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中档大题保分练(三)


中档大题保分练(三)
(推荐时间:50 分钟) A ? 1. 已知向量 m=(sin x,1),n=? n 的最大值为 6. ? 3Acos x, 2 cos 2x?(A>0),函数 f(x)=m· (1)求 A; π (2)将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来 12 5π 1 0, ?上的值域. 的 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)在? 24? ? 2 解 A (1)f(x)=m· n= 3Asin xcos x+ cos 2x 2 3 1 ?=Asin?2x+π?. 6? ? ? 2 sin 2x+2cos 2x?

=A?

因为 A>0,由题意知 A=6. π? (2)由(1)得 f(x)=6sin? ?2x+6?. π π? π π ? x+ ? ? 将函数 y=f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y=6sin?2? 12 ? ? 12?+6?=6sin?2x+3?的图 象; π 1 4x+ ?的图 再将得到的图象上各点横坐标缩短为原来的 ,纵坐标不变,得到 y=6sin? 3? ? 2 象. π 4x+ ?. 因此 g(x)=6sin? 3? ? 5π 0, ?, 因为 x∈? ? 24? π π 7π? , , 所以 4x+ ∈? 3 ?3 6 ? 5π? 故 g(x)在? ?0,24?上的值域为[-3,6]. 2. 某学校为准备参加市运动会,对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试, 并用茎叶图表示出本次测试 30 人的跳高成绩(单位:cm).跳高成绩在 175 cm 以上(包 括 175 cm)定义为“合格”,成绩在 175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚, 跳高成绩相对较弱,为激励乙队队员, 学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运 动会开幕式旗林队.

(1)求甲队队员跳高成绩的中位数; (2)如果从所有的运动员中用分层抽样共抽取“合格”与“不合格”的人数共 5 人,则 各抽取多少人? (3)若从所有“合格”运动员中选取 2 名,用 X 表示所选运动员中能参加市运动会开幕 式旗林队的人数,试写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望. 解 176+178 (1)中位数= =177 cm. 2

(2)根据茎叶图,有“合格”12 人,“不合格”18 人, 5 1 用分层抽样的方法,每个运动员被抽中的概率是 = , 30 6 1 所以选中的“合格”有 12× =2 人, 6 1 “不合格”有 18× =3 人. 6 (3)依题意,X 的取值为 0,1,2.则 P(X=0)= C2 28 14 8 = = , C2 33 12 66

1 C1 16 4C8 32 P(X=1)= 2 = = , C12 66 33

P(X=2)=

C2 6 1 4 = = . C2 66 11 12

因此,X 的分布列如下: X P 0 14 33 1 16 33 2 1 11

14 16 1 22 2 ∴E(X)=0× +1× +2× = = . 33 33 11 33 3 3. 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, PB⊥底面 ABCD.底面 ABCD 为直角梯形, ∠ABC=90° ,AD∥BC,AB=AD=PB,BC=2AD.点 E 在棱 PA 上, 且 PE=2EA. (1)求证:CD⊥平面 PBD; (2)求二面角 A-BE-D 的余弦值. (1)证明 以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴,BA 所在直线为 y 轴,

BP 所在直线为 z 轴,建立如图所示坐标系. 设 AD=1,则 2 1? B(0,0,0),C(2,0,0),D(1,1,0),A(0,1,0),P(0,0,1),E? ?0,3,3?, → → CD=(-1,1,0),BP=(0,0,1), → BD=(1,1,0). → → ∴CD· BP=0,即 CD⊥BP. → → CD· BD=0,即 CD⊥BD, 又 PB∩BD=B,∴CD⊥平面 PBD. (2)解 设平面 EBD 的法向量 n=(x,y,1),

2 1? → BE=? ?0,3,3? 2 1 → ? ? n=0 ?BE· ?3y+3=0 ∴? ?? → ? ? n=0 ?BD· ?x+y=0 1 1 ? ∴n=? ?2,-2,1?, → 又平面 ABE 的法向量为BC,设二面角的平面角为 θ, → BC· n 1 6 ∴cos θ= = = . → 3 6 |BC||n| 2· 2 即二面角 A-BE-D 的余弦值为 6 . 6

4. 已知数列{an}是一个公差大于零的等差数列,且 a3a6=55,a2+a7=16,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2bn-2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an 4n (2)设 cn= ,Tn=c1+c2+?+cn,试比较 Tn 与 的大小,并予以证明. bn 2n+1 解 (1)依题意,设等差数列{an}的公差为 d(d>0), ①

? ??a1+2d??a1+5d?=55 则有? ?2a1+7d=16 ② ?

将②代入①得(16-3d)(16+3d)=220, 即 d2=4,∵d>0,∴d=2,a1=1,∴an=2n-1, 当 n=1 时,S1=2b1-2,b1=2, 当 n≥2 时,bn=Sn-Sn-1=(2bn-2)-(2bn-1-2)

=2bn-2bn-1, ∴bn=2bn-1. ∴{bn}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. 即 bn=2n. an 2n-1 (2)cn= = n , bn 2 2n-1 1 3 Tn= + 2+?+ n 2 2 2 2n-3 2n-1 1 1 3 Tn= 2+ 3+?+ n + n+1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2n-1 ∴③-④得, Tn= + 2+ 3+?+ n- n+1 2 2 2 2 2 2 2n-1 1 1 1 1 = + + 2+?+ n-1- n+1 2 2 2 2 2 1 1? 1- n-1? 2 ? 2n-1 3 2n+3 1 2? = + - n+1 = - n+1 2 1 2 2 2 1- 2 2n+3 ∴Tn=3- n . 2 2n+3 ?2n+3??2n-2n-1? 4n 4n Tn- =3- n - = , 2 2n+1 2n+1 ?2n+1?2n 4n 要比较 Tn 与 的大小, 2n+1 只需比较 2n 与 2n+1 的大小即可. 由 2<2×1+1;22<2×2+1;23>2×3+1,24>2×4+1,? 可猜想当 n≥3 时,2n>2n+1. 证明如下:1° 当 n=3 时,显然成立. 2° 假设 n=k(k≥3)时,猜想成立,即 2k>2k+1, 当 n=k+1 时, 2k 1=2· 2k>2(2k+1)=4k+2


③ ④

=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1. ∴当 n=k+1 时,猜想也成立. 由 1° ,2° 知,对一切 n≥3 的正整数,都有 2n>2n+1. 综上,当 n=1,2 时,Tn< 4n 4n ,当 n≥3 时,Tn> . 2n+1 2n+1


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