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2010届高三一轮复习数学精品资料:5.5 正弦定理和余弦定理


§5.5

正弦定理和余弦定理

基础自测 1.(2008陕西理,3)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 c= ( 陕西理, b=
6

2



,B=120°,则 a 等于 A. C.
6

( B.2 D.



3

2

答案 D 2. 2008 福建理, 在△ABC 中,角 A、 C 的对边分别为 a、 c, (a2+c2-b2) 10) B、 b、 若 ( 福建理, ) 10 tanB= A. π
3

ac,则角 B 的值为( B. π
3

)

6

C. π 或 5π
6 6

D. π 或 2π
3 3

答案 D 3.下列判断中正确的是 ( ) A.△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解 B.△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 C.△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解 D.△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 答案 B 4.在△ABC 中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为 答案
10 3

.

5. 2008 ( 浙江理, 在△ABC 中, A、 C 所对的边分别为 a、 c.若 13) 角 B、 b、 ( 浙江理, ) 13 cosA=acosC,则 cosA= 答案
3 3

3

b-c)

.

例 1 在△ABC 中,已知 a= 已知 = 解

3

,b= =

2

,B=45°,求 A、C 和 c.

∵B=45°<90°且 asinB<b<a,∴△ABC 有两解.

由正弦定理得 sinA= a sin B =
b

3 sin 45° 2

=

3 2

,

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c= b sin C =
sin B

2 sin 75° = sin 45° 2 sin 15° sin 45°

2 sin(45° + 30°) sin 45° 2 sin(45° 30°) sin 45°

=

6+ 2 2

.

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°, c= b sin C =
sin B

=

=

6 2 2

. 或 A=120°,C=15°,c=
cos C 6 2 2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c=

6+ 2 2

.

例 2 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos B =(1)求角 B 的大小; (2)若 b=
13

b 2a + c

.

,a+c=4,求△ABC 的面积.
2

a 解 (1)由余弦定理知:cosB=

+ c2 b2 2ac

,cosC= a

2

+ b2 c2 2ab

.

将上式代入 cos B =cos C

b 2a + c

得:

a 2 + c2 b2 2ac


2

2ab a 2 + b2 c2
2 2

=-

b 2a + c

整理得:a +c -b =-ac ∴cosB= a
2

+ c2 b2 2ac

= ac =- 1
2ac

2

∵B 为三角形的内角,∴B= 2
3

π

.

(2)将 b=

13

,a+c=4,B= 2
3

π

代入

b2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB ∴b2=16-2ac 1 1 ,∴ac=3.

2

∴S△ABC= 1 acsinB= 3
2

3 4

.

2 2 2 例 3 (12 分)△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +c -a +bc=0. (1)求角 A 的大小;

(2)若 a=

3

,求 bc 的最大值;

(3)求 a sin(30° C ) 的值.
bc b 解 (1)∵cosA=
2

+ c2 a2 2bc

= bc =- 1 ,
2bc 2

1分

又∵A∈(0°,180°) , ∴A=120°.

2分 (2)由 a=
3

,得 b2+c2=3-bc, 4分 6分

又∵b2+c2≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号) , ∴3-bc≥2bc(当且仅当 c=b 时取等号). 即当且仅当 c=b=1 时,bc 取得最大值为 1. (3)由正弦定理得:
bc a b c = = = 2R, sin A sin B sin C

∴ a sin(30° C ) = 2 R sin A sin(30° C )
2 R sin B 2 R sin C

8分

= sin A sin(30° C ) 9 分
sin B sin C

=

3 1 3 ( cos C sin C ) 2 2 2 sin(60° C ) sin C 3 3 cos C sin C 4 4 3 3 cos C sin C 2 2

10 分

=

11 分

=1.
2

12 分
2 2

例 4 在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b ) 2 2 sin(A-B)=(a -b )sin(A+B),判断三 角形的形状. 解 方法一 已知等式可化为 a2[sin(A-B)-sin(A+B)] =b2[-sin(A+B)-sin(A-B)] 2 2 ∴2a cosAsinB=2b cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为: sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 π 得 2A=2B 或 2A= π -2B, 即 A=B 或 A= π -B,∴△ABC 为等腰或直角三角形.
2
2 2 方法二 同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB 由正、余弦定理,可得

a 2b b

2

+ c2 a2 2bc

= b 2a a

2

+ c2 b2 2ac

∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0 ∴a=b 或 a2+b2=c2,∴△ABC 为等腰或直角三角形.

1.(1)△ABC 中,a=8,B=60°,C=75°,求 b; (2)△ABC 中,B=30°,b=4,c=8,求 C、A、a. 解(1)由正弦定理得
a b = sin A sin B

.

∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∴b= a sin B = 8 × sin 60° =4
sin A sin 45°
6

.

(2)由正弦定理得 sinC= c sin B = 8 sin 30° =1.
b
4

又∵30°<C<150°,∴C=90°. ∴A=180°-(B+C)=60°,a=
c2 b2

=4

3

.

2.已知△ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2,求 tanC 的值. 2 2 2 解 依题意得 absinC=a +b -c +2ab, 由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC. 所以,absinC=2ab(1+cosC),即 sinC=2+2cosC, 所以 2sin C cos C =4cos2 C ,化简得:tan C =2.
2

2

2

2

从而

C 2 tanC= 2 C 1 tan 2 2 tan

=- 4 .
3

3.(2008辽宁理,17)在△ABC 中,内角 A、B、C 对边的边长分别是 a、b、c. ( 辽宁理,17) 已知 c=2,C= π .
3

(1)若△ABC 的面积等于

3

,求 a、b 的值;

(2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC 的面积. 2 2 解 (1)由余弦定理及已知条件,得 a +b -ab=4. 又因为△ABC 的面积等于 所以 1 absinC=
2 3 3



,所以 ab=4. 解得
a = 2 . b = 2

联立方程组

a 2 + b 2 ab = 4 , ab = 4

(2)由题意得 sin(B+A)+sin(B-A)=4sinAcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA, 当 cosA=0 时,A= π ,B= π ,a= 4
2 6
3 3

,b= 2

3 3

.

当 cosA≠0 时,得 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,

a 2 + b 2 ab = 4, 联立方程组 b = 2a,

a = 解得 b =
3 3

2 3 , 3 4 3 . 3

所以△ABC 的面积 S= 1 absinC= 2
2

.

4.已知△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a、b、c 成等差数 列,且 2cos2B-8cosB+5=0,求角 B 的大小并判断△ABC 的形状. 解 方法一 ∵2cos2B-8cosB+5=0, 2 ∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. 2 ∴4cos B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 1 或 cosB= 3 (舍去).∴cosB= 1 .
2 2 2

∵0<B< π ,∴B= π .
3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. ∴cosB=
a 2 + c2 b2 2ac

=

a2 + c2 (

a+c 2 ) 2 2ac

=1,
2

化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c. 又∵B= π ,∴△ABC 是等边三角形.
3

方法二 ∵2cos2B-8cosB+5=0, 2 ∴2(2cos B-1)-8cosB+5=0. ∴4cos2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 1 或 cosB= 3 (舍去).
2 2

∴cosB= 1 ,∵0<B< π ,∴B= π ,
2 3

∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sinA+sinC=2sinB=2sin π =
3
3

.

∴sinA+sin 2π
3

A = 3


3

∴sinA+sin 2π cos A -cos 2π sin A =
3 3

.

化简得 3 sinA+
2 6 2

3 2

cosA=

3

,∴sin A + π =1.

6

∴A+ π = π ,∴A= π ,∴C= π ,∴△ABC 为等边三角形.
3 3

一、选择题 1.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 一定是 ( ) A.等腰直角三角形 C.直角三角形 答案 B 2.在△ABC 中,A=120°,AB=5,BC=7,则 sin B 的值为
sin C

B.等腰三角形 D.等边三角形

( A. 8
5

) B. 5
8

C. 5
3

D. 3
5

答案 D 3.已知△ABC 的三边长分别为 a,b,c,且面积 S△ABC= 1 2+c2-a2)则 A 等于 (b , (
4



A.45° C.120° 答案 A

B.30° D.15°
3 2

4.在△ABC 中,BC=2,B= π ,若△ABC 的面积为
3

,则 tanC 为(



A. C.

3

B.1 D.
3 2

3 3

答案 C 2 2 2 5.在△ABC 中,a -c +b =ab,则角 C 为 ( ) A.60° C.120° B.45°或 135° D.30° 的度数是( )

答案 A 6.△ABC 中,若 a4+b4+c4=2c2(a2+b2),则∠C A.60° C.120° 答案 B 二、填空题 B.45°或 135° D.30°

7.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= B= 答案
5π 6

7

,c=

3

,则

.

8.某人向正东方向走了 x 千米,他右转 150°,然后朝新方向走了 3 千米,结果 他离出发点恰好 答案
3 3

千米,那么 x 的值是

.

或2

3

三、解答题 2 9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 a =b(b+c). (1)求证:A=2B; (2)若 a=
3

b,判断△ABC 的形状.

(1)证明 因为 a2=b(b+c),即 a2=b2+bc, 证明 所以在△ABC 中,由余弦定理可得, cosB= a
2

+ c2 b2 2ac

=c

2

+ bc 2ac

= b+c =
2a

a2 2ab

=

a 2b

=

sin A 2 sin B

,

所以 sinA=sin2B,故 A=2B. (2)解 解
2

因为 a=

3

b,所以 a =
b

3

,

由 a =b(b+c)可得 c=2b, cosB= a
2

+ c2 b2 2ac

= 3b

2

+ 4b 2 b 2 4 3b
2

=

3 2

,

所以 B=30°,A=2B=60°,C=90°. 所以△ABC 为直角三角形. 10.(2008全国Ⅱ理,17)在△ABC 中,cosB=( 全国Ⅱ 17) 全国 (1)求 sinA 的值; (2)△ABC 的面积 S△ABC= 33 ,求 BC 的长.
2 5 13

,cosC= 4 .
5

解 (1)由 cosB=-

5 13

,得 sinB= 12 ,
13

由 cosC= 4 ,得 sinC= 3 .
5 5

所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 33 .
65

(2)由 S△ABC= 33 ,得 1 ×AB×AC×sinA= 33 .
2 2 2

由(1)知 sinA= 33 ,故 AB×AC=65.
65

又 AC=

AB × sin B sin C

= 20 AB,
13

故 20 AB =65,AB= 13 .
2

13

2

所以 BC=

AB × sin A sin C

= 11 .
2
c2 b2

11.已知 a、b、c 是△ABC 的三边长,关于 x 的方程 ax2-2 b)的两根之差的平方等于 4,△ABC 的面 积 S=10
3

x-b=0 (a>c>

,c=7.

(1)求角 C; (2)求 a,b 的值.
2 解 (1)设 x1、x2 为方程 ax -2

c2 b2

x-b=0 的两根,

则 x1+x2= 2

c2 b2 a

,x1x2=- b .
a
2

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2= 4(c ∴a +b -c =ab. 又 cosC= a
2

b2 ) a2

+ 4b =4.
a

2

2

2

+ b2 c2 2ab

=

ab 2ab

=1,
2

又∵C∈(0°,180°),∴C=60°. (2)由 S= 1 absinC=10
2 3

,∴ab=40.



由余弦定理 c2=a2+b2-2abcosC, 2 2 即 c =(a+b) -2ab(1+cos60°). ∴72=(a+b)2-2×40× 1 + 1 .
2

∴a+b=13.又∵a>b ② ∴由①②,得 a=8,b=5. 12.(2008广东五校联考)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已 ( 广东五校联考) 知 a+b=5,c=
7

,且 4sin2

A+ B 2

-cos2C= 7 .
2

(1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解 (1)∵A+B+C=180°, 由 4sin
2

A+ B 2

-cos2C= 7 ,
2

得 4cos2 C -cos2C= 7 ,
2 2

∴4 1 + cos C -(2cos2C-1)= 7 ,
2 2

整理,得 4cos2C-4cosC+1=0,解得 cosC= 1 ,
2

∵0°<C<180°,∴C=60°.

(2)由余弦定理得 c =a +b -2abcosC, 2 2 2 即 7=a +b -ab,∴7=(a+b) -3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6,
∴S△ABC= absinC= ×6×
1 2 1 2

2

2

2

3 3 3 = . 2 2


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