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微积分2总复习


微积分Ⅱ总复习 Ⅱ
一、知识脉络 二、定义、定理及重要结论 定义、 三、题型分析及典型例题

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一、多元函数微分学
平面点集 和区域
极 限 运 算 多元函数概念

多元函数 的极限
多元函数 连续的概念

多元连续函数 的性质

方向导数
复合函数 求导法则
全微分形式 的不变性

全微分 概念

全微分 的应用

高阶偏导数

偏导数 概念

隐函数 求导法则 微分法在 几何上的应用

多元函数的极值

二、重积分
定 义 定 义

二 重 积
性 质 性 质 几何意义 几何意义

三 重 积 分
计算法 应 用 计算法 应 用



三、常微分方程与差分方程
一阶方程

基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法

高阶方程 可降阶方程

类 型
1.直接积分法 1.直接积分法 2.可分离变量 2.可分离变量 3.齐次方程 3.齐次方程 4.可化为齐次 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 5.全微分方程 6.线性方程 6.线性方程

待 定 系 数 法

线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理1;定理2 1;定理 定理3;定理4 3;定理 定理3;定理4

特征方程的根 及其对应项 f(x)的形式及其 f(x)的形式及其 特解形式

7.伯努利方程 7.伯努利方程

欧拉方程

微分方程解题思路
作变换



非 全 微 分 方 程

分离变量法
变 量 一阶方程
作 降 变 阶 换

全微分方程
积分因子

可 分 离

常数变易法 方程法 数 数法

高阶方程



区域 (1)邻域 )
设 P0 ( x0 , y0 ) 是 xoy 平面上的一个点,δ 是某一 平面上的一个点, 正数,与点 P0 ( x0 , y0 ) 距离小于δ 的点 P ( x , y ) 的全 正数, 邻域, 体,称为点 P0 的δ 邻域,记为U ( P0 , δ ) ,
U ( P0 , δ )
= { P | PP0 |< δ}

= ( x , y ) | ( x ? x 0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 < δ .

{

}

δ ? P0

连通的开集称为区域或开区域. (2)区域 连通的开集称为区域或开区域. )

(3)聚点 )
是平面上的一个点集, 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上的 一个点, 一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 的聚点. 多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点 ,

(4)n维空间 ) 维空间
为取定的一个自然数, 设 n 为取定的一个自然数 , 我们称n 元数组 ( x1 , x2 , L , xn ) 的全体为 n 维空间,而每个n 元数组 维空间, ( x1 , x2 , L , xn ) 称为n 维空间中的一个点,数 xi 称为 维空间中的一个点, 该点的第 i 个坐标. 个坐标

多元函数概念
定义 设 D 是平面上的一个点集,如果对于每 是平面上的一个点集, 个点 P ( x. y ) ∈ D ,变量 z 按照一定的法则总有确 定的值和它对应, 的二元函数, 定的值和它对应, 则称 z 是变量 x, y 的二元函数, 记为 z = f ( x, y ) (或记为 z = f ( P ) ). 类似地可定义三元及三元以上函数. 类似地可定义三元及三元以上函数.
元函数统称为多元函数. 当 n ≥ 2 时, n 元函数统称为多元函数

多元函数的极限
定义 设函数 z = f ( x , y ) 的定义域为 D, P0 ( x0 , y0 ) 是 其聚点, 其聚点,如果对于任意给定的正数ε ,总存在正数 δ , 使 得 对 于 适 合 不 等 式 0 <| PP0 |= ( x ? x0 ) 2 + ( y ? y0 ) 2 < δ 的 一 切 点 , 都 有 | f ( x , y ) ? A |< ε 成 立 , 则 称 A 为 函 数 z = f ( x , y ) 当 x → x0 , y → y0 时的极限, 时的极限, 记为 lim f ( x, y ) = A
x → x0 y → y0

(或 f ( x , y ) → A ( ρ → 0) 这里ρ =| PP0 | ).

说明: 说明:
的方式是任意的; (1)定义中 P → P0 的方式是任意的; ) (2)二元函数的极限也叫二重极限 lim f ( x, y ); )
x → x0 y → y0

3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似. (3)二元函数的极限运算法则与一元函数类似.

极限的运算
f 设 P → P0 时, ( P ) → A, f ( P ) → B, 则 (1). f ( P ) ± g( P ) → A ± B; ( 2). f ( P ) ? g( P ) → A ? B; ( 3). f ( P ) g( P ) → A B ( B ≠ 0).

多元函数的连续性
定义 设 n 元函数 f ( P ) 的定义域为点集 D, P0 是 其聚点且 P0 ∈ D , 如果 lim f ( P ) = f ( P0 ) 则称n 元
P → P0

函数 f ( P ) 在点 P0 处连续. 处连续.

的定义域的聚点, 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点 , 如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续,则称 P0 是函数 f ( P ) 的间 处不连续, 断点. 断点

多元连续函数的性质
(1)最大值和最小值定理 ) 在有界闭区域D上的多元连续函数,在D上 在有界闭区域 上的多元连续函数, 上 上的多元连续函数 至少取得它的最大值和最小值各一次. 至少取得它的最大值和最小值各一次. (2)介值定理 ) 在有界闭区域D上的多元连续函数, 在有界闭区域 上的多元连续函数,如果在 上的多元连续函数 D上取得两个不同的函数值,则它在D上取得介 上取得两个不同的函数值,则它在 上取得介 上取得两个不同的函数值 于这两值之间的任何值至少一次. 于这两值之间的任何值至少一次.

怎样求一个二重极限呢? 怎样求一个二重极限呢?
(1)按定义证明极限存在; )按定义证明极限存在; (2)夹逼法; )夹逼法; (3)把二元问题利用变量替换转化为一元问题; )把二元问题利用变量替换转化为一元问题; (4)利用极坐标; )利用极坐标;

确定极限不存在的方法: 确定极限不存在的方法: 不存在的方法
(1) 令 P ( x , y ) 沿 y = kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ) , ) 若极限值

有关,则可断言极限不存在; 与 k 有关,则可断言极限不存在;

存在, (2) 找两种不同趋近方式,使 lim f ( x , y ) 存在,但 ) 找两种不同趋近方式,
x → x0 y → y0

两者不相等, 两者不相等,此时也可断言 f ( x , y )在点
P0 ( x0 , y0 ) 处极限不存在. 处极限不存在.

偏导数概念
定义 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某一邻域 内有定义, 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ?x 内有定义 , 时,相应地函数有增量 f ( x0 + ?x , y0 ) ? f ( x0 , y0 ) ,
f ( x 0 + ? x , y0 ) ? f ( x 0 , y0 ) 存在, 如果 lim 存在,则称此极 ?x → 0 ?x 限为函数 z = f ( x, y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导

数,记为

?z ?x

?f , x = x0 ?x
y = y0

x = x0 y = y0

, zx

x = x0 y = y0

或 f x ( x 0 , y0 ) .

同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的 偏导数, 偏导数, 为
f ( x 0 , y0 + ? y ) ? f ( x 0 , y 0 ) lim ?y → 0 ?y ?z ?f 记为 , , z y x = x 0 或 f y ( x 0 , y0 ) . ?y x = x0 ?y x = x0 y = y0
y = y0 y = y0

如果函数 z = f ( x, y ) 在区域 D 内任一点( x, y ) 处 的偏导数都存在, 对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、 y 的函数, 的函数,它就称为函数 z = f ( x, y ) 对自变量x 的偏 导数, 导数,
? z ?f 记作 , , z x 或 f x ( x, y ) . ?x ?x

同理可以定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导
?z ? f 数,记作 , , z y 或 f y ( x , y ) . ?y ? y

高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
? ? ?z ? ? 2 z ? ?x ? = ?x 2 = f xx ( x , y ), ?x ? ?
? ? ?z ? ? 2 z ? ?x ? = ?x?y = f xy ( x , y ), ?y ? ?
? ? ?z ? ? 2 z ? ?y ? = y 2 = f yy ( x , y ), ?y ? ? ?

纯偏导
? ? ?z ? ? 2 z ? ?y ? = ?y?x = f yx ( x, y ). ?x ? ?

混合偏导 定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数. 导数

全微分概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 ?z = f ( x + ?x , y + ?y ) ? f ( x , y ) 可以表示为 ?z = A?x + B?y + o( ρ) ,其中 A,B 不依赖于 ?x , ?y 而 有关, 仅与 x , y 有关, ρ = ( ?x ) 2 + ( ?y ) 2 ,则称函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, A?x + B?y 称为函数 可微分 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全微分,记为dz ,即 的全微分, dz = A?x + B?y .

多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系

函数连续

函数可导

函数可微

偏导数连续

复合函数求导法则
可导, 定理 如果函数 u = ?( t ) 及 v = ψ( t ) 都在点 t 可导, 具有连续偏导数, 函数 z = f ( u, v ) 在对应点( u, v ) 具有连续偏导数, 则 可导, 复合函数 z = f [?( t ), ψ( t )] 在对应点 t 可导, 且其导 数可用下列公式计算: 数可用下列公式计算:
dz ?z du ?z dv = + . dt ?u dt ?v dt
dz dt

以上公式中的导数

称为全导数 称为全导数.

如果 u = ?( x , y ) 及 v = ψ( x , y ) 都在点( x , y ) 具 的偏导数, 有对 x 和 y 的偏导数,且函数 z = f ( u, v ) 在对应点
( u, v ) 具有连续偏导数,则复合函数 具有连续偏导数, z = f [?( x , y ), ψ( x , y )] 在对应点( x , y ) 的两个偏导数

存在, 存在,且可用下列公式计算 ?z ?z ?u ?z ?v = + , ?x ?u ?x ?v ?x ?z ?z ?u ?z ?v = + . ?y ?u ?y ?v ?y

全微分形式不变性
无论 z是自变量 u、v 的函数或中间变量 u、v 、 的函数,它的全微分形式是一样的. 的函数,它的全微分形式是一样的
?z ?z dz = du + dv . ?v ?u

隐函数的求导法则
(1) F ( x, y) = 0

隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 ) 的 某一邻域内具有连续的偏导数, 某一邻域内具有连续的偏导数,且 F ( x0 , y0 ) = 0 , Fy ( x0 , y0 ) ≠ 0 ,则方程 F ( x , y ) = 0 在点 P ( x0 , y0 ) 的某 一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y = f ( x ) ,它满足条件 y0 = f ( x0 ) ,并 有
Fx dy =? . dx Fy
隐函数的求导公式

( 2)

F ( x, y, z ) = 0

隐函数存在定理 2 设函数 F ( x , y, z ) 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内有连续的偏导数,且 F ( x0 , 的某一邻域内有连续的偏导数, y0 , z0 ) = 0 , Fz ( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ,则方程 F ( x , y, z ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定 的某一邻域内恒能唯一确定 一个单值连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y ) ,它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ) , 并有
Fx ?z =? , Fz ?x

Fy ?z =? . Fz ?y

( 3)

? F ( x , y , u, v ) = 0 ? ?G( x , y, u, v ) = 0

隐函数存在定理 3 设 F ( x , y, u, v ) 、G ( x , y, u, v ) 在 点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内有对各个变量的连 续偏导数, 续偏导数,且 F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 ,G ( x0 , y0 , u0 , v0 ) = 0 ,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可 且偏导数所组成的函数行列式( 比式) 比式)
?F ? ( F , G ) ?u J= = ?G ? ( u, v ) ?u ?F ?v ?G ?v

不等于零, 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 不等于零,则方程组 F ( x , y, u, v ) = 0 、 G ( x , y, u, v ) = 0 在点 P ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 u = u( x , y ) , v = v( x , y ) ,它们满足条件 u0 = u( x0 , y0 ) , v0 = v ( x0 , y0 ) ,并有
Fx Fv G x Gv 1 ?( F , G ) ?u =? =? , Fu Fv J ?( x, v ) ?x Gu Gv

Fu ?v 1 ?( F , G ) =? =? Gu J ? ( u, x ) ?x

Fx Gx

Fu Gu

Fv Gv

Fy 1 ?( F , G ) ?u =? =? Gy J ? ( y, v ) ?y

Fv Gv

Fu Gu

Fv , Gv

Fu 1 ?( F , G ) ?v =? =? Gu J ? ( u, y ) ?y

Fy Gy

Fu Fv . Gu Gv

显示结构 1. 分析复合结构 隐式结构 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 2. 正确使用求导法则 “分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导” 注意正确使用求导符号 3. 利用一阶微分形式不变性
(画变量关系图)

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微分法在几何上的应用
(1) 空间曲线的切线与法平面
Γ: x = ?( t ), y = ψ ( t ), z = ω( t ).

切线方程为

x ? x 0 y ? y0 z ? z 0 = = . ?′( t0 ) ψ′( t0 ) ω′( t0 )

法平面方程为
?′( t 0 )( x ? x0 ) + ψ′( t0 )( y ? y0 ) + ω′( t 0 )( z ? z0 ) = 0.

(2) 2

曲面的切平面与法线
π: F ( x , y , z ) = 0.

切平面方程为
Fx ( x0 , y0 , z0 )( x ? x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z0 )( y ? y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z0 )( z ? z0 ) = 0

法线方程为
x ? x0 y ? y0 z ? z0 = = . Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )

方向导数
定义 函 数 的增 量 f ( x + ?x , y + ?y ) ? f ( x , y ) 与 PP ′ 两点间的距离 ρ = ( ?x ) 2 + ( ?y ) 2 之比值, 当 P ′ 沿着 l 趋于 P 时, 如果 此比 的极 限 存在 , 则称 这极 限为 函 数在 点 P 沿方 向 l 的方 向导 数.

记为

f ( x + ?x , y + ?y ) ? f ( x , y ) ?f = lim . ?l ρ→ 0 ρ

三元函数方向导数的定义
f ( x + ?x, y + ?y, z + ?z) ? f ( x, y, z) ?f = lim . ρ→ 0 ?l ρ

( 其中 ρ = ( ?x ) 2 + ( ?y ) 2 + ( ?z ) 2 )

定理 如果函数 z = f ( x, y ) 在点 P ( x, y ) 是可微分 的,那末函数在该点沿任意方向 L 的方向导数 都存在, 都存在,且有
?f ?f ?f = cos φ + sin φ , ?l ?x ?y 的转角. 其中 φ 为 x 轴到方向 L 的转角.

三元函数

在点

沿方向 l (方向角 方向角

为 α, β, γ) 的方向导数为
?f ?f ?f ?f = cos α+ cos β + cos γ ?x ?l ?y ?z

二元函数

在点

沿方向 l (方向角为 方向角为

α, β ) 的方向导数为
?f ?f ?f = cos α+ cos β ?l ? x ?y
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梯度的概念
定义 设函数 z = f ( x , y ) 在平面区域 D 内具有一 阶连续偏导数, 阶连续偏导数,则对于每一点 P ( x , y ) ∈ D ,都可
?f r ?f r j ,这向量称为函数 定出一个向量 i + ?x ?y z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的梯度,记为 的梯度, ?f r ?f r gradf ( x , y ) = i + j. ?x ?y

梯度与方向导数的关系
函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方 函数在某点的梯度是这样一个向量, 向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为 向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为 方向导数的最大值. 方向导数的最大值.梯度的模为
? ? f ? ? ?f ? | gradf ( x , y ) |= ? ? + ? ? . ? ?x ? ? ?y ?
2 2

? 三元函数

在点

处的梯度为

? ?f , ?f , ?f ? grad f = ? ? ? ?x ?y ?z ?
? 二元函数 在点 处的梯度为

grad f = ( f x (x, y) , f y (x, y))
关系 ? 可微 方向导数存在 偏导数存在

?f = grad f ? l 0 梯度在方向 l 上的投影. ? ?l
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多元函数的极值
定义 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 定义,对于该邻域内异于 ( x0 , y0 ) 的点( x, y ) :若 定义, 满 足 不 等 式 f ( x, y ) < f ( x0 , y0 ) , 则 称 函 数 在 ( x0 , y0 ) 有 极 大 值 ; 若 满 足 不 等 式 f ( x , y ) > f ( x0 , y0 ) ,则称函数在( x0 , y0 ) 有极小值; 有极小值;

极大值、极小值统称为极值 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. 使函数取得极值的点称为极值点

多元函数取得极值的条件
必要条件) 定理 1(必要条件) 具有偏导数, 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 具有偏导数, 且在点
( x0 , y0 ) 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: 处有极值,则它在该点的偏导数必然为零: f x ( x0 , y0 ) = 0 ,

f y ( x0 , y0 ) = 0 .

一阶偏导数同时为零的点, 定义 一阶偏导数同时为零的点,均称为多元 函数的驻点 驻点. 函数的驻点 注意 驻点 极值点

充分条件) 定理 2(充分条件) 的某邻域内连续, 设函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数, 有一阶及二阶连续偏导数, f y ( x0 , y0 ) = 0 , 令 又 f x ( x0 , y0 ) = 0 ,

f xx ( x0 , y0 ) = A , f xy ( x0 , y0 ) = B , f yy ( x0 , y0 ) = C ,
则 f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处是否取得极值的条件如下: 处是否取得极值的条件如下: (1) B 2 ? AC < 0 时具有极值, 时具有极值, 时有极大值, 时有极小值; 当 A < 0 时有极大值, 当 A > 0 时有极小值; 时没有极值; (2) B 2 ? AC > 0 时没有极值; 时可能有极值,也可能没有极值, (3) B 2 ? AC = 0 时可能有极值,也可能没有极值,还 需另作讨论. 需另作讨论.

求函数 z = f ( x , y )极值的一般步骤: 极值的一般步骤:

第一步

解方程组

f x ( x , y ) = 0,

f y ( x, y) = 0

求出实数解,得驻点. 求出实数解,得驻点
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 ) ,

求出二阶偏导数的值 A、B、C .
的符号,再判定是否是极值. 第三步 定出 AC ? B 2 的符号,再判定是否是极值

条件极值:对自变量有附加条件的极值. 条件极值:对自变量有附加条件的极值.
拉格朗日乘数法 要找函数 z = f ( x , y )在条件φ ( x , y ) = 0 下的可能极 值点, 值点, 先构造函数 F ( x , y ) = f ( x , y ) + λφ ( x , y ) , 为某一常数, 其中 λ 为某一常数,可由

? f x ( x , y ) + λφ x ( x , y ) = 0, ? ? f y ( x , y ) + λφ y ( x , y ) = 0, ? φ ( x , y ) = 0. ? 就是可能的极值点的坐标. 解出 x , y , λ ,其中 x , y 就是可能的极值点的坐标

二重积分的定义
上的有界函数, 定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数,将闭 区域 D 任意分成n 个小闭区域 ?σ1 , ?σ 2 , L ,?σ n ,其 个小闭区域,也表示它的面积, 中 ?σ i 表示第i 个小闭区域,也表示它的面积,在每个
?σ i 上任取一点( ξ i , ηi ) , f ( ξ i , ηi ) ?σ i ,
( i = 1, 2, L , n) ,

作乘积 并作和

∑ f ( ξ , η )?σ ,
i =1 i i i

n

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ 趋近于零 这和式的极限存在, 时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x , y ) 上的二重积分, 在闭区域 D 上的二重积分, σ 记为 ∫∫ f ( x , y )dσ ,
D

即 ∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f ( ξ i , ηi ) ?σ i σ
D λ→ 0 i =1

n

二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时, 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值. 负值.

二重积分的性质
性质1 性质1 为常数时, 当 k 为常数时,

∫∫ kf ( x, y)d σ =k ∫∫ f ( x, y)d σ.
D D

性质2 性质2

∫∫ [ f ( x, y) ± g( x, y)]d σ
D

= ∫∫ f ( x , y )d σ ± ∫∫ g( x , y )d σ.
D D

性质3 性质3

对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
D1 D2

∫∫ f ( x, y )d σ = ∫∫ f ( x, y)d σ + ∫∫ f ( x, y)d σ.
D

性质4 性质4 性质5 性质5

若σ 为D的面积 σ = ∫∫ 1 ? d σ = ∫∫ d σ. 的面积
D D

若在D上 若在 上, f ( x , y ) ≤ g( x , y )

∫∫ f ( x, y)d σ ≤ ∫∫ g( x, y)d σ.
D D

特殊地

∫∫ f ( x, y)d σ ≤ ∫∫
D D

f ( x , y ) d σ.

性质6 性质6 设 M 、 m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的最
大值和最小值,σ 为 D 的面积,则 大值和最小值, 的面积, mσ ≤ ∫∫ f ( x , y )d σ ≤ M σ
D

(二重积分估值不等式) 二重积分估值不等式)

性质7 性质7 设函数 f ( x , y ) 在闭区域 D 上连续,σ 为D 上连续,
的面积, 的面积,则在 D 上至少存在一点( ξ, η) 使得 ∫∫ f ( x, y)d σ = f ( ξ, η) ? σ .
D

(二重积分中值定理) 二重积分中值定理)

二重积分的计算
(1)直角坐标系下

[X-型] -

D : a ≤ x ≤ b,
b a

?1 ( x ) ≤ y ≤ ? 2 ( x ).
?2 ( x ) ?1 ( x )

∫∫ f ( x , y )d σ = ∫
D

dx ∫

f ( x , y ) dy .

X-型区域的特点: 穿过区域且平行于 型区域的特点 穿过区域且平行于y
轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 轴的直线与区域边界相交不多于两个交点

[Y-型] D : c ≤ y ≤ d , -
d c

?1 ( y ) ≤ x ≤ ? 2 ( y ).
?2 ( y ) ?1 ( y )

∫∫ f ( x , y )d σ = ∫
D

dy ∫

f ( x , y ) dx .

Y型区域的特点:穿过区域且平行于 轴 型区域的特点 穿过区域且平行于x轴
的直线与区域边界相交不多于两个交点. 的直线与区域边界相交不多于两个交点

(2)极坐标系下
D1 : α ≤ θ ≤ β, ?1 ( θ) ≤ r ≤ ? 2 ( θ).

∫∫ f ( r cos θ, r sin θ)rdrd θ
D1

= ∫ d θ∫
α

β

?2 ( θ )

?1 ( θ )

f ( r cos θ, r sin θ) rdr .

D2 : α ≤ θ ≤ β,

0 ≤ r ≤ ?( θ).

∫∫ f ( r cos θ, r sin θ)rdrd θ
D2

= ∫ d θ∫
α

β

?( θ )

0

f ( r cos θ, r sin θ) rdr .
0 ≤ r ≤ ?( θ).

D3 : 0 ≤ θ ≤ 2π,

∫∫ f ( r cos θ, r sin θ)rdrd θ
D3

= ∫ d θ∫
0



?( θ )

0

f ( r cos θ, r sin θ) rdr .

二重积分的应用
(1) 体积
在 曲面 z = f ( x , y ) 与 区域 D 之 间直 柱体 的体 积为

V = ∫∫ f ( x , y )dxdy.
D

(2) 曲面积 曲面的方程为: 设S曲面的方程为: z = f ( x, y ). 曲面的方程为 曲面S的面积为 曲面 的面积为
A = ∫∫ 1 + (
Dxy ?z ?x

) + ( ) dxdy;
2 ?z ?y 2

(3) 重心 设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域D , 在点( x, y ) 处的面密度为ρ( x, y ) ,假定ρ( x, y ) 在D 上 连续, 连续,平面薄片的重心为
x=

∫∫ xρ( x, y)d σ
D

∫∫ ρ( x, y)d σ
D

,

y=

∫∫ yρ( x, y)d σ
D

∫∫ ρ( x, y)d σ
D

.

当薄片是均匀的,重心称为形心 当薄片是均匀的,重心称为形心.
1 x = ∫∫ xd σ, A D 1 y = ∫∫ yd σ. A D
其中 A = ∫∫ d σ
D

(4) 转动惯量
设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域 D ,在点( x , y ) 处的面密度为ρ( x , y ) ,假定ρ( x , y ) 在 D 上连续,平面薄片对于 x 轴和 y 轴的转动惯量为 上连续,

薄片对于x轴的转动惯量
I x = ∫∫ y 2ρ( x , y )d σ,
D

薄片对于y轴的转动惯量
I y = ∫∫ x 2ρ( x , y )d σ.
D

(5) 引力
设有一平面薄片, 设有一平面薄片,占有 xoy 面上的闭区域 D , 在点( x , y ) 处的面密度为 ρ( x , y ) ,假定 ρ( x , y ) 在 D 上连续, 上连续,计算该平面薄片对位于 z 轴上的点 M 0 ( 0, 0, a ) 处的单位质点的引力.( a > 0) 处的单位质点的引力.

薄片对 z 轴上单位质点的引力 F = { Fx , Fy , Fz },
Fx = f ∫∫
D

ρ( x , y ) x (x + y + a )
2 2 2
3 2

d σ, d σ.

Fy = f ∫∫
D

ρ( x , y ) y (x + y + a )
2 2 2
3 2

d σ,

Fz = ? af ∫∫
D

ρ( x , y ) (x + y + a )
2 2 2
3 2

f 为引力常数

三重积分的定义
上的有界函数, 设 f ( x, y, z ) 是空间有界闭区域 ? 上的有界函数, 将闭区域 ? 任意分成 n 个小闭区域 ?v1 , ?v2 , L , ?vn ,其中 ?vn 表示第 i 个小闭区域,也表示它的体 个小闭区域, 积, 在每个 ?vi 上任取一点( ξ i , ηi , ζ i ) 作乘积 f ( ξ i , ηi , ζ i ) ? ?vi ,( i = 1, 2, L , n) ,并作和, 如果当各小 并作和, 趋近于零时, 闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零时, 这和式的极 限存在, 限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y, z ) 在闭区域 ? 上的 三重积分, 三重积分,记为

∫∫∫ f ( x, y, z )dv = lim ∑ f ( ξ , η , ζ )?v .
?

n

λ→ 0

i =1

i

i

i

i

三重积分的几何意义
当 f ( x , y, z ) = 1 时,

∫∫∫ dv = V 表示空间区域的体积.
?

三重积分的性质
类似于二重积分的性质. 类似于二重积分的性质.

三重积分的计算
(1) 直角坐标 1
? : z1 ( x , y ) ≤ z ≤ z2 ( x , y ); y1 ( x ) ≤ y ≤ y2 ( x ); a ≤ x ≤ b.

∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
?

b

a

dx ∫

y2 ( x ) y1 ( x )

dy ∫

z2 ( x , y ) z1 ( x , y )

f ( x , y, z )dz.

? = {( x , y, z ) ( x , y ) ∈ Dz , c1 ≤ z ≤ c2 }.

∫∫∫ f ( x, y, z )dv = ∫
?

c2

c1

dz ∫∫ f ( x , y, z )dxdy.
Dz

(2) 柱面坐标 2
? x = r cos θ, ? ? y = r sin θ, ? z = z. ?

dv = rdrd θdz ,

∫∫∫ f ( x, y, z )dv
?

= ∫∫∫ f ( r cos θ, r sin θ, z ) rdrd θdz.
?

(3) 球面坐标 3
? x = ρsin ?cos θ, ? ? y = ρsin ?sin θ, ?z = ρcos ?. ?

dv = ρ 2 sin ?drd ?d θ,

∫∫∫ f ( x, y, z )dxdydz =
?

∫∫∫
?

f ( ρ sin ? cos θ, ρ sin ? sin θ, ρ cos ?)ρ 2 sin ?d ρd ?d θ.

三重积分的应用
(1) 重心 1
设物体占有空间闭区域? ,在点( x , y, z ) 处的 上连续, 密度为 ρ( x , y, z ) ,假定 ρ( x , y, z ) 在? 上连续,则该 物体的重心为
1 x= M

∫∫∫ xρdv,
?

1 y= M

∫∫∫ yρdv,
?

1 z= M

∫∫∫ zρdv.
?
?

其中 M = ∫∫∫ ρdv.

转动惯量
设物体占有空间闭区域? ,在点( x , y, z ) 处的 上连续, 密度为 ρ( x , y, z ) ,假定 ρ( x , y, z ) 在? 上连续,则该 物体对坐标面,坐标轴及原点的转动惯量为 物体对坐标面 坐标轴及原点的转动惯量为
I xy = ∫∫∫ z 2ρdv ,
?

I yz = ∫∫∫ x 2ρdv ,
?

I zx = ∫∫∫ y 2ρdv ,
?

I x = ∫∫∫ ( y 2 + z 2 )ρdv ,
?

I y = ∫∫∫ ( z 2 + x 2 )ρdv ,
?

I z = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 )ρdv ,
?

I o = ∫∫∫ ( x 2 + y 2 + z 2 )ρdv.
?

基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程. 叫微分方程. 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最

高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解. 式的函数称为微分方程的解.

如果微分方程的解中含有任意常数 微分方程的解中含有任意常数, 通解 如果微分方程的解中含有任意常数,并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同, 任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的 解叫做微分方程的通解. 解叫做微分方程的通解. 确定了通解中的任意常数以后得到的解, 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解, 叫做微分方程的特解. 叫做微分方程的特解. 初始条件 用来确定任意常数的条件. 用来确定任意常数的条件

初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题, 求微分方程满足初始条件的解的问题, 叫初值问题. 叫初值问题.

一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy = f ( x )dx

分离变量法 解法

∫ g( y)dy = ∫ f ( x)dx
形如 dy y = f( ) dx x

(2) 齐次方程

解法

y 作变量代换 u = x

(3) 可化为齐次的方程
形如 dy ax + by + c = f( ) dx a1 x + b1 y + c1

齐次方程. 否则为非齐次方程. 当c = c1 = 0时, 齐次方程. 否则为非齐次方程. 解法

令 x = X + h, y = Y + k,

化为齐次方程. 化为齐次方程.

是待定的常数) (其中h和k是待定的常数) 其中 和 是待定的常数

(4) 一阶线性微分方程

形如

dy + P( x) y = Q( x) dx
上方程称为齐次的. 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 上方程称为非齐次的
? P( x )dx

当Q( x ) ≡ 0,

当Q( x) ≡ 0,

解法 齐次方程的通解为 y = Ce ∫

.

(使用分离变量法) 使用分离变量法)

非齐次微分方程的通解为

∫ P( x)dxdx + C]e?∫ P( x)dx y = [∫ Q( x)e
(常数变易法) 常数变易法) (5) 伯努利 伯努利(Bernoulli)方程 方程

dy n 形如 + P( x) y = Q( x) y dx

(n ≠ 0,1)

方程为线性微分方程. 当n = 0,1时,方程为线性微分方程 方程为非线性微分方程. 当n ≠ 0,1时,方程为非线性微分方程

解法

需经过变量代换化为线性微分方程. 需经过变量代换化为线性微分方程.

令z = y1?n ,
y 1? n = z =e ∫
? ( 1? n ) P ( x ) dx

∫ ( 1? n ) P ( x ) dx dx + c ). ( ∫ Q( x )(1 ? n)e

(6) 全微分方程 形如

P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
其中 du( x, y) = P( x, y)dx + Q( x, y)dy

注意: 注意: 全微分方程 ? ?P = ?Q ?y ?x 解法 应用曲线积分与路径无关. 应用曲线积分与路径无关
x y

u( x, y) = ∫x P( x, y)d x + ∫y Q( x0 , y)dy
0 0

= ∫ Q( x, y)dy + ∫ P( x, y0 )d x,
y0 x0

y

x

通解为

u( x, y) = c .

用直接凑全微分的方法 用直接凑全微分的方法. 全微分的方法

(7) 可化为全微分方程 形如

P( x, y)dx + Q( x, y)dy = 0
?P ?Q ). 非全微分方程 ( ≠ ?y ?x

若 ?( x ,

y ) ≠ 0 连续可微函数,且可使方程 连续可微函数,

?( x , y ) P ( x , y )dx + ?( x , y )Q( x , y )dy = 0 成 为 全 微 分

方程.则称 为方程的积分因子 积分因子. 方程 则称 ?( x , y ) 为方程的积分因子

公式法: 公式法:
1 ?P ?Q 若 ( ? ) = f ( x) Q ?y ?x 1 ?Q ?P 若 ( ? ) = g( y ) P ?x ? y

∫ f ( x)dx ; 则 ?( x) = e

∫ g( y)dy . 则 ?( y) = e

观察法: 观察法:
熟记常见函数的全微分表达式, 熟记常见函数的全微分表达式,通过观察直接找出 积分因子. 积分因子.

常见的全微分表达式
? x2 + y2 ? ? xdx + ydy = d? ? ? 2 ? ?
xdy ? ydx ? y? = d? ? 2 x ? x?

xdy ? ydx y? ? = d? arctg ? x? x2 + y2 ?

xdy + ydx = d(ln xy) xy

xdx + ydy ?1 ? = d? ln( x2 + y2 )? x2 + y2 ?2 ?

xdy ? ydx ? 1 x + y? = d? ln ? 2 2 x ?y ? 2 x ? y?

可选用积分因子

1 1 1 1 x y , 2, 2 2, 2 , 2 , 2 等. x + y x x y x + y2 y x

可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y( n) = f ( x ) 型

解法 接连积分 次,得通解. 接连积分n次 得通解.
( 2) y′′ = f ( x , y′)



特点 解法

不显 含未 知函 数 y.

令 y′ = P(x),

y′′ = P′,

代入原方程, 代入原方程 得 P ′ = f ( x , P ( x )).

( 3)

y′′ = f ( y , y′) 型
不显 含自变 量 x.

特点 解法

令 y′ = P(x),

dp y′′ = P , dy

dp 代入原方程, 代入原方程 得 P = f ( y, P ). dy

4、线性微分方程解的结构
二阶齐次方程解的结构: (1) 二阶齐次方程解的结构:
形如 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0 (1)

是方程(1) (1)的两个 定理 1 如果函数 y1( x)与y2 ( x)是方程(1)的两个 也是(1)的解. (1)的解 ( 解,那末y = C1 y1 + C2 y2 也是(1)的解. C1, C2 是常 数)
是方程(1) (1)的两个线性 定理 2:如果y1 ( x)与y2 ( x)是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么y = C1 y1 + C2 y2 就是方程(1)的通 就是方程(1) (1)的通 无关的特解, 解.

(2)二阶非齐次线性方程的解的结构: 二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f ( x) (2)

定理 3

的一个特解, 是与(2) (2)对应 设y* 是(2)的一个特解, Y 是与(2)对应

的齐次方程(1)的通解 的齐次方程(1)的通解, 那么 y = Y + y* 是二阶 (1)的通解, 非齐次线性微分方程(2)的通解. 非齐次线性微分方程(2)的通解. (2)的通解
定理4 定理 4 设非齐次方程(2)的右端 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函 (2) 数之和, 如y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f1 ( x) + f2 ( x) 数之和,
* * 而y1 与 y2分别是方程, 分别是方程,

y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f1 ( x) y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = f2 ( x)
的特解, 就是原方程的特解. 的特解, 那么y + y 就是原方程的特解.
* 1 * 2

二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) + P y(n?1) + L+ Pn?1 y′ + Pn y = f ( x) 1
n阶常系数线性微分方程 阶常系数线性微分方程

y′′ + py′ + qy = 0

二阶常系数齐次线性方程

y′′ + py′ + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法 特征方程法. 定其通解的方法称为特征方程法

y′′ + py′ + qy = 0
特征方程为

r + pr + q = 0
2

特征根的情况

通解的表达式

≠ r2 实根 r1 = r2 复根 r = α ± iβ 1, 2
实根 r1

y = C1e r x + C 2 e r x y = (C1 + C 2 x )e r x y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
1 2

2

推广: 推广:n 阶常系数齐次线性方程解法
y(n) + P y(n?1) + L+ Pn?1 y′ + Pn y = 0 1
特征方程为 r n + P r n?1 + L+ P ?1r + P = 0 1 n n 特征方程的根
若是k重根r 重根

通解中的对应项
(C0 + C1 x + L + Ck ?1 x k ?1 )e rx
[(C0 + C1 x + L + Ck ?1 x k ?1 ) cosβx + ( D0 + D1 x + L + Dk ?1 x k ?1 ) sinβx]eαx

若是k重共轭 复根α ± jβ

6、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y′′ + py′ + qy = f (x)

二阶常系数非齐次线性方程

待定系数法. 解法 待定系数法

(1)

f ( x ) = e λx Pm ( x ) 型
设 y = xkeλxQm( x) ,
? 0 λ 不是 根 ? k = ? 1 λ 是单 根 ? 2 λ 是重 根 ? ,

(2)

f ( x) = eλx[Pl ( x)cosωx + Pn ( x)sinωx] 型

( ( 设 y = xkeλx[Rm1) ( x)cosωx + Rm2) ( x)sinωx],

( ( 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m次多项式,m = max {l , n}

? 0 λ ± jω不是特征方程的根时; k=? ? 1 λ ± jω是特征方程的单根时.

欧拉方程
形如
x n y ( n ) + p1 x n?1 y ( n?1) + L + pn?1 xy′ + pn y = f ( x )

的方程(其中 p1 , p2 L pn 为常 欧拉方程. 的方程 其中 叫欧拉方程 数), , 欧拉方程是特殊的变系数方程, 欧拉方程是特殊的变系数方程,通过变量代换
x = e t 或 t = ln x 可化为常系数微分方程 可化为常系数微分方程.



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