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衡水中学2015届高三第四次联考数学(文)试题


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衡水中学 2015 届高三第四次联考

数学(文)试题
京翰高考网试题(gaokao.zgjhjy.com)
本试卷分第Ⅰ 卷( 选择题) 和第Ⅱ 卷( 非选择题) 两部分, 总分 1 5 0 分, 考试时间 1 2 0 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 6 0 分)
一、 选择题( 本大题共 1 2 个小题, 每小题 5 分, 共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 M={ x | x 2+3 x+2<0} , 集合 N ? {x | ( ) ? 4} , 则 M∪ N= (
2

1 2



A.{ x | x ? -2} B.{ x | x>-1} C.{ x | x<-1} D.{ x | x ? -2} -1 3 2.若 x∈ ( e , 1) , a= l n x, b=2 l n x, c= l n x, 则 ( ) A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 2 3.抛物线 y=4 x 关于直线 x-y=0 对称的抛物线的准线方程是 ( ) A.y=-1 B.y=-1 C.x=-1 D.x=-1 4.右图是一个几何体的正( 主) 视图和侧( 左) 视图, 其俯视图是面积 为 8 2 的矩形, 则该几何体的表面积是 ( A.2 0+8 C.8 )

2

B.2 4+8 D.16

2

5 . 若 函 数 f ( x) 同 时 具 有 以 下 两 个 性 质 : ① f ( x)

是 偶 函 数 ; ②对 任 意 实 数 x, 都 有 )

f ( ? x ) ? f ( ? x ) 。则 f ( x) 的解析式可以是 ( 4 4
A. f ( x ) =cos x C. f ( x ) = sin(4 x ?

?

?

B. f ( x ) = cos(2 x ?

?
2

)

?
2

)

D. f ( x ) =cos 6 x

6.已知命题 p︰? x0∈ R, e x-m x=0, q︰? x∈ R, x 2+m x+1≥0, 若 p∨ ( ? q) 为假命题,则实数 m 的 取值范围是 ( ) A. (-∞, 0) ∪ ( 2, +∞) B.[ 0, 2] C.R D.?

?y ? 5 ? 7.若实数 x、 y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 3 ? 0. 则 z=| x |+2 y 的最大值是 ( ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.1 0 B.1 1 C.1 3 D.1 4



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8.已知数列{an} 满足 a1=1, 且 an ? 式为 ( )

1 1 an ?1 ? ( ) n (n ? 2 , 且 n∈ N*) , 则数列{ an} 的通项公 3 3 n?2 3n

3n A. an ? n?2

B. an ?

C.an=n+2 D.an=( n+2)· 3n 9.已知 F1、 F2 为双曲线 C︰x2-y2=1 的左、 右焦点, 点 P 在 C 上, | P F1|=2 | P F2|, 则 cos∠ F1P F2= ( ) A.

1 4

B.

3 4
)

C.

3 5

D.

4 5

10. 函数 f ( x) ?

x ? cos 在[ 0, +∞) 内 (

A. 没有零点 C. 有且仅有两个零点

B. 有且仅有一个零点 D. 有无穷多个零点

11.与向量 a ? ( , ), b ? ( , ? ) 的夹角相等, 且模为 1 的向量是 ( A. ( , ? )

7 1 2 2

1 2

7 2



4 5

3 5

B. ( , ? ) 或 ( ?

4 5

3 5

4 3 , ) 5 5

C. (

2 2 1 ,? ) 3 3

D. (

2 2 1 2 2 1 , ? ) 或 (? , ) 3 3 3 3

12. 在平面直角坐标系 x O y 中, 圆 C 的方程为 x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线 y=k x+2 上至少存在一点, 使 得以该点为圆心, 半径为 1 的圆与圆 C 有公共点, 则 k 的最小值是 ( ) A.-

3 4

B.-

5 4

C.-

3 5

D.-

5 3

第Ⅱ 卷(非选择题,共 9 0 分)
二、填空题 ( 本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 2 0 分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。) 13. 已知 f ( x) ? x ? 1og 2 14.已知底面边长为

x 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? 2? x

? f (8) 的值为



2 , 各侧面均为直角三角形的正三棱锥 P-A B C 的四个顶点都在同一球面上,

则此球的表面积为 。 15.若在区间[ 0, 1] 上存在实数 x 使 2x(3 x+a)<1 成立, 则 a 的取值范围是 。 16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为 F1、 F2, 这两条曲线在第 一象限的交点为 P, △ P F1F2 是以 P F1 为底边的等腰三角形。 若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心 率分别为 e1、 e2, 则 e1· e2 的取值范围为 。 三、 解答题( 本大题共 6 个小题, 共 7 0 分, 解答应写出文字说明、 证明或演算步骤。 ) 17. (12 分) 在△ A B C 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c, 函数

f ( x) ? 2cos x sin( x ? A) ? sin A( x ? R) 在 x ?

5 处取得最大值。 12

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(1) 当 x∈ ( 0,

? ) 时, 求函数 f ( x ) 的值域; 2
13 3 , 求△ A B C 的面积。 14 1 为数列{ bn} 的前 n 项和。 an .an ?1

(2) 若 a=7 且 sin B ? sin C ?

18 . ( 1 2 分) 若 { an} 是各项均不为零的等差数列 , 公差为 d, Sn 为其前 n 项和 , 且满足
2 an ? S2n?1, n ? N * 。数列{ bn} 满足 bn ?

(Ⅰ ) 求 an 和 Tn; (Ⅱ ) 是否存在正整数 m、 n( 1<m<n) , 使得 T1、 Tm、 Tn 成等比数列? 若存在, 求出所有 m、 n 的值; 若不存在, 请说明理由。

19. ( 1 2 分) 如右图, 已知三棱柱 A B C—A1B1C1。 (Ⅰ) 若 M、 N 分别是 A B, A1C 的中点, 求证: MN∥平面 BCC1B1。 (Ⅱ) 若三棱柱 A B C-A1B1C1 的各棱长均为 2, ∠B1B A=∠B1B C= 6 0 °, P 为线段 B1B 上的动点, 当 P A+ +P C 最小时, 求证: B1B⊥平面 APC。

20. ( 1 2 分) 已知点 A( -4, 4) 、 B( 4, 4) , 直线 AM 与 BM 相交于点 M, 且直线 AM 的 斜率与直线 BM 的斜率之差为-2, 点 M 的轨迹为曲线 C。 ( Ⅰ ) 求曲线 C 的轨迹方程; ( Ⅱ ) Q 为直线 y=-1 上的动点, 过 Q 做曲线 C 的切线, 切点分别为 D、 E, 求△ Q D E 的面 积 S 的最小值。

21. (1 2 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? ( 1) 用 a 表示出 b、 c;

b ? c ( a>0) 的图像在点( 1, f( 1) ) 处的切线方程为 y=x-1。 x

( 2) 若 f ( x) ? 1nx 在[ 1, +∞) 上恒成立, 求 a 的取值范围; ( 3) 证明: 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 n ? 1n(n ? 1) ? ( n ? 1) 。 n 2( n ? 1)

请考生在第 2 2~2 4 三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。 22. (1 0 分) 【选修 4-1︰几何证明选讲】 如右图, A B 是☉ O 的直径, A C 是弦, ∠ B A C 的平分线 AD 交☉ O 于点 D, D E⊥ A C, 交 A C

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的延长线于点 E, O E 交 AD 于点 F。 (Ⅰ ) 求证: D E 是☉ O 的切线; (Ⅱ ) 若

AC 2 AF ? , 求 的值。 AB 5 DF

23. (1 0 分) 【 选修 4-4︰坐标系与参数方程】

? ?x ? ? l 已知在平面直角坐标系 x O y 中, 直线 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t 2 (t 是参数) , 以原 2 t?4 2 2

点 O 为极点, O x 为极轴建立极坐标系, 圆 C 的极坐标方程为 p ? 2 cos(? ? (1) 求圆心 C 的直角坐标; (2) 由直线 l 上的点向圆 C 引切线, 求切线长的最小值。

?
4

) 。

24. (1 0 分) 【 选修 4-5︰不等式选讲】 已知 f ( x ) =| 2 x-1 |+a x-5( a 是常数, a∈ R) 。 (Ⅰ ) 当 a=1 时求不等式 f ( x ) ? 0 的解集; (Ⅱ ) 如果函数 y= f ( x ) 恰有两个不同的零点, 求 a 的取值范围。

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