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云南省玉溪一中2014-2015学年高二数学上学期期中试题


玉溪一中 2016 届上学期期中考试试题 高二 数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

y?
1.函数 A.{x|x>1} C.{x|x>0}

x ? lg x x ?1 的定义域为(



B.{x|x≥1} D.{x|x≥1}∪{0} ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

π 2.α ≠ 是 sinα ≠1 的( 2 A.充分不必要条件 C.充要条件

a b > 2 2 c ,则 a ? b ,则( 3.设命题 p: x ? 2 是 x ? 4 的充要条件;命题 q:若 c
A.p∨q 为真 C.p 真 q 假 B.p∧q 为真 D.p、q 均为假

)

4.对于任意实数 a ,点 A.都在圆内

P ? a,2 ? a ?

与圆 C : x ? y ? 1 的位置关系的所有可能是(
2 2



B.都在圆外

C.在圆上、圆外

D.在圆上、圆内、圆外

?1? 5.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6.则数列? ?的前 5 ?an?

项和为( 15 A. 或 5 8

) 31 B. 或 5 16 31 C. 16 15 D. 8 )

6. 设有一个直线回归方程为 y ? 2 ? 1.5 x ,则变量 x 增加一个单位时( A. C.

y 平均增加 1.5 个单位 y 平均减少 1.5 个单位

B. D.

y 平均增加 2 个单位 y 平均减少 2 个单位

7. 样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均数为 1,则样本方差为 ( ) A. 6 5 6 B. 5 C. 2 D. 2 )

8.点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动, 则动点 P 到定点 A 的距离|PA|<1 的概率为(

1

1 A. 4

1 B. 2

π C. 4

D. π

9.已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? ,? 内一点 C 到 ? 的距离为 3,点 C 到棱 AB 的距离为 4,那么 tan ? 的值等于( )

3 A. 4

3 B. 5

7 3 7 C. 7 D. 7

13 10. 运行如图所示的程序框图,若输出的结果为 , 7 则判断框中应该填的条件是( A. k ? 5? B. k ? 6 ? ).

C. k ? 7 ?

D. k ? 8? 源:]

11.设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①( a · b ) c =( c · a ) b ;

?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a a c a c a c a a b b b b b b ②| |-| |>| - |; ③( · ) -( · ) 与 垂直; ④(3 +2 )·(3 -2 )
? ? a b =9| |2-4| |2 中,是真命题的有(
A.①② C.③④ B.②③ D.②④ )

12. 对 于 集 合 M , N , 定 义 M - N={x|x ∈ M 且 x ? N},M ? N=(M - N) ∪ (N - M). 设
x M={y|y= x ? 4 x ,x∈R},N={y|y= ? 2 ,x∈R},则 M ? N=(

2

)

A.(-4,0] C. (-∞,-4)∪(0,+∞)

B.[-4,0) D. (-∞,-4)∪[0,+∞)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
主视图 左视图 2

俯视图

13.如图,一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角 三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为 14.已知直线 l 与直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 关于 y 轴对称,则直线 l 的方程为



?( x ? y ? 5)( x ? y) ? 0, ? 0? x?3 15.不等式组 ? 表示的平面区域的面积是
1 4 若x ? 0, y ? 0, 且 ? ? 1 x y 16. ,则 x ? y 的最小值是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取 出 1 个球,每个球被取出的可能性相等. (1)求取出的两个球上标号为相同数字的概率; (2)求取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率. 18.20 名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频数分布直方图如下:

(1)求频数直方图中 a 的值; (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数; (3)从成绩在[50,70)的学生中选 2 人,求这 2 人的成绩都在[60,70)中的概率.

π? ? f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ? ? 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . ? 19.已知函数
(1)求 ? 的值;

? 2π ? 0, ? ? f ( x ) 3 ? 上的取值范围. ? (2)求函数 在区间
20.如图,矩形 ABCD 中, AD ? 平面ABE , AE ? EB ? BC ? 2 , F 为 CE 上的点, 且 BF ? 平面ACE , AC、BD 交于点 G . (1)求证: AE ? 平面BCE ; (2)求点 C 到平面 BDF 的距离.

3

21.设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,若

b 2 ? ac, cos B ?

3 4

1 1 ? (1)求 tan A tan C 的值; (2)设 ac ? 2 ,求 a ? c 的值。

22.已知数列?an ? 及f n ? x ? ? a1 x ? a2 x 2 ? …+a n x n , f n ? ?1? ? ? ?1? n, n ? 1, 2,3, …,
n

?1? 求a1 , a2 , a3的值; ? 2 ? 求数列?an ?的通项公式; ? 3? 求证:f n ? ?
1? ? ? 1. ?3?

一、ABABC 二、13. 12

CDCAB

CD 14. 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 15. 24 16. 9

三、17、解:设从甲、乙两个盒子中各取 1 个球,其数字分别为 x,y, 用(x,y)表示抽取结果,则所有可能的结果有 16 种,即 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4). (1)设“取出的两个球上的标号相同”为事件 A, 则 A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. 4 1 16 事件 A 由 4 个基本事件组成,故所求概率 P(A)= = 4 .

1 答:取出的两个球上的标号为相同数字的概率为 4 .
(2)设“取出的两个球上标号的数字之积能被 3 整除”为事件 B, 则 B={(1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4),(4,3)} 7 事件 B 由 7 个基本事件组成,故所求概率 P(A)= 16 .

4

7 答:取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为 16 .[学
18.(1)由频率分布直方图知组距为 10,频率总和为 1,可列如下等式:(2a+2a+3a+6a+ 7a)×10=1 解得 a=0.005. (2)由图可知落在[50,60)的频率为 2a×10=0.1 由频数=总数×频率,从而得到该范围内的人数为 20×0.1=2. 同理落在[60,70)内的人数为 20×0.15=3. (3)记[50,60)范围内的 2 人分别记为 A1、A2,[60,70)范围内的 3 人记为 B1、B2、B3,从 5 人选 2 人共有情况: A1A2,A1B1,A1B2,A1B3,A2B1,A2B2,A2B3,B1B2,B1B3,B2B3,10 种情况,其中 2 人成 3 绩都在[60,70)范围内的有 3 种情况,因此 P= . 10 +

f ( x) ?
19. 解:(1)

1 ? cos 2? x 3 3 1 1 ? sin 2? x ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 2 2 2 2

π? 1 ? ? sin ? 2? x ? ? ? 6? 2 . ?
2π ?π 因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以 2? ,解得 ? ? 1 .

π? 1 ? 2π f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? 0≤ x≤ 6 ? 2 .因为 ? 3 , (2)由(1)得 1 π? ? π π 7π ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 ? ≤ 2x ? ≤ 6? ? 6 6 , 所以 2 所以 6 , π? 1 3 ? ? 3? 0 ≤ sin ? 2 x ? ? ? ≤ 0, 6? 2 2 ,即 f ( x) 的取值范围为 ? ? ? 2? ?. 因此

20.证明: ?1? ?四边形ABCD是矩形 ? BC / / AD ? AD ? 平面ABE ? BC ? 平面ABE ? AE ? BC ? BF ? 平面ACE ? BF ? AE ? AE ? 平面BCE

? 2 ? ? F为EC中点? GF//AE ? GF ? CE又BF ? CE
? CF ? 平面BFG ? CF即为所求,CF ? 2
cos B ?

21.解: (Ⅰ)由
2

7 3 sin B ? 4 ,得 4
sin 2 B ? sin A sin C.

由 b ? ac 及正弦定理得

5

1 1 cos A cos C sin C cos A ? cos C sin A sin( A ? C ) ? ? ? ? ? sin A sin C sin 2 B 于是 tan A tan C sin A sin C

?

sin B 1 4 ? ? 7. 2 sin B sin B 7

(Ⅱ) ca ? 2 ,即 b ? 2 .
2

由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B ,得
2 2 2

a2 ? c2 ? b2 ? 2ac cos B ? 5 .

(a ? c)2 ? a2 ? c2 ? 2ac ? 5 ? 4 ? 9 ,
所以 a ? c ? 3 . 22.解: (I)由已知 f1 ?? 1? ? ?a1 ? ?1 ,所以 a1 ? 1 .

f 2 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? 2 ,所以 a2 ? 3 .

f 3 ?? 1? ? ?a1 ? a2 ? a3 ? ?3 ,所以 a3 ? 5 .
(II)因为 所以 即

(?1)n?1 ? an?1 ? fn?1 ? ?1? ? fn ? ?1? ? (?1)n?1 ? ? n ?1? ? (?1)n ? n



an?1 ? (n ? 1) ? n .

an?1 ? 2n ? 1.
an ? 2n ? 1 .

所以对于任意的 n ? 1,2,3? , (III)

f n ?x? ? x ? 3x 2 ? 5x 3 ? ? ? ?2n ? 1?x n ,
2 3 n

?1? 1 ?1? ?1? ?1? f n ? ? ? ? 3? ? ? 5? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? ? 3? ? 3? ? 3? . 所以 ? 3 ? 3 1 ?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ? f n ? ? ? ? ? ? 3? ? ? 5? ? ? ? ? ?2n ? 1?? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
①-②,得
2 3 n



2

3

4

n ?1

. ②

2 ?1? 1 ?1? ?1? ?1? ?1? f n ? ? ? ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2n ? 1? ? ? 3 ? 3? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?

n ?1

6

2 ? ?1? ?1 ? ? ? ?3? 1 9? ? ? ? 1 3 1? 3
n ?1 ?1? fn ? ? ? 1 ? n 3 . 所以 ? 3 ?

n ?1

? ? n ?1 n ? ? ? 2n ? 1 ? 1 ? ? 2 ? 2n ? 2 ? 1 ? ? ?? ? ? ? 3 3 ?3? ?3?

?1? fn ? ? 又 n =1,2,3?,故 ? 3 ? < 1.

7


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