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高中数学必修2 第四章 4.2 4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用_图文

理解教材新知 题型一 题型二 题型三 题型四 第 1 部 分 第 四 章 4.2 4.2.2 & 4.2.3 突破 常考 题型 跨越高分障碍 随堂即时演练 应用落实体验 课时达标检测 4.2.2 & 4.2.3 圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 [提出问题] 上图为1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日环食全过 程.可以用两个圆来表示变化过程. 问题1:根据上图,结合平面几何,圆与圆的位置关系有 几种? 提示:5种,即内含、内切、相交、外切、相离. 问题2:能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系? 提示:可以,利用圆心距与半径的关系可判断. 问题3:直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断, 那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断? 提示:可以. [导入新知] 1.圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系有五种,分别为 相离 、外切 、相交、 内切 、 内含. _____ 2.圆与圆位置关系的判定 (1)几何法:若两圆的半径分别为r1、r2,两圆连心线的长 为d,则两圆的位置关系的判断方法如下: 位置 关系 图示 d与 r1、r2 的 关系 外离 外切 相交 内切 内含 |________ r1-r2|<d d =|r1-r2| d<|r -r | =r1+r2 d >r1+r2 d ________ ________ _________ 1 2 < r + r 1 2 ________ (2)代数法:设两圆的一般方程为 2 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(D2 + E 1 1-4F1>0), 2 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(D2 2+E2-4F2>0), 2 2 ? ?x +y +D1x+E1y+F1=0, 联立方程得? 2 2 ? ?x +y +D2x+E2y+F2=0, 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下: 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 ____ 2个 1个 _____ 0个 ____ 两圆的位置关系 相交 ____ 内切或外切 __________ 外离或内含 __________ [化解疑难] 几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得 到两圆的位置关系,代数法则是把两圆位置关系的判定 完全转化为代数问题,即方程组的解的个数问题,但这 种代数判定方法只能判断出不相交、相交、相切三种位 置关系,而不能像几何判定方法一样,能判定出外离、 外切、相交、内切、内含五种位置关系,因此一般情况 下,使用几何法判定两圆的位置关系问题. 判断两圆的位置关系 [例1] 当实数k为何值时,两圆C1:x2+y2+4x-6y+ 12=0,C2:x2+y2-2x-14y+k=0相交、相切、相离? [解] 将两圆的一般方程化为标准方程, C1:(x+2)2+(y-3)2=1, C2:(x-1)2+(y-7)2=50-k. 圆C1的圆心为C1(-2,3),半径长r1=1; 圆C2的圆心为C2(1,7),半径长r2= 50-k(k<50), 从而|C1C2|= ?-2-1?2+?3-7?2=5. 当1+ 50-k=5,即k=34时,两圆外切. 当| 50-k -1|=5,即 50-k =6,即k=14时, 两圆内切. 当| 50-k-1|<5<1+ 50-k, 即14<k<34时,两圆相交. 当1+ 50-k<5或| 50-k-1|>5, 即k<14或34<k<50时,两圆相离. [类题通法] 1.判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的 取值范围有以下几个步骤: (1)化成圆的标准方程,写出圆心和半径; (2)计算两圆圆心的距离d; (3)通过d,r1+r2,|r1-r2|的关系来判断两圆的位置关系 或求参数的范围,必要时可借助于图形,数形结合. 2.应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围 是非常简单清晰的,要理清圆心距与两圆半径的关系. [活学活用] 1.两圆C1:x2+y2-2x-3=0,C2:x2+y2-4x+2y+3=0的位 置关系是( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.内含 解析:法一:(几何法) 把两圆的方程分别配方,化为标准方程是(x-1)2+y2=4, (x-2)2+(y+1)2=2,所以两圆圆心为C1(1,0),C2(2,- 1),半径为r1=2,r2= ?1-2?2+?0+1?2= 2, r1+r2=2+ 2 ,r1-r2=2- 2 ,故r1-r2<|C1C2|<r1+r2, 两圆相交. 2 ,则连心线的长|C1C2|= 法二:(代数法) 2 2 ? ?x +y -2x-3=0, 联立方程? 2 2 ? ?x +y -4x+2y+3=0, 解得 ? ?x1=1, ? ? ?y1=-2, ? ?x2=3, ? ? ?y2=0, 即方程组有2组解,也就是 说两圆的交点个数为2,故可判断两圆相交. 答案: C 与两圆相交有关的问题 [例2] 求经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28 =0的交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. [解] 法一:解方程组 2 2 ? ?x +y +6x-4=0, ? 2 2 ? x + y +6y-28=0, ? 得两圆 的交点A(-1,3)、B(-6,-2). 设所求圆的圆心为(a,b),因圆心在直线x-y-4=0 上,故b=a-4. 则有 ?a+1?2+?a-4-3?2= ?a+6?2+?a-4+2?2, ?1 7? 1 解得a= ,故圆心为?2,-2?, 2 ? ? 半径为 ?1 ? ? 7 ? 2 ? +1? +?- -3?2= ?2 ? ? 2 ? 89 . 2 ? 1?2 ? 7?2 89 故圆的方程为?x-2? +?y+2? = , 2 ? ? ? ? 即x2+y2-x+7y-32=0. 法二: ∵圆x2+y2+6y-28=0的圆心(0


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