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3.1.1-3.1.2空间向量及其加减与数乘运算(用)


浙江省玉环县楚门中学吕联华

一:空间向量的基本概念
平面向量 定义 表示法 向量的模 相等向量 相反向量 单位向量 零向量 具有大小和方向的量 几何表示法 字母表示法 a AB 向量的大小
a

空间向量 具有大小和方向的量 几何表示法 AB 字母表示法 a 向量的大小 a AB 长度相等且方向相同的 向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 模为 的向量 长度为零的向量

AB

长度相等且方向相同 的向量 长度相等且方向 相反的向量 模为1的向量 模为 的向量 长度为零的向量

思考: 思考:空间任意两个向量是否都可以平移到
同一平面内?为什么? 同一平面内?为什么?
B

b

O

A

a
O′

空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内, 结论:空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内, 内,成为同一平面内的两个向量。 成为同一平面内的两个向量。

说明 ⒈空间向量的运算就是平面向量运算的推广. 空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
2.凡是只涉及空间任意两个向量的问题,平面向量 凡是只涉及空间任意两个向量的问题, 凡是只涉及空间任意两个向量的问题 中有关结论仍适用于它们。 中有关结论仍适用于它们。

概念 加法 减法 运算 运 算 律

二、空间向量的加法、减法运算 空间向量的加法 平面向量 空间向量 定义:具有大小、 方向的量,表示法、 相等向量. 定义:具有大小、 方向的量 ,表示法、 相等向量. 加法:三角形法则或 加法 加法:三角形法则或 平行四边形法则 平行四边形法则 减法:三角形法则 减法 减法:三角形法则 加法交换律 r r r r a+b = b+a 加法结合律: 加法结合律: r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )
r r r r 加法交换律 a + b = b + a

r r r r r r (a + b) + c = a + (b + c )

加法结合律

三、空间向量的数乘运算
r 仍然是一个向量. λ a 仍然是一个向量.

r 与平面向量一样, 实数 λ 与空间向量 a 的乘积 与平面向量一样 ,

⑴当 λ ⑵当 λ ⑶当 λ

r r 的方向相同; > 0 时, λ a 与向量 a 的方向相同; r r 的方向相反; < 0 时, λ a 与向量 a 的方向相反; r 是零向量. = 0 时, λ a 是零向量.

? 例如: 例如:

r 3a

r a r ?3a

四、空间向量加法与数乘向量运算律
⑴加法交换律:a + b = b + a; 加法交换律: 加法结合律: ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);

a b c

a b c

(3).空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 ) 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

r r r r 即 : λ (a + b) = λ a + λ b r r r a ( λ + η) = λ a + ? a r r λ (η ) a = ( λ? ) a

五、共线向量: 共线向量: 1.空间共线向量: 1.空间共线向量:如果表示空间向量的 空间共线向量
有向线段所在直线互相平行或重合, 有向线段所在直线互相平行或重合,则这些 向量叫做共线向量(或平行向量), ),记作 向量叫做共线向量(或平行向量),记作 a// b 零向量与任意向量共线. 零向量与任意向量共线.

2.空间共线向量定理: 2.空间共线向量定理:对空间任意两个 空间共线向量定理 向量 a, b(b ≠ o), a // b 的充要条件是存在实 数使 a = λb
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

3.A、B、P三点共线的充要条件 、 、 三点共线的充要条件
A、B、P三点共线 、 、 三点共线

uuu r uuu r AP = t AB
uuu uuu uuu r r r OP = xOA+ yOB(x + y =1)

中点公式: 中点公式:

uuu 1 uuu uuu r r r AB中点 中点, 若P为AB中点, 则 OP = OA + OB 2
B P A O

(

)

共面向量: 六、共面向量: 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 1.共面向量:平行于同一平面的向量, 共面向量
叫做共面向量. 叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的, 注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 既可能共面, 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢? 那么什么情况下三个向量共面呢?

r r a e2 r e1

r r e 由平面向量基本定理知, 由平面向量基本定理知,如果 e1, 2 是平面内的两个不共线的向量, 是平面内的两个不共线的向量,那么 r ,有且 对于这一平面内的任意向量 a r r λ , a 只有一对实数1 λ2 使 = λ1e1 + λ2e
2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p = xα + y b

r p 与两不共线向量 a , b

r 反过来, 反过来,对空间任意两个不共线的向量 a , ,如 b r 果 p = xα + y b,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系? 置关系?

rC br A aB

u r p

P

Q x a , yb分别与a, b共线,

∴ x a , yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在a, b确定的平面内,

∴ p = x a + yb在a, b确定的平面内, 即p与a, b共面

r b 2.共面向量定理:如果两个向量 a , 不共线, 共面向量定理: 共面向量定理 u r r , 共面的充要条件是 则向量 p 与向量 a b 共面的充要条件是 u r r r
存在实数对x, 使 存在实数对 ,y使

p = xa + yb

rC b r A a B

u r p

P

3.空间四点 、A、B、C共面 空间四点P、 、 、 共面 空间四点

uuur uuur uuur ? 存在唯一实数对(x , y) 使得 AP = x AB + y AC , uuu r uuu r uuu r uuur ? OP = xOA + yOB + zOC (其中,x + y + z = 1)

rC br A a B

C'

u r p

P

O

例1、给出以下命题: 、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; )两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同; r r r r (2)若空间向量 )

ur r u r (4)若空间向量 m、 p ) n、

(3)在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,必有 AC = A1C1 ; )

rr a= a、满足| a |=| b |,则 uuur buuuur; b
ur r r u r 满足 m = n, n = p ,则

ur u r m= p



(5)空间中任意两个单位向量必相等。 )空间中任意两个单位向量必相等。 其中不正确命题的个数是( 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3

C )
D.4

例2 已知平行六面体ABCD ? A' B' C ' D',化简下
列向量表达式,并标出化简结果的向量:
D’ A’ B’ C’

⑴ AB + BC ; ⑵ AB + AD + AA'; 1 ⑶ AB + AD + CC ' 2 1 ⑷ ( AB + AD + AA' ). 3
A

D B

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量:

⑴ AB + BC ; ⑵ AB + AD + AA'; 解:⑴ AB + BC = AC ⑵ AB + AD + AA' = AC + AA'   AC + CC ' = = AC '
A A’

D’ B’

C’

D B

C

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑶ AB + AD + CC ' 2

解:⑶设M是线段CC’的中点,则
1 AB + AD + CC ' 2
D’ A’ B’ M D A B C C’

= AC + CM

= AM

例2已知平行六面体ABCD ? A ' B ' C ' D ',化简下 列向量表达式,并标出化简结果的向量: 1 ⑷ ( AB + AD + AA' ). 3

解:⑷设G是线段AC’靠近点A的 三等分点,则
1 ( AB + AD + AA' ) 3 1 = AC ' 3 = AG .
A’

D’ B’

C’

M G D A B C

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC
( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1 (3) AC + AB1 + AD1 = x AC 1
A1 D1 B1 C1

D A B

C

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

(1) AB1 + A1 D1 + C1C = x AC 解(1) AB1 + A1 D1 + C1C
= AB1 + B1C1 + C1C = AC ∴ x = 1.
A D B C A1 D1 B1 C1

例3:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。

( 2) 2 AD1 ? BD1 = x AC 1

解:( 2 ) 2 AD 1 ? BD 1
= AD1 + AD1 ? BD1
D1 A1 B1 C1

= AD1 + ( BC1 ? BD1 ) = AD1 + D1C1 = AC1

∴ x = 1.
A

D B

C

例3:已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值。 A1

D1 B1

C1

⑶ AC + AB1 + AD1 = x AC1
解:(3) AC + AB1 + AD1
A

D B

C

= ( AD + AB) + ( AA1 + AB) + ( AA1 + AD) = 2( AD + AB + AA1 )
= 2AC1

∴ x = 2.

例4: 1.下列命题中正确的有: 下列命题中正确的有: 下列命题中正确的有 B
u r r r u r r r (1) p = xa + yb  p 与 a 、 共面 ; ? b u r r r u r r r (2) p 与 a 、 共面 ? p = xa + yb  b ;
uuuu r uuuu r uuuu r (3) MP = x MA + y MB ? P、M、A、B共面;

uuuu r uuuu r uuuu r (4) P、M、A、B共面 ? MP = xMA + yMB ;

A.1个 个

B.2个 个

C.3个 个

D.4个 个

uuuu uuuu r r uuuu uuuu r r 2.对于空间中的三个向量MA 、MB 、2 MA-MB 对于空间中的三个向量

它们一定是: 它们一定是: A.共面向量 共面向量

A B.共线向量 共线向量

C.不共面向量 不共面向量 D.既不共线又不共面向量 D.既不共线又不共面向量

3.已知点 在平面 已知点M在平面 已知点 在平面ABC内,并且对空间任 内 uuuu r uuu r 1 uuu r 1 uuur 意一点O, OM 意一点 , = xOA + OB + OC ,则x 则 3 3 的值为: 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知 、B、C三点不共线,对平面外一点 已知A、 、 三点不共线 三点不共线, 已知 O,在下列条件下,点P是否与 、B、C共面? ,在下列条件下, 是否与A、 、 共面 共面? 是否与

uuu r uuu r uuu uuur r (2) OP = 2OA ? 2OB ? OC ;

uuu 2 uuu 1 uuu 2 uuur r r r (1) OP = OA + OB + OC ; 5 5 5

如图,已知平行四边形ABCD,过平 例5. 如图,已知平行四边形 , 外一点O作射线 面AC外一点 作射线 外一点 作射线OA、OB、OC、OD, 、 、 、 , 在四条射线上分别取点E、 、 、 , 在四条射线上分别取点 、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH = = = = k, OA OB OC OD D C 求证: 求证: A B 四点E、 、 、 共面 共面; ⑴四点 、F、G、H共面; H G 平面EG//平面 平面AC. ⑵平面 平面 E F

课本例)已知 例5 (课本例 已知 课本例

ABCD ,从平面 外一点 引向量 从平面AC外一点 外一点O引向量

OE = kOA , OF = kOB , OG = kOC , OH = kOD
求证: 四点 、 、 、 共面 共面; 求证:①四点E、F、G、H共面; 平面EG. ②平面AC//平面 平面 证明: 四边形ABCD为 证明: 四边形 ∵ 为 ① ∴AC = AB + AD (﹡)
D

O

EG = OG ? OE = kOC ? kOA

C

= k ( OC ? OA ) = kAC = k ( AB + AD ) (﹡)代入 = k ( OB ? OA + OD ? OA )

A
H

B
G

= OF ? OE + OH ? OE E F = EF + EH 共面。 所以 E、F、G、H共面。 、 、 、 共面

例5 已知

ABCD ,从平面 外一点 引向量 从平面AC外一点 外一点O引向量

OE = kOA , OF = kOB , OG = kOC , OH = kOD
求证: 四点 、 、 、 共面 共面; 求证:①四点E、F、G、H共面; 平面EG。 ②平面AC//平面 。 平面 证明: 证明: EF ②

= OF ? OE = kOB ? kOA

O

= k ( OB ? OA ) = kAB 由①知 EG = kAC

D

C

? EG // AC EF // AB
由面面平行判定定理的推论得: 由面面平行判定定理的推论得:

A
H

B
G

面 EG // 面 AC

E

F

小结
共线向量 共面向量 平行于同一平面的向量, 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量 叫做共面向量. 行或重合 叫做共面向量 定理 r r r 推论

r a // b(a ≠ 0)
OP = OA + t AB

r r r r a b a = λb 共面

p

p = xα + y b

OP = OA +x AB + y AC
r OP = x OA + y OB + z OC = 0 ( x + y + z = 1)

OP = xOA + yOB(x + y = 1)

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 判断三点共线, 判断四点共面, 平行于平面 直线平行


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