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www.827315.c0m:2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用教学案:第二讲四弦切角的性质-含答案

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数学 四 弦切角的性质 [对应学生用书 P28] 弦切角定理 (1)文字语言叙述: 弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. (2)图形语言叙述: 如图,AB 与⊙O 切于 A 点,则∠BAC=∠D. [说明] 弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半, 圆周角的度数等于它所对的弧的度数 的一半,圆心角的度数等于它所对弧的度数. [对应学生用书 P29] 弦切角定理 ? , [例 1] (2010· 新课标全国卷)如图, 已知圆上的弧 ? 过C AC = BD 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点,证明: (1)∠ACE=∠BCD; (2)BC2=BE· CD. [思路点拨] 利用弦切角定理. ? , [证明] (1)因为 ? AC = BD 所以∠BCD=∠ABC. 又因为 EC 与圆相切于点 C, 故∠ACE=∠ABC, 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠ECB=∠CDB,∠EBC=∠BCD, 所以△BDC∽△ECB. 数学 故 BC CD = , BE BC 即 BC2=BE· CD. 利用弦切角定理进行计算、证明,要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角,有时与圆的 直径所对的圆周角结合运用,同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切 角. 1. 如图, AB 为⊙O 的直径, 直线 EF 切⊙O 于 C, 若∠BAC=56° , 则∠ECA=________. 解析:连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴∠B=90° -∠BAC=90° -56° =34° . 又∵EF 与⊙O 相切于点 C,由弦切角定理,有∠ECA=∠B=34° . 答案:34° 2.如图,AB 是⊙O 的弦,CD 是经过⊙O 上的点 M 的切线,求证: (1)如果 AB∥CD,那么 AM=MB; (2)如果 AM=BM,那么 AB∥CD. 证明:(1)∵CD 切⊙O 于 M 点, ∴∠DMB=∠A,∠CMA=∠B. ∵AB∥CD,∴∠CMA=∠A. ∴∠A=∠B,故 AM=MB. (2)∵AM=BM,∴∠A=∠B. ∵CD 切⊙O 于 M 点,∠CMA=∠B, ∴∠CMA=∠A.∴AB∥CD. 3.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 C,AC 平 分∠DAB. (1)求证:AD⊥CD; (2)若 AD=2,AC= 5,求 AB 的长. 解:(1)证明:如图,连接 BC. ∵直线 CD 与⊙O 相切于点 C, 数学 ∴∠DCA=∠B. ∵AC 平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB. ∴∠ADC=∠ACB. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90° . ∴∠ADC=90° ,即 AD⊥CD. (2)∵∠DCA=∠B,∠DAC=∠CAB, ∴△ADC∽△ACB. ∴ AD AC = , AC AB ∴AC2=AD· AB. 5 ∵AD=2,AC= 5,∴AB= . 2 运用弦切角定理证明比例式或乘积式 [例 2] 如图,PA,PB 是⊙O 的切线,点 C 在 ? AB 上,CD⊥ AB,CE⊥PA,CF⊥PB,垂足分别为 D,E,F. 求证:CD2=CE· CF. [思路点拨] 连接CA、CB,∠CAP=∠CBA、 → ∠CBP=∠CAB Rt△CAE∽Rt△CBD CE CD → = → 结论 CD CF Rt△CBF∽Rt△CAD [证明] 连接 CA、CB. ∵PA、PB 是⊙O 的切线, ∴∠CAP=∠CBA, ∠CBP=∠CAB. 又 CD⊥AB,CE⊥PA,CF⊥PB, ∴Rt△CAE∽Rt△CBD, Rt△CBF∽Rt△CAD, ∴ ∴ CA CE CB CF = , = , CB CD CA CD CE CD = ,即 CD2=CE· CF. CD CF 证明乘积式成立,往往与相似三角形有关,若存在切线,常要寻找弦切角,确定三角形 数学 相似的条件,有时需要添加辅助线创造条件. 4.如图,已知 MN 是⊙O 的切线,A 为切点,MN 平行于弦 CD,弦 AB 交 CD 于 E.求证:AC2=AE· AB. 证明:连接 BC. ? MN∥CD?∠MAC=∠ACD ? ? MN切⊙O于A?∠MAC=∠B? ? ?∠ACD=∠B ? ??△ACE∽△ABC ∠CAE=∠CAB? ? ? ? AC AE = ?AC2=AB· AE. AB AC 5.如图,AD 是△ABC 的角平分线,经过点 A、D 的⊙O 和 BC 切于 D,且 AB、AC 与⊙O 相交于点 E、F,连接 DF,EF. (1)求证:EF∥BC; (2)求证:DF2=AF· BE. 证明:(1)∵⊙O 切 BC 于 D, ∴∠CAD=∠CDF. ∵AD 是△ABC 的角平分线, ∴∠BAD=∠CAD. 又∵∠BAD=∠EFD, ∴∠EFD=∠CDF. ∴EF∥BC. (2)连接 DE, ∵⊙O 切 BC 于 D, ∴∠BAD=∠BDE. 由(1)可得∠BDE=∠FAD, 又∵⊙O 内接四边形 AEDF, ∴∠BED=∠DFA. ∴△BED∽△DFA. ∴ DE BE = . AF DF 又∵∠BAD=∠CAD, ∴DE=DF.∴DF2=AF· BE. 数学 [对应学生用书 P30] 一、选择题 1.P 在⊙O 外,PM 切⊙O 于 C,PAB 交⊙O 于 A、B,则( A.∠MCB=∠B C.∠PCA=∠B 解析:由弦切角定理知∠PCA=∠B. 答案:C 2.如图,△ABC 内接于⊙O,EC 切⊙O 于点 C.若∠BOC=76° ,则∠BCE 等于( ) B.∠PAC=∠P D.∠PAC=∠BCA ) A.14° C.52° 解析:∵EC 为⊙O 的切线, 1 ∴∠BCE=∠BAC= ∠BOC=38° . 2 答案:B B.38° D.76° 3.如图,AB 是⊙O 的直径,EF 切⊙O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2,AB

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