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北京市海淀区2011年高考一模数学(理)试题及答案


一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一 项.
2 1、已知集合 A ? x ? R 0 ? x ? 3 , B ? x ? R x ? 4 ,则 A ? B ?

?

?

?

?

A. C.

?x 2 ? x ? 3? ?x x ? ?2或2 ? x ? 3?

B.

?x 2 ? x ? 3?

D. R

2.已知数列 ?a n ?为等差数列, S n 是它的前 n 项和.若 a1 ? 2 , S3 ? 12 ,则 S 4 ? A.10 B.16 C.20 D.24 3. 在极坐标系下,已知圆 C 的方程为 ρ ? 2cos θ ,则下列各点在圆 C 上的是
π? ? A. ?1, ? ? 3? ? 3π ? ? C. ? 2, ? 4 ? ?

? π? B. ?1, ? ? 6? 5π ? ? D. ? 2, ? 4 ? ?

开始

输入x

4.执行如图所示的程序框图,若输出 x 的值为 23,则输入的 x 值为 A. 0 B.1 C. 2 D.11

n ?1 n ? n ?1 x ? 2x ? 1
n≤ 3


5.已知平面 ? ? ? ? l , m 是 ? 内不同于 l 的直线,那么下列命题中 错误 的是 .. A.若 m // ? ,则 m // l C.若 m ? ? ,则 m ? l B.若 m // l ,则 m // ? D.若 m ? l ,则 m ? ?
?



输出x 结束

6. 已知非零向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0, 向量 a, b 的夹角为 120 , 且

| b| ? 2| |a ,则向量

a 与 c 的夹角为
A. 60
?

B. 90

?

C. 120

?

D. 150
2

?

7.如果存在正整数 ? 和实数 ? 使得函数 f ( x) ? cos (?x ? ? )( ? ,? 为常数)的图象如图所示(图象经过点(1,0)), 那么 ? 的值为 A. 1 B. 2
2

y

C. 3
2 2 2

D. 4

1 2

8.已知抛物线 M : y = 4 x ,圆 N :( x ? 1) ? y ? r (其中 r 为常数, 0)的直线 l 交圆 N 于 C 、D 两点,交抛物线 M 于 A 、 B 两点,且满足 线 l 只有三条的必要条件是 A. r ? (0,1] B. r ? (1, 2] C. r ? ( , 4)

O

1

x

r ? 0 ).过点(1,
AC ? BD 的 直

3 2

D. r ? [ , ??)

3 2

非选择题(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在题中横线上. 3?i ? 9.复数 . 1? i

10.为了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查. 他们将调查所得到的数据分别绘制成频率分布直方图(如图所示),记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 s1 , s2 ,

s3



则它们的大小关系为
频率 组距

. (用“ ? ”连接)
频率 组距

频率 组距

0.0008

0.0008

0.0008

0.0006 0.0004 0.0002
O

0.0006 0.0004
0.0002

0.0006 0.0004 0.0002
O

1000 1500 2000 2500 3000 3500



O

1000 1500 2000 2500 3000 3500 元

1000 1500 2000 2500 3000 3500








A

11.如图,A,B,C 是⊙O 上的三点,BE 切⊙O 于点 B, D 是 CE 与⊙O







.



?BAC ? 70? ,则 ?CBE ? ______;若 BE ? 2 , CE ? 4 ,
则 CD ? .
B
O

C

D
E

12.已知平面区域 D ? {( x, y) | ?1 ? x ? 1,?1 ? y ? 1} ,在区域 D 内任取一点,则取到的点位于直线 y ? kx ( k ? R )下 方的概率为____________ .

13.若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 所截的弦长不小于2,则在下列曲线中:
x2 ④ x2 ? y2 ? 1 ? y2 ? 1 2 与直线 l 一定有公共点的曲线的序号是 . (写出你认为正确的所有序号) 14.如图,线段 AB =8,点 C 在线段 AB 上,且 AC =2, P 为线段 CB 上一动点,点 A 绕点 C 旋转后与点 B 绕点 P 旋
① y ? x ?2
2

② ( x ? 1)2 ? y 2 ? 1



转后重合于点 D .设 CP = x , △ CPD 的面积为 f ( x) .则 f ( x) 的定义

域为



D

f ( x) 的零点是

'

.

A

C

P

B

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15. (本小题共 13 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 tan B ? (Ⅰ)求 tan A ; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

1 1 , tan C ? ,且 c ? 1 . 2 3

16. (本小题共 14 分) 在如图的多面体中, EF ⊥平面 AEB , AE ? EB , AD // EF , EF // BC , BC ? 2 AD ? 4 , EF ? 3 , A D AE ? BE ? 2 , G 是 BC 的中点. (Ⅰ) 求证: AB // 平面 DEG ; (Ⅱ) 求证: BD ? EG ; (Ⅲ) 求二面角 C ? DF ? E 的余弦值.

E

F

B
17. (本小题共 13 分)

G

C

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测,每一件一等品都能通过检测,每一件二等品通过检测的概率为 有 10 件产品,其中 6 件是一等品,4 件是二等品. (Ⅰ) 随机选取 1 件产品,求能够通过检测的概率; (Ⅱ)随机选取 3 件产品,其中一等品的件数记为 X ,求 X 的分布列; (Ⅲ) 随机选取 3 件产品,求这三件产品都不能通过检测的概率.

2 .现 3

18. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f (x) ? g (x) ,求函数 h ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若在 ?1, e ? ( e ? 2.718... )上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围.
1? a , (a ? R). x

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 a b 2 2
1 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? m (| k |? ) 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中 顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点.求 OP 的取值范围.

20. (本小题共 13 分) 已知每项均是正整数的数列 A : a1 , a2 , a3 ,? , an ,其中等于 i 的项有 k i 个 (i ? 1, 2,3 ???) , 设 b j ? k1 ? k 2 ? ? ? k j ( j ? 1, 2,3?) , g (m) ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? nm (m ? 1, 2,3 ???) . (Ⅰ)设数列 A :1, 2,1, 4 ,求 g (1), g (2), g (3), g (4), g (5) ; (Ⅱ)若数列 A 满足 a1 ? a2 ? ? ? an ? n ? 100 ,求函数 g (m) 的最小值.

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 C 非选择题 5 D (共 110 分) 6 B 7 B 8 D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分. 共 30 分.有两空的题目,第一空 3 分,第二空 2 分) 9. 1 ? 2i 12. 10. 13.

s1 > s2 > s3
① ③

11.

70? ; 3

1 2

14. (2, 4); 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) 15.(共 13 分) 解:(I)因为 tan B ?

1 1 tan B ? tan C , tan C ? , tan( B ? C ) ? , ???????1 分 1 ? tan B tan C 2 3

1 1 ? 2 3 ?1 . 代入得到, tan( B ? C ) ? 1 1 1? ? 2 3
因为 A ? 180? ? B ? C , 所以 tan A ? tan(180 ? ( B ? C )) ? ? tan( B ? C ) ? ?1 .
?

???????3 分

???????4 分 ???????5 分 ???????7 分 ????8 分

(II)因为 0? ? A ? 180? ,由(I)结论可得: A ? 135? . 因为 tan B ? 所以 sin B ?

1 1 ? tan C ? ? 0 ,所以 0? ? C ? B ? 90 ? . 2 3
5 10 , sin C ? . 10 5

????9 分



a c ? 得a ? 5 , sin A sin C
1 1 ac sin B ? . 2 2

???????11 分

所以 ?ABC 的面积为:

??????13 分
A

16. (共 14 分) 解:(Ⅰ)证明:∵ AD / / EF , EF / / BC , ∴ AD / / BC . 又∵ BC ? 2 AD , G 是 BC 的中点, ∴ AD / /BG , ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴ AB / / DG . ?????2 分 ∵ AB ? 平面 DEG , DG ? 平面 DEG , ∴ AB / / 平面 DEG .
B

D

E

H
G

F

C

???????4 分

(Ⅱ) 解法 1 证明:∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , ∴ EF ? AE , 又 AE ? EB, EB ? EF ? E , EB, EF ? 平面 BCFE , ∴ AE ? 平面 BCFE . 过 D 作 DH / / AE 交 EF 于 H ,则 DH ? 平面 BCFE . ∵ EG ? 平面 BCFE , ∴ DH ? EG . ∵ AD / / EF , DH / / AE ,∴四边形 AEHD 平行四边形, ∴ EH ? AD ? 2 , ∴ EH ? BG ? 2 ,又 EH / / BG, EH ? BE , ∴四边形 BGHE 为正方形, ∴ BH ? EG , 又 BH ? DH ? H , BH ? 平面 BHD , DH ? 平面 BHD , ∴ EG ⊥平面 BHD . ?????????8 分 ∵ BD ? 平面 BHD , ∴ BD ? EG . ?????????9 分 解法 2 z ∵ EF ? 平面 AEB , AE ? 平面 AEB , BE ? 平面 AEB , A D EF ? AE , EF ? BE , 又 AE ? EB , ∴ EB, EF , EA 两两垂直. ????????5 分
E

?????????5 分 ?????????6 分

?????????7 分



以点 E 为坐标原点, EB, EF , EA 分别为 x, y, z 轴建立如图的 标系. 由已知得, A (0,0,2), B (2,0,0), C (2,4,0), F (0,3,0), D (0,2,2), ??????????6 分 G (2,2,0). ∴ EG ? (2,2,0) , BD ? (?2, 2, 2) ,???7 分 ∴ BD ? EG ? ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 0 , ∴ BD ? EG .

F y

空间直角坐

x B

G

C

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

???8 分

??????????9 分 ??????????10 分

??? ? (Ⅲ)由已知得 EB ? (2,0,0) 是平面 EFDA 的法向量. ??? ? ??? ?

设平面 DCF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,∵ FD ? (0, ?1, 2), FC ? (2,1,0) ,

??? ? ? ? ?? y ? 2 z ? 0 ? FD ? n ? 0 ∴ ? ??? ,即 ? ,令 z ? 1,得 n ? (?1, 2,1) . ??????????12 分 ? ? ?2 x ? y ? 0 ? ? FC ? n ? 0
设二面角 C ? DF ? E 的大小为 ? , 则 cos ? ? cos ? n, EB ??

??? ?

?2 6 , ?? 6 2 6

??????????13 分

∴二面角 C ? DF ? E 的余弦值为 ?

6 . 6

??????????14 分

17. (共 13 分) 解:(Ⅰ)设随机选取一件产品,能够通过检测的事件为 A ??????????1 分 事件 A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ?????2 分

6 4 2 13 ? ? ? 10 10 3 15 (Ⅱ) 由题可知 X 可能取值为 0,1,2,3. p( A) ?
P ( X ? 0) ?
3 0 2 1 C4 C6 C4 C6 3 1 ? P ( X ? 1) ? ? , , 3 3 C10 30 C10 10 1 2 0 3 C4 C6 1 C4 C6 1 ? P ( X ? 3) ? ? . , 3 3 C10 2 C10 6

??????????4 分

P( X ? 2) ?

??????8 分

X
P

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6
? ?????9 分

(Ⅲ)设随机选取 3 件产品都不能通过检测的事件为 B 事件 B 等于事件“随机选取 3 件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以, P( B) ?

?????10 分

1 13 1 . ?( ) ? 30 3 810

?????13 分

18. (共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , 当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ? ?????????1 分

1 x ?1 , ? x x

?????????2 分

x
f ?( x) f ( x)

(0,1)


1 0 极小

(1, ??)
+ 所 1. 以

?????????3 分

f ( x)



x ?1













?????????4 分

(Ⅱ) h( x) ? x ?
h?( x) ? 1 ?

1? a ? a ln x , x
?????????6 分

1 ? a a x 2 ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] ? ? ? x2 x x2 x2

①当 a ? 1 ? 0 时,即 a ? ?1 时,在 (0,1 ? a) 上 h?( x) ? 0 ,在 (1 ? a, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,1 ? a) 上单调递减,在 (1 ? a, ??) 上单调递增; ②当 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 时,在 (0, ??) 上 h?( x) ? 0 , 所以,函数 h( x) 在 (0, ??) 上单调递增. ?????????8 分 ?????????7 分

(III)在 ?1, e ? 上存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,即 在 ?1, e ? 上存在一点 x0 ,使得 h( x0 ) ? 0 ,即 函数 h( x) ? x ? 由(Ⅱ)可知 ①即 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递减, 所以 h( x ) 的最小值为 h(e) ,由 h(e) ? e ? 因为
e2 ? 1 e2 ? 1 ; ? e ? 1 ,所以 a ? e ?1 e ?1 e2 ? 1 1? a , ? a ? 0 可得 a ? e ?1 e

1? a ? a ln x 在 ?1, e ? 上的最小值小于零. x

?????????9 分

?????????10 分

②当 1 ? a ? 1 ,即 a ? 0 时, h( x) 在 ?1, e ? 上单调递增, 所以 h( x ) 最小值为 h(1) ,由 h(1) ? 1 ? 1 ? a ? 0 可得 a ? ?2 ; ?????????11 分 ③当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1时, 可得 h( x ) 最小值为 h(1 ? a) , 因为 0 ? ln(1 ? a) ? 1 ,所以, 0 ? a ln(1 ? a) ? a 故 h(1 ? a) ? 2 ? a ? a ln(1 ? a) ? 2 此时, h(1 ? a) ? 0 不成立. 综上讨论可得所求 a 的范围是: a ?
e2 ? 1 或 a ? ?2 . e ?1

?????????12 分 ?????????13 分

19. (共 14 分) 解:(Ⅰ)由已知可得 e ?
2

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 2 a 4

① ?????1 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

3 2

1 9 ? 2 ?1 2 a 4b

② ?????2 分

x2 y2 ? ? 1. 故椭圆 C 的方程为 4 3
(Ⅱ) 当 k ? 0 时, P(0, 2m) 在椭圆 C 上,解得 m ? ?

?????5 分

3 ,所以 | OP |? 3 . 2

??6 分

当 k ? 0 时,则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4
2 2 2

消 y 化简整理得: (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ,

? ? 64k 2 m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ? 12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0



?????8 分

( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) ,则 设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m . , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 x0 y2 ? 0 ? 1. 4 3

?????9 分

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

?????10 分

从而

16k 2 m 2 12m 2 ? ? 1 ,化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式. ???11 分 2 2 2 2 (3 ? 4 k ) (3 ? 4 k )
2 2 x0 ? y0 ?

又 | OP |?

64k 2 m 2 36m 2 ? (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2

?

4m 2 (16k 2 ? 9) 16k 2 ? 9 ? (3 ? 4k 2 ) 2 4k 2 ? 3
3 . 4k ? 3
2

? 4?
因为 0 ? k ?

?????????12 分

1 3 3 ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? ? 1, 2 2 4 4k ? 3
13 . 2 13 ]. 2
?????????13 分

故 3 ? OP ?

综上,所求 OP 的取值范围是 [ 3,

?????????14 分

( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) , (Ⅱ)另解:设 A, B, P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、
由 A, B 在椭圆上,可得 ?

? 3 x12 ? 4 y12 ? 12 ①
2 2 ?3 x2 ? 4 y2 ? 12 ②

?????????6 分

①—②整理得 3( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 ③ 由已知可得 OP ? OA ? OB ,所以 ?

?????????7 分

??? ?

??? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? x0 ④ ? y1 ? y2 ? y0 ⑤

????????8 分

由已知当 k ?

y1 ? y2 ,即 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ⑥ x1 ? x2

?????????9 分

把④⑤⑥代入③整理得 3x0 ? ?4ky0
2 与 3x0 ? 4 y0 ? 12 联立消 x0 整理得 y0 ?
2 2

?????????10 分

9 4k ? 3
2

????????11 分

由 3x0 ? 4 y0 ? 12 得 x0 ? 4 ?
2 2

2

4 2 y0 , 3
????????12 分

4 2 1 3 y0 ? y0 2 ? 4 ? y0 2 ? 4 ? 2 3 3 4k ? 3 1 3 3 因为 k ? ,得 3 ? 4k 2 ? 3 ? 4 ,有 ? ? 1, 2 2 4 4k ? 3
所以 | OP | ? x0 ? y0 ? 4 ?
2 2 2

故 3 ? OP ?

13 . 2 13 ]. 2

?????????13 分

所求 OP 的取值范围是 [ 3, 20. (共 13 分)

?????????14 分

解:(1)根据题设中有关字母的定义,

k1 ? 2, k2 ? 1, k3 ? 0, k4 ? 1, k j ? 0( j ? 5, 6, 7?)

b1 ? 2, b2 ? 2 ? 1 ? 3, b3 ? 2 ? 1 ? 0 ? 3, b4 ? 4, bm ? 4(m ? 5, 6, 7,?)

g (1) ? b1 ? 4 ?1 ? ?2 g (2) ? b1 ? b2 ? 4 ? 2 ? ?3, g (3) ? b1 ? b2 ? b3 ? 4 ? 3 ? ?4, g (4) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 4 ? 4 ? ?4, g (5) ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? b5 ? 4 ? 5 ? ?4.
(2)一方面, g (m ? 1) ? g (m) ? bm?1 ? n ,根据“数列 A 含有 n 项”及 b j 的含义知 bm ?1 ? n , 故 g (m ? 1) ? g (m) ? 0 ,即 g (m) ? g (m ? 1) ① ???????7 分

另一方面,设整数 M ? max ?a1 , a2 ,? , an ? ,则当 m ? M 时必有 bm ? n , 所以 g (1) ? g (2) ? ? ? g (M ? 1) ? g (M ) ? g (M ? 1) ? ? 所以 g (m) 的最小值为 g ( M ? 1) . 下面计算 g ( M ? 1) 的值: …………………9 分

g ( M ? 1) ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bM ?1 ? n(M ? 1) ? (b1 ? n) ? (b2 ? n) ? (b3 ? n) ? ? ? (bM ?1 ? n) ? (?k2 ? k3 ? ? ? kM ) ? (?k3 ? k4 ? ? ? kM ) ? (?k4 ? k5 ? ? ? kM ) ? ? ? (?kM ) ? ?[k2 ? 2k3 ? ? ? ( M ? 1)kM ] ? ?(k1 ? 2k2 ? 3k3 ? ? ? MkM ) ? (k1 ? k2 ? ? ? kM ) ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? bM ? ?(a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ) ? n
∵ a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? n ? 100 , ∴ g ( M ? 1) ? ?100, ∴ g (m) 最小值为 ?100 . …………………13 分 …………………12 分


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