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2.2等差数列(一)


等差数列(一)
高二数学备课组
2010年9月

一.指出下列数列的 特征: (1)1,3,5,7……; (2)3,0,-3,-6……; (3) 1 , 2 , 3 , 4 ……..
10 10 10 10

特征:从第2项起,每一项与前一项的差 都等于一个常数.

二.等差数列 1.定义:对于数列{an},若a n+1- a n= d ( d为常数,n为正整 数)

则这个数列为等差数列,常数d叫公差. 2.已知:等差数列{an}的首项为a1,公差为d, 求an 解:由等差数列得定义得: a n+1=an+d ∴a 2=a1+d a 3=a2+d=a1+2d a 4=a3+d=a1+3d a 5=a3+d=a1+4d …… 由此得: an=a1+(n-1)d ( n∈N*)

3.已知: 等差数列{an}中,公差为d, 则an与ak(n,k∈N*)有何关系?

解:∵

an=a1+(n-1) d ak=a1+(k-1)d





① -②得: n-ak=(n-k)d a

∴ an = ak+(n-k)d

4.如果a,A,b成等差数列,则A满足什 么条件? 解:由a,A,b成等差数列,得: A-a=b-A 所以
反过来

A? 如果 A ?

A-a=b-A,即a,A,b成等差数列。 5.如果a,A,b成等差数列,那么A叫做 a与b的等差中项。

a ?b 2 a ?b 2

,那么2A=a+b,

例1. 求等差数列8,5,2,……的第 20项.

例2. -401是不是等差数列-5,-9,

-13,……的项?如果是,是第 几项?

例1. 求等差数列8,5,2,……的第

20项.
解:由题意得:a1=8 , d=5-8=-3

∴a20=a1+(n-1)d=8+(20-1) ×(-3) =-49

例2. -401是不是等差数列-5,-9,
-13,……的项?如果是,是第 几项?
? 解:数列-5,-9,-13, ……的通项公式是:

? an= -5+(n-1)(-4)=-4n-1 ? 由an=-4n-1=-401得:n=100 所以-401是数列的第100项。

练习:1. 在等差数列{an}中,已知a5=10
a12=31,求首项a1与公差d.
2. 梯子的最高一级宽33㎝,最低一
级宽110㎝,中间还有10级, 各级
( a1=-2 , d=3 )

的宽度成等差数列,计算 中间各级 的宽度。 (103,96,89,82,75,68,61,54,47,40)

例3.已知数列的通项公式为an=pn+q
其中p,q是常数,且p≠0,那么

这个数列是否是等差数列?如果
是,其首项与公差是什么?
等差数列的判定方法: (1) an+1-an=d ? {an}是等差数列 (2) 2an+1=an+ an+ 2 ? {an}是等差数列

(3) an=kn+b

? {an}是等差数列

3.(1)在等差数列{an}中,若m+n

=p+q, 则am+an=ap+aq.
(2)在等差数列{an}中,若a3+a4+

a5+a6+ a7=450,求a2+a8.

解:∵ a2+a8= a3+a7= a4+a6=2a5
∴ ∴ 5a5=450, a5=90, a2+a8= 2×90=180

4.已知,三个数成等差数列,其和为15 首末两项的积为9,求此数列.
( 1, 5, 9或9, 5, 1 )
若三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d 若四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a +d,a+3d.

6.等差数列{an}中已知a10=23,
(1)若a25=-22,问此数列从第几 项开始为负? (第18项开始是负数)

(2)若数列从第17项起各项均为负,
求公差d的取值范围。
(d ? ? 23 7 )



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