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高中数学必修2 第四章 4.2 4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用


理解教材新知 题型一 题型二 题型三 题型四 第 1 部 分 第 四 章 4.2 4.2.2 & 4.2.3 突破 常考 题型 跨越高分障碍 随堂即时演练 应用落实体验 课时达标检测 4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 [提出问题] 上图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过 程.可以用两个圆来表示变化过程. 问题1:根据上图,结合平面几何,圆与圆的位置关系有 几种? 提示:5种,即内含、内切、相交、外切、相离. 问题2:能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 提示:可以,利用圆心距与半径的关系可判断. 问题3:直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断, 那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断? 提示:可以. [导入新知] 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为 相离 、外切 、相交、 内切 、 内含. _____ 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆连心线的长 为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 关系 图示 d与 r1、r2 的 关系 外离 外切 相交 内切 内含 |________ r1-r2|<d d =|r1-r2| d<|r -r | =r1+r2 d >r1+r2 d ________ ________ _________ 1 2 < r + r 1 2 ________ (2)代数法:设两圆的一般方程为 2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 + E 1 1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 2+E2-4F2>0), 2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, 联立方程得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ____ 2个 1个 _____ 0个 ____ 两圆的位置关系 相交 ____ 内切或外切 __________ 外离或内含 __________ [化解疑难] 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得 到两圆的位置关系,代数法则是把两圆位置关系的判定 完全转化为代数问题,即方程组的解的个数问题,但这 种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位 置关系,而不能像几何判定方法一样,能判定出外离、 外切、相交、内切、内含五种位置关系,因此一般情况 下,使用几何法判定两圆的位置关系问题. 判断两圆的位置关系 [例1] 当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+ 12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、相离? [解] 将两圆的一般方程化为标准方程, C1:(x+2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径长r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径长r2= 50-k(k<50), 从而|C1C2|= ?-2-1?2+?3-7?2=5. 当1+ 50-k=5,即k=34时,两圆外切. 当| 50-k -1|=5,即 50-k =6,即k=14时, 两圆内切. 当| 50-k-1|<5<1+ 50-k, 即14<k<34时,两圆相交. 当1+ 50-k<5或| 50-k-1|>5, 即k<14或34<k<50时,两圆相离. [类题通法] 1.判断两圆的位置关系或利用


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