﹣5,欲求原函数的值域,只须考虑 μ 的取值范围即可,根据二次函数的图象与 性质即可求得 μ 的取值范围,从而问题解决. 2 解答: 解析:设 μ =﹣x ﹣6x﹣5(μ ≥0) ,则原函数可化为 y= . 2 2 又∵μ =﹣x ﹣6x﹣5=﹣(x+3) +4≤4,∴0≤μ ≤4,故 ∈[0,2], ∴y= 的值域为[0,2].故答案为:[0,2]

点评: 本题以二次函数为载体考查根式函数的值域,属于求二次函数的最值问题,属于基本题.

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师生互动,善教乐学 14.函数 y=x ﹣2x 的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 {﹣1,0,3} . 分析: 根据所给的函数的解析式和定义域,做出当自变量取定义域中的不同值时的对应的值域中的结 果,写出值域. 2 解答: 解:∵函数 y=x ﹣2x 的定义域为{0,1,2,3}, ∴当 x=0 时,y=0;当 x=1 时,y=﹣1;当 x=2 时,y=0;当 x=3 时,y=3 综上可知值域对应的集合是{﹣1,0,3}故答案为:{﹣1,0,3} 点评: 本题考查函数的值域,本题解题的关键是求出定义域对应的函数值,做出值域对应的集合,本 题是一个基础题. 15.下列函数中在(﹣∞,0)上单调递减的 ④ . ① ;②y=1﹣x ;③y=x +x;④
2 2 2



分析: 对于①函数在(﹣∞,﹣1)上单调递增,可判定是否符合题意;对于②y=1﹣x 在(﹣∞,0) 上单调递增,故不符合题意;对于③根据开口向上与对称轴为 x= 根据定义域为(﹣∞,1) ,以及复合函数的单调性可知是否正确. 解答: 解:①
2

2

,可判定单调性;对于④

=1﹣

,在(﹣∞,﹣1)上单调递增,故不符合题意;

②y=1﹣x 在(﹣∞,0)上单调递增,故不符合题意; ③y=x +x 开口向上,对称轴为 x= 增,故不符合题意; ④ ,定义域为(﹣∞,1) ,在(﹣∞,1)上单调递减,故正确
2

,在(﹣∞,﹣ )上单调递减, (

,+∞)上单调递

故答案为:④ 点评: 本题主要考查了二次函数、分式函数、根式函数单调性的判断,属于基础题. 16.已知二次函数 f(x)=2x ﹣4x+3,若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,则 a 的取值范围是 分析: 二次函数图象的对称轴为直线 x=1,开口朝上,说明在区间(﹣∞,1)上函数为减函数,在区 间(1,+∞)上是增函数.函数在区间[2a,a+1]上不单调,说明在此区间上函数有减也有增, 因此不难求出实数 a 的取值范围. 解答: 2 解:根据公式,二次函数 f(x)=2x ﹣4x+3 图象的对称轴为:直线 x= ,即直线 x=1, 函数 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,说明直线 x=1 在区间[2a,a+1]内部 因此列式:2a<1<a+1 所以 a 的取值范围是 0<a< 点评: 本题以二次函数为载体,考查了函数单调性的判断与证明,属于基础题.牢记二次函数图象的 规律,利用图象结合函数的单调性加以判断,是解决本题的关键. 17.函数 f(x)在[﹣3,3]上是减函数,且 f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0,则 m 的取值范围是 . 分析: 先将题中条件:“f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0”移项得:f(m﹣1)>f(2m﹣1) ,再结合 f(x) 是定义在[﹣3,3]上的减函数,脱去符号:“f”,转化为关于 m 的一元不等式组,最后解得实 数 m 的取值范围,必须注意原函数的定义域范围. 解答: 解:∵f(x)在[﹣3,3]上是减函数∴由 f(m﹣1)﹣f(2m﹣1)>0,
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2

师生互动,善教乐学 得 f(m﹣1)>f(2m﹣1) ∵函数 f(x)在[﹣3,3]上是减函数,





解得 0<m≤2,∴m 的取值范围是(0,2].

点评: 本题考查了函数的定义域、函数单调性的性质、函数的单调性的反向应用,考查学生的转化能 力,属于基础题. 18.分别求下列函数的值域: (1)y= ; (2)y=﹣x +2x(x∈[0,3]) ;
2

(3)y=x+



(4)y=



分析: (1)用分离变量法将原函数变形,再根据分母不为零,求函数的值域; (2)用配方法将原函数变形,再根据开口方向和对称轴的大小,求出在区间上的最值,在表示 出值域; (3)先求函数定义域[﹣1,1],故设 x=cosθ (θ ∈[0,π ]) ,代入原函数利用两角的和差公 式进行化简,再利用正弦函数的曲线求出最值,即求出值域; x (4)用分离变量法将原函数变形,利用 2 >0 求原函数的值域. 解答: 解: (1)用分离变量法将原函数变形为:y= =2+ . ∵x≠3,∴ ≠0.∴y≠2,即函数值域为{y|y∈R 且 y≠2}.
2

(2)用配方法将原函数变形为:y=﹣(x﹣1) +1,根据二次函数的性质, 在区间[0,3]上,当 x=1 时,函数取最大值 1,当 x=3 时,函数取最小值是﹣3, 则原函数的值域是[﹣3,1]. 2 (3)由 1﹣x ≥0,得﹣1≤x≤1,设 x=cosθ (θ ∈[0,π ]) , 则 y=sinθ +cosθ = 当θ = sin(θ + ) ,由正弦函数曲线易知,

时,y 取最大值为

,当 θ =π 时,y 取最小值为﹣1,

∴原函数的值域是[﹣1, ]. (4)分离常数法将原函数变形为: y=

∵1+2 >1,∴0<

x

<2,∴﹣1<﹣1+

<1,∴所求值域为(﹣1,1)

点评: 本题考查了求函数值域的方法,即分离常数法,配方法和换元法等,注意每种方法适用的类型.

19.求下列函数的值域
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师生互动,善教乐学 (1) 分析: ; (2) ; (3) .

(1)本题宜用分离常数法求值域,其定义域为{x|x≠0}函数

可以变为 y=﹣1+



由函数的单调性求值域. (2)令 =t,将函数转化成关于 t 的一道定函数在定区间上的值域问题,通常利用配方 法,结合函数的图象及函数在区间上的单调性,求得相应的最值,从而得函数的值域. 2 (3)先把函数化为:2yx ﹣3yx+y﹣1=0,根据判别式△≥0 即可得出函数的值域. 解答: 解: (1)由题函数的定义域为{x|x≠0} =﹣1+ ≠﹣1 故函数的值域为{y|y≠﹣1}

(2) :令

=t,t≥0,则 x=

,∴y=



当且仅当 t=1 时取等号,故所求函数的值域为[﹣1,+∞) , 2 2 (3)原式可化为:2yx ﹣3yx+y﹣1=0,∴△=9y ﹣8y(y﹣1)≥0, ∴y(y+8)≥0,∴y>0 或 y≤﹣8, ,故答案为: (﹣∞,﹣8]∪(0,+∞) 点评: 本题考查了函数的值域,属于基础题,关键是掌握函数值域的两种不同求法. (1)小题求值域 采用了分离常数法的技巧,对于分式形函数单调性的判断是一个好办法,注意总结这种技巧的 适用范围以及使用规律. (2)是通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数 的最值,确定原函数的值域.换元法是一种重要的数学解题方法,掌握它的关键在于通过观察、 联想,发现与构造出变换式(或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式) . 20.求下列函数的值域 ( I) ; ( II) .

分析: (I)将函数变形为

,因为 x ≥0,用观察分析法求值域即可.

2

(II)先令被开方数大于等于 0 求出函数的定义域,然后判断出函数的单调性,进一步求出函 数的值域. (I) 解答: 解: ,∵x ≥0,∴
2

,∴0≤y<1

(II)函数 的定义域为[﹣1,+∞) , 又因为函数 为定义域上的增函数,所以当 x=﹣1 时,函数取得最小值﹣2. 所以函数 的值域为[﹣2,+∞) . 点评: 本题考查函数的值域问题.对于(2)小题,把它看成通过研究函数的单调性求函数的值域的方 法,需要注意的是应该先求出函数的定义域.属于基本题型、基本方法的考查. 21.求下列函数的值域: (1)y=3x ﹣x+2;
2

(2)

; (3)



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师生互动,善教乐学 (4) 分析: ; (5)
2


2

(6)



(1) (配方法)∵y=3x ﹣x+2=3(x﹣ ) + (2)看作是复合函数先设 μ =﹣x ﹣6x﹣5(μ ≥0) ,则原函数可化为 y= μ 的范围,可得 的范围. (3)可用分离变量法:将函数变形,y= 解. (4)用换元法设 t=
2 2

,再配方法求得

=

=3+

,再利用反比例函数求

≥0,则 x=1﹣t ,原函数可化为 y=1﹣t +4t,再用配方法求解

2

2

(5)由 1﹣x ≥0?﹣1≤x≤1,可用三角换元法:设 x=cosα ,α ∈[0,π ],将函数转化为 y=cosα +sinα =
2

sin(α +

)用三角函数求解

(6)由 x +x+1>0 恒成立, 2 即函数的定义域为 R,用判别式法,将函数转化为二次方程(y﹣2)x +(y+1)x+y﹣2=0 有根 求解. 解答: 解: (1) (配方法)∵y=3x ﹣x+2=3(x﹣ ) +
2 2 2



,∴y=3x ﹣x+2 的值域为[

2

,+∞)

(2)求复合函数的值域:设 μ =﹣x ﹣6x﹣5(μ ≥0) ,则原函数可化为 y= 2 2 又∵μ =﹣x ﹣6x﹣5=﹣(x+3) +4≤4,∴0≤μ ≤4,故 ∈[0,2], ∴y= (3)分离变量法:y= ∵ ≠0,∴3+ 的值域为[0,2] = ≠3,∴函数 y= =3+ ,

的值域为{y∈R|y≠3} ≥0,则 x=1﹣t ,
2 2

(4)换元法(代数换元法) :设 t=
2

∴原函数可化为 y=1﹣t +4t=﹣(t﹣2) +5(t≥0) ,∴y≤5,∴原函数值域为(﹣∞,5] 注:总结 y=ax+b+ 型值域;变形:y=ax +b+
2

或 y=ax +b+

2

(5)三角换元法: 2 ∵1﹣x ≥0?﹣1≤x≤1,∴设 x=cosα ,α ∈[0,π ], 则 y=cosα +sinα = sin(α + ∈[ ) , ],∴sin(α + )∈[﹣ ] ,1],

∵α ∈[0,π ],∴α + ∴ sin(α +

)∈[﹣1,
2

],∴原函数的值域为[﹣1,

(6)判别式法:∵x +x+1>0 恒成立,∴函数的定义域为 R

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师生互动,善教乐学 由 y= 得: (y﹣2)x +(y+1)x+y﹣2=0①
2

①当 y﹣2=0 即 y=2 时,①即 3x+0=0,∴x=0∈R 2 ②当 y﹣2≠0 即 y≠2 时,∵x∈R 时方程(y﹣2)x +(y+1)x+y﹣2=0 恒有实根, 2 2 ∴△=(y+1) ﹣4×(y﹣2) ≥0,∴1≤y≤5 且 y≠2, ∴原函数的值域为[1,5] 点评: 本题主要考查求函数值域的一些常用的方法.配方法,分离变量法,三角换元法,代数换元法, 判别式法? 22. (2010?广东)已知 f(x)是奇函数,在(﹣1,1)上是减函数,且满足 2 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0,求实数 a 的范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义。811365 专题: 计算题。 分析: 要求 a 的取值范围,先要列出关于 a 的不等式,这需要根据原条件,然后根据减函数的定义由 函数值逆推出自变量的关系. 2 2 解答: 解:由 f(1﹣a)+f(1﹣a )<0,得 f(1﹣a)<﹣f(1﹣a ) . 2 2 2 ∵f(x)是奇函数,∴﹣f(1﹣a )=f(a ﹣1) ,于是 f(1﹣a)<f(a ﹣1) . 又由于 f(x)在(﹣1,1)上是减函数,

因此



解得 0<a<1. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,一定注意区间的限制. 23.已知 ,x∈(1,+∞) ,f(2)=3

(1)求 a; (2)判断并证明函数单调性. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数的值。811365 专题: 证明题。 分析: (1)由已知中函数的解析式,将 x=2,f(2)=3 代入构造 a 的方程,解方程可得答案. (2)任取 1<x1<x2,我们构造出 f(x2)﹣f(x1)的表达式,根据实数的性质,我们易出 f(x2)﹣f(x1)的符号,进而根据函数单调性的定义,得到答案. 解答: 解: (1)∵ ,x∈(1,+∞) ,f(2)=3,∴ ,解得 a=1. (2) 函数 . 在区间(1,+∞)是单调减函数.理由如下:

设 1<x1<x2,f(x2)﹣f(x1)=



=

因为 1<x1<x2, ,所以 x1﹣x2<0,x1﹣1>0,x2﹣1>0, 所以 f(x2)﹣f(x1)<0,即 f(x2)<f(x1)

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师生互动,善教乐学 所以函数 在区间(1,+∞)是单调减函数.

点评: 本题主要考查的知识点是函数单调性的判断与证明,其中作差法(定义法)证明函数的单调性 是我们中学阶段证明函数单调性最重要的方法,一定要掌握其解的格式和步骤. 24.设函数 .

(1)当 a=2 时,求函数 f(x)的最小值; (2)当 0<a<1 时,试判断函数 f(x)的单调性,并证明. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数单调性的性质。811365 分析: (1)当 a=2 时,将函数 f(x)变形成

,然后利用均值不等式即

可求出函数 f(x)的最小值; (2)先取值任取 0≤x1<x2 然后作差 f(x1)﹣f(x2) ,判定其符号即可判定函数 f(x)在[0, +∞)上的单调性. 解答: 解: (1)当 a=2 时, . (4 分) 当且仅当 ∴ ,即 时取等号, . (6 分) . (2 分)

(2)当 0<a<1 时,任取 0≤x1<x2 . (8 分) ∵0<a<1, (x1+1) (x2+1)>1, ∴ . (10 分)

∵x1<x2,∴f(x1)<f(x2) ,即 f(x)在[0,+∞)上为增函数. (12 分) 点评: 本题主要考查了函数的最值的求解,以及函数单调性的判断与证明,同时考查了计算能力,属 于基础题.

教案审核:

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