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2015届二项分布与超几何分布一

2015 届二项分布与超几何发布练习题一 14.有六节电池,其中有 2 只没电,4 只有电,每次随机抽取一个测试,不放回,直至分 清楚有电没电为止,所要测试的次数 ? 为随机变量,则 E? ? 。
2 A2 1 .解: ? ? 2,3,4,5∵ ? ? 2 表示前 2 只测试均为次品,∴ P(? ? 2) ? 2 ? A6 15 1 1 2 C2 C4 A2 2 ∵ ? ? 3 表示前两次中一好一坏,第三次为坏,∴ P(? ? 3) ? ? 3 15 A6 ∵ ? ? 4 表示前四只均为好,或前三只中一坏二好,第四个为坏, 1 2 3 4 C2 C4 A3 A4 1 1 4 ∴ P(? ? 4) ? 4 ? ? ? ? 4 15 5 15 A6 A6 ∵ ? ? 5 表示前四只三好一坏,第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好

∴ P(? ? 5) ? ∴ 分布列为

1 3 4 1 3 4 C2 C4 A4 C2 C4 A4 8 ? ? 5 5 15 A6 A6

? P

2 1 15

3 2 15

4 4 15

5 8 15

? ? ?y ? 0 ? ? ? 2 15.已知平面区域 Ω= ?( x, y) ? ? ,直线 l: y ? mx ? 2m 和曲线 C: y ? 4 ? x 有两 2 ? ? ?y ? 4 ? x ? ? ? 个不同的交点,直线 l 与曲线 C 围城的平面区域为 M,向区域 Ω 内随机投一点 A,点 A 落 ? ?2 ) [ ? 1 ] , 在区域 M 内的概率为 P( M ) , 若 P(M , 则实数 m 的取值范围是__________。 ?0,1? 2? 16.一口袋内装有 5 个黄球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球 的颜色,然后放回,直到红球出现 10 次时停止,停止时取球的次数 ? 是一个随机变量,则 P(? ? 12) =______________。 [解题思路]:这是一个“12 次独立重复试验恰有 10 次发生”的概率问题,同学们很容易 10 3 10 5 2 ( ) ( ) ,这就忽视了隐含条件“第 12 次抽取的是红 由二项分布原理得到 P(? ? 12) ? C12 8 8 球” ,此种解法的结果包含着第 12 次抽取到黄球。 9 3 9 5 2 3 9 3 10 5 2 ( ) ( ) ? ? C11 ( ) ( ) 解析: P(? ? 12) ? C11 8 8 8 8 8 20.已知甲箱中只放有 x 个红球与 y 个白球 ( x, y ? 0, 且 x ? y ? 6) ,乙箱中只放有 2 个红球、 1 个白球与 1 个黑球(球除颜色外,无其它区别). 若甲箱从中任取 2 个球, 从乙箱中 任取 1 个球. (Ⅰ)记取出的 3 个球的颜色全不相同的概率为 P,求当 P 取得最大值时 x, y 的值; (Ⅱ)当 x ? 2 时,求取出的 3 个球中红球个数 ? 的期望 E (? ) .
1 C1 xy 1 x ? ? 2 3 x ? Cy ? ? ( ) ? , 2 1 C6 C4. 60 60 2 20 当且仅当 x ? y 时等号成立,所以,当 P 取得最大值时 x ? y ? 3 . (II)当 x ? 2 时,即甲箱中有 2 个红球与 4 个白球,所以 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3

(I)由题意知 P ?

则 P(? ? 0) ?

1 1 1 2 1 2 1 C2 C4C2 ? C4 C2 C4 C2 1 7 ? P ( ? ? 1 ) ? ? , , 2 1 2 1 C6 C4 5 C6 C4 15

二项分布与超几何发布练习题一

第1页 共6页

1 2 1 1 1 1 C2 C2 C2 ? C2 C4 C2 1 3 P ( ? ? 3 ) ? , , p(? ? 2) ? ? 2C1 ? 2 1 C 30 10 6 4 C6 C 4 所以红球个数 ? 的分布列为

于是 E? ?

7 . 6 21.某网站用“10 分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取 16 名,以下 茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为 叶):
幸福度 7 8 9 3 0 7 8 8 9 9

6 6 6 6 7 7 6 5 5

(1)指出这组数据的众数和中位数; (2)若幸福度不低于 9.5 分,则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这 16 人中随机选取 3 人,至多有 1 人是“极幸福”的概率; (3) 以这 16 人的样本数据来估计整个社区的总体数据, 若从该社区(人数很多)任选 3 人, 记 ? 表示抽到“极幸福”的人数,求 ? 的分布列及数学期望. 解: (1)众数:8.6;中位数:8.75 ?????2 分 (2)设 Ai 表示所取 3 人中有 i 个人是“极幸福” ,至多有 1 人是“极幸福”记为事件 A , 则 P( A) ? P( A0 ) ? P( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? 3 3 140 C16 C16

?????6 分
3 27 P(? ? 0) ? ( ) 3 ? ; 4 64

( 3 ) ξ 的可能取值为 0 、 1 、 2 、 3 ??????? 7 分
1 P (? ? 1) ? C 3

1 3 2 27 ( ) ? 4 4 64

1 3 9 1 1 P(? ? 2) ? C32 ( ) 2 ? ; P(? ? 3) ? ( ) 3 ? 4 4 64 4 64 分布列为 3 0 1 2 ξ 27 27 9 1 P 64 64 64 64 ???????11分 27 27 9 1 ? 0.75 . E ? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?????12分 64 64 64 64 1 1 3 1 另解: ? B(3, ) , P (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k .,所以 E? = 3 ? ? 0.75 . 4 4 4 4 22.某市直小学为了加强管理,对全校教职工实行新的临时事假制度: “每位教职工每月在 正常的工作时间,临时有事,可请假至多三次,每次至多一小时” .现对该制度实施以来
二项分布与超几何发布练习题一 第2页 共6页

50 名教职工请假的次数进行调查统计,结果如下表所示: 请假次数 1 0 3 2 人数 10 20 15 5 根据上表信息解答以下问题: (1)从该小学任选两名教职工, 用 ? 表示这两人请假次数之和, 记 “函数 f ( x) ? x2 ?? x ? 1 在 区间 (4, 6) 上有且只有一个零点”为事件 A ,求事件 A 发生的概率 P ; (2)从该小学任选两名职工,用 ? 表示这两人请假次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的分布 列及数学期望 E? . 【解】(1) 函数 f ? x? ? x2 ?? x ?1 过 (0, ?1) 点,在区间 (4, 6) 上有且只有一个零点,则必有

? f (4) ? 0 ?16 ? 4? ? 1 ? 0 15 35 即: ? ,解得: ? ? ? ,所以,? ? 4 或? ? 5 …………3 分 ? 4 6 ? f (6) ? 0 ?36 ? 6? ? 1 ? 0 2 1 1 1 1 C20 C15 C20 ? C10 C15 12 68 当? ? 4 时, P ,当? ? 5 时, P2 ? …………5 分 ? ? 1 ? 2 2 C50 49 C50 245 68 12 128 ? ? 6 ? ? 4 与 ? ? 5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式,所以 P ? 245 49 245 分 (2) 从该小学任选两名教职工,用 ? 表示这两人请假次数之差的绝对值,则 ? 的可能取
值分别是 0,1, 2,3 ,于是 P ?? ? 0 ? ?
2 2 2 C52 ? C10 ? C20 ? C15 2 ? , 2 C50 7

P(? ? 1) ?
P(? ? 3) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 C5 C10 ? C10 C20 ? C15 C20 C5 C20 ? C10 C15 22 10 , ? P ( ? ? 2) ? ? , 2 2 C50 49 C50 49
1 1 C5 C15 3 …………10 分 ? 2 C50 49

从而 ? 的分布列: 1 2 3 22 10 3 P 49 49 49 2 22 10 3 51 ? 的数学期望: E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . …………12 分 7 49 49 49 49 23.(本小题满分 12 分) 某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同 的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求 此员工一一品尝后, 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料.若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元; 若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元;否则月工资定为 2100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解答: (1)选对 A 饮料的杯数分别为 ? ? 0 , ? ? 1 , ? ? 2 , ? ? 3 , ? ? 4 , C1C 3 16 C 2C 2 36 C 0C 4 1 其 概 率 分 布 分 别 为 : P?0? ? 4 4 4 ? , P?1? ? 4 4 4 ? , P?2? ? 4 4 4 ? , C8 70 C8 70 C8 70

?

0 2 7

P?3? ?

3 1 0 4 C4 C4 16 C4 C4 1 , 。 ? ? ? P 4 ? ? 4 4 C8 70 C8 70

二项分布与超几何发布练习题一

第3页 共6页

1 16 ? 36 16 1 ? ? 3500? ? 2800? ? ? ? ? ? 2100 ? 2280。 70 70 ? 70 70 70 ? 2 24.某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响. 3 (Ⅰ)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中的概率. (Ⅱ)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率. (Ⅲ)假设这名射手射击 3 次,每次射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,在 3 次 射击中,若有 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中, 则额外加 3 分.记 ? 为射手射击 3 次后的总得分数,求 ? 的分布列. ? 2? 【解】 (Ⅰ)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 X ~ B ? 5, ? . ? 3? 在 5 次射击中恰有 2 次击中的概率为
(2) ??? ? ?

40 ? 2? ? 2? . P ? X ? 2 ? ? C ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 3 ? ? 3 ? 243 (Ⅱ)设“第 i 次击中目标”为事件 Ai ?i ? 1,2,3,4,5? , “射手在 5 次射击中有 3 次连续击
2 5

2

3

中目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A .则 P ? A ? ? P ? A1 A2 A3 A4 A5 ? ? P ? A1 A2 A3 A4 A5 ? ? P ? A1 A2 A3 A4 A5 ?

1 ? 1 2 ? 1 1 ? 82? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?. ? 3 ? 3 3 ? 3 3 ? 81 3? ? ?3 ? ? ? ? (Ⅲ)由题意, ? 的所有可能取值为 0,1, 2,3,6 .

3

2

3

2

3

1 ?1? ; P ?? ? 0? ? P( 三次均未中) ? P ? A1 A2 A3 ? ? ? ? ? ? 3 ? 27 P ?? ? 1? ? P( 仅击中 1 次) ? P ? A1 A2 A3 ? ? P ? A1 A2 A3 ? ? P ? A1 A2 A3 ?
2 ?1? 1 2 1 ?1? 2 2 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ; 3 ? 3? 3 3 3 ?3? 3 9
2 1 2 4 ; P ?? ? 2? ? P( 击中 2 次但未连续击中) ? P ? A1 A2 A3 ? ? ? ? ? 3 3 3 27 P ?? ? 3? ? P( 有 2 次连续击中)
2 2

3

8 ?2? 1 1 ?2? ; ? P ? A1 A2 A3 ? ? P ? A1 A2 A3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 ? 3 ? 27
8 ?2? . P ?? ? 6? ? P( 3 次连续击中) P ? A1 A2 A3 ? ? ? ? ? ? 3 ? 27 或 P ?? ? 6? ? 1? P ?? ? 0? ? P ?? ? 1? ? P ?? ? 2? ? P ?? ? 3? 1 2 4 8 8 ? 1? ? ? ? ? . 27 9 27 27 27 所以 ? 的分布列为 3 0 6 ? 1 2 1 2 4 8 8 P 27 9 27 27 27 25.张先生家住 H 小区,他工作在 C 科技园区,从家开车 到公司上班路上有 L1,L2 两条路线(如图) ,L1 路线上有
二项分布与超几何发布练习题一 第4页 共6页 H B1
3

2

2

A1

A2 L1 L2

A3 C B2

A1,A2,A3 三个路口,各路口遇到红灯的概率均为 ;L2 路线上有 B1,B2 两个路口,各路口
3 3 , . 4 5 (Ⅰ)若走 L1 路线,求最多 遇到 1 次红灯的概率; ..

1 2

遇到红灯的概率依次为

(Ⅱ)若走 L2 路线,求遇到红灯次数 X 的数学期望; (Ⅲ)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助张先生分析上述两条路线中,选 择哪条上班路线更好些,并说明理由. 解: (Ⅰ)设走 L1 路线最多遇到 1 次红灯为 A 事件,则 1 1 1 1 1 P( A)=C30 ? ( )3 ? C3 ? ? ( )2 ? . 2 2 2 2

26.学校游园活动有这样一个游戏节目,甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球;乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球。这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在一次游戏中: ①摸出 3 个白球的概率; ②获奖的概率; (Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 EX . 解: (Ⅰ)设“在一次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai (i ? 0,1, 2,3) :
1 C32C2 1 ? ;?????????????2 分 2 2 C5 C5 5 ②设“在 1 次实验中获奖”为事件 B ,则 B ? A2 A3 ,

① P( A3 ) ?

2 1 1 1 1 C32C2 C3 C2C1 C2 1 ? ? ????????2 分 2 2 C5 C3 C52C32 2 1 1 7 故 P( B) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? ? ? ??????2 分; 2 5 10 7 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,在 1 次实验中获奖的概率为 , 10 7 7 k 7 k ( ) (1 ? ) 2?k ( k ? 0,1, 2) ? 2 分; 则在两次试验中获奖次数 X B(2, ) , P( X ? k ) ? C2 10 10 10 所以 X 的分布列为: 0 1 2 X

则 P( A2 ) ?

二项分布与超几何发布练习题一

第5页 共6页

P

9 100

21 50

49 100

??????2 分;
X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ?

9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? ?????????2 分 100 50 100 5

二项分布与超几何发布练习题一

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