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上海市复旦大学附属中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题

复旦附中高一期末数学试卷 2018.06 一. 填空题 1. 在等差数列 {an } 中,若 a4 ? 0 , a6 ? a7 ? 10 ,则 a7 ? 2. 在数列 1、3、7、15、…中,按此规律,127 是该数列的第 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 1,那么数列 {an } 的通项公式为 4. 若在等比数列 {an } 中, a1 ? a2 ????? a9 ? 512 ,则 a5 ? 5. 方程 (3cos x ?1)(cos x ? 3sin x) ? 0 的解集是 6. 若数列 {an } 满足 a1 ? 13 , an?1 ? an ? n ,则 7. 若数列 {an } 是等差数列,则数列 bn ? 项 an 的最小值为 n an ?1 ? ??? ? an ? m (m ? N* ) 也为等差数列,类比上述 m 也是等比数列 性质,相应地,若正项数列 {cn } 是等比数列,则数列 d n ? 8. 观察下列式子: 1 ? 的不等式是 1 3 1 1 1 1 1 1 5 ? , 1 ? ? ? ? 2 , 1 ? ? ? ??? ? ? ,…,你可归纳出 2 2 2 3 4 2 3 8 2 9. 在我国古代数学著作《孙子算经》中,卷下第二十六题是:今有物,不知其数,三三数之 剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?满足题意的答案可以用数列表示,该数列 的通项公式可以表示为 an ? 10. 对于下列数排成的数阵: ?1 4 16 ?49 ??? 它的第 10 行所有数的和为 11. 对于数列 {an } 满足: a1 ? 1 , an?1 ? an ?{a1 , a2 , ???, an } (n ? N* ) ,其前 n 项和为 Sn ,记满 足条件的所有数列 {an } 中, S12 的最大值为 a,最小值为 b,则 a ? b ? r r r 12. 设 n ? N* ,用 An 表示所有形如 2 1 ? 2 2 ? ??? ? 2 n 的正整数集合,其中 ?9 ?25 36 ?81 ??? ??? 100 64 0 ? r1 ? r2 ? ??? ? rn ? n ,且 ri ? N (i ? N* ) , bn 为集合 An 中的所有元素之和,则 {bn } 的 通项公式为 bn ? 二. 选择题 13. “b 是 1 ? 3 与 1 ? 3 的等差中项”是“b 是 2 ? 3 与 2 ? 3 的等比中项”的( A. 充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ) 14. 在数列 {an } 中, a1 ? 1 , a2 ? 64 ,且数列 { 1 an?1 } 是等比数列,其公比 q ? ? ,则数列 2 an {an } 的最大项等于( A. a7 15. 若数列 an ? cos( 的数列为( A. {a2 k ?1} ) ) B. a8 C. a9 D. a10 ? 3 n? ? 5 ) ,若 k ? N* ,则在下列数列中,可取遍数列 {an } 前 6 项值 B. {a3k ?1} C. {a4 k ?1} D. {a5k ?1} ) 16. 数列 {an } 中,若 a1 ? a , an ?1 ? sin( ? 2 an ) , n ? N* ,则下列命题中真命题个数是( (1)若数列 {an } 为常数数列,则 a ? ?1 ; (2)若 a ? (0,1) ,数列 {an } 都是单调递增数列; (3)若 a ? Z ,任取 {an } 中的 9 项 ak1 、 ak2 、…、 ak9 (1 ? k1 ? k2 ? ??? ? k9 ) 构成数列 {an } 的子数列 {akn } , n ? 1,2, ???,9 ,则 {akn } 都是单调数列. A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 三. 解答题 17. 已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a4 a6 ? 96 , a3 ? a7 ? 20 ,数列 {bn } 满 足等式: an ? b b1 b2 b3 ? 2 ? 3 ? ??? ? n (n ? N* ) . n 2 2 2 2 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)求数列 {bn ? n ?1 } 的前 n 项和 Sn . 2 18. 已知 b、c 为常数且均不为零,数列 {an } 的通项公式为 an ? ? ?b ? n ? 1, n为奇数 ? ,并且 n ? ?c ? 3 , n为偶数 a1 、 a3 、 a2 成等差数列, a1 、 a2 、 a4 成等比数列. (1)求 b、c 的值; (2)设 Sn 是数列 {an } 前 n 项的和,求使得不等式 S2n ? 20182 成立的最小正整数 n. 19. 王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100000 元,银行贷款年利率为 5%,若此贷款分十年 还清(2027 年 12 月 31 日还清) ,每年年底等额还款(每次还款金额相同) ,设第 n 年末还款 后此人在银行的欠款额为 an 元. (1)设每年的还款额为 m 元,请用 m 表示出 a2 ; (2)求每年的还款额(精确到 1 元). 20. 设数列 {an } 的首项 a1 为常数,且 an?1 ? 3n ? 2an (n ? N* ) . (1)判断数列 {an ? 3n } 是否为等比数列,请说明理由; 5 (2) Sn 是数列 {an } 的前 n 项的和,若 {Sn } 是递增数列,求 a1 的取值范围. 21. 如果数列 {an } 对任意的 n ? N* 满足: an? 2 ? an ? 2an?1 ,则称数列 {an } 为“M 数列”. (1)已知数列 {an } 是“M 数列” ,设 bn ? an?


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