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宁夏六盘山高级中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 文


宁夏六盘山高级中学 2015-2016 学年高二数学下学期期末考试试题 文
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5}, M ? {1,3,5},则 CU M =( A.U B.{2,4} C.{1,3,5} )

D.{1,2,4}

2.已知集合 A 到 B 的映射 f:x→y = 2x + 1,那么集合 A 中元素 2 在 B 中的象是 A.2 B.5 C.6 ) C. D.8

3.计算 ? log5 4? ? ? log16 25? ? ( A. 2 B. 1

1 2

D. )

1 4
D. y ? x3

4.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A. y ? x ? 1 5. 函数f ( x) ? B. y ? ? x2 C. y ?

1 x


1 的定义域为( log2 x ? 1
B. ?0,2?

2? A. ?0,

? ?? C. ?2,


? ?? D. ?2,

6.若 a ? 30.2 , b ? 0.30.2 , c ? 0.32 ,则 ( A. a ? b ? c 7.已知函数 f ( x) ? ? A. ? B. b ? a ? c

C. c ? a ? b ,则 f [ f ( C. ?9

D. b ? c ? a )

?log 4 x, x ? 0 ?3 , x ? 0
x

1 )] ? ( 16
D. 9

1 9

B.
2

1 9

8.化极坐标方程 ? cos? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0 或 y ? 1
2 2



B. x ? 1 D. y ? 1 )

C. x ? y ? 0 或 x ? 1
2 2
2

9.函数 f(x)=ln(x +1)的图象大致是(

10.方程 log3x=-x+3 的解所在的区间是( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)
1

11.在极坐标系中,圆 ? ? ?2sin ? 的圆心的极坐标是( A. ?1,

)

? ?? ? ? 2?

B. ?1, ?

? ?

??
? 2?

C.(1,0)

D.(1,π )

? x ? 2 ? t sin 300 ? 12.若曲线 ? ( t 为参数)与曲线 ? ? 2 2 相交于 B , C 两点则 | BC | =( 0 ? ? y ? ?1 ? t sin 30
A. 2 7 B. 60 C. 7 2 D. 30

).

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共计 20 分. 13.函数 y ? a x?2 ? 1,(a ? 0, a ? 1) 的图像过一个定点,则定点的坐 标是
x ? 4 cos? ? 14.曲线 ? ( 为参数)的焦点坐标是 ? ? y ? 5 sin ?

15.不等式|x|+|x-1|<2 的解集是________ 16.在极坐标系中,点 M ( 4,

?
3

) 到曲线 ? cos( ? ?

?
3

) ? 2 上的点的距离的最小值为

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本题 10 分)设函数 f ( x) ? ? (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)画出 f ( x ) 的图象.
7 6 5 4 3 2 1 8 6 4 2 1 2 4

? ax ? b x ? 0 ,且 f (?2) ? 3 , f (?1) ? f (1) . x x?0 ?2

y

10

x

6

8

10

18. (本题 12 分)已知函数 f ( x) ?| x ? 3 | ?2, g ( x) ? ? | x ? 1| ?4 。 (1)若函数 f ( x ) 得值不大于 1,求 x 得取值范围; (2)若不等式 f ( x) ? g ( x) ? m ? 1 的解 集为 R,求 m 的取值范围。

2

19.(本题 12 分) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , ( t 为参数),以坐标原点为 极点, x 轴的正半轴 ? y ? 5 ? 5sin t

为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 20. (本题 12 分)已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? 2 x ? 1. (1)求 f (3) ? f ( ?1) ; (2)求 f ( x ) 的解析式; (3)若 x ? A, f ( x) ?[ ?7,3] ,求区间 A . 21. (本题 12 分)在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

( ? 为参数) , 以原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 P ( 3 ,

?
2

) ,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

3

2 cos(? ? ) 6

?

.

(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B,求 | PA | ? | PB | 的值.

22. (本题 12 分)如图,某单位准备修建一个面积为 600 平方米的矩形场地(图中 ABCD )的围墙,且 要求中间用围墙 EF 隔开,使得 ABEF 为矩形, EFDC 为正方形,设 AB ? x 米,已知围墙(包括 EF ) 的修建费用均为 800 元每米,设围墙(包括 EF )的修建总费用为 y 元。 (1)求出 y 关于 x 的函数解析式; (2)当 x 为何值时,设围墙(包括 EF )的的修建总费用 y 最小?并求出 y 的最小值。

3

宁夏六盘山高级中学 文科数学参考答案: 一、 选择题(每小题 5 分,共 60 分) 选项 答案 1 B 2 B 3 B 4 D 5 C 6 A 7 B 8 C 9 A 10 C 11 B 12 D

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

? 1 3? 13( 2 , 2 ) 14、(0,3)(0,-3) 15、.?- , ? 16、2 ? 2 2?
三、解答题: 17. (1)由 f (?2) ? 3 , f (?1) ? f (1) ,得 ?

a ? 2) ?b ? 3 ?( a ?1 ) ? b ? 21 ?(

2 分

?a ? ?1 ? ?b ? 1
则 f ( x) ? ?

4 分

??x ?1 x ? 0 x x?0 ?2
8

5



(2) f ( x ) 的图象如图: 7
6 5 4 3 2 1 8 6 4 2 1 2 4

y

x6

8

10

10 分

18. 由题意得 f ( x) ? 1 ,即 | x ? 3 | ?2 ? 1 ,得 | x ? 3 |? 3 解得 0 ? x ? 6 ,所以, x 的取值范围是 [0,6] (2) f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1 | ?6 因为对于 ?x ? R ,由绝对值的三角不等式得 ……….4 分

f ( x) ? g ( x) ?| x ? 3 | ? | x ? 1 | ?6 ?| 3 ? x | ? | x ? 1 | ?6 ?| 3 ? x ? x ? 1 | ?6 ? 4 ? 6 ? ?2
若原式恒成立,则有 m ? 1 ? ?2 ,得 m ? ?3 ,即 m 的取值 范围是 (??,?3] 分

……… 9 分

……… 12

4

19. (I)由曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 ( t 为参数),得 (x ? 4) ? (y ? 5) ? 25 即为圆 C1 的普 ? y ? 5 ? 5sin t

通方程,即 x2 ? y 2 ? 8x ?10 y ? 16=0 . 将 x ? ? cos?,y ? ?sin? 代入上式得, ? 2 ? 8?cos? ?10?sin? ? 16 ? 0 ,此即为 C1 的极坐标方程; (II)曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? .化为直角坐标方程为: x2 ? y 2 ? 2y=0 , 由?

? x 2 ? y 2 ? 8x ? 10 y ? 16=0 ? x 2 ? y 2 ? 2y=0

,解得 ?

?x ? 1 ?x ? 0 或? . ? y=1 ? y=2

∴ C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ( 2,

?

) , (2, ) . 4 2

?

考点:1、参数方程化成普通方程;2、点的极坐标和直角坐标的互化.

20. (1) 根据 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数可知: f (3) ? 23 ? 1 ? 7 , f (?1) ? ? f (1) ? ?(21 ?1) ? ?1 , 从而可得 f (3) ? f (?1) ? 6 ; ( 2 )根据根据 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数可知: f ( x) ? ? f (? x) 再结合

f ( x) 在 [0, ??) 上的解析式,可以得到其在 (??, 0) 上的解析式: f ( x) ? ? f (? x) ? ?(2? x ?1) ? ?2? x ? 1,

?2 x ? 1, x ? 0 ? 将两者综合,即可得 f ( x) ? ? ? x ; (3)由(2)得到的解析式,可知需对 x 的取值范围分类讨 ? ??2 ? 1, x ? 0
论,从而可以得到关于 x 的不等式:当 x ? 0 时, ?7 ? ?2? x ?1 ? 0,解得 ?3 ? x ? 0 , 当 x ? 0 时,

0 ? 2x ? 1 ? 3,解得 0 ? x ? 2 ,因此区间 A ? [?3, 2] .
试题解析: (1)∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (3) ? f (?1) ? f (3) ? f (1) ? 23 ?1 ? 2 ? 1 ? 6 ; (2)∵ f ( x ) 为奇函数,∴当 x ? 0 时, f ( x) ? ? f (? x) ? ?(2 ? x ?1) ? ?2 ? x ?1 ,

?2 x ? 1, x ? 0 ? ∴ f ( x) ? ? ? x ; ? ??2 ? 1, x ? 0
(3)由(2)求得的解析式可知: 当 x ? 0 时, ?7 ? ?2? x ? 1 ? 0 ,解得 ?3 ? x ? 0 , 当 x ? 0 时, 0 ? 2 x ? 1 ? 3 ,解得 0 ? x ? 2 ,∴区间 A ? [?3, 2] . 考点:1.奇函数的性质;2.分类讨论的数学思想. ………………………12 分
5

21. (1)根据极坐标方程求出 l 的直角坐标系方程 3x ? y ? 3 ,将点 P 代入,即可得到结果;

x2 y 2 ? ? 1 ,将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程,利用韦达定理 (2) 求出曲线 C 的直角坐标方程 5 15
即可求出结果. 解: (1)直线 l : 2 ? cos(? ?

?
6

) ? 3 即 3? cos? ? ? sin ? ? 3
5分

所以直线 l 的直角坐标方程为 3x ? y ? 3 ,故点 P(0, 3 ) 在直线 l 上.

1 ? x?? t ? 2 ? (2)直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数) , 3 ?y ? 3 ? t ? ? 2
曲线 C 的直角坐标方程为

x2 y 2 ? ?1 5 15

将直线 l 的参数方程代 入 曲线 C 的直角坐标方程, 有 3(? t ) 2 ? ( 3 ?

1 2

3 2 t ) ? 15,? t 2 ? 2t ? 8 ? 0 2

9分

设两根为 t1 , t2 ,? PA ? PB ? t1 t2 ? t1t2 ? ?8 ? 8 考点:1.参数方程;2.简单曲线的极坐标方程.

12 分

.

22.证明:(1)设 AD ? t 米,则由题意得 xt ? 600 ,且 t ? x 故t ?

2分

600 ? x ,可得 0 ? x ? 10 6 x

4分

(说明:若缺少“ 0 ? x ? 10 6 ”扣 2 分)

600 400 6分 ) ? 2400( x ? ), x x 400 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y ? 2400( x ? ) (0 ? x ? 10 6) . x
则 y ? 800(3x ? 2t ) ? 800(3x ? 2 ? (2) y ? 2400( x ? 当且仅当 x ?

7分

400 400 ) ≥ 2400 ? 2 x ? ? 96000 , x x

10 分

400 ,即 x ? 20 时等号成立. x 故当 x 为 20 米时, y 最小. y 的最小值为 96000 元.
考点:1.函数解析式;2.基本不等式.

12 分

6


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