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高中数学(人教版选修4-4)同步教学课件第二讲 二 圆锥曲线的参数方程 2~3.双曲线的参数方程 抛物线的参_图文



圆锥曲线的参数方程

2~3.双曲线的参数方程 抛物线的参数方程

1.双曲线的参数方程 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线ax22-by22=1 的参数方

程是?????xy==batsaenc

φ, φ

(φ 为参数).规定参数 φ 的取值范围为 φ∈

[0,2π)且 φ≠π2,φ≠32π.

(2)中心在原点,焦点在 y 轴上的双曲线ay22-xb22=1 的参数

方程是?????xy==abstaecn

φ, φ

(φ 为参数).

2.抛物线的参数方程

(1)抛物线 y2=2px 的参数方程为?????xy==22pptt2, (t 为参数). (2)参数 t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与

原点连线的斜率的倒数.

双曲线、抛物线参数方程的基本问题

[例 1] _______.

(1)双曲线?????xy==62se3ctαan α, (α 为参数)的焦点坐标是

??x=tan t,

(2)将方程???y=11- +ccooss

2t 2t

(t 为参数)化为普通方程是_______.

[思路点拨] (1)可先将方程化为普通方程求解;

(2)利用代入法消去 t.

[解析] (1)将?????xy==62se3ctαan α, 化为3y62 -1x22=1, 可知双曲线焦点在 y 轴,且 c= 36+12=4 3, 故焦点坐标是(0,±4 3). (2)由 y=11- +ccooss 22tt=22csions22tt=tan2t, 将 tan t=x 代入上式,得 y=x2,即为所求方程. [答案] (1)(0,±4 3);(2)y=x2

(1)解决此类问题要熟练掌握双曲线与抛物线的参数 方程,特别是将参数方程化为普通方程,还要明确参数的 意义.
(2)对双曲线的参数方程,如果x对应的参数形式是sec φ,则焦点在x轴上;如果y对应的参数形式是sec φ,则焦 点在y轴上.

1.如果双曲线

??x=sec θ, ???y=6tan θ

(θ为参数)上一点P到它的右焦点

的距离是8,那么P到它的左焦点距离是________.

解析:由双曲线参数方程可知a=1,

故P到它左焦点的距离|PF|=10或|PF|=6.

答案:10或6

2.过抛物线

??y=2t, ???x=t2

(t为参数)的焦点作直线交抛物线于

A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x2+x2=6.则|AB|=_____. 解析:化为普通方程是x=y42,即y2=4x,∴p=2.

∴|AB|=x1+x2+p=8.

答案:8

双曲线、抛物线参数方程的应用 [例 2] 连接原点 O 和抛物线 2y=x2 上的动点 M,延长 OM 到 P 点,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明它是 何曲线. [思路点拨] 由条件可知,M 点是线段 OP 的中点,利用 中点坐标公式,求出点 P 的轨迹方程,再判断曲线类型.

[解] 设M(x,y)为抛物线上的动点,P(x0,y0)在OM的延 长线上,且M为线段OP的中点,抛物线的参数方程为

??x=2t, ???y=2t2

(t为参数).用中点公式得?????xy00==44tt2,.

变形为y0=14x20,即P点的轨迹方程为x2=4y. 此曲线为抛物线.

在求曲线的轨迹和研究曲线及方程的相关问题时,常 根据需要引入一个中间变量即参数(将x,y表示成关于参数 的函数),这种方法是参数法,而涉及曲线上的点的坐标 时,可根据曲线的参数方程表示点的坐标.

3.设P为等轴双曲线x2-y2=1上的一点,F1和F2为两个焦 点,证明:|F1P|·|F2P|=|OP|2.

证明:如图,设双曲线上的动点为 P(x,

y),焦点 F1(- 2,0),F2( 2,0),双曲

线的参数方程为?????xy==tsaenc

θ, θ.

(θ 为参数)

则:(|F1P|·|F2P|)2 =[(sec θ+ 2)2+tan2θ]·[(sec θ- 2)2+tan2θ]

=(sec2 θ+2 2sec θ+2+tan2θ)(sec2 θ-2 2sec θ+2+tan2θ) =( 2sec θ+1)2( 2sec θ-1)2 =(2sec2 θ-1)2. 又|OP|2=sec2 θ+tan2θ=2sec2 θ-1, 由此得|F1P|·|F2P|=|OP|2.

4.如图所示,O是直角坐标原点,A,B 是抛物线y2=2px(p>0)上异于顶点的 两动点,且OA⊥OB,OM⊥AB于点 M,求点M的轨迹方程. 解:根据条件,设点M,A,B的坐标分别为(x,y), (2pt21,2pt1),(2pt22,2pt2)(t1≠t2,且t1·t2≠0),则 OM =(x,y), OA=(2pt21,2pt1), OB=(2pt22,2pt2), AB =(2p(t22-t21),2p(t2-t1)).

因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即

(2pt1t2)2+(2p)2t1t2=0,

所以 t1t2=-1.



因为OM ⊥ AB,所以OM ·AB=0,即

2px(t22-t12)+2py(t2-t1)=0, 所以 x(t1+t2)+y=0,

即 t1+t2=-xy(x≠0).



因为 AM =(x-2pt21,y-2pt1),

MB=(2pt22-x,2pt2-y),且 A,M,B 三点共线,

所以(x-2pt21)(2pt2-y)=(y-2pt1)(2pt22-x),

化简,得 y(t1+t2)-2pt1t2-x=0.



将①,②代入③,得到

y???-xy???+2p-x=0, 即 x2+y2-2px=0(x≠0), 这就是点 M 的轨迹方程.

课时跟踪检测见课时跟踪检测(十一)

再见



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