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上海高考数学辅导讲义(2013版,PDF)


中小学 1 对 1 课外辅导专家

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高三数学辅导讲义 王老师
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中小学 1 对 1 课外辅导专家

第一讲 函数的定义域、值域、奇偶性和单调性 一、函数的定义域与值域
例题 1 求函数 y ? 1 ?

1 的定义域 x

例题 2 讨论(1) x ? ax ? 1 ? 0 的解集; (2) (log a x) 2 ? 1 ? 2a ? 1
2

例题 3 若 f ( x) 的定义域为 (0,1) ,则函数 f ( x ? 1), f ( x ) 的定义域为
2

例题 4 若 f ( x ) ? x ? 4 ,则 f ( x) ?
2 4

例题 5 求下列函数的值域 二次函数类型: (1)y ? x ? 2 x ? (?1,3) (2)y ?
2

1 (3)y ? x ? 1 ? x x ?x
2

(4) y ? log 3 x log 9 (3x)

2

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基本不等式类型: (1) y ?

x 2 ? 4 x ? 13 x2 ? 2 1 x ? 1 (3) y ? x ? [2,5] (2) y ? 3x ? x ?1 x ?1 x2 ?1

其他类型: (1) y ?

x?2 x ?1

(2) f ( x) ?

x?4 ?3 1 (3) f ( x) ? x ? x?5 x

例题 6 3x ? 2ax ? 1 ? 0 (1)求证方程有一正根,一负根 (2) a ? 1,求负根的范围
2

(3) a ? 1,求正根的范围

3

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 7 y ? x ? a (a ? 0) 上有一点 P (1)当 a=1,求 P 与 (0, b)(b ? 0) 的距离最小值 ;
2 2 2

(2)P 与 (0,4) 的最小距离为 7 ,求 a

例题 8 kx ? (k ? k ? a) x ? k ? a ? 0 ,其中 a 为常数,k 为自变量.(1)证明方程有一确定解; (2)当 k ? 1
2 2 2

时,求另一根 f (k ) 并求其最小值

二、函数的奇偶性
例题 9 求下列函数的奇偶性
4 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1) y ? lg

1? x 1? x

(2)

y ? x ?1 ? 1? x

(3) y ? lg( x ?

x 2 ? 1)

例题 10 讨论函数的奇偶性 (1) y ? x ? x? a ? 1
2

(2) y ?

x2 ? a x ? a ?1

例题 11 若函数 f ( x) ?

x?a 在 ? ?1,1? 上是奇函数,则 f ( x) 的解析式为 x ? bx ? 1
2

例题 12 设 a ? 0 , f ( x) ?

ex a ? 是 R 上的偶函数,求 a 的值 a ex

5

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三、函数的单调性
例题 13 函数 y ? log 1 ( x ? 2 x ? 8) 的单调递减区间为______________.
2 3

(设 f ( x) , x ? R 是增函数, g ( x) 和 h( x) , x ? R 是减函数,则 f ?g ( x)? 是_______函数; g ? f ( x)? 是________ 函数; g ?h( x)? 是_______函数) 例题 14 求函数 y ? x ? x 的单调性 (1) x ? 1; (2) x ? (0, ) ; (3) x ? 0
3

1 2

例题 15 函数 f ( x) ? x ?
2

a 在 (2,??) 为增函数,求 a 的范围 x

6

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 16 f ( x) ?

1 2

1? ax

在 x ? (? ?, ] 为单调递增,求 a 的范围

1 2

例题 17 f ( x) ? log a ( x ? ax) 在 [2,3] 上是增函数,求 a 的取值范围
2

四、反函数
例题 18 求下列函数的反函数 (1) f ( x) ? x x (2) y ?

1 ? ln( x ? 1) ( x ? 1) 2

例题 19 函数 f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 2 (1)在 ?? ?,4? 上是减函数,则 a 的取值范围是_______;
2

(2)在区间 (1,2) 上存在反函数,,则 a 的取值范围是_______
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例题 20 已知函数 y ? f ( x)( x ? D, y ? A) 有反函数 y ? f ( x) ,则方程 f ( x) ? 0 有解 x ? a ,且 f ( x) ? x

?1

( x ? D) 的充要条件 y ? f ?1( x) 满足______________.

四、函数解析式
2

例题 21 设函数 f ( x) ? lg( x ? ax ? a ? 1) , 给出下列命题: (1) f ( x) 有最小值; (2) 当 a ? 0 时, f ( x) 的值域是 R ; ( 当 a ? 0 时, f ( x) 在区间 [2,??) 上有反函数; (4)若 f ( x) 在区间 [2,??) 上单调递增,则实数 a 的取值范围是

a ? ?4

其中正确命题的序号是:__________.

例题 22 y ? lg x( x ? 1) 上有横坐标为 a, a+2,a+4 三点 A,B,C 求三角形 ABC 面积的范围

8

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例题 23 如果 ( x, y ) 在 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 上,那么点 (

x ? t ?1 ,2 y ) 就在 g ( x) 上 求(1)当 t=4, x ? [0,1] ,求 2

g ( x) ? f ( x) 的最小值 (2)当 x ? [0,1] , g ( x) ? f ( x) 恒成立,求 t 的范围

例题 24 已知集合 M 是满足下列性质的函数 f ( x) 的全体:存在非零常数,对于任意 x ? D ,等式 f (kx) ?

k ? f ( x) 成立. 2
(1)一次函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) 是否满足集合 M?说明理由. (2)设函数 f ( x) ? log a x(a ? 1) 的图像与 y ? x 的图像具有公共点,试证明: f ( x) ? log a x ? M

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例题 25 已知 ?ABC 为正三角形, AB ? 2 ,P、Q 分别是 AC、AB 上的点,PQ 将 ?ABC 的面积分为两个相等的部 分,设 AP ? x, PQ ? y ,求 f ( x) 及其最大值

五、函数的图像
例题 26 讨论 a ? log 2 x ? 1 的根的个数

例题 27 函数 f ( x) ? lg( 2 x) 向__________平移__________, 再向__________平移__________得到 f ( x) ? lg

x ?1 50

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例题 28 kx ?

2 x ? x 2 有一个根,求 k 的范围

例题 29 2 x ? log a x 对于 x ? (0, ] 恒成立,求 a 的范围
2

1 2

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回家作业
1、已知集合 M 满足 M ? {x x ? 3x ? a ? 2 ? 0 , x ? R} ,则 M 含有__________个子集.
2 2

2、已知不等式 x ? ax ?

3 的解为 x ,且 x ? (4, b) ,则 a ? b ? __________ 2

3、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (0,1) 是, f ( x) ? 2 x ? 1 ,则 f ( x) 在 x ? (?1,1) 上的解析 式__________

4、若函数 f ? x ? ?

x 1? x
2

且 f (n) ? x ? ? f ? ?f ?f ?
n

? 99? f ? x ?? ?? ? ,则 f ?1? ?

5、奇函数 y ?

x2 ? 2 且 f (1) ? 3 ,则 f ( x) bx ? c

6、 y ? x ? ax 中是否存在 a,使得 (??,?1) 为增函数,而 (?1,0) 为减函数
3

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7、求 2

?x

? x 2 ? 1 的根的个数

8、求 y ? x ? x? a ? 1的最小值
2

9、若实数 x 、 y 、 m 满足 x ? m ? y ? m ,则称 x 比 y 接近 m . (1)若 x ? 1 比 3 接近 0,求 x 的取值范围;
2

(2)对任意两个不相等的正数 a 、 b ,证明: a b ? ab 比 a ? b 接近 2ab ab ;
2 2 3 3

(3)已知函数 f ( x) 的定义域 D x x ? k? , k ? Z , x ? R .任取 x ? D , f ( x) 等于 1 ? sin x 和 1 ? sin x 中接近 0 的那个值.写出函数 f ( x) 的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).

?

?

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10、 t ? 0, 已知点 A(1, t ) 、点 B(1 ? 3t , t ? 3 ) , (1)判断 ?AOB 的形状; (2) ?AOB 落在第一象限的面积 为 S (t ) ; (3)求 S (t ) 的最小值

11、已知 a ? b ? c , a ? b ? c ? 0 , y ? ax ? 2bx ? c , (1)证明:函数与 x 轴必定有两个交点;
2

(2)设两个交点的距离为 f (t ) , t ?

c ,求 f (t ) 的解析式及其值域. a
14 教务管理部·权威教育培训

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12、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高之比为 ? (? ? 1) ,画面的上下各留 8cm 空白、
2

左右各留 5cm 的空白。如何确定画面宽与高的尺寸,能够使得宣传画所用纸张面积最小?

15

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第二讲 函数的对称性、周期性及抽象函数 一、函数的对称性
一、关于直线对称 1. 单个函数 函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 推论: 函数 y ? f ( x) 的图像关于 x ? a 对称的充要条件是__________________.

a?b 对称的充要条件是 f (a ? x) ? f (b ? x) 2

例 题 1 函 数 y ? f ( x) 满 足 f (1 ? x) ? f (3 ? x) 若 f ( x) ? 0 有 8 个 不 同 的 实 数 根 , 则 这 八 个 数 的 和 为 __________________.

2. 两个函数 函数 y ? f (b ? x) 与 y ? f (a ? x) 的图像关于直线 x ? 推论: 函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? a) 的图像关于直线__________________对称. 函数 y ? f (a ? x) 与 y ? f ( x ? a) 的图像关于直线__________________对称

b?a 对称 2

3. 反函数 函数 y ? f ( x) 有反函数,则 f (a ? x) 和 f 例题 2 已知函数 f ( x) ? a ? b
x ?1 ?1

(a ? x) 的图像关于 y ? x ? a 对称
?1

的图像经过点(1,3) ,函数 f (x ?

a )的图像经过点(4,2) ,求 a 和 b 的值

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二、关于点对称 已知函数 f ( x) 满足 f (2a ? x) ? f (2b ? x) ? 2c ,则 y ? f ( x) 的图像关于点( a ? b, c) 对称. 推论

f (a ? x) ? f (a ? x) ? 2b 关于点__________________对称
1 2 x ,求 2

例题 3 已知函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f ( x) 满足 f (2 ? x) ? f (4 ? x) ? 2 ,当 x ? [1,2] 时, f ( x) ?

f ( x) 在 [4,5] 上的表达式

二、函数的周期性
已知函数 f ( x) 满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) 、 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 、 f ( x ? a) ? ?

1 f ( x)

f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 2a 是函数的一个周期 1 ? f ( x)

定理:函数 f ( x) 的图像关于 x ? a 和 x ? b 对称,则 2(a ? b) 是 f ( x) 的一个周期 证明:

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定理:函数 f ( x) 的图像关于 x ? a 和点 (b, c) 都对称,则 4(a ? b) 是 f ( x) 的一个周期 证明:

定理:函数 f ( x) 的图像关于点 (a,0) 和点 (b,0) 都对称,则 2(a ? b) 是 f ( x) 的一个周期 证明:

例题 4 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对任意 x ? R , f (1 ? x) ? f (1 ? x) 都成立,当 x ?[2,3] 时,

f ( x) ? x ,求 x ? [?2,0] 的表达式

f(x ) ? 例题 5 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上, 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且当 x ? [?1,1] 时,
上的解析式

x3, 求 f ( x) 在 x ? [1,5]

18

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例题 6 设函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,且满足以下三个条件: (1)对于定义域内的任何 x1 , x 2 都满足 f ( x1 ? x 2 ) ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

(2)存在常数 a ? 0, 使得 f (a) ? 1; (3)对 x ? (0,2a), 有 f ( x) ? 0

三、抽象函数
例题 7 已知函数 f ( x) 对于任意 x ? R 满足 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ? 2 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 . (1)求证: f ( x) 在 x ? R 上时单调递增函数。 (2)若 f (4) ? 4 ,解不等式 f (3m ? m ? 2) ? 3 的解。
2

例题 8 已知 f ( x) 是定义在 R 上的不恒为零的函数, 且对于任意 a 、b ? R 都满足关系式 f (ab) ? af (b) ? bf (a)
19 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1)试求 f (0) 、 f (1) 的值 (2)判断 f ( x) 的奇偶性,并予以证明

一、具有原始模型的抽象函数 例题 9 对于任意实数 x, y ,满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,若 f (1) ? ?2 , 求 f ( x) 在

[3,4] 上的最值

例题 10 已知函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ,若 f ( x) 得反函数为 g ( x) ,比较 g (mn) 与

g (m) ? g (n) 的大小

20

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例题 11 f ( x) 是定义在 R 上的增函数, f ( x) ? f ( ) ? f ( y ) ,若 f (3) ? 1 , f ( x) ? f ( 围

?

x y

1 ) ? 2 ,求 x 的范 x?5

二、无原始模型的抽象函数 例题 12 单调函数 f ( x) 的定义域 (0,??) ,值域为 (??,0) ,且 f (3) ? ?

2 ,设 F ( x) ? 2

f ( x) ?

1 求(1)求 F ( x) 的最大值; (2)讨论 F ( x) 的单调性 2 f ( x)

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例题 13 对于任意实数 x, y ? R , f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) g ( y) ,且 f (0) ? 0, g (0) ? 1 (1)讨论 f ( x), g ( x) 的奇偶性; (2)若存在 c ? 0 ,使得 g (c) ? 0 ,判断两个函数的周期性

22

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第三讲

三角函数

一、三角比
1、弧度 例题 1 汽车在半径为 rkm的圆弧上以每小时 a 公里的速度行驶, n 秒钟的时间内行驶了多少弧度(或角度)?

2、同角变换 例题 2 记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100? ? 记 cos(?70 ) ? k ,那么 tan145 ?
?
?

例题 3 过角 ? 终边一点 P (tan ? ,1) . 已知 ? 为钝角,cos ? =

例题 4 tan ? -sec ? =

1 ? sin ? , 则 cos ? 的符号为 1 ? sin ?

例题 5

? ? (0, ? ) ,sin ? +cos ? =0.5 m ? (0,1) , 则 sin ? =___________________.

3、诱导公式 例题 6

cos(? x) ?
例题 7 化简

cos(2? ? x) ?

sin(

?
2

? x) ?

? ? 2 sin( x ? ) ? cos( ? x) ? ___________________. 6 3

23

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 8 已知 ? 为钝角, y ? ? x cot ? ,则直线的倾斜角为___________________.

例题 9 已知两条直线: l1 : 5x ? 5 y ? 2 ? 0 , l 2 : cos ?x ? sin ?y ? 1 ? 0 ,则两条直线的夹角为多少?

4、两角和差 例题 10

(1 ? tan1?)(1 ? tan 2?).....(1 ? tan 44?) =

例题 11 △ABC 中,

sin A ?

3 5 cos B ? 求 cos C 5 13

例题 12 △ABC 中,

sin A ? k , cos B ?

5 , cos C 有两解, 求 k 的范围 13

例题 13

? 、 ? 为锐角, cos 2? ?

12 3 sin(? ? ? ) ? ? 求 tan(? ? ? ) ? 13 5
24 教务管理部·权威教育培训

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例题 14 △ABC 中,

tan A 、 tan B 是 x 2 ? mx ? m ? 1 ? 0 的两根,求(1) ?C 的范围 (2)m 的范围

5、倍角、半角 例题 15 已知 ? 为锐角, sin ?

? ? m 则 tan ? 2

例题 16

? 、 ? 为锐角, tan A 、 tan B 是 x 2 ? 4ax ? 3a ? 1 ? 0 的两根 求 tan

? ?? ? 2

例题 17 在△ABC 中,已知 3 sin A ? 4 cos B ? 3 , 3 cos A ? 4 sin B ? 2 ,则 cos C ? _______________.

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5、 (理科)和差化积、积化合差 例题 18 sin ? ? sin ? ?

1 1 cos ? ? cos ? ? 则 sin(? ? ? ) ? _______________. 2 3

例题 19 已知 ? ? 0 ,? ? 0 ,? ? ? ?

2 1 ? cos(? ? 2? ) 1 ? ,当 ?、? 取何值 y ? ? sin 2? 时有最大值, ? ? 3 2 cot ? tan 2 2

并求出这个最大值

二、解三角形
例题 20 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°,c= 2 a,则 a 与 b 的大小关系

例题 21 .E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan ?ECF ?

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例题 22 设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. .

1 . 4

例题 23 A ? B ? C a ? cos B b ? cos A c ? sin C 求(1)△ABC 的外接圆半径及∠C 的值 (2)a+b+c 的 取值范围

例题 24 在△ABC 中, A ? B ? C 的值

A ? 2C (1)用 a、c 表示 cosC (2)a、b、c 是三个连续整数,求 cosC

27

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例题 25

tan A ( 2c ? b) 求∠A ? tan B b

例题 26 请判断下列三角形的形状: (1) sin 2 A ? sin 2B (2) sin A ? cos B

例题 27 在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且满足 c sin A ? a cos C. (I)求角 C 的大小; (II)求 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A, B 的大小.

28

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三、三角函数
1、定义域 例题 28 求函数的定义域 y ?

cot ?x ?

2x ? x 2

例题 29 x ? I 求 sin

x 的范围 2

例题 30

? , ? 为锐角, ? ? ? ? 120? ,求 cos ? 的范围

2、值域 例题 31 求下列函数的值域 (1) y ? sin x ? cos x ; (2) y ? sin 2 x ? cos x ; (3) y ? tan x ? cot x
2 2

(4) y ?

sin 2 x ? 4 (5) y ? sin x cos x ? sin x ? cos x x ? (0, ? ) ; sin x

例题 32 (5)已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ?a cos 2 x ? 3a sin 2 x ? 2a ? b , x ? [0,

?
2

] ,若函数的值域为

[?5,1] ,求常数 a、b 的值
29 教务管理部·权威教育培训

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例题 33 已知 y ? 1 ? x 2 上一点 P, A(?3,0) B(2,0) 求∠APB 最小值

3、周期性 例题 34 y ? sin x ? cos x 的最小周期为__________________.

例题 35 若对于任意实数 a,函数 y ? 5 sin(

2k ? 1 ? 5 ?x ? )(k ? N * ) 在区间 [a, a ? 3] 上的值 出现不少于 4 次且 3 6 4

不多于 8 次,则 k 的值是__________________.

4、奇偶性和单调性 例题 36 求 y ? log 1 cos 2 x x ? [0,2? ] 的单调递减区间
2

30

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例题 37 f ( x) ? sin( x ? ? ) ? cos( x ? ? ) 为偶函数,求 ?

例题 38 sin ? ? k sin ? ? (2 ? k ) sin ? ? 0 cos ? ? k cos ? ? (2 ? k ) cos ? ? 0

k ? 0 k ? 2 f (k ) ? cos(? ? ? ) 求 f (k ) 及其单调性

5、图像 例题 39 f ( x) ? a sin( wx ? ? ) ? b 的最高点为 (

5 11 ? ,3) ,相邻的最低点为 ( ? ,?1) ,求函数的解析式 12 12

例题 40 将 f ( x) ? sin 4 x 的横坐标扩大为原来的 2 倍,则 f ( x) ? ______________ . f ( x) 经过______________

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 的平移,得到 g ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 2 最靠近 y 轴的对称点和对称轴为______________

例题 41 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a

? x ? (0, ) 方程有解,则 a 的取值范围为多少?如果方程有两个根,则此时 a 的 2

取值范围为多少?这两个根的和为多少?

四、反三角函数及三角方程
例题 42 求下列函数的值域(及函数 3 单调区间) (1) y ? arcsin x ? arctan x

(2) y ? arcsin x ? sin x

(3) y ? arccos( x ? x )
2

例题 43 解不等式 arcsin 2 x ? arcsin( x ? 1)

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例题 44 函数 y ?

?
2

? arccos x 的奇偶性是______________.

例题 45 arcsin(sin 8) ? ______________.

例题 46 已知 sin 2? ? sin 2? cos ? ? cos 2? ? 1, ? ? (0,
2

?
2

) ,求 sin ? , tan ? 的值

五、综合题
例题 47 已知扇形 OAB 中,设 OA ? OB ? a, ?AOB ? ? , ? ? (0,

?
2

) .从弧 AB 上的任意一点 P 向半径 OA 引

垂线,得到垂足 Q ,再从 P 引 OA 的平行线,和半径 OB 的交点为 R ,现在设 ?AOP ? x ,求以 PR, PQ 为边长 的矩形面积表示成 x 的函数,并求该面积的最大值.

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例题 48 某兴趣小组测量电视塔 AE 的高度 H(单位:m) ,如示意图,垂直放置的标杆 BC 的高度 h=4m,仰角∠ ABE= ? ,∠ADE= ? 。 (1)该小组已经测得一组 ? 、 ? 的值,tan ? =1.24,tan ? =1.20,请据此算出 H 的值; (2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离 d(单位:m) ,使 ? 与 ? 之差较大,可以 提高测量精确度。若电视塔的实际高度为 125m,试问 d 为多少时, ? - ? 最大?

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回家作业
练习 1 已知 0 ? x ?

?
2

,化简:

lg(cos x tan x ? 1 ? 2 sin 2

x ? ) ? lg[( 2 cos(x ? )] ? lg(1 ? sin 2x ) 2 4

练习 2 已知 ? 为钝角, y ? x cot ? ,则直线的倾斜角为___________________.

练习 3

? ? (0, ? ) ,sin ? +cos ? ? ? =, 则 tan ? =___________________.

1 5

练习 4 在 ?ABC , a, b, c 依次成等差数列,求 y ?

1 ? sin 2 B 的范围 sin B ? cos B

练习 5 求 y ?

1 ? cos x ? sin x 的最小正周期及奇偶性 1 ? cos x ? sin x

35

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练习 6 已知 2 tan A ? 3 tan B ,求证: tan( A ? B) ?

sin 2B 5 ? cos 2B

练习 7

?

cos 2? 3 ? ? ? ? ? , sin(? ? ) ? m m>0,求 sin(45? ? ? ) 3 4 4

练习 8 △ABC, sin A ? ? cos B cos C , tan B tan C ? 1 ? 3 ,求∠A 的值

练习 9 △ABC, ?A ? 90 , 求
?

ab 的范围 c ( a ? b)

36

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练习 10 若 y ? a 2 sin 2 x ? (a ? 2) cos 2 x 的图像关于 x ? ?

?
8

对称,则 a 的值为___________________.

练习 11 设点 P(1,2) , 点 A, B 分别在 x 和 y 轴的正半轴上,且 ?APB ? 45 . 从 P 向 y 轴做垂线 PN ,设
?

(1)求 tan ? 的变化范围; (2)求四边形 PAOB 的面积最大值 ?BPN ? ? ,

练习 12 设 ?ABC 是锐角三角形, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长,并且

sin 2 A ? sin( ? B) sin( ? B) ? sin 2 B 。 3 3
37 教务管理部·权威教育培训

?

?

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1) 求角 A 的值;(2)若 AB AC ? 12, a ? 2 7 ,求 b, c (其中 b ? c )

练习 13 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时,轮船位于港口 O 北偏西

30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向
以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向与航行速度的大小) , 使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。

练习 14 已知△ABC 的面积 S ?

1 3 , AB ? AC ? 3 ,且 cos B ? ,求 cosC. 5 2

38

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练习 15 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,且 3 b +3 c -3 a =4 2 bc .
2 2 2

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值 (1) 求 sinA 的值;(2)求 1 ? cos 2 A

?

?

练习 16 ABC 的面积,满足 S ?

3 2 (2)求 sin A ? sin B 的最大值。 (a ? b 2 ? c 2 ) .(1)求角 C 的大小; 4

练习 17 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长.

39

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第四讲 数列

一、等差、等比数列的性质
等差数列 例题 1 等差数列 {a n } 中, a m ? n , a n ? m ,求 a n ? m ?

例题 2 等差数列 {a n } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 和 Tn ,且

Sn a 7n ? 1 ,则 11 ? ____________. ? Tn 4n ? 27 b11

例题 3 在等差数列中, 3a4 ? 7a7 ,且 a1 ? 0 ,则数列前____________项之和取到最大值. 在等差数列中, S11 ? S 5 ,且 a1 ? 0 ,则数列前____________项之和取到最小值. 在等差数列中, S11 ? 0 , S12 ? 0 ,则数列前____________项之和取到最大值.

例题 4 设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

,利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法,可求得

f (?5) ? f (?4) ? ... f (5) ? f (6) ? ____________

例题 5

40

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例题 6

q ? 1 证明: a n 是公比为 q 的等比数列的充要条件是 S n ?

a1 ? a n q 1? q

41

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 7 由正数组成的等比数列 {a n } 中,若前 2n 项之和等于它前 2n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之和等于第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 {a n } 的通项公式.

例题 8 已知等差数列 {a n } 中( d ? 0 ) , {a n } 中的部分项组成的数列 ak1 , ak2 ,..., akn 恰为等比数列,且 k1 ? 1 ,

k 2 ? 5, k 3 ? 17 ,求 k1 ? k 2 ? ... ? k n

二、递推的等差、等比数列
例题 9 已知数列 {a n } 中, a1 ? 4 , an?1 ? 2an ? 3 ,试求它的通项公式

42

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例题 10 已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 , S n ? 1 ? 4a n ? 2 (1)若 bn ? an?1 ? 2an 求 bn ; (2)设 c n ?

an ,求证 {c n } 是等差数列; (3)求 S n 2n

三、通项公式与求和公式
例题 11 抛物线 y ? x ? 4nx ? 4n ? 2n ? 49 顶点到 x 轴的距离为 d n (n ? N ) ,求 d1 ? d 2 ? ... ? d n
2 2
*

例题 12 在数列 {an } 中, a1 ? 1, an ?1 ? (1 ? )an ? (1)设 bn ?

1 n

n ?1 2n

an ,求数列 {bn } 的通项公式 n

(2)求数列 {an } 的前 n 项和 S n

43

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例题 13 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,且 an ? S n S n?1 ,若 a1 ?

2 1 (1)求证 { } 为等差数列; (2)求满足 9 Sn

an ? an?1 的自然数集合

例题 14 已知 a n ?

5n ? 4 ,求 S n n(n ? 1)(n ? 2)

44

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例题 15 在一次招聘会上,A 公司承诺第一个月的工资为 2300 元,以后每个月的工资比上个月增加 230 元;B 公 司承诺第一个月的工资为 2000 元,以后每个月的工资在上个月的基础上递增 5%.求在 A 公司工作比 B 公司工作 的工资收入最多可以多多少元?





16





f ( n) ?

1 2 (n ? 19n ? 20) 2



S n ? f (1) ? f (3) ? ... ? f (2n ? 1)



Tn ? f(2) ? f(4)? ... ? f(2n ),比较 S n 与 Tn 的大小

例题 17 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 bn ,数列 {bn } 的前 n 项和为 c n , bn ? cn ? n
45 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1) 试求 {1 ? bn } ; (2)求 {a n } 的通项公式

四、数列的极限
例题 18 求下列数列的极限 (1) lim

n ???

2 ? a(n ? 1) ? n

(2) lim

an ? bn ? n ??? 2a n ? 3b n

例题 19 讨论下列数列的极限 (1) ? 为锐角, lim

2 sin n ? ? cos n ? ? n ??? sin n ? ? cos n ?1 ?

46

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? 1 ? 32 n ?1 t n (2) t ? 0 , lim ? n ??? 2 ? 3 2 n t n

例题 20 lim (a ? a ? ... ? a
2 3 n???

n ?1

) ? 6 ,则 a ? ____________.

例题 21 lim (
n ???

1 ? 2 ? ... ? n ? nx ? (1 ? q ? q 2 ? ... ? q n?1 ) ? 3 求 x, q 的值 n

五、猜测——证明
例题 22 某公司全年的纯利润为 b 元,其中一部分作为奖金分给 n 位职工。奖金分配方案如下:首先将在职职工 按工作业绩(工作业绩均不相等)从大到小,由 1 至 n 排序,第一位职工的奖金 b/n 元,然后再将余额除以 n 发 给第二位职工,按此办法逐一分发奖金给每一位在职职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金。 ⑴设 a k ( 1 ? k ? n )为第 k 位在职职工所得奖金额,试求 a 2 、 a 3 ,并用 k、n 和 b 表示 a k ; (不必证明) ⑵证明 a k > a k ?1 (k=1,2,?,n-1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义

47

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例题 23 是否存在等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n ,使得对于 n ? N ,有 1 ? 2 2 ? 2 ? 32 ? ... ? n ? (n ? 1) 2 ?
*

1 11 5 ( n 2 ? n ? ) S n 成立? 2 6 3

例题 24 已知 a1 ? a 2 ? a3 ? ?? ? a n ?

3 n 3 ? 9 ? 且 {8 n } 的奇数项构成 {bn } ① 求 {a n } 和 {bn } ②是否存在自 8 8
n ??

然数 C(C ? 1 ,使 a n ? bn 被它整除 ③求 lim (? )

a a1 a 2 a3 ? ? ? ?? ? (?1) n n ) b1 b2 b3 bn

六、应用题
例题 25 某水库可以蓄水 13 万(立方米) ,8 月 1 日 0:00 到 8 月 22 日 24:00 为汛期,其中流入水库水量满足

an ? np ? 100 (立方米) ,水库原有水 11 万(立方米) ,第 1 和第 2 天注入水库的总流量为 1700 立方米.水库有
48 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 两个排水池,每天开一只,流出量为 6000 立方米,请问第 2 个排水池最晚在什么时候打开?

例题 26 某公司年初决定投入 70 万资金建厂,每年年初均流出 20 万作为储备金,其余资金均投入生产。公司投 资资金的回报率为 100%(投入 1 元,即可产生 1 元净利润) 。除储备金外,净利润全部用于投入再生产,则经过 n 年后,公司拥有的资金为 a n ,求 {a n } 的通项公式

例题 27 容器 A 中有 12%的食盐水 300 克,容器 B 中有 6%的食盐水 300 克,未定完成一次工作程序叫一次操作: 从 A、B 两个容器各取出 100 克的溶液,然后将 A 中取出的注入 B,将 B 中取出的注入 A 中,经过 n 次操作后, A、B 中食盐的浓度分别为 a n %和 bn % ⑴试证: a n ? bn 为定值; ⑵求证: {bn ? 9} 成等比数列; ⑶求 lim bn
n ???

49

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 28 在向银行申请贷款后,一般有两种还款的方式:等额本金和等额本息。前者是指在还款期内把贷款数总 额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余贷款在该月所产生的利息;后者是在还款期内,每月偿还同等数额的贷 款。假设小王向银行借款 10 万元,年贷款利率为 5%,贷款期限是 10 年,请计算两种贷款方式支付的利息总额。

七、数列综合题
例题 29 如图, y?

1 A1 , A2 .... An 在函数上, 令 ?OA1 B1 , ?B1 A2 B2 ,...?Bn?1 An Bn B1 , B2 ...Bn 在 x 轴上, ( x ? 0) 上, x
2

为等腰直角三角形,若假设 Bn 的坐标为 (b n ,0) ,求 {bn }

例题 30 在数列 {a n } 中,已知 a n ? (n ? 10)(

10 n ) ,求 a n 的最大项 11

50

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例题 31 已知曲线 C : y ?

1 1 , 从 C 上的点 Qn ( xn , y n ) 做 x 轴的垂线交 C n 于点 Pn , 再从 Pn 做 y , Cn : y ? x x ? 2 ?n

轴的垂线,交点 C 于点 Qn?1 ( xn?1 , y n?1 ) ,设 x1 ? 1, an ? xn?1 ? xn , bn ? y n?1 ? y n 求(1) Q1 , P (2)求数列 {a n } 的通项公式; (3)数列 {a n bn } 的前 n 项和为 S n ,求证: S n ? 1 , Q2 的坐标;

1 3

例题 31 设集合 W 是满足下列条件的无穷数列 {a n } 的集合: (1)

an ? an?2 ? a n ?1 2

(2) a n ? M ,M 是与 n 无关的常数

解答下列问题: (1)若 {a n } 是等差数列, a3 ? 1, S 6 ? 0 ,证明: {S n } ? W (2)设数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 5n ? 2 , bn ? W ,求 M 的取值范围
n

(3)是否存在等比数列 {cn } ? W ?若存在求出该数列的公比及首项满足的条件,若不存在,请说明理由 (4)设数列 {d n } 的各项均为正整数,且 {d n } ? W ,证明: d n ? d n ?1

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回家作业
练习 1 等差数列 {a n } 中, a1 ? 3a8 ? a15 ? 120 ,则 2a9 ? a10 ? ____________.

练习 2 已知等差数列 {a n } ,则 a1Cn ? a2 Cn ? ...an?1Cn ? ____________.
0 1 n

练习 3 等比数列的首项为 1,公比为 cos x , S100 ? 0 ,则 x ? ____________.

练习 4 已知等差数列 {a n } 和等比数列 {bn } 中,它们具有相同的首项(小于 0) ,有相同的末项,项数都是 4n ? 1 , 比较它们中间项的大小

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练习 5 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 5a n ?85 , n ? N (1)证明: ?an ? 1? 是等比数列;
*

(2)求数列 ?Sn ? 的通项公式,并求出使得 Sn ?1 ? Sn 成立的最小正整数 n .

练习 6 等差数列 {a n } 中, a 3 ? 12 , S12 ? 0 , S13 ? 0 , (1)求公差的范围; (2)指出 S1 , S 2 ...S12 中哪个值最 大

练习 7 已知数列 {a n }{bn } ,满足 bn ?

1 lg( a1 a 2 a3 ??a n ) ① 当 {a n } 为等比数列时,证明 {bn } 为等差数列 n

② a1 ? a 2 且 bn ? p lg a n ,求常数 p ,并证明 {a n } 为等比数列

53

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练习 8 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,数列 {a n a n ?1 } 是公比为 9 的等比数列, bn ? 3n ? 1 , cn ? log 9 a2 n?1 ,试求

? b1c1 ? b2 c2 ? b3 c3 ? .... ? (?1) n bn cn

练习 9 已知数列 ?an ? 为等比数列, a1 ? 0 ,且 a1 ? lim (a1 ? a 2 ? ... ? an ) ,求该数列公比的范围
n???

练习 10 某城市 2007 年底的汽车拥有量为 30 万辆, 预计此后每年报废上一年底的汽车拥有量 6%, 并且每年新增 汽车量相同,为了保护环境,该城市的汽车拥有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车不应查过多少万辆?

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练习 11 某车队自 1999 年初用 98 万元购进一辆大客车,并投入运营,第一年须缴各类费用 12 万元,第二年包括 维修保养费在内,每年所缴费用均比上一年增加 4 万元。该车投入运营后每年的票款收入为 50 万元,设运营 n 年该车盈利额为 y 万元。 ⑴ 写出 y 关于 n 的函数关系式 ⑵ 从那一年开始,汽车开始获利? ⑶运营若干年后,对该车的处理方案有两 种,第一,当年平均盈利达到最大值时,以 30 万元的价格处理该车;第二,当盈利额达最大值时,以 12 万元的 价格处理该车。问那一种处理方案较好?

练习 12 已知 f (n) ?

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ?? ? 2 n ?1 (n? N ) ,并且 lim f (n) ? t ? 3 ,求 t 的值 n ?? 1 ? t ? 2 n?1

练习 13 已知 a1 ? 2 , a n 和a n ?1 是 x ? (6n ? 1) x ? bn ? 0 的两根。 ① 求 a n ② 证明点 (a n , bn ) 落在一条曲线
2



③ {a n } 中仅有 22 项落在 [2 ,2

k

k ?1

] 上,求此 22 项和

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2 ? 1 ? an 8 ?1 8? 2 8?3 8? n ? ? ? ?? ? ? 练习 14 是否存在各项大于 0 的等差数列 a n ,使得 2 2 1 ? 32 32 ? 5 2 5 2 ? 7 2 (2n ? 1) 2 (2n ? 1) 2 an

(n ? N ) 等式成立。如果存在,请求出 a n ;反之,则说明理由

练习 15 如图, y ?

x 上, A1 , A2 .... An 在函数上, B1 , B2 ...Bn 在 x 轴上,令 ?OA1 B1 , ?B1 A2 B2 ,...?Bn?1 An Bn 为

等边三角形,若假设 Bn 的坐标为 (b n ,0) (1)证明这些等腰三角形的高依次呈等差数列; (2)求 {bn }

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 练习 16 两个正数的等比中项为 log 2 x ,等比中项为 3 ? 2 log 2 x ,求 x 的范围

练习 17 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(1)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(2)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

练习 18 已知等差数列 {an } 的前 3 项和为 6,前 8 项和为-4。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? (4 ? an )q
n ?1
w_w w. k#s5 _u.c o*m

(q ? 0, n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n

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练习 19 已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 , ?an ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 an 及 S n ; (2)令 bn=

1 (n ? N*),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

练习 20 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数) 。 (1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

1 2

n ?1 5n an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn 试比较 Tn 与 的大小,并予以证明。 n 2n ? 1
58 教务管理部·权威教育培训

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第五讲 直线与圆

一、直线
例题 1 已知点 A 的坐标为 (1,1) ,点 B 的坐标为 (m, m ) ,求直线 AB 的倾斜角的范围
3

例题 2 已知点 A, B, C 的坐标分别是 (1,1), (3,4), (5,2) 求(1) S ?ABC ; (2) AB 边上高所在的直线方程(用点法向式来表示) ; (3) AB 边上中线所在的直线方程(用 点方向式所在的直线) ; (4) ?ACB 平分线所在的直线方程; (5)直线 l 平行于 BC ,且把三角形的面积一分为 二,求直线 l 的方程.

例题 3 动点 P( x, y ) 与点 A(2,0), B(?2,0) 的斜率的乘积为 k,求点 P 的轨迹方程

例题 4

? 是三角形最大的内角,求直线 x ? y sin ? ? 1 ? 0 的倾斜角的范围.

例题 5 过点 P(1,3) 做两条互相垂直的直线,它们分别与 x、y 轴交于 A、B 两点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程

59

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例题 6 自点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴后反射,其反射光线所在的直线与圆 M : x ? y ? 4 x ? 4 y ? 7 ? 0
2 2

相切,求直线 l 的方程.

例题 7 直线 y ? f ( x) 是从原点发出的一系列折线,当 y ? [n.n ? 1], n ? N 时, y ? f ( x) 的斜率为 如果数列 {x n } 满足 f ( xn ) ? n ,求(1) x1 , x 2 及 lim x n ; (2) x ? [ xn , xn?1 ] 时, f ( x) 的解析式
n ? ??

1 的直线, 2n

例题 8 (1)直线 l : (a ? 1) x ? (a ? 1) y ? 2a ? 0 必过点_______________________. (2)点 A(?2,0), B(2,0) ,点 C 在直线 l : x ? y ? 0( x ? 0) 上,如果以 AB,AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点的
60 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 轨迹方程为_______________________.、

(3)两条直线 l1 : mx ? y ? 1 ? 0, l 2 : x ? my ? m ? 0 平行,则 m ? _______________________.
2

(4)两条直线 l1 : x ? ay ? 1, l 2 : a(a ? 1) x ? y ? 0 垂直,则 a ? _______________________.

(5)两条直线 l1 : x ? 2, l 2 : 2 x ? my ? 4 ? 0 的夹角为 arctan 2 ,则 a ? _______________________.

例题 9 已知函数 y ? x , (1)如果过点 A(?1,?1) 做其两条切线,求切线的夹角; (2)如果过点 B(?1, m) 做其
2

两条切线,两条切线恰好垂直,求 m 的值

61

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二、圆
例题 10 (1)曲线 M : x ? y ? kx ? k ? 0 表示圆,则 k 的取值范围是_______________________.
2 2

(2)过点 M (1,2) 与两坐标轴都相切的圆的方程是_______________________.

(3)过点 M (2,?1) 的圆,圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且该圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切,求圆的方程

例题 11 m 为何值时,直线 y ? x ? m 与曲线 y ?

4 ? x 2 有两个交点?一个交点?

例题 12 (1) x ? y ? 1 ,则
2 2

y 的范围是_______________________. x?2

(2) z ? 1 ? 1 ,则 z ? i 的范围是_______________________.

62

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例题 13 (1)过点 M (2,1) 做圆 x ? y ? 16 的弦交于 A, B 两点,若 M 恰为 AB 的中点,则 AB 的直线方程为
2 2

_______________________.

(2)过点 M (2,1) 做圆 x ? y ? 16 的弦交于 A, B 两点,求 AB 中点的轨迹方程
2 2

例题 14 (1)若点 P( x0 , y 0 ) 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? R 上,则过该点与圆相切的方程
2 2 2

_______________________. (2)若过点 P( x0 , y 0 ) 做圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? R 的两条切线,则两条切线的直线方程为
2 2 2

_______________________.

例题 15 过点 P(2,0) 做直线 l 与圆 x ? y ? 1 相交于 A, B 两点 (1)若 AB ? 2 ,求直线 l 的方程
2 2

(2)若 AB ? 1 ,求直线 l 的斜率的范围

63

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例题 16 已知圆方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 , (1)在圆上有多少到直线 y ? x ? 1 的距离为 2 ?(2)在圆上
2 2

取点 A, B ,并在直线 x ? y ? 2 ? 0 上取点 C , D ,当四点构成正方形时,求其边长.

例题 17 如图,圆心为 P(2,0) ,半径为 2 的半圆与 x 轴的交点为原点 O 和点 A,做平行于 OA 的弦得到梯形 OABC, 当梯形的周长取到最大值时,求此时 OB 和 OA 的直线方程.

例题 18 已知两个圆 C1 : x ? y ? 1, C2 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2 2 2

求(1)两圆的对称抽; (2)求过两圆的交点和原点的圆的方程; (3)求圆心在原点且与两圆无交点的圆的半径 的范围

64

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回家作业
作业 1 直线 x ? 2 上有一点 P,在直线 OP 上有一点 Q,如果 OP OQ ? 8 ,求点 Q 的轨迹方程

作业 2 直线 l 经过点 M (2,4) ,它被两条平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0, l 2 : x ? y ? 1 ? 0 所截得的线段的中点 N 所在的 直线方程 l3 : x ? 2 y ? 3 ? 0 ,求直线 l 的方程.

作业 3 已知平面上有点 M 1 (5,3) 和 M 2 (1,5) .直线 l : y ? mx ? 3 . (1)若直线 l M 1 M 2 所在的线段相交,求直线 l 的方程. (2)与直线 l 与线段 M 1 M 2 的交点 M 分有向线段 M 1 M 2 的比为 3:2 时,求直线 l 的方程.

65

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (3)若点 N 满足 NM 1 ? NM 2 ? 0 ,且 N 的轨迹方程与直线 l 相切,求直线 l 的方程.

作业 4 已知圆 x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 相交于 P, Q 两点,若 OP ? OQ ,求 m 的值.
2 2

作业 5 过点 A(1,?1), B(?1,1) ,且圆心在直线 x ? y ? 2 ? 0 上的圆的方程

作业 6 已知 y ? x 上有点 A, B ,直线 y ? x ? 1 上有点 C , D ,当四点构成正方形时,求其边长.
2

66

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

作业 7 A ? {( x, y) ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9} , B ? {( x, y) ( x ? 1) 2 ? y 2 ? a} ,若 A ? B ? ? ,求 a 的取值范围

作业 8 满足以下条件的圆属于集合 M : (1)圆心在 y ? x ( x ? 0) 上; (2)与 x 轴相切
2

例如,当圆心为 (t , t ) 时,我们把该圆记为 C t 求(1)当 C a , Cb ? M ,且 C a , Cb 外切时,a 和 b 的关系式; (2)在集合 M 中,与 Ca (Ca ? M ) 外切的圆只有 一个,求此时 C a 的方程.

2

67

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第六讲

圆锥曲线

一、椭圆
x2 y2 例题 1 椭圆 ? ? 1 有点 A 和 B,两个焦点分别为 F1 , F2 , AB 的连线经过 F1 ,则 S ?ABF2 的周长为 25 9
___________________________.

例题 2 为了考察冰川的融化状况,一支科 考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点 各建一个考察基地,视冰川面为平面形,以 过 A、B 两点的直线为 x 轴,线段 AB 的垂 直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系。考察 范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域. (1)求考察区域边界曲线的方程; ( 2)如 图所示,设线段 P 1P 2 是冰川的部分边界线 (不考虑其他边界) ,当冰川融化时,边界 线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动, 第一年移动 0.2km,以后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问:经过多长时间,点 A 恰好在冰川边界线上?

例题 3 ?ABC 的底边 BC ? 16 ,AC 和 AB 两边上中线长之和为 30, 求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹.
68 教务管理部·权威教育培训

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例题 4 椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有点 P ,左右两个焦点分别为 F1 , F2 9 4

(1)如果 ?F1 PF2 为直角,求 P 点的坐标; (2)如果 ?F1 PF2 为钝角,求点 P 横坐标的取值范围. (3)求 ?F1 PF2 的最大值

x2 y2 例题 5 证明(1)椭圆 2 ? 2 ? 1 上有点 P ,左右两个焦点分别为 F1 , F2 ,且 ?F1 PF2 ? ? ( 0 ? ? ? ? ) ,则 a b

S ?F1PF2 ? b 2 tan

?
2

例题 6 已知椭圆

x2 ? y2 ? 1, 2

69

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q , O 为原点,且有直线 OP 、 OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 的轨迹方程.

?1 1? ? 2 2?

1 ,求线段 PQ 中点 M 2

二、双曲线
x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,则焦点坐标为___________________________. 例题 7 (1) 9?m 5?m
(2)

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆,则 m 的取值范围___________________________. 9?m m?5

(3) x ? i ? x ? i ? 2 ,则 x 的轨迹方程为___________________________.

例题 8 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程:

?x ? 2? ? y ? 2 内切,且过点 A?2, 0? (1)与⊙ C:
2 2

(2)与⊙ C1:x ? ? y ? 1? ? 1 和⊙ C2:x ? ? y ? 1? ? 4 都外切.
2 2 2 2

70

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (3)与⊙ C1: ?x ? 3? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2: ?x ? 3? ? y 2 ? 1内切.
2 2

例题 9 双曲线

x2 y2 ? ? 1 上有点 P ,左右两个焦点分别为 F1 , F2 ,如果 ?F1 PF2 为钝角,求证 P 横坐标的取值 a2 b2

范围为 x p ?

a

a 2 ? 2b 2 a2 ? b2

例题 10 ?ABC 中, tan B ?

1 , tan C ? ?2 , ?ABC 的面积为 2,如果以点 B, C 为焦点的标准双曲线,经过点 2

A ,求双曲线的方程.

71

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三、抛物线
例题 11 已知抛物线 y ? 4 x 上有一点 P 和点 A(3,1), B(1.0) ,当 PA ? PB 取得最小值时,P 点的坐标为
2

___________________________.

例题 12 一动点到 y 轴的距离比到点(2,0)的距离小 2,则动点的轨迹方程式___________________________.

例题 13 (1)已知 AB 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦,O 是抛物线的顶点.若 AB ? a ,则 ?AOB 的面积
2

是___________________________. (2)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点做任意一条直线与抛物线交于 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) 两点,证明:
2

1 1 2 p2 2 ? ? , x1 x 2 ? , y1 y 2 ? ? p PF QF p 4
(3)设抛物线方程为 y ? 2 px( p ? 0) ,过焦点 F 的弦 AB 的倾斜角为 ? ,求证:焦点弦长为 AB ?
2

2p . sin 2 ?

72

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四、点与二次曲线
例题 14 焦点在 x 轴上的等轴双曲线有一平行于 x 轴的动弦 PQ , A 是等轴双曲线的一个顶点,则 ?PAQ ? ___________________________.

五、直线与二次曲线
(判断位置关系) 例题 15 y ? mx(m ? 0) 到 x ? y ? 1 ? 0 的最近距离是
2

2 ,求抛物线的方程. 4

例题 16 过 (?1,?1) 是否存在一对相互垂直的直线与 y ? 4 x 都交?如果存在,求出该方程.如果不存在,请说明
2

73

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 理由.

(联立与判别式) 例题 17 直线 y ? kx ? m(k ? 0) 与抛物线

x2 ? y 2 ? 1 交于 A、B 两点,弦 AB 的中点为 C,已知点 P 的坐标为 3

(0,?1) ,且 AB ? PC ,求 m 的范围.

(弦中点与垂直平分线) 例题 18 过点 P(1,1) 能否做直线与 x ?
2

y2 ? 1 相交于 A, B 两点,且 P 是 A, B 两点的中点. 2

74

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例题 19 过点 (0,?2) 做直线与抛物线 y ? 4 x 相交于 A, B 两点,求弦 AB 中点的轨迹方程.
2

例题 20 过点 ( 垂线?

p ,0)( p ? 0) 做直线与抛物线 y 2 ? 2 px 相交于 A, B 两点,问直线 AB 能否成为抛物线一条弦的中 2

例题 21 y ? 2 px( p ? 0) 上分别有点 A, B, C 三点到焦点的距离成等差数列
2

(1)A, B, C 三点的横坐标是否成等差数列? (2) 点 B 的纵坐标为 p , 问 AC 的垂直平分线是否经过一个定点? 如果存在,求出该定点.如果不存在,请说明理由.
75 教务管理部·权威教育培训

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(对称) 例题 22 (1)如果 f ( x0 ) ? x0 ,称 ( x0 , x0 ) 为 y ? f ( x) 的不动点.已知 y ? ax ? 1(a ? 0)
2

证明:该函数必有两个不动点; (2)若不动点关于 y ? x 对称,求 a 的范围

x2 y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同的两点关 (2)已知椭圆 C: ? 4 3
于该直线对称.

76

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回家作业
x2 y2 作业 1 椭圆 ? ? 1 上有点 P ,左右两个焦点分别为 F1 , F2 100 75
(1)求 ?F1 PF2 的最大值; (2)当 ?F1 PF2 取得最大值时,在射线 PF2 上取点 M ,则在 ?PF1 M 中,求

sin F1 ? sin M 的最大值

作业 2 双曲线

x2 y2 ? ? 1 上 有 点 P , 左 右 两 个 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 且 ?F1 PF2 ? ? ( 0 ? ? ? ? ) ,则 a2 b2

S ?F1PF2 ? b 2 cot

?
2

? b PF1 PF2 ? b 2

77

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作业 3 过点 ( x0 ,0) 做斜率为 1 的直线能够成为 y 2 ? 4 x 的一条弦的中垂线,求 x 0 的范围

作业 4 双曲线 x ?
2

y2 1 ? 1 与 y ? ax ? 1 相交,其中点落在直线 x ? 上,求 a 的值 2 2

作业 5 y ? 4 x 内接 ?AOB 中,三条高均经过抛物线的焦点,求 ?AOB 的外接圆方程.
2

作业 6 ?ABC 中, B, C 的坐标分别是 (?2,0), (2,0) , sin B ? sin C ? 2 sin A ,求顶点 A 的轨迹方程.

78

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第七讲 向量

一、向量的基本概念
?ABC 中,如果点 D 是 BC 边的中点,那么 AB ? AC ? 2 AD
例题 1 ?ABC ,点 D 是 BC 边的中点,则 3 AB ? 2 BC ? CA ? ____________.
? ? ? ? ? ?

例题 2 ?ABC ,点 D 是 AB 边的一点,若 AD ? 2 DB , CD ? CA? ? CB ,则 ? ? ____________.

?

?

?

1 3

?

?

例题 3 ?ABC 中一点 O ,且 OA? 2 OB? 2 OC ? 0 ,则 ?ABC 与 ?OBC 面积之比为____________.

?

?

?

?

向量 OA, OB, OC 的终点 A, B, C 共线的充要条件是存在实数 ? , ? ,且 ? ? ? ? 1 ,使得 OC ? ? OB? ? OA

?

?

?

?

?

?

A, B, C 共线的充要条件是 AB ? ? AC
? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

例题 4 已知向量 a , b ,且 AB ? a ? 2 b , BC ? ?5 a ? 6 b , CD ? 7 a ? 2 b ,则 A, B, C, D 四点一定共线的三 点是:____________.

例题 5 已知向量 a , b 是两个不平行向量,已知 AD ? 3 a ? 2 b , CB ? a ? ? b , CD ? ?2 a ? b ,当 A, B, D 三 点共线时,则 ? ? ____________.

? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

例题 6 ?OAB 的重心为 G ,与边 OA, OB 分别交于 P, Q ,设 OP ? h OA , OQ ? k OB ,求证: h ? k ? 3hk

?

?

?

?

向量的基底表示法 例题 7 ?ABC 中, D, F 分别是 AB, AC 的中点, BF , CD 交于点 O ,设 AB ? a , AC ? b , 用 a , b 表示向量 AO
? ? ? ? ? ?
?

向量的夹角 例题 8 如图,平面向量 OA, OB, OC 中,其中 OA, OB 的夹角为 120 ,OA, OC 的夹角为 30 ,且 OA, OB, OC 的 长度分别为 1,1, 2 3 ,若 OC ? ? OA? ? OB ,则 ? ? ? ? ____________
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

?

?

?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

C
B

O

A

例题 9 在直角坐标系中,已知 A(0,1), B(?3,4) ,若点 C 在 ?AOB 的角平分线上,且 OC ? 2 ,则

?

OC ? ____________

?

定比分点 例题 10 若过两点 P 1 (?1,2), P 2 (5,6) 的直线与 x 轴相交于 P 点,则 P 点分有向线段 P 1 P2 所成的比
?

? ? ____________

例题 11 (1)设 a ? (4,3) , a 在 b 上的投影为
?

?

?

?

? ? 5 2 , b 在 x 轴上的投影为 2,则 b ? ____________ 2

(2)若将向量 a ? (2,1) 绕原点按照逆时针旋转 45 得到向量 b ,则 b ? ____________
?

?

?

(3)若 a ? b ? a ? b ,则 a 与 a ? b 的夹角为____________

?

?

?

?

?

?

?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (4)已知 a ? 2 b ? 0 ,且关于 x 的方程 x ? a x ? a b ? 0 有实根,则 a 和 b 向量的夹角的范围____________
2 ? ? ? ??
?

?

(5)已知 a ?

?

2 , b ? 3 ,向量 a 和 b 的夹角为 45 ? ,当向量 a ? ? b 和 ? a ? b 的夹角为锐角时,求 ?

?

?

?

?

?

?

?

的范围是____________ (6)对于两个非零向量 a , b ,求使 a ? ? b 最小时的 ? 值,并求此时 b 与 a ? ? b 的夹角.
? ?

?

?

?

?

?

三角形的判断 例题 12 在 ?ABC 中, (

AB AB
?

?

?

AC AC
?

?

) BC ? 0 ,且

?

AB AC AB AC
? ?

?

?

?

1 ,则判断 ?ABC 的形状 2

82

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例题 13 P 是 ?ABC 内一点, PA PB ? PB PC ? PC PA ,则 P 是 ?ABC 的____________心. (当 P 是 ?ABC 内心,外心,重心,垂心)

?

?

?

?

?

?

例题 14 a ? (3,?2,1) , b ? (1,?5,3) , c ? (2 x,2 x, y ) ,问 a , b , c 能否构成直角三角形?

?

?

?

? ? ?

二、向量与代数
例题 15 已知向量 u ? ( x, y ) 与向量 v ? ( y,2 y ? x) 的对应关系用 v ? f (u ) 表示 (1)证明:对于任意向量 a , b 及常数 m, n ,恒有 f (m a ? n b ) ? mf ( a ) ? nf ( b ) (2)设 a ? (1,1) , b ? (1,0) ,求向量 f ( a ), f ( b ) 的坐标
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

例题 16 设 {a n } 是首项是 ? 10 ,公差为 2 的等差数列, {bn } 是首项为 ? 点,如果 OA ? (?1,1) , OB ? (1,1) ,点列 Pn 满足 OPn ? a n OA? bn OB (1) 求证: P (2)点列 Pk 位于第一象限,求 k 的值 1, P 2 ,..., P n 共线;
? ?
? ? ?

1 1 ,公差为 的等差数列, O 是坐标原 2 2

83

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例题 17 在直角坐标系中, A1 (1, a1 ) , A2 (1, a 2 ) ,…, An (1, a n ) 简记为 { An } .若由 bn ? An An ?1 构成的数列

?

{bn } 满足 bn?1 ? bn ,称 { An } 为 T 点列
(1)若 a n ?

1 ,判断 { An } 是否为为 T 点列; n

(2)若 { An } 为 T 点列,且 A2 在 A1 的右上方,任取其中三点 Ak , Ak ?1 , Ak ? 2 ,判断三点构成的三角形的形状并予 以证明; (3)若 { An } 为 T 点列,正整数若 1 ? m ? n ? p ? q ,满足 m ? q ? n ? p ,求证 An Aq ? j ? Am Ap ? j
? ? ? ?

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三、向量与三角函数
例题 18 在 ?OAB 中, A(1, cos ? ) , B(sin ? ,1), ? ? (0,

?
2

] ,则当 ?OAB 得面积最大时, ? ? ____________

例题 19 设 a ? (1 ? cos ? , sin ? ), b ? (1 ? cos ? , sin ? ) , c ? (1,0) , ? ? (0, ? ), ? ? (? ,2? ) , a , c 的夹角为

?

?

?

? ?

? 1 , b , c 的夹角为 ? 2 ,且 ?1 ? ? 2 ?

? ?

?
6

,求 sin

? ??
4

例题 20 设函数 f ( x) ?
? ?
?

? ? ? 1 ,点 A0 表示坐标原点,点 An 的坐标为 (n, f (n)) ,若向量 a n ? A0 A1 ? A1 A2 ? x ?1

An ?1 An , ? n 是 a n 与 i 的夹角,设 S n ? tan?1 ? tan? 2 ? ... ? tan? n ,求 lim S n
n ???

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四、向量与解析几何
例题 21 已知点 M (?2,0), N (2,0) ,动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 ,记动点 P 的轨迹为 W . (1)求 W 的方程; (2) A, B 是 W 上异于原点的两点,求 OB OC 的最小值
? ?

例题 22 设 G, H 分别为非等边 ?ABC 的重心与外心, A(0,?2), B(0,2) ,且 GH ? ? AB 求(1)点 C 的轨迹 E 的方程; (2)过点 (2,0) 做直线 l 与曲线 E 交于 M , N 两点, OP ? OM ? ON ,是否存在 这样的直线 l ,使四边形 OMPN 是矩形?
? ? ?

?

?

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回家作业
作业 1 已知等差数列 {a n } 中,若 OB ? a1 OA? a 200 OC ,若 A, B, C 三点共线,则 a1 ? a 2
? ? ?

? a3 ? ... ? a200 ?

作业 2 在直角坐标系中,已知 An (n, a n ) , Bn (n, bn ) , C n (n ? 1,0) 满足向量 An An ?1 与向量 Bn C n 共线,且点

?

?

Bn (n, bn ) 在斜率为 6 的同一条直线上
(1)试用 a1 , b1 , n 表示 a n ; (2)设 a1 ? a, b1 ? ?a ,且 12 ? a ? 15 ,求数列 {a n } 中最小项的值

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作业 3 已知双曲线 x ? y ? 2 的左右焦点 F1 , F2 ,过点 F2 的直线与双曲线相交于 A, B 两点.
2 2

(1)若动点 M 满足 F1 M ? F1 A? F1 B? F1O ,求点 M 的轨迹方程; (2)在 x 轴上是否存在定点 C ,使得 CA . CB 为常数?
? ?

?

?

?

?

88

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第八讲 复数与行列式

一、复数的代数方法
例题 1 已知 z ? 2 ? 11, z ? C (1) z ? R, z ? ____________. (2) z 是纯虚数, z ? ____________. (3) z ? 3 ? 4, z ? ____________.

例题 2 z ? C , w ? z ?

1 ,且 ? 1 ? w ? 2 z

(1)求 z 的值以及 z 的实部的取值范围; (2)设 u ?

1? z 2 (3)求 w ? u 的最小值 , 求证: u 为纯虚数; 1? z

例题 3 (1)求 ? 3 ? 4i 的平方根 (2) z ?

(1 ? 3i )3(a ? 4i )2 2(ai ? 12)
2

(a ? 0), z ?

2 ,求 a 的值 3

例题 4 设虚数 z 满足 2 z ? 5 ? z ? 10

?

(1)求 z 的值; (2)若

z m ? 为实数,求实数 m 的值 m z

(2)若 (1 ? 2i) z 在复平面对应的点为第一、第三象限的角平分线上,求复数 z 的值

89

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例题 5 z1 ? z 2 ? 2, z1 ? 2 z1 z 2 ? 4 z 2 ? 0 ,求 z 2 的值
2 2

例题 6 z1 ? 3, z 2 ? 1, z1 ? 5z 2 ? 4 ,则

z1 ? ____________. z2

二、复数的几何方法
90 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 9 如果复数 z 满足 z ? 1 ? z ? i
2 2

? 1 ,求 zi 对应的点的轨迹方程.

例题 10 复数 z 满足 z ? 1 ? 4, 求 z ? 1 ? i 的范围

例题 11 z1 ? 1 ? 2ai, z 2 ? a ? i(a ? R) , A ? {z z ? z i ? 若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围是____________.

2 } , B ? {z z ? z 2 ? 2 2 }

三、一元二次方程
例题 12 一元二次方程 (1 ? i) x ? 2(a ? i) x ? 5 ? 3i ? 0 是否存在实数根?是否存在纯虚数根?
2

91

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例题 13 ax ? x ? 1 ? 0(a ? R) 有一虚根 x 0 ,则 x0 ? 1 ? ____________.
2

例题 14 集合 A ? {z z ? x , x ? C , n ? N } 有且仅有 8 个子集,请写出适合的一个 x ____________.
n *

例题 15 一元二次方程 x ? 2 x ? m ? 0(m ? R) ,其中两个复数根分别为 x1 , x 2 ,满足 x1 ? x2 ? 4 ,求
2

m 的取值范围

四、矩阵与行列式
x ?1 4 例题 16 当 x 取何值时, ? 2 x
4 2 2

x
1

?0

92

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

x? y?z ?m
例题 17 讨论三元一次方程 x, y, z

ax ? by ? cz ? n bcx ? cay ? abz ? l

的解集

n
2 1 1 例题 18 用数学归纳法证明矩阵: 1 1 1 ? 2n?1 1 1 1 1

回家作业
作业 1 复数 z 满足 z ? 1 ? z ? i , z ?

1 ? 0 ,求复数 z z

作业 2 关于 x 的方程 3x ? 6(m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 的两根的模的和为 2,求实数 m 的值.
2 2

93

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作业 3 设点 A0 , A1 , A2 ... An ... 在复平面内对应的复数依次为 1, z, z ...z ... ,若 z ? 1, 求
2 n

n???

lim S ? A0 A1 ? A1 A2 ? ... ? An?1 An ? _____________.

作业 4 z1 ? z 2 ? 1, 3z1 ? z 2 ? 2 ,则 z1 ?

z2 ? _____________. 3

94

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第九讲

利用递推关系求数列通项的几种类型及解法
一、形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型

a (1)若 f(n)为常数,即: a n ?1 ? a n ? d ,此时数列为等差数列,则 n = a1 ? (n ? 1)d .
(2)若 f(n)为 n 的函数时,用累加法. 方法如下: 由 a n ?1 ? a n ? f (n) 得:

n ? 2 时, a n ? a n?1 ? f (n ? 1) ,

a n?1 ? a n?2 ? f (n ? 2) ,
??

a3 ? a 2 ? f (2)

a 2 ? a1 ? f (1)
所以各式相加得

a n ? a1 ? f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1)

即:

a n ? a1 ? ? f (k )
k ?1

n ?1

.

为了书写方便,也可用横式来写:

? n ? 2 时, a n ? a n?1 ? f (n ? 1) , ? a n ? (a n ? a n?1 ) ? (a n?1 ? a n?2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1
= f (n ? 1) ? f (n ? 2) ? ? ? f (2) ? f (1) ? a1 . 例题 1. (2003 天津文) 已知数列{an}满足 a1 ? 1, a n ? 3
n ?1

? a n?1 (n ? 2) ,

证明

an ?

3n ? 1 2

例题 2.已知数列 ?an ? 的首项为 1,且 an?1 ? an ? 2n(n ? N ) 写出数列 ?an ? 的通项公式.
*

95

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1 a ? a ? (n ? 2) ,求此数列的通项公式. n n ? 1 { a } 例题 3.已知数列 n 满足 a1 ? 3 , n(n ? 1)

评注:已知 a1 ? a , a n ?1 ? a n ? f (n) ,其中 f(n)可以是关于 n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数, 求通项

an .

①若 f(n)是关于 n 的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ②若 f(n)是关于 n 的二次函数,累加后可分组求和; ③若 f(n)是关于 n 的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ④若 f(n)是关于 n 的分式函数,累加后可裂项求和。 例题 4.已知数列 {a n } 中, a n ? 0 且

Sn ?

1 n (a n ? ) 2 a n ,求数列 {a n } 的通项公式.

a n ?1 ? f ( n) 二、形如 a 型 n a n ?1 ?q n ?1 (1)当 f(n)为常数,即: a (其中 q 是不为 0 的常数) ,此时数列为等比数列, a n = a1 ? q . n
(2)当 f(n)为 n 的函数时,用累乘法.

a n ?1 ? f ( n) 由 an 得

an ? f (n ? 1) n ? 2 时, a n ?1 ,

a n a n ?1 a2 ? a n ? a ? a ? ? ? a ? a1 =f(n)f(n-1) ? ? f (1) ? a1 . n ?1 n?2 1
96 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 5.设 ?a n ?是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?a n ?1 ? na n ? a n ?1 a n ? 0 ( n =1,2, 3,?) ,则它的通项公式
2 2

是 a n =________.

例题 6 已知 a n ?1 ? na n ? n ? 1, a1 ? ?1 ,求数列{an}的通项公式.

三、形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型

a (1)若 a n ?1 ? a n ? d (d 为常数) ,则数列{ n }为“等和数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数
项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过构造转化为 a n ?1 ? a n ? f (n) 型,通过累加来求出通项;或用逐差 法(两式相减)得 a n ?1 ? a n ?1 ? f (n) ? f (n ? 1) , ,分奇偶项来分求通项. 例题 7. 数列{

an

a ? a n ? 2n }满足 a1 ? 0 , n ?1 ,求数列{an}的通项公式.
97 教务管理部·权威教育培训

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例题 8.(2005 江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足

1 3 (? ) n ?1 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , Sn-Sn-2=3 2 2 求数列{an}的通项公式.

四、形如 a n ?1 ? a n ? f (n) 型 (1)若 a n ?1 ? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,其通项分奇数项 和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n ? a n ?1 ? f (n ? 1) ,两式相除后,分奇偶项来分求通
98 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 项. 例题 10. 已知数列

1 n * {a n }满足 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) , (n ? N ) ,求此数列的通项公式. 2
五、形如 a n ?1 ? ca n ? d , (c ? 0 ,其中 a1 ? a )型

(1)若 c=1 时,数列{ (2)若 d=0 时,数列{

a n }为等差数列; a n }为等比数列;

a (3)若 c ? 1且d ? 0 时,数列{ n }为线性递推数列,其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.

有时我们从递推关系 a n ?1 ? ca n ? d 中把 n 换成 n-1 有 a n ? ca n ?1 ? d ,两式相减有 a n ?1 ? a n ? c(a n ? a n ?1 ) 从而 化为公比为 c 的等比数列 {a n ?1 ? a n } ,进而求得通项公式. a n ?1 ? a n ? c (a 2 ? a1 ) ,再利用类型(1)即可求得通
n

项公式.我们看到此方法比较复杂. 例题 11.已知数列 {a n } 中, a1 ? 2, a n ?1 ?

1 1 a n ? , 求通项 a . n 2 2

99

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第十讲

数列的综合

例题 1 设 p, q 为实数, ? , ? 是方程 x 2 ? px ? q ? 0 的两个实数根,数列 {x n } 满足 x1 ? p , x2 ? p 2 ? q ,

xn ? pxn?1 ? qxn?2 (n ? 3,4,...)
(1)求数列 {x n } 的通项公式; (2)若 p ? 1, q ?

1 ,求数列 {x n } 的前 n 项和 S n 4

例题 2 设 f ( x) ?

x ? 3k x ? 3k ? 2 k ( x ? R, k 为正整数) k x 2

(1)分别求出当 k ? 1, k ? 2 时,方程 f ( x) ? 0 的解 (2)设 f ( x) ? 0 的解集为 [a 2 k ?1 , a 2 k ] ,求 a1 ? a2 ? a3 ? a4 的值以及数列 {a n } 的前 2n 项和
100 教务管理部·权威教育培训

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(?1) n (3)对于(2)中的数列 {a n } ,设 bn ? ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn 的最大值 a 2 n ?1 a 2 n

例题 3 已知 {a n } 是公差为 d 的等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列 (1)若 a n ? 3n ? 1 ,是否存在 m, k ? N ,有 am ? am?1 ? ak ?请说明理由.
*

(2)若 bn ? aq (a, q 为常数,且 aq ? 0) ,对任意 m 存在 k ,有 bm bm?1 ? bk ,试求 a, q 满足的充要条件.
n

(3)找出所有数列 {a n } 和 {bn } ,使对于一切 n ? N ,
*

a n ?1 ? bn ,并说明理由. an

101

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例题 4 数列 {a n } 中, a1 ? 1, an ? a1 ? 2a2 ? ... ? (n ? 1)an?1 (n ? 2) (1)求 a n (2)求

1 2 n ?1 ? ? ... ? a 2 a3 an

例题 5 设 a1 , a2 ,..., an 是各项不为零的 n(n ? 4) 项等差数列, 且公差 d ? 0 .若将数列删去某一项后, 得到数列 (按 原来的顺序)是等比数列,则对所有数对 (n,

a1 ) 所组成的集合为多少? d

102

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例题 6 已知等差数列 {x n } , S n 是 {x n } 的前 n 项,且 x3 ? 5, S 5 ? x5 ? 34 (1)求 {x n } 的通项公式 (2)判断方程 sin xn ? xn cos xn ? 1 ? S n 是否有解,说明理由;
2

?1? 2 2 (3) 设 an ? ? ? , 是否存在正整数 ? , 对于任意正整数 n, k , 使得 Tn ? ?xk ? ? 恒成立? Tn 是 {a n } 前 n 项和, 3 ? ?
若存在,求 ? 的取值范围;若不存在,说明理由.

n

例题 7 已知以为首相的数列 {a n } 满足: a n ?1

?a n ? c, a n ? 3 ? ? ? an , an ? 3 ? ?d

(1)当 a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 ,求 {a n } 的通项公式; (2)当 0 ? a1 ? 1, c ? 1, d ? 3 ,试用 a1 表示数列 {a n } 的前 100 项和 S100 .

103

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例题 8 我们在下面表格内填写数值:先将第一行的全部空格填上 1,再把一个首相为 1,公比为 q 的数列 {a n } 依 次填入第一列的空格中,然后按照“任意一格的数就是它上面一格的数与它左边的数之和”规则填入其他空格 第1列 第1行 第2行 第3行 ?? 第n行 1 第2列 1 第3列 1 ?? 第n列 1

q

q2

q n ?1

(1)第 2 行的数依次是 B1 , B2 ,..., Bn ,试用 n, q 表示 B1 ? B2 ? ... ? Bn (2)设第 3 列的数依次为 c1 , c2 ,..., cn ,求证对于任意非零实数 q , c1 ? c3 ? c2 (3)能否找到 q 的值,使得(2)中的数列 c1 , c2 ,..., cn 的前 m 项 c1 , c2 ,..., cm (m ? 3) 成为等比数列?若能找到,

m 的值有多少个? (4)能否找到 q 的值,使得填完表格后,除了第 1 列后,还有两列数的前三项各自依次成等比数列?

104

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例题 9 已知数列 {a n } 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列. (1)求和: a1C2 ? a2 C2 ? a3C2 , a1C3 ? a2 C3 ? a3C3 ? a4 C3
0 1 2 0 1 2 3

(2)由(1)的结果归纳概况出关于整数 n 的一个结论,并加以证明; (3)设 q ? 1 , S n 是等比数列 {a n } 的前 n 项和,求 S1Cn ? S 2 Cn ? S 3Cn ? S 4 Cn ? ... ? (?1) S n?1Cn
0 1 2 3 n n

例题 10 在直角坐标系中上有一点列 P 点 Pn 在函数 y ? x 的 1 (a1 , b1 ), P 2 (a 2 , b2 ),...P n (a n , bn ) 对于每个正整数 n ,
2

图像上,且点 Pn 、点 (n,0) 与点 (n ? 1,0) 构成一个以点 Pn 为顶点的等腰三角形.
105 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1) 求对每个正整数 n ,以点 Pn 的纵坐标所构成的数列 bn 的通项公式; (2) 令 C n ?

1 ,求 lim (C1 ? C 2 ? ... ? C n ) 的值 n??? 2bn ? a n ? n

回家作业
作 业 1 已知函数 f ( x) ? log 3

3x 1 , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 是 f ( x) 图 像上的 两点,横坐 标为 的点 P 满 足 1? x 2

2 OP ? OM ? ON
(1) 求证: y1 ? y 2 为定值. (2) 若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ... ? f (

?

?

?

1 n

2 n

4 Sn ? 9 Sn n ?1 . )(n ? N , n ? 2) ,求 lim Sn ?1 n ??? 4 n ? 9 Sn ?1

?1 ,n ?1 ? ?6 (3) 在(2)的条件下,若 a n ? ? , Tn 是 {a n } 前 n 项和,若 Tn ? m( S n?1 ? 1) 对于 1 ? ,n ? 2 ? ? 4( S n ? 1)( S n ?1 ? 1)
一切 n ? N 都成立,试求实数 m 的取值范围.
*

106

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作业 2 定义:如果数列 {a n } 的任意三项均能构成一个三角形的三边长,则称 {a n } 为“三角形”数列。对于三角 形数列 {a n } , 如果函数 y ? f ( x) 使得 bn ? f (a n ) 仍旧是一个 “三角形” 数列, 则称函数 y ? f ( x) 是数列 {a n } 的 “保三角函数”. (1) 已知 {a n } 是首项为 2,公差为 1 的等差数列,若 f ( x) ? k (k ? 1) 是数列 {bn } 的“保三角函数” ,求 k 的
x

取值范围; (2) 已知数列 {c n } 的首项为 2010,且满足 4S n?1 ? 3S n ? 8040 ,证明 {c n } 是三角形数列.

107

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作业 3 设 {a n } 、{bn } 是两个数列, M (1,2), An (2, a n ), Bn (

n ?1 2 , ) 为直角坐标上的点,对任意 n ? N * ,若三点 n n

M , An , Bn 共线
(1) 求数列 {a n } 的通项公式; (2) 若数列 {bn } 满足: log 2 c n ?

a1b1 ? a 2 b2 ? ... ? a n bn ,其中 {c n } 是第三项是 8,公比为 4 的等比数列.求 a1 ? a 2 ? ... ? a n

, b1 ), P2 (2, b2 ),...Pn (n, bn ) 在同一条直线上. 证:点列 P 1 (1
(3) 记数列 {a n } 、 {bn } 的前 m 项和分别为 Am , Bm ,对于任意自然数 n ,是否总存在与 n 相关的自然数 m , 使得 bn Am ? an Bm ?若存在,求出 n 和 m 的关系;若不存在,请说明理由.

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第十一讲

解析几何综合题 一、轨迹

定义法 例题 1 设动点 P 到 A(?1,0) 和 B(1,0) 的距离分别为 d1 , d 2 ,若 ?APB ? 2? ,且存在常数 ? (0 ? ? ? 1) ,使得

d1d 2 sin 2 ? ? ? .证明:动点 P 的轨迹为双曲线

例题 2 矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2,0) , AB 边所在的直线为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 T (?1,1) 在 AD 边 所在的直线上. (1)求 AD 边所在的直线上. (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程. (3)若动圆 P 过点 N (?2,0) ,且与矩形 ABCD 外接圆外切,求动圆 P 的圆心的轨迹方程

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代入法 设 P( x, y) 为轨迹上的一动点, M ( x1 , y1 ) 是已知曲线上一点,称为相伴点,因点 P 随着点 M 移动而移动,所以 根据条件求出点 P 坐标和点 M 坐标之间的关系式 ? 的关系式 例题 3 已知椭圆

? x1 ? f ( x, y ) ,然后将 x1 , y1 带入已知曲线方程求出 x, y 之间 ? y1 ? g ( x, y )

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , A1 , A2 分别是其左右顶点,O 是坐标原点, P 是椭圆上不同于 A1 , A2 a2 b2

的一点,延长 A1 P 到 Q ,使得 PQ ? A1 P ,直线 OQ 与 A2 P 交于点 M ,当点 P 在椭圆上移动时,求点 M 的 轨迹方程

110

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参数法 例题 4 设点 A, B 为抛物线 y ? 4 px( p ? 0) 上相异于原点的两个动点,已知 OA ? OB , OM ? AB 于点 M,
2

求动点 M 的轨迹方程

例题 5 已知抛物线 C : y ? x 的焦点为 F, 准线与 x 轴相交于点 A, 过点 A 且斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交与
2

P,Q 两点 (1)求满足 FR ? FP ? PQ 的点 R 的轨迹方程; (2)抛物线 C : y ? x 上定点 M (1,1) 和动点 B,C 满足 MB? BC ? 0 ,求 MC 的最小值
2
? ?

?

?

?

111

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二、对称
例题 6 点 A(4,?3) 为 ?OAB 的直角顶点.已知 AB ? 2 OA ,且点 B 的纵坐标大于零.是否存在实数 a,使得抛物 线 C : y ? ax ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存在,说明理由;若存在,求 a 的范围.
2

三、存在性
两种方法:一是由已知条件直接证明其存在性;二是假设其存在,根据条件解出相关量,再代入已知条件进行检 验,满足条件则确定其存在,反之则不存在

例题 7 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 (1,0) ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 a 2 b2

l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(1)求 a , b 的值;

2 2

(2) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

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例题 8 在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积 等于 ?

1 . 3

(1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N,问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求 出点 P 的坐标;若不存在,说明理由.

四、定值
例题 9 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 y ? ? 2 x ,且双曲线上一点 P 到两条渐近线的乘积 a 2 b2



2 3
2 2

(1)求双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 是圆 O : x ? y ? 2 上动点 P( x0 , y0 )( x0 y0 ? 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点 A, B ,证 明 ?AOB 的大小为定值.

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回家作业
作业 1 已知椭圆

x2 y2 c 5 ?1 则称该椭圆为“黄金椭圆”. ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,其焦距为 2c,若 ? 2 a 2 a b

(1) 求证:在黄金椭圆中,a、b、c 呈等比数列; (2) 黄金椭圆的右焦点 F2 的坐标为(c,0) ,P 为椭圆上的任意一点,是否存在经过点 F2 、P 的直线 l ,使得

l 与 y 轴的交点 R 满足 RP ? ?3 PF 2 ?若存在,求出直线 l 的斜率;反之,请说明理由.
(3) 在黄金椭圆中有真命题:已知黄金椭圆

?

?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 (?c,0), F2 (c,0) ,以四个 a2 b2

顶点组成的菱形的内切圆经过上述两个焦点. 根据上述材料,请写出黄金双曲线的定义,在黄金双曲线中写出相关的真命题,并加以证明.

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作业 2 已知 F 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,Q 是准线与 x 轴的交点,斜率为 k 的直线 l 经过点 Q
2

(1) 当 k 取不同实数时,求直线 l 与抛物线交点的个数; (2) 如果直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,求证 k FA ? k FB 是定值; (3) 在 x 轴上是否存在这样的定点 M, 对于任意过点 Q 的直线 l , 如果 l 与抛物线交于 A, B 两点, 均使得 k MA k MB 为定值?

x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 作业 3 已知椭圆方程为 m n
(1)过原点且倾斜角互补(倾斜角大于等于 45 度)的两条直线与椭圆的交点 (按照逆时针排列,A 在第一象限) ,试用 k 表示四边形 ABCD 的面积 S; (2)求 S 的最大值

x2 y2 ? ? 1 分别为 A,B,C,D m n

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x2 y 2 作业 4 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、 B(0, ?b) 和 Q(a, 0) 为 ? 的三个顶点. a b
(1)若点 M 满足 AM ?

1 ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标; 2

(2) 设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、D 两点, 交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若 k1 ? k2 ? ? 的中点;

b2 , 证明:E 为 CD a2

(3)设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上,如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l ,使得 l 与椭圆 ? 的两个交点 P 1、P 2满 足 PP ,若椭圆 ? 上的点 P 1 ? PP 2 ? PQ PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令 a ? 10 , b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8,-1) 1、P 2满 足 PP 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P 1、 P 2 的坐标.

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第十二讲 解析几何中的类比
例题 1 与圆类似,连接圆锥曲线上两点的线段叫圆锥曲线的弦,过有心曲线(如椭圆、双曲线等)的中心的弦叫 做有心曲线的直径. 对于圆 x ? y ? r ,由直径所对的圆周角是直角出发,可得:若 AB 是圆 O 的直径,M 是圆 O 上一点(异于
2 2 2

点 A 和 B) ,则 k AM k BM ? ?1 (1) 试用解析几何证明:直径所对的圆周角是直角; (2) 试根据 M 点和直径 AB 的特殊关系,证明在椭圆

x2 y2 x2 y2 和双曲线 ? ? 1 ? ? 1 的类似结论; a2 b2 a2 b2

(3) 根据上述资料及证明,写出有心曲线(圆、椭圆、双曲线)的一个一般结论

例题 2

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例题 3 (1)请证明抛物线的一个几何性质:若抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 做直线 l 与抛物线交与 A、B 两点,则
2

在 x 轴上存在顶点 M(-1,0) ,使得直线 MF 始终是 ?AMB 的平分线; (2)对于椭圆

x2 ? y 2 ? 1 ,设它的左焦点为 F,请写出一个类似的结论,并进行证明 5

例题 4 (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是椭圆上一点(异于 A、B) ,直线 PA、 a2 b2
? ? 2 2

PB 分别与 y 轴交于 M、N,试求 AN BM ? b ? a (2)由(1)可以类比下述命题:双曲线椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是椭圆上 a2 b2
? ?

一点(异于 A、B) ,直线 PA、PB 分别与 y 轴交于 M、N,则 AN BM 为定值.请写出这个定值.

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例题 5 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 有如下性质:若 x ? t 交双曲线于 P, Q ,且 A1 , A2 为双曲线的顶点, a2 b2 x2 y2 ? ? 1. a2 b2

则 A1 P, A2 Q 焦点的轨迹是椭圆

x2 y2 试对椭圆 2 ? 2 ? 1 写出具有类似特性的性质,并予以证明 a b

例题 6 如果 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 是函数的不动点.已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0) .
2

(1) 对任意实数 b,函数均有两个不动点,求 a 的取值范围 (2) 在(2)的条件下,函数图象上的 A、B 两点的横坐标是函数的不动点,当 A、B 两点关于直线 y ? kx ?

1 2a ? 1
2

,求 b 的最小值

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回家作业
作业 1 已知点 E , F 的坐标分别是 (?2, 0) 、 (2, 0) ,直线 EP, FP 相交于点 P,且它们的斜率之积为 ?

1 . 4

x2 (1)求证:点 P 的轨迹在椭圆 C : ? y 2 ? 1 上; 4
(2)设过原点 O 的直线 AB 交(1)题中的椭圆 C 于点 A 、 B ,定点 M 的坐标为 ? 1, 最大值,并求此时直线 AB 的斜率 k AB ; (3)某同学由(2)题结论为特例作推广,得到如下猜想:

? 1? ? ,试求 △MAB 面积的 ? 2?

x2 ? y 2 ? 1 内一点, 设点 M ? a, b ? (ab ? 0) 为椭圆 C : 过椭圆 C 中心的直线 AB 与椭圆分别交于 A 、 B 两点. 4
则当且仅当 kOM ? ?k AB 时, △MAB 的面积取得最大值. 问:此猜想是否正确?若正确,试证明之;若不正确,请说明理由.

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作业 2 已知 A、B 是抛物线 y ? 4 x 上的相异两点.
2

(1)设过点 A 且斜率为?1 的直线 l1 ,与过点 B 且斜率 1 的直线 l2 相交于点 P(4,4),求直线 AB 的斜率; (2)问题(1)的条件中出现了这样的几个要素:已知圆锥曲线?,过该圆锥曲线上的相异两点 A、B 所作 的两条直线 l1、l 2 相交于圆锥曲线?上一点;结论是关于直线 AB 的斜率的值.请你对问题(1)作适当 推广,并给予解答;

0) .若 x0 ? 2 ,试用 x 0 表示线段 AB (3)线段 AB(不平行于 y 轴)的垂直平分线与 x 轴相交于点 Q( x0,
中点的横坐标.

121

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作业 3 若椭圆 E1 : 称为其相似比.

a b x2 y2 x2 y2 和椭圆 : ? ? 1 ? 2 ? 1 满足 2 ? 2 ? m E 2 2 2 2 a1 b1 a1 b1 a 2 b2

则称这两个椭圆相似, m (m ? 0) ,

(1)求经过点 (2, 6 ) ,且与椭圆

x2 y2 ? ? 1 相似的椭圆方程; 4 2

(2)设过原点的一条射线 l 分别与(1)中的两个椭圆交于 A、B 两点(其中点 A 在线段 OB 上) , 求 OA ?

1 的最大值和最小值; OB

x2 y2 x2 y2 ?1 ? 1 和 C2 : 2 ? (3) 对于真命题 “过原点的一条射线分别与相似比为 2 的两个椭圆 C1 : 2 ? 2 4 2 (2 2 ) 2 2

? ?

x2 y2 OP 、OB 成等差数列, ? 1” 交于 A、 B 两点, P 为线段 AB 上的一点, 若 OA 、 则点 P 的轨迹方程为 2 ? . 3 3 2 2 ( ) 2
请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题,并给予证明.

122

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第十三讲 函数的综合题
1、 x ? [?1,1] , f ( x) ? x ? ax ?
2 a 2

? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是

2、已知函数 f ( x) 在其定义域上满足 xf ( x) ? 2af ( x) ? x ? a ? 1(a ? 0) (1) 函数 f ( x) 的图像是否是中心对称图形?若是,请指出其对称中心(不必证明) ; (2) 当 f ( x) ? [ , ] 时,求 x 的取值范围 (3) 若 f (0) ? 0 ,数列 {a n } 满足 a1 ? 1 ,那么 i 若 0 ? an?1 ? f (an ) ,正整数 N 满足 n ? N ,对所有适合上述条件的数列 {a n } ,a n ? ii 若 an?1 ? f (an ) ,求证: a1 a 2 ? a 2 a3 ? ... ? a n a n ?1 ?

1 4 2 5

1 恒成立,求最小的 N 10

3 7

3、已知 a ? (cos x ? sin x, sin x) , b ? (cos x ? sin x,2 cos x) (1)求证:向量 a 和 b 不可能平行; (2)若 ab ? 1 ,且 x ? [0, ? ] ,求 x

123

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4、定义正整数有序对集合上的函数 f ( x, y) 满足: (1) f ( x, x) ? x ; (2) f ( x, y) ? f ( y, x) ; (3) f ( x, x ? y ) ? 求 f (2010,2011)

x? y f ( x, y ) x

5、已知函数 f ( x) ? (

x ? 10 2 ) ( x ? 10) x ? 10

(1) 求 f ( x) 的反函数;

(2) 如果不等式 (1 ? (3) 设 g ( x) ?

1 1 x ) f ?1 ( x) ? m(m ? x ) 对于 x ? [ , ] 上的每一个 x 都成立.求实数 m 的取值范围; 9 4
x ?2 ,求函数 g ( x) 的最小值 10

1 ? f ( x)
?1

124

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 6、已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x x ? a ? 1 (1) 当 a ? 1 ,求所有使得 f ( x) ? x 成立的 x 的值; (2) 当 a ? (0,3) ,求函数 f ( x) 在区间 [1,2] 上的最小值; (3) 试讨论函数 f ( x) 的图像与直线 y ? a 的交点个数

7、已知函数 f ( x) 定义在区间 (?1,1) 上, f (0.5) ? ?1 ,当 x, y ? (?1,1) 时,恒有 f ( x) ? f ( y ) ? f (

x? y ) .又数 1 ? xy

列 {a n } 满足 a1 ? 0.5, a n ?1 ?

2a n , 2 1 ? an

设 bn ?

1 1 1 ? ? ... ? f (a1 ) f (a 2 ) f (a n )

(1) 证明: f ( x) 在 (?1,1) 上为奇函数; (2) 求 f (a n ) 的表达式; (3) 是否存在自然数 m ,使得对于任意 n ? N 都有 bn ?
*

m ?8 成立,若存在,求出 m 的最小值; 4

125

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 抽象函数的性质 抽象函数的性质 背景函数 正比例函数 二次函数 幂函数 指数函数 对数函数 正切函数 余弦函数

8、定义在 R 上的函数 f ( x) ,均有 f ( x ? y) ? f ( x ? y) ? 2 f ( x) f ( y), f (0) ? 0 (1) 求证: f (0) ? 1 ; (2) 求证 f ( x) 为偶函数 (3) 若存在常数 C,使得 f (

C ) ? 0 ,求证 f ( x) 是周期函数 2

9、函数 f ( x) 对于任意正实数 x,y 都有 f ( xy ) ? f ( x) f ( y) ,当 x ? 1 时, f ( x) ? 1 ,且 f ( ) ? (1) 求证: f ( x) f ( ) ? 1( x ? 0) ; (2) 判断 f ( x) 在 x ? 0 上的单调性;

1 2

1 9

1 x

126

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (3) 若 f (m) ? 3 ,求证实数 m 的值

10、

已知函数 y ? f ( x) 的反函数。 定义: 若对给定的实数 a(a ? 0) , 函数 y ? f ( x ? a) 与 y ? f
?1

?1

( x ? a) 互

为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质” ;若函数 y ? f (ax) 与 y ? f “ a 积性质” 。

(ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足

(1) 判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
2

w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

(2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。

127

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11、定义在 R 上的函数 f ( x) ,若对于任意 x1 , x2 ? R 都有 f ( 的凸函数,已知二次函数 g ( x) ? ax ? x
2

x1 ? x2 1 ) ? [ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ,则称 f ( x) 是 R 上 2 2

(1) 求证: a ? 0 , g ( x) 是 R 上的凸函数; (2) 如果 x ? [0,1] 时, g ( x) ? 1 ,求 a 的值

12、对于函数 f ( x)( x ? D) ,若同时满足以下条件: (1) f ( x) 在 D 上单调递增或递减; (2)存在区间使得 [a, b] ? D ,使得 f ( x) 在 [a, b] 上的值域为 [a, b] 那么,我们把这样的函数称为闭函数 (1) 求闭函数 f ( x) ? ? x 符合条件(2)的闭区间;
3

(2) 判断函数 f ( x) ? 2 x ? lg x 是否是闭函数?如果是,求出该区间 (3) 若 f ( x) ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的范围

128

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13、若函数 f ( x) 对任意 x1 , x2 ? D ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 成立.则称 f ( x) 为 D 上的“淡泊”函数 (1) 判断 f ( x) ?

1 2 1 x ? x 是否为 [?1,1] 上的“淡泊”函数 4 2

(2) 若 f ( x) 是 R 上的“淡泊”函数,求证: F ( x) ? f ( x ? a) 仍为 R 上的“淡泊”函数; (3) 是否存在实数 k,使得 f ( x) ? k x ? 1 为 R 上的“淡泊”函数,若存在,求出 k 的范围
2

129

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第十四讲
例题 1 三位同学在研究函数 f ( x) ? ① 函数 f ( x) 的值域为 (-1,1) ② 若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 )

函数二模考复习

x (x∈R) 时,分别给出下面三个结论: 1? x

③ 若规定 f1 ( x) ? f ( x) , f n?1 ( x) ? f ? f n ( x)? , 则 f n ( x) ? 正确的个数有

x 对任意 n ? N ? 恒成立.你认为上述三个结论中 1? n x

例 题 2 对 于 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) , 可 以 证 明 点 A ( m , n )是 f ( x) 图 像 的 一 个 对 称 点 的 充 要 条 件 是

f (m ? x) ? f (m ? x) ? 2n , x ? R .
(1) 求函数 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 图像的一个对称点; (2)函数 f ( x) ? ax ? ? b ? 2 ? x
3
2

2

? a, b ? R ? 在 R 上是奇函数,求 a,b 满足的条件;并讨论在区间[-1,1]上是否

存在常数 a,使得 f ( x) ? ? x ? 4 x ? 2 恒成立? (3)试写出函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? m 对称的充要条件(不用证明) ;利用所学知识,研究函数

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? a, b ? R ? 图像的对称性。

例题 3

已知函数 f ( x) ?| 2

x ?1

? 1| , ( x ? R) .
130 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1)证明:函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 上为增函数,并指出函数 f ( x) 在区间 ? ?? ,1? 上的单调性; (2)若函数 f ( x) 的图像与直线 y ? t 有两个不同的交点 A(m, t ) , B(n, t ) ,其中 m ? n ,求 mn 的取值范围.

例题 4 已知 a 为实数,函数 f (? ) ? sin ? ? a ? 3 , g (? ) ? (1)若 f (? ) ? cos ? ,试求 a 的取值范围; (2)若 a ? 1 ,求函数 f (? ) ? g (? ) 的最小值.

3(a ? 1) (? ? R ) . sin ? ? 1

例题 5 设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,又 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,那么 F ( x) 一定是(

)

131

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A.奇函数,且在 (??,??) 上是增函数 C.偶函数,且在 (??,??) 上是增函数

中小学 1 对 1 课外辅导专家 B.奇函数,且在 (??,??) 上是减函数 D.偶函数,且在 (??,??) 上是减函数

例题 6 已知函数 f ( x) ? a ? 2

x ?1

? 2 ? x (a为常数,x ? R) 为偶函数.

(1)求 a 的值;并用定义证明 f ( x) 在 [0,??) 上单调递增; (2)解不等式: f (2 log a x ? 1) ? f (log a x ? 1) .

|x| 例题 7 已知函数 f (x)= x+2 ⑴判断 f (x)在区间(0,+∞)上的单调性,并证明 ⑵若关于 x 的方程 f (x)=k 有根在[2,3]内,求实数 k 的取值范围 ⑶若关于 x 的方程 f (x)=k x2 有四个不同的实数根,求实数 k 的取值范围

132

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例题 8.

函数

f ( x) ?

x ax ? b (a,b 是非零实常数),满足 f (2) ? 1 ,且方程 f ( x) ? x 有且仅有一个解.

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x, f ( x) ? f (m ? x) ? 4 恒成立?为什么; (3)试讨论关于 x 的方程 xf ( x) ? k x 的实数解的情况。

133

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 9 某企业为打入国际市场,决定从 A、B 两种产品中只选择一种进行投资生产.已知投资生产这两种产品的 有关数据如下表: (单位:万美元) 项 目 类 别 A 产品 B 产品 年固定 成本 20 40 每件产品 成本 m 8 每件产品 销售价 10 18 每年最多可 生产的件数 200 120

其中年固定成本与年生产的件数无关, m 为待定常数,其值由生产 A 产品的原材料价格决定,预计

m ? [6,8] .另外,年销售 x 件 B 产品时需上交 0.05 x 2 万美元的特别关税.假设生产出来的产品都能在当年销售
出去. (1)写出该厂分别投资生产 A、B 两种产品的年利润 y1 , y2 与生产相应产品的件数 x 之间的函数关系并指明其 定义域; (2)如何投资才可获得最大年利润?请你做出规划.

例题 10 已知函数 f ( x) ? x ?

a ,其中 a, b ? R . ? b, ( x ? 0 ) x
134 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (1)讨论函数 f ( x) 的单调性(不必证明) ; (2)当 a ?
1 ?1 ? 时,不等式 f ( x) ≤10 在 ? ,1? 上恒成立,求 b 的取值范围. 2 ?4 ?

例题 11 已知 a 为实数, f ( x ) ? a ?

2 ( x ? R). 2 ?1
x

(1)求证:对于任意实数 a , y ? f ( x ) 在 ( ??, ??) 上是增函数; (2)当 f ( x ) 是奇函数时,若方程 f ?1 ( x ) ? log 2 ( x ? t ) 总有实数根,求实数 t 的取值范围.

135

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例题 12

定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f ( x) |? M 成立,则称 f ? x ? 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ? x ? 的上界.

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上的值域,并判断函数 f ? x ? 在 ? ??,0 ? 上是否为有界函数,请说明理由; (2)若函数 f ? x ? 在 ?0, ?? ? 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g ? x ? 在 ? 0,1? 上的上界是 T (m) ,求 T (m) 的取值范围.

1? m ? 2x ?1? ?1? 已知函数 f ? x ? ? 1 ? a ? ? ? ? ? ? ; g ( x) ? . 1? m ? 2x ?2? ? 4?

x

x

例题 13

记 min ?p, q? ? ?

? ? ? p, 当p ? q .若函数 f ( x) ? min ?3 ? log 1 x, log 2 x ? , ?q. 当p ? q 4 ? ?

(1)用分段函数形式写出函数 f ( x) 的解析式;

(2)求 f ( x) ? 2 的解集.

136

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第十五讲
例题 1 设 C1 , C2 ,

数列二模考复习
3 x 相切, 3

, Cn ,

是坐标平面上的一列圆, 它们的圆心都在 x 轴的正半轴上, 且都与直线 y ?

对每一个正整数 n ,圆 Cn 都与圆 Cn ?1 相互外切, 以 rn 表示 Cn 的半径, 已知 {rn } 为递增数列. (1)证明: {rn } 为等比数列; (2)设 r1 ? 1 ,求数列 { } 的前 n 项和.

n rn

例题 2 已知数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a (a ? 0) , a n ?1 ? rS n (n ? N , r ? R, r ? ?1) .
*

(1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 若存在 k ? N , 使得 S k ?1 ,S k ,S k ? 2 成等差数列, 试判断: 对于任意的 m ?N , 且 m ? 2 ,a m ?1 ,a m ,a m ? 2
* *

是否成等差数列,并证明你的结论.

137

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 例题 3 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐年减少,从第 2 年到 第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An ?

a1 ? a2 ? n

? an

, 若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:须在第

9 年初对 M 更新.

例题 4 设函数 f ( x) ?

x ( x ? 0) ,观察: x?2

f1 ( x) ? f ( x) ?

x , x?2

x , 3x ? 4 x f3 ( x) ? f ( f 2 ( x)) ? , 7x ? 8 x f 4 ( x) ? f ( f3 ( x)) ? , 15 x ? 16 f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ?
根据以上事实,由归纳推理可得: 当 n ? N ? 且 n ? 2 时, f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ? .

138

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中小学 1 对 1 课外辅导专家
1 1 2 2 n ?1 n ?1 n n 设 d 为非零实数, an ? [Cn . d ? 2Cn d ? ? (n ? 1)Cn d ? nCn d ] ( n ? N* ) n 写出 a1,a2,,a3 并判断{an}是否为等比数列.若是,给出证明;若不是,说明理由;

例题 5

已知数列 ?a n ?满足: a1 ? 2 且 a n ?1 ?

2?n ? 1?a n ? (n? N ) an ? n

求证:数列 ?

?n ? ? 1? 为等比数列,并求数列 ?a n ?的通项公式; ? an ?

例题 6 我们规定:对于任意实数 A ,若存在数列 {an } 和实数 x( x ? 0) ,使得

A ? a1 ? a2 x ? a3 x 2 ? ..... ? an x n?1 ,则称数 A 可以表示成 x 进制形式,简记为:

A ? x ~ (a1 )(a2 )(a3 ).....(an?1 )(an ) 。 如 : A ? 2 ~ (? 1)(3)( ,则表示 A 是一个 2 进制形式的数,且 ? 2)(1)
A ? ?1 ? 3 ? 2 ? (?2) ? 22 ? 1? 23 =5.
(1)已知 m ? (1 ? 2 x)(1 ? 3x ) (其中 x ? 0) ,试将 m 表示成 x 进制的简记形式.
2

(2)若数列 {an } 满足 a1 ? 2 , ak ?1 ?

1 ,k ? N*, 1 ? ak

bn ? 2 ~ (a1 )(a2 )(a3 ).....(a3n?2 )(a3n?1 )(a3n ) (n ? N * ) , 是 否存 在实 常数 p 和 q ,对 于任 意 的 n ? N * ,
bn ? p 8n ? q 总成立?若存在,求出 p 和 q;若不存在,说明理由.
(3)若常数 t 满足 t ? 0 且 t ? ?1 , dn ? t ~ (Cn )(Cn )(Cn ).....(Cn )(Cn ) ,求 lim
1 2 3 n n ?1

dn . n ?? d n ?1

例题 7 如图是一个具有 n 行 n 列的数表,第一行是首项为 1 ,公比为 q 的等比数列,第一列是首项为 1 ,
139 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 公差为 d 的等差数列,其它空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写。设

aij 表示第 i 行第 j 列的数.
1 1+d 1+2d ┅ 1+(n-1)d (1)求 a22 , a32及an 2 的表达式; (2)第二行能否构成等比数列?若能,求出 q, d 满足的条件;若不能,请说明理由. (3)请根据这张数表提出一个与问题(2)相类似的问题,并加以研究和解决(根据所提问题的难度及解答情况评 分). q q
2



q

n-1

例题 8.

已知数列 {an } 满足 a1 ? a(a 为常数, a ? R) , an?1 ? 2 ? 3an (n ? N ) ,
n *

设 bn ?

an (n ? N * ) . 2n

(1)求数列 {bn } 所满足的递推公式; (2)求常数 c、q 使得 bn?1 ? c ? q(bn ? c ) 对一切 n ? N 恒成立;
*

140

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (3)求数列 {an } 通项公式,并讨论:是否存在常数 a ,使得数列 {an } 为递增数列?若存在,求出所有这样的 常数 a ;若不存在,说明理由.

例题 9 为减少世博中心区域内的环境污染,有关部门决定,从 2006 年开始停止办理世博中心区域内摩托车入户 手续.此时该区域内居民摩托车拥有量已达 1.6 万辆.据测算, 每 7 辆摩托车排放污染物总量等于一辆公交车排放的 污染物, 而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运送能力的 4%.若从 2006 年年初起 n 年内退役部分摩托车, 第一 年退役 a 万辆,以后每年退役的摩托车数量是上一年的 80%,同时增加公交车的数量,使新增公交车的运送能力 等于退役摩托车原有的运送能力. (1)求 n 年内新增公交车的总量 S n (万辆); (2) 要求到 2010 年年初, 剩余摩托车与新增公交车排放污染物的总量不超过原有 1.6 万辆摩托车排放污染物 总量的一半,假定每辆摩托车排放污染物数量为 b ,问第一年至少退役摩托车多少万辆?(精确到 0.01)

141

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例 题 10

? a11 ? ?a n 2 (n ? 4, n ? N *) 个 正 数 排 成 一 个 n 行 n 列 的 矩 阵 A ? ? 21 ? ? ?a ? na

a12 a 22 ? an2

? a1n ? ? ? a2n ? , 其 中 a ik ? ?? ? ? a nn ? ?

( 1 ? i ? n , 1 ? k ? n )表示该数阵中位于第 i 行第 k 列的数,已知该数阵每一行的数成等差数列,每一列的数 成公比为 2 的等比数列,且 a23 ? 8 , a34 ? 20 。 (1)求 a11 和 a ik ; (2)计算行列式

aim a11 a12 和 a jm a 21 a 22

aik ; a jk

(3)设 An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ? ? ? an1 ,证明:当 n 是 3 的倍数时, An ? n 能被 21 整除。

例题 11 将数列

?an ? 中的所有项按第一行排 3 项,以下每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:
a3 a6 a10 a7
a11

a1 a4 a8

a2 a5 a9

a12
142 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 ?? 记表中的第一列数 a1 , a 4 , a8 ,? ,构成数列 ?bn ? . (Ⅰ)设 b8 ? a m ,求 m 的值; (Ⅱ)若 b1 ? 1 ,对于任何 n ? N ,都有 bn ? 0 ,且 (n ? 1)bn?1 ? nbn ? bn?1bn ? 0 .求数列 ?bn ? 的通项公式;
?
2 2

(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的数列 ?bn ? ,若上表中每一行的数按从左到右的顺序均构成公比为 q(q ? 0) 的等比数列,且

a 66 ?

2 ? ,求上表中第 k ( k ? N )行所有项的和 S (k ) . 5

例题 12

定义:若数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ,则称数列 {a n } 为“平方递推数列”.已知数列 {a n } 中, a 1 ? 1 ,点 (a n , a n ?1 ) 在
2

函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 2 的图像上
2

(1) 判断 {a n ?2} 是否为平方递推数列? (2) 证明 {lg( a n ?2)} 为等比数列,并求 {a n } 的通项公式;
143 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 (3) 若 Tn ? (a1 ? 2)(a2 ? 2) ? ... ? (an ? 2) ,求 Tn

例题 13

设 {a n } 是由正数构成的等比数列, S n 是前 n 项.

(1) 求证:

lg S n ? lg S n ? 2 ? lg S n ?1 ; 2 lg( S n ? c) ? lg( S n ? 2 ? c) ? lg( S n?1 ? c) 成立?请证明你的结论. 2

(2) 是否存在常数 c ? 0 ,使得

144

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第十六讲
例题 1
已知椭圆

解析几何二模考复习

x2 y2 a2 的右焦点 到上顶点的距离为 , 点 C (m,0) 是线段 OF 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) ? 2, ( c , 0 ) F c a2 b2

上的一个动点. (1) 求椭圆的方程; (2) 若过点 F 存在一条与 x 轴不垂直的直线 l 与椭圆交于

A 、 B 两点,使得 (CA ? CB) ? BA ,求实数 m 的取值范围.

例题 2 在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y) 为整点, 下列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线

例题 3

x2 y2 ? ?1 2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 4 的顶点,过坐标原点的直线交椭圆

于 P、A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C,连接 AC,并延长交椭圆于点 B,设直线 PA 的斜率为 k (1)当直线 PA 平分线段 MN,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意 k>0,求证:PA⊥PB

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C : x2 ?
例题 4 已知 O 为坐标原点,F 为椭圆 于 A、B 两点,点 P 满足 OA ? OB ? OP ? 0.

y2 ?1 2 在 y 轴正半轴上的焦点,过 F 且斜率为 - 2 的直线 l 与 C 交

(Ⅰ)证明:点 P 在 C 上; (Ⅱ)设点 P 关于点 O 的对称点为 Q,证明:A、P、B、Q 四点在同一圆上.

例题 5 在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C 的圆心在第二象限,半径为 2 2 且与直线 y ? x 相切于原

146

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 点 O .椭圆

x2 y2 ? ? 1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为 10 . a2 9

(1)求圆 C 的方程; (2)圆 C 上是否存在点 Q ,使 O、Q 关于直线 CF (C 为圆心, F 为椭圆右焦点)对称,若存在,请求出点

Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

例题 6 已知:点 P 与点 F(2,0)的距离比它到直线 x +4=0 的距离小 2,若记点 P 的轨迹为曲线 C。 (1)求曲线 C 的方程。 (2)若直线 L 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且 OA⊥OB。求证:直线 L 过定点,并求出该定点的坐标。 (3)试利用所学圆锥曲线知识参照(2)设计一个与直线 L 过定点有关的数学问题,并解答所提问题。

147

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例题 7 (理)斜率为 1 的直线过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点,且与抛物线交于两点 A 、 B .
2

(1)若 p ? 2 ,求 AB 的值; (2)将直线 AB 按向量 a ? (? p,0) 平移得直线 m , N 是 m 上的动点,求 NA ? NB 的最小值. (3)设 C ( p,0) , D 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一动点,是否存在直线 l ,使得 l 被以 CD 为直径的圆截得的
2

弦长恒为定值?若存在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. (文)斜率为 1 的直线过抛物线 y ? 4 x 的焦点,且与抛物线交于两点 A 、 B .
2

(1)求 AB 的值; (2)将直线 AB 按向量 a ? (?2,0) 平移得直线 m , N 是 m 上的动点,求 NA ? NB 的最小值. (3)设 C (2, 0) , D 为抛物线 y ? 4 x 上一动点,证明:存在一条定直线 l : x ? a ,使得 l 被以 CD 为直径的圆
2

截得的弦长为定值,并求出直线 l 的方程.

148

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例题 8. 已知 i ? (1, 0), c ? (0, 2),若过定点 A(0, 2) 、以 i ? ? c ( ? ? R )为法向量的直线 l1 与过点 B 0, ? 2 以 c ? ? i 为法向量的直线 l2 相交于动点 P . (1)求直线 l1 和 l2 的方程; (2)求直线 l1 和 l2 的斜率之积 k1k2 的值,并证明必存在两个定点 E , F , 使得 PE ? PF 恒为定值; (3)在(2)的条件下,若 M , N 是 l : x ? 2 2 上的两个动点,且 EM ? FN ? 0 ,试问当 MN 取最小值时,向量

?

?

EM ? FN 与 EF 是否平行,并说明理由。

例题 9

直 线 l 与 x 轴 的 交 点 为 (a,0) , 且 其 一 个 法 向 量 (b, a) . 直 线 l 与 抛 物 线 y

2

? 2px 交 于

M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) 两点.
(1) 写出直线 l 的方程;

149

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 (2) 假设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ,证明: (3) 当 a ? 2 p 时,求 ?MON 的大小

1 1 1 ? ? ; y1 y 2 b

例题 10 抛物线 C 的方程为 y ? ax (a ? 0) ,过抛物线 C 上一点 P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率为 k1,k2 的两条直线
2

分别交抛物线 C 于 A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B 三点互不相同),且满足 k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1) . (1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 AB 上一点 M,满足 BM ? ? MA ,证明线段 PM 的中点在 y 轴上; (3)当 ? =1 时,若点 P 的坐标为(1,-1) ,求∠PAB 为钝角时点 A 的纵坐标 y1 的取值 范围.

150

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例题 11 直线 l1 : y ? kx , l 2 : y ? ?kx (1)当 k ? 1 时,判断到 l1 , l 2 的距离的平方和为 a 的点的轨迹;若方程 x ? y ? a ? 0 与该轨迹交于 M , N 两点,
2

求 MN 的长度 (2)当 0 ? k ? 1 ,证明到 l1 , l 2 的距离的平方和为 a 的点的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆; (3)求到到 l1 , l 2 的距离之和为 c(c ? 0) 的点的轨迹

例题

12 已知 F1 和 F2 分别是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点,过 F2 做垂直于 x 轴的直线与双曲线交于点 P ,若 a2 b2

?PF1 F2 ?

? ,求双曲线的渐近线方程 6

151

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例题

13 已知点 M (?1,0), N (1,0) ,且点 P 使得 MP? MN , PM ? PN , NM ? NP 成公差小于零的等差数列

?

?

?

?

?

?

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)若点 P 的坐标为 ( x0 , y 0 ) 记 ? 是 PM , PN 向量的夹角,求 tan ?
? ?

例题 14 在 Rt?ABC 中, ?C ?

?
2

,B、C 在 x 轴上且关于原点对称,D 在 BC 边上,且 BD=3DC, ?ABC 的周长为 12,若

双曲线以 B,C 为焦点,且经过 A、D 两点 (1) 求双曲线的方程; (2) 若过点 P(m,0) 的直线 l 与双曲线交于 M、N 两点(异于顶点) ,且 MP ? ? PN ,问在 x 轴上是否存 在顶点 G,使得 BC ? (GM ? ? GN ) ?若存在,请求出这样的 G 点,不存在,说明理由.
? ? ?
? ?

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附录 函数检测
一、选择题 1.下列四个函数中,图像如右图所示的只能是 A. y ? x ? lg x B. y ? x ? lg x C. y ? ? x ? lg x D. y ? ? x ? lg x 2.已知: f ( x ) 是 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 4) ? f ( x ) , 当 x ? (0, 2) 时, f ( x ) ? x ? 2 ,则 f (7) ? A. 3 B. ?3 C. 1 D. ?1 [答] ( ) ( ) ( )

? 3 x ?1 , x ? 0, 3.已知函数 f ( x) ? ? 若 f ? x0 ? ? 3 ,则 x 0 的取值范围是 ?log 2 x, x ? 0.
(A) x0 ? 8 . (B) x0 ? 0 或 x0 ? 8 . (C) 0 ? x0 ? 8 . [答] ( )

(D) x0 ? 0 或 0 ? x0 ? 8 .

4.函数 y ? 1 ? 1 ? x 2 ( ? 1 ? x ? 0 ) 的反函数图像是

y
1

y
1

y

y
1
?1

?1

O
(A)

x

O

1

x

O
?1

x
(C) (D)

O x
?1

(B)

5、由方程 x | x | ? y | y | ? 1确定的函数 y ? f ( x) 在 (?? , ? ?) 上是 --------A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.先减后增





6.已知图 1 中的图像对应的函数为 y ? f ( x ) ,则图 2 中的图像对应的函数在下列给出的四式中,只可能是 ( ) B. y ?| f ( x ) | C. y ? f ( ? | x |) D. y ? ? f (? | x |)

A. y ? f (| x |)

154

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y y

O

x

O

x

图1

图2

7.定义域和值域均为 ?? a, a ? (常数 a ? 0 )的函数 y ? f ?x ? 和 y ? g ?x ? 的图像如图所示,给出下列四个命题: (1)方程 f ?g ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (2)方程 g ? f ?x ?? ? 0 有且仅有三个解; (3)方程 f ? f ?x ?? ? 0 有且仅有九个解; (4)方程 g ?g ?x ?? ? 0 有且仅有一个解。 那么,其中正确命题的个数是( (A)1 (B)2 8.下列函数中,奇函数是( ) (A) y=x2-1 (B) y=x3+x ) (C)3
x

(D)4

(C) y=2

(D) y=log3x ( )

9、函数 f ( x ) ? ( ) 与函数 g( x ) ? log 1 x 在 (0, ?? ) 上的单调性为
x

1 2

2

A.都是增函数 C.一个是增函数,另一个是减函数 10、函数 f ( x) ? 2
|log 2 x|

B.都是减函数 D.一个是单调函数,另一个不是单调函数

? x?

1 的大致图像为 x

11、函数 y ? 1 ? (x ? 2) 图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比
2

数列,则以下不可能成为公比的数

是 …………………………………… A.

…… ( C.

) D. 3

3 2

B.

1 2

3 3

155

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 12、函数 f ?x ? ?

x 1? x2





(A)在 ?? 1,1? 上单调递增 (C)在 ?? 1,1? 上单调递减

(B)在 ?? 1,0? 上单调递增,在 ?0,1? 上单调递减 (D)在 ?? 1,0? 上单调递减,在 ?0,1? 上单调递增

二、填空题 1、函数 y ? log 2 ( x ? 1) 的定义域是 2、函数 . .

f ?x ? ? log 1 x ? 2?x ? 3? 的反函数的定义域是
3

3、函数 A.

f ( x) ?

1 ? x 的图像关于 x

---------------------------(



y 轴对称

B. 直线

y ? ? x 对称

C.直线

y ? x 对称

D.坐标原点对称

? x 2 ? 1 ( x ? 0) ?1 4、设函数 f ( x) ? ? ,那么 f (10) ? _________ ?? 2 x ( x ? 0)
5、若函数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的反函数为 f x

?1

( x) ,则 f

?1

(?2) =



6、设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? log 3 (1 ? x ) ,则 f ( ?2) ? ___________ 7、若 a ? 0且a ? 1,函数y ?| a x ? 1 | 与y ? 2a 的图象有两个交点,则 a 的取值范围是 。

8、已知对于任意实数 x ,函数 f ( x) 满足 f (? x) ? f ( x) . 若方程 f ( x) ? 0 有 2009 个实数解, 则这 2009 个实数解之和为 9、已知函数 .

f ( x) ? 2 x ? m 的反函数为 f ?1 ? x ? 。若 y ? f ?1 ( x) 的图像经过(5,2) ,则实数 m 的值
3 为周期的奇函数,若

10 、设 是

f ( x) 是定义在 R 上且以


f (1) ? 1 , f (2) ?

2a ? 3 ,则实数 a 的取值范围 a ?1

11、作为对数运算法则: lg(a ? b) ? lg a ? lg b ( a ? 0, b ? 0 )是不正确的。但对一些特殊值是成立的,例 如: lg(2 ? 2) ? lg 2 ? lg 2 。那么,对于所有使 lg(a ? b) ? lg a ? lg b ( a ? 0, b ? 0 )成立的 a, b 应 满足函数 a ?

f (b) 表达式为
)有唯一确定的 f ( x, y) 与之对应,则称 f ( x, y) 为关于 x, y 的二元
156

RB, R ? 12、若对任意 x ? A, y ? B , ( A?

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 函数。 定义:满足下列性质的二元函数 f ( x, y) 为关于实数 x, y 的广义“距离”: (1)非负性: (2)对称性:

f ( x, y) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号;
f ( x, y) ? f ( y, x) ;
f ( x, y) ? f ( x, z) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成立.

(3)三角形不等式:

给出三个二元函数:①

f ( x, y) ? ( x ? y) 2 ;② f ( x, y ) ? x ? y ; ③ f ( x, y ) ?

x? y .

请选出所有能够成为关于 x, y 的广义“距离”的序号_______________. 13、已知函数 f ( x ) ? ax ? (b ? 3) x ? 3, x ? [a ? 2, a] 是偶函数,则 a ? b ? _____________.
2 2

14、函数 f ( x ) ?

x ?1 ?

1 的定义域为_____________ . 2? x

ax 15、设函数 f ( x ) ? (a ? 0, a ? 1),[m ] 表示不超过实数 m 的最大整数,则函数 1? ax
1 1 g( x ) ? [ f ( x ) ? ] ? [ f ( ? x ) ? ] 的值域为______________. 2 2
16、函数 f ( x) ? 3x ? 5, 17、方程 log 4 (12 ? 2
x ?1

x ?[ 0, 1] 的反函数 f

?1

( x) ? _________________.

) ? x?

1 的解 x ? ____________. 2
1 3 x

18、函数 y ? f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 ? 1 ,则函数的解析式

f ( x ) ? ________________.(结果用分段函数表示)
19、函数 f ? x ? ?

lg ? 4 ? x ? 的定义域 x ?3

20、设定义在 R 的函数 f ( x) 同时满足以下条件:① f ( x) ? f (? x) ? 0 ;② f ( x) ? f ( x ? 2) ;

1 3 5 ③当 0 ? x ? 1时, f ( x) ? 2 x ? 1 。则 f ( ) ? f (1) ? f ( ) ? f (2) ? f ( ) ? _____________ 2 2 2 2 21、已知: t 为常数,函数 y ?| x ? 2 x ? t | 在区间 [0, 3] 上的最大值为 3 ,则实数 t ? _____.
22、在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点.若函 y=f(x)的图像恰好经过 k 个格点,则称函 数 y=f(x)为 k 阶格点函数.已知函数:①y=2sinx;②y=cos(x+ 函数的序号为

? 2 x );③ y ? e ? 1 ;④ y ? x .其中为一阶格点 6 (注:把你认为正确论断的序号都填上)
?1

23、函数 f ( x) ? log 2 x ? 1 ( x ? 0 )的反函数是 f

( x) ? _________________.
157 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 24、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) , 当 x ? [0 , 2] 时, f ( x) ? x ? 2 x ,则当 x ? [?4 , ?2]
2

时,函数 f ( x) 的最小值为_______________. 25、函数 f ( x ) ?

x 的最大值为___________. x ?1

26、函数 f ( x ) ? ?

? x, x ? P ,其中 P、M 为实数集 R 的现,两个非空子集,又规定 ?? x, x ? M
M ? R ,则 A B ? R ;

A ? { y | y ? f ( x ), x ? P }, B ? { y | y ? f ( x ), x ? M } ,给出下列三个判断:
①若 P ③若 P

M ? ? ,则 A B ? ? ;②若 P

M ? R ,则 A B ? R .其中错误的判断是___________(只需填写序号).
? x ?1

27、函数 y ? 2

? 3( x ? 1) 的反函数为____________.
2 , x ? [?2, 0) (0, 2] 的单调递减区间为_____________ x
2

28、 函数 y ? x ?

29、已知函数 y ? f ( x ) 既为偶函数,又是以 6 为周期的周期函数,若当 x ? [0, 3] 时, f ( x ) ? ? x ? 2 x ? 4, 则当

x ? [3, 6]时, f ( x ) ? ____________.答案:
30、已知函数 f ( x) ?

2x ?1 1 ,则 f ( ) ? x 3? 2 ?1 4

.

31、设定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足 f ? x ? ? f ? x ? 2 ? ? 3 ,若 f ?1? ? 2 ,则 f ? 2009 ? ? 32、已知函数 f ( x) ?

2x ?1 1 ,则 f ( ) ? x 3? 2 ?1 4
2

.

33、已知函数 f ( x) ? x ? x ,若 f ? log 3

? ?

1 ? ? ? f (2) ,则实数 m 的取值范围是 m ?1 ?




34、若 f ( x ? 2) ? ?

? ? ? tan x, x ? 0 ,则 f ( ? 2) ? f (?2) ? 4 ? ?log 2 ? ? x ? , x ? 0

35、函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1( x ? R) ,若 f (a) ? 2 ,则 f (?a) 的值为
2 2



36 、 若 复 数 z ? [(log 3 x ) ? 2log 3 x ? 3] ? [(log 3 x) ? 5log 3 x ? 6]i 是 纯 虚 数 ( i 为 虚 数 单 位 ) , 则 实 数

x =_____________.
37、已知周期为 2 的偶函数 f ( x ) 的定义域是实数集 R ,且当 x ? [0,1] 时,

158

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f ( x ) ? log 2 (2 ? x ) ,则当 x ? [2007, 2009] 时, f ( x ) ? ____________.
38、已知 f ( x) ? log 1 x 的反函数为 f
2
?1

( x) ,若 f ?1 (a) ? f ?1 (b) ?
.

1 ,则 f (a ? b) ? 4



函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的反函数是 f ?1 ( x) ?

39、某人在超市一次性购买了 20 斤大米和 10 斤食用油,大米的价格是 1.9 元/斤,食用油的价格是 15 元/斤, 则购买这两种商品的总花费可以用下列各式计算得到的是 [答]( )

(A)

20 15 . 10 1.9

(B)

20 1.9 ?1.9 ? . (C) ? 20 10 ? ? ?. 10 15 ? 15 ?

(D) ?

?1.9 ? ? ? 20 10 ? . ? 15 ?

40、已知 f ( x) ? ?

?x ?1 x ? 1 ,则 f ?? x ? 3 x ? 1

? ?f ?

? 5 ? ? =______. ? ?? ? 2 ??

41、函数 f ( x) ? x ? lg( x ? 2) ?1 的图象与 x 轴的交点个数有

个.

42、若一系列函数的解析式相同,值域相同但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数” ,那么函数解析式为

y ? 2 x 2 ? 1 ,值域为 ?3,19? 的“孪生函数”共有
43、已知函数 f ( x) ?

个.

x ?x 5

1 3

?

1 3

, g ( x) ?

x ?x 5

1 3

?

1 3

,分别计算 f (4) ? 5 f (2) g (2) 和 f (9) ? 5 f (3) g (3) 的值,并

概括出涉及函数 f ( x) 和 g ( x) 的对所有不等于零的实数 x 都成立的一个等式: ___________________________________________. 44、方程

1 ? lg( x ?1) 解的个数是 x

.

45、函数 f ( x) ?

1? x 的定义域是 1? x


?1

46 、 若 函 数 f ( x) ? x ?

1 ( x ? 0) 的 反 函 数 为 f x

( x) , 则 f

?1

(?2) =

.对于函数

f ( x) ? mx ? x 2 ? 2 x ? n ( x ? [?2,??) ) ,若存在闭区间
[ a, b ]
为 ,则实数 m, n 的值依次 [?2,??) (a ? b) ,使得对任意 x ? [a, b] ,恒有 f ( x) = c ( c 为实常数) .. .

47、函数 y ?

30 , x ? [0,1] 的值域是 4 ? 2 x ?1 ? 6
x



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附录 椭圆检测
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知 F1、F2 是两定点 F1 F2 ? 4 ,动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 4 ,则动点 M 的轨迹是( A.椭圆 B 直线 C圆 D 线段 )

2 .椭圆两焦点为 F1 (?4, 0) 、 F2 (4, 0) , P 在椭圆上,若 △ PF1 F2 的面积的最大值为 12 ,则椭圆方程为 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 9

B.

x2 y 2 ? ?1 25 9

C.

x2 y 2 ? ?1 25 16

D.

x2 y 2 ? ?1 25 4

x2 y 2 b 3.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, A(?a,0), B(0, b) 是两个顶点,若 F 到直线 AB 的距离是 , a b 7
则椭圆的离心率(a/c) A. ( B. ) D.

1 2

4 5

C.

7? 7 7

7? 7 7

4.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2 ,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 PF1 是 12 3
( B.5 倍
2 2

PF2 的
A.7 倍 5.设 M 是椭圆 ( A. ) C.4 倍

) D.3 倍

x y ? ? ? 1 上 的 一 点 , F1 , F2 为 焦 点 , 且 ?F1MF2 ? , 则 ?MF1F2 的 面 积 为 25 16 3
C. 16(2 ? 3) D.16

16 3 3

B. 16(2 ? 3)

6.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴,则 m2 (m ? 1)2
1 2
2 2

( C. m ?



A. 0 ? m ?

B. m ?

1 且m ?1 2

1 且m ? 0 2

D. m ? 0 且 m ? 1 ( D. (0, ? b ? a ) )

7.椭圆 ax ? by ? ab ? 0(a ? b ? 0) 的焦点坐标是 A. (? a ? b , 0) 8.已知椭圆 B. (0, ? a ? b ) C. (? b ? a , 0)

x2 y2 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P 在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点, 16 9 则点 P 到 x 轴的距离为 ( )
A.

9 5

B.3

C.

9 7 7

D.

9 4

160

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 9.到定点(2,0)与到定直线 x=8 的距离之比为

2 的动点的轨迹方程是 2





x2 y 2 x2 y 2 A. ? ? 1 B. ? ? 1 C. x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 56 ? 0 D. 3x2 ? 2 y 2 ? 8x ? 63 ? 0 16 12 12 16
10.k 为何值时,直线 y=kx+2 和椭圆 2 x ? 3 y ? 6 相交
2 2





A. k ?

6 3

B. k ?

6 3

C. k ?

6 3

D. k ?

6 3

11.已知椭圆

点,则 ?ABF 等于 A. 60

x2 y 2 5 ?1 , F , A 分别是它的左焦点和右顶点, B 是短轴的一个端 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2
( C. 90 D. 120 y B D A F O C x ) B. 75

x2 y 2 12.如右图,椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 a b
1 离心率 e ? ,左焦点为 F,A、B、C 为其三 2
个顶点,直线 CF 与 AB 交于 D,则

tan ?BDC 的值等于
(1)



) C.

3 3

B. ?3 3

3 5

D.

? 3 5

填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 PF1 ? 2, 则?F1PF2 ? 9 2
2 2



14.以椭圆 9 x ? 4 y ? 36 的长轴端点为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆标准方程是



15.已知点 p(x, y)在椭圆
2

x2 ? y 2 ? 1 上,则 f ( x, y) ? x 2 ? 2 x ? y 2 的最大值为 4



x2 y 16.点 P 在椭圆 + =1 上,它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍,则点 P 的横坐标是____________. 25 9

三、解答题(共 70 分) 17.设 M(0,-5) ,N(0,5) ,△ MNP 的周长是 36,求△ MNP 的顶点 P 的轨迹。 (10 分)

161

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x2 y2 18.定点 A(2,1) ,F(1,0)是椭圆 ? ? 1 的一个焦点,P 是椭圆上的点, m 8
求:∣PA∣+∣PF∣的最值; (12 分)

19.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,求过点 A(2,1)且以 A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程及弦长。 (12 分) 16 4

20. 已知F1 为椭圆的左焦点,A、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点,P 为椭圆上的点,当 PF1⊥F1A,PO∥AB(O 为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.(12 分)

162

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21.求椭圆

x2 y 2 (12 分) ? ? 1 中,一组斜率为 2 的弦的中点 M 的轨迹方程。 8 4

22.设 F1 、 F2 分别是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点. 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动点,求∣ PF1 ∣·∣ PF2 ∣的最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A 、 B ,且∠ AOB 为锐角(其中 O 为坐标原点) ,求直 线 l 的斜率 k 的取值范围.

163

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精锐教育 上海高考数学小测验(1)
f x)= ? 1、 函数 ( ? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0
的零点个数为____________________.

2、某学校要招开学生代表大会,规定各班每 10 人推选一名代表,当各班人数除以 10 的余数大于 时再增选一 ..6 . 名代表.那么, 各班可推选代表人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y=[x] ([x]表示不大于 x 的最大 整数)可以表示为 ] (A)y=[

x ] 10

(B)y=[

x?3 ] 10

(C)y=[

x?4 ] 10

(D)y=[

x?5 ] 10

3、若奇函数 f ? x ? 对定义域内任意 x 都有 f ? x ? ? f (2 ? x) ,则 f ? x ? 周期为____________________.

4、函数 f ? x ? ?

4x ? 1 的图象关于____________________.对称 2x

5、函数 f ? x ? ? log 2 3 ?1 的值域为____________________.
x

?

?

6、给定函数① y ? x 2 ,② y ? log 1 ( x ?1) ,③ y ?| x ?1| ,④ y ? 2
2

1

x ?1

,期中在区间(0,1)上单调递减的函数

164

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 序号是____________________.

7、设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,
2

( x ) ? x ? 4, x ? g ( x ), f ( x) ? {g g ( x ) ? x , x ? g ( x ). 则 f ( x) 的值域是____________________.

8、已知函数 f ( x) ?| lg x | .若 a ? b 且, f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是____________________.

9、已知函数 f ( x) ? x ? lg( x ?
2

x 2 ? 1) , f (a) ? ? ,则 f (?a) ? ____________________.

(用 a, ? 表示)

10、 f ( x) ? log 2 ( x ? ax ? a) 的值域为 R,则 a 的范围是____________________.
2

11、已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,已知

f ( x ? 2) ?

1 ,当 2 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 ? f ( x)

f (105.5) ? ____________________.

12、 f ( x) ? ax ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??,4] 为减函数,则 a 的范围是____________________.
2

13、 y ? f ( x) 在 R 上是奇函数, f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,当 x ? [?1,1], y ? sin x ,求 x ? [1,5] 时的解析式
165 教务管理部·权威教育培训

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14、 y ? x ? a (a ? 0) 上有一点 P (1)当 a=1,求 P 与 (0, b)(b ? 0) 的距离最小值
2 2 2

15、 2 x ? log a x 对于 x ? (0, ] 恒成立,求 a 的范围
2

1 2

16、设计一幅宣传画,要求画面面积为 4840 cm ,画面的宽与高之比为 ? (? ? 1) ,画面的上下各留 8cm 空白、
2

左右各留 5cm 的空白。如何确定画面宽与高的尺寸,能够使得宣传画所用纸张面积最小?

166

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上海高考数学小测验(2)
1、设函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上,对任意实数 m、n 都有 f(m ? n) , ? f(m)f(n) 且当 x ? 0 时 0 ? f ( x) ? 1 (1) 求证: f (0) ? 1 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ; (2)求证: f ( x) 在 R 上单调递减

2、设函数 f ( x) 的定义域为 R ,对于任意实数 m、n 都有 f(m) ? f (n) ? 2 f( 且 f ( ) ? 0, f (? ) ? ?1

?

m?n m?n )f( ) 2 2

2

(1)求 f (0) 的值; (2)求证 f ( x) 为偶函数且满足 f (? ? x) ? ? f ( x) (3)如果 0 ? x ?

?
2

, f ( x) ? 0 ,求证 f ( x) 在 [0, ? ] 上是单调递减函数

3、设函数 f ( x) 为定义域为 R 的偶函数,其图像关于直线 x ? 1 对称,对于任意 m、n ? [0, ] 都满足

1 2

167

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f(m ? n) ? f(m) f (n)
(1)设 f (1) ? a ,求 f ( ), f ( )

1 2

1 4

(2)证明 f ( x) 是周期函数

168

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精锐教育 2011 年上海高考数学小测验(3)
1、 y ? 3 cos(2 x ? ? ) 的图像关于点 ( ? ,0) 对称,则 ? 的最小值为______________________.

4 3

2、 y ? x ? cos x 在区间 (?
2

? ?

, ) 上的值域为______________________. 2 2

3、 ? ? (0,

?
2

2 关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x cos ? ? cot ? ? 0 有两个相同的实数根, 则 ? ? ________________. ),

4、 y ? arccos x ? ax(a ? 0) 的最小值为-1,则其最大值为______________________.

5、方程 tan x ? 9 tan x ? 1 ? 0 在 x ? [0,2? ] 内所有的根的和为______________________.
2

169

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6、 ? 属于第二象限,则下列式子中,成立的编号为______________________. (1) sin

?
2

? cos

?
2

(2) tan

?
2

? cot

?
2

(3) sin

?
2

? cos

?
2

?1

(4) tan

?
2

? cot

?
2

? ?2

7、△ABC 中,如果 9a ? 9b ? 19c ? 0 ,那么
2 2 2

cot C ? ______________________. cot A ? cot B

8、已知 ? , ? ? (0,

?
2

) ,满足

sin ? ? cos(? ? ? ) sin ?
(2)将 tan ? 表示成 tan ? 的函数

(1)求证: tan ? ?

sin ? cos ? 1 ? sin 2 ?

(3)求 tan ? 的最大值,并求当 tan ? 取得最大值时, tan(? ? ? ) 的值

9、已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,则 cos(? ? ? ) ? ______________________.

170

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10、已知向量 a ? (3,4), b ? (2, a) ,如果两个向量的夹角为锐角,则 a 的取值范围是______________________.

?

?

11、2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援南方地区抗灾救灾,国 家统一部署, 加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编 成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在同一小组.如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不同 的发车顺序共有______________________种.

171

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上海高考数学小测验(4)
1、 已知 tan ? ?

3 2 2 ,求 cos ? ? 2 sin ? cos ? ? 3 sin ? ? 1 的值 4

2、 已知 cos(? ?

?

sin 2? ? 2 sin 2 ? 3 5? 7? ,求 的值 )? , ?? ? 1 ? tan ? 4 5 4 4

3、 已知 cos ? ? sin ? ?

1 , ? ? ? ? 2? ,求 cos 2? 的值 3

4、 已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , ? , ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的角度 2 7

5、 化简: 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? ? 2 ? 2 cos ? ( ? 为锐角)

172

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 6、 已知 sin ? ?

2 cos ? , tan ? ? 3 cot ? , ? ? (?

? ?

, ), ? ? (0, ? ) ,求 ? , ? 的值 2 2

7、求证:

1 ? sin ? 1 ? 2 sin
2

?
2

?

1 ? tan 1 ? tan

? ?
2

2

8、 已知 sin(? ?

? 7 2 7 ? )? , cos 2? ? , 求 sin ?及 tan(? ? ) 4 10 25 3

9、已知 ?

?
2

? x ? 0, sin x ? cos x ?

1 . 5

3 sin 2
(1)求 sinx-cosx 的值; (2)求

x x x x ? 2 sin cos ? cos 2 2 2 2 2 的值. tan x ? cot x
173 教务管理部·权威教育培训

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174

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上海高考数学小测验(5)
1、设等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,若

S6 S =3 ,则 9 = ______________________. S3 S6

2、已知 ?an ? 为等差数列, a1 + a3 + a5 =105, a2 ? a4 ? a6 =99,以 S n 表示 ?an ? 的前 n 项和,则使得 S n 达到最大 值的 n 是 ______________________.

3 、 设 ?an ? 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 , | q |? 1 , 令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2,

) 若 数 列 ?bn ? 有 连 续 四 项 在 集 合 ,

??53, ?23,19,37,82? 中,则 6q =________________.

4、等差数列{ an }前 n 项和为 S n 。已知 am ?1 + am ?1 - a

2 m

=0, S2 m ?1 =38,则 m= ______________________.

5、设 a1 ? 2 , an ?1 ?

a ?2 2 * , bn ? n , n ? N ,则数列 ?bn ? 的通项公式 bn =______________________. an ? 1 an ? 1

175

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6、 ? 已知点(1, )是函数 f ( x) ? a (a ? 0, 且 a ? 1)的图象上一点,等比数列 {an } 的前 n 项和为 f (n) ? c ,
x

1 3

数列 {bn } (bn ? 0) 的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S n - S n?1 = S n + S n?1 ( n ? 2 ). (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若数列{

1000 1 的最小正整数 n 是多少? } 前 n 项和为 Tn ,问 Tn > 2009 bn bn?1

.

7、若

?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan x 的最大值为______________________.
3

176

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 8、在极坐标中,曲线 ? ? 4 sin(? ? A.直线 ? ?

?
4

) 关于( 5? 对称 6

) C.点 ( 2,

?
3

对称

B.直线 ? ?

?
3

) 对称

D.极点对称

9、已知 tan(? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , ? , ? ? (0, ? ) ,求 2? ? ? 的角度 2 7

10、等差数列 {a n } 的项数为 2k ? 1( k ? N ) ,其奇数项之和 S 奇 ? 44 , S 偶 ? 33 ,求该数列的项数
*

11、设数列 {a n } 的前 n 项和为,如果 a1 ? 1 ,且满足 3S n ? an ( S n ? 1)(n ? 2) .求数列 {a n }
2

177

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上海高考数学小测验(6)
1、已知函数 f ( x) ? sin
2

x x x 1 ? 3 sin cos ? 2 2 2 2
个单位,得到函数 y ? g ( x) 的图像.如果 y ? g ( x)( x ? 0) 的图像与直线

(1)求 f ( x) 的单调递增区间 (2)将 f ( x) 的图像向左平移 ?

6

f ( x) ?

1 交点的横坐标从小到大依次是 x1 , x2 ,...xn ,求数列 {x n } 的前 2n 项的和 2

2、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 33, an ?1 ? an ? 2n, 则

an 的最小值为__________. n

3、在等比数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ,公比 q ? 1 .若 am ? a1a2 a3a4 a5 ,则 m ? ___________________.

4、无穷等比数列 {a n } 前 n 项和 S n ? a ? ( ) ,则其各项和为___________________.
n

1 2

178

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5、数列 {c n } 的通项公式为 c n ?

2 ? 3n ? 2 (n ? N * ) ,则数列 {c n } 的最大项是_____________________. 3n ? 1

6、已知 x ?

1 1 1 1 ? 2 cos ? ,计算 x 2 ? 2 , x 3 ? 3 ,猜想 x n ? n ? ___________________. x x x x

7、 已知函数 f ( x) 满足 axf ( x) ? b ? f ( x)(ab ? 0) , f (1) ? 2, f ( x ? 2) ? ? f (2 ? x) 对于任意定义域内的 x 都成 立. (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)数列 {a n } 前 n 项和 S n ,满足 a1 ? f (1) ,当 n ? 2 时, S n ? (提示:可以用数学归纳法)

2 1 ? (n 2 ? 5n ? 2) ,求 {a n } 的通项公式 f (a n ) 2

179

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8、已知定义在 R 上的函数 f ( x) ,则下列命题中: (1)若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) 恒成立,则 f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称; (2)若 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 0 恒成立,则 f ( x) 的图像关于点 (1,0) 对称; (3)函数 y ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于 y 轴对称; (4)函数 y ? ? f ( x ? 1) 的图像与函数 y ? f (1 ? x) 的图像关于原点轴对称; (5)若函 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ? 0 恒成立,则函数 f ( x) 的周期为 4 真命题的标号为___________________.

9、已知数列 {a n } 满足: a1 ? 6, a n ?1 ? (1)若 d n ? (3)若 bn ?

n?2 a n ? (n ? 1)(n ? 2) n

an 3 ; (2)若 a n ? kCn? 2 ,求数列 {a n } 前 n 项和 S n ; n(n ? 1)

an 1 2 n ?1 ,计数列 { } 的前 n 项和 Tn ,求 lim Tn 2 n ?? bn (n ? 2)

180

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上海高考数学小测验(7)
1、 若函数 f ( x) 是以 5 为周期的奇函数, f (?3) ? 4 ,且 cos ? ?

1 ,则 f (4 cos 2? ) ? __________________ 2

2、画出函数 f ( x) ? e

ln x

? x ? 1 的图像

3、一个球自 12 米的高空自由下落,落地后回弹的高度是下落高度的 1/4,到球停止在地面为止,球的运动路程 总和为__________________米.

4、 {a n } 为等比数列,已知 a 1 ? 2, q ?

1 ,则 S n ?1? __________________.(用 S n 表示) 2

5、 f (n) ? 1 ? 2 ? 3 ? ... ? n ,则 f (k ? 1) ? f (k ) ? __________________.
2

181

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6、 lim

3n 1 ? ,则 a 的取值范围是__________________ n ??? 3 n ?1 ? ( a ? 1) n 3

7、设各项均为正数的数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,已知 2a2 ? a1 ? a3 ,数列 列 ?a n ? 的通项公式(用 n, d 表示)

? S ?是公差为 d 的等差数列. 求数
n

8、已知数列{an}满足 a1=0,a2=2,且对任意 m、n∈N 都有 a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (1)求 a3,a5; * (2)设 bn=a2n+1-a2n-1(n∈N ),证明:{bn}是等差数列; - * (3)设 cn=(an+1-an)qn 1(q≠0,n∈N ),求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

*

9、若数列 {a n } 是公比为 q 的等比数列,求

lim S
n ? ??

an
n

182

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10、某厂拟更换一部发动电机,B 型发动机比 A 型贵 1000 元,但每个月可以节约电费 50 元,如果按照 1%的月 折现率计算,问: (1) B 型发动机使用两个月可以节约的费用相当于现值多少元?(精确到 0.1) (2) 若该厂更换使用 B 型发动机,至少使用多少个月才比 A 型发动机划算?

183

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上海高考数学小测验(8)
1、

2、

184

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3、已知数列 {a n } 是首项为 1 公差为正的等差数列,数 列 {bn } 是首项为 1 的等比数列,设 cn ? anbn (n ? N* ) , 且数列 {c n } 的前三项依次为 1,4,12, (1)求数列 {a n } . {bn } 的通项公式; (2)若等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn,求数列 ?

? Sn ? ? 的前项的和 Tn. ?n?

4



185

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上海高考数学小测验(9)
1、已知直线 y ? 3x ? 2 与圆 x ? y ? n 相切,其中 m , n ? N ,且 | m ? n |? 5 .则满足条件的有序实数对
m

2

2

2

?

(m, n) 共有



2、证明公式: d ?

ax0 ? by 0 ? c a2 ? b2

3、求一个圆 C : x ? y ? 4 x ? 12 y ? 39 ? 0 关于直线 l : 3x ? 4 y ? 5 ? 0 对称的圆的方程.
2 2

4 、直线 l : 2 x ? y ? ? ? 0 沿着 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 相切,则
2 2

? ? ______________.

186

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中小学 1 对 1 课外辅导专家 5、直线 y ? kx ? 3 与圆 ( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 2 ,则 k 的取值范围是
2 2

______________.

6、直线 Ax+By+C=0 与圆 x2+y2=4 相交于两点 M、N,若满足 C2=A2+B2,则 OM · ON (O 为坐标原点) 等于______________.

7、 我们把平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系 (两条数轴的原点重合且单位长度相同) 称为斜坐标系. 平 面上任意一点 P 的斜坐标定义为:若 OP ? xe1 ? ye2 (其中 e1 、 e2 分别为斜坐标系的 x 轴、y 轴正方向上的单位 向量,x、y∈R) ,则点 P 的斜坐标为(x, y).在平面斜坐标系 xoy 中,若 ?xoy ? 60 ,已知点 M 的斜坐标为 (1, 2),则点 M 到原点 O 的距离为 .
?

8、已知 a ? R ,且 ? ? k? ?

?
2

, k ? Z 设直线 l : y ? x tan ? ? m ,其中 m ? 0 ,给出下列结论:

① l 的倾斜角为 arctan(tan ? ) ; ② l 的方向向量与向量 a ? (cos ? ,sin ? ) 共线;
187 教务管理部·权威教育培训

中小学 1 对 1 课外辅导专家 ③ l 与直线 x sin ? ? y cos ? ? n ? 0 (n ? m) 一定平行; ④若 0 ? a ?

?
4

,则 l 与 y ? x 直线的夹角为

?
4

?? ;

⑤若 ? ? k? ?

?
4

, k ? Z ,与 l 关于对称的直线 l ? 与 l 互相垂直. (写出所有真命题的编号)

其中真命题的编号是

9、已知直线 y ? mx ? 3m 和曲线 y ?

4 ? x 2 有两个不同的交点,则实数m的取值范围是

.

10、已知过点 A(0,1) ,且斜率为 k 的直线 l 与圆 c ( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 1 ,相交于 M、N 两点.
2 2

(1)求实数 k 的取值范围; (2)求证: AM ? AN ? 定值 ; (3)若 O 为坐标原点,且 OM ? ON ? 12, 求k的值

188

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中小学 1 对 1 课外辅导专家

11、如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A: ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点,点 B(1,0) ,点 M 是 BN 中点,
2 2

点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN ? 0. (I)求动点 P 的轨迹方程; (II)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x ? y =4 的位置关系,并说明理由.
2 2

12



189

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