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2014年高三数学月考试卷 理科含答案


2014 学年高三月考数学试题(理科)
参考公式: 如果事件 A , B 互斥,那么
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

棱柱的体积公式
V ? Sh

如果事件 A , B 相互独立,那么 柱的高
P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱 棱锥的体积公式
1 V ? Sh 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么

其中 S 表示棱锥的底面积,h 表示棱 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 锥的高 n?k k 棱台的体积公式 Pn ? k ? ? Cn p k ?1 ? k ? , ? k ? 0,1, 2,?, n ? 球的表面积公式 S ? 4? R 2 球的体积公式 V ? ? R 3 底面积, 其中 R 表示球的半径
4 3 1 V ? h S1 ? S1S 2 ? S 2 3

?

?

其中 S1 , S2 分别表示棱台的上底、下
h 表示棱台的高

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? { y | y ? log 2 x ? 1 , x ? R} ,则 C R A ? (
2

?

?



A. ? 2. 2 “
a

B. (??,0]

C. (??,0) )

D. [0, ??)

? 2b ”是“ ? ”的(

1 a

1 b

A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 120 ,则 2a10 ? a12 的值为( A.20 B.22 C.24 D.28 4.若方程 ln( x ? 1) ? A. ? 1

2 的根在区间 (k , k ? 1)( k ? Z ) 上,则 k 的值为( x B.1 C. ? 1 或 2 D. ? 1 或 1




5.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图 如图所示,则该几何体的体积是(

20 3 uur uuu u r 6.在 D ABC 中, 已知 AB ?AC
A.8 B.

17 14 D. 3 3 uur uur u AB ?CB 1 , AB |的值为 则| (
C.



A .1 B. 2 C. 3 D. 2 7. 用 8 个数字 1,1, 2, 2,3,3, 4, 4 可以组成不同的四位数个数是( ) A.168 B. 180 C. 204 D. 456

8.已知函数 y ? f ?x ? 是定义在 R 上的增函数,函数 y ? f ?x ? 1? 的图象关于点 ?1, 0 ? 对 称. 若对任意的 x, y ? R ,不等式 f x ? 6 x ? 21 ? f y ? 8 y ? 0 恒成立,则当
2 2

?

? ?

?

1

x ? 3 时, x 2 ? y 2 的取值范围是(
A. ? 3, 7 ? B.

) C. ?13, 49 ? D.

? 9, 25?

? 9, 49 ?

x2 y 2 9. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F , F 的直线 l 交双曲线的渐近线于 过 a b

A ,B 两点,且与其中一条渐近线垂直,若 AF ? 4 FB ,则该双曲线的离心率为(
A.



5 5

B.

2 5 5

C.

10 5

D.

2 10 5

10.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln 则 b ? a 的最小值为( A. 2 e ? 1 )

x 1 ? ,对任意 a ? R, 存在 b ? (0, ??) 使 f (a) ? g (b) , 2 2
C. 2 ? ln 2 D.

B. e 2 ?

1 2

2 ? ln 2

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.已知

1 ? 2i ,则 ? 1 ? i (a, b ? R, i 为虚数单位) ab = a ? bi
x )6 展开式中 x 3 项系数为
.



12. (1 ? x)(1 ?

13.若框图(右图)所给的程序运行结果为 S ? 90 ,那么判断框中应填入 的关于 k 的条件是___________. 14.有一种游戏规则如下:口袋里有 5 个红球和 5 个黄球,一次摸出 5 个, 若颜色相同则得 100 分,若 4 个球颜色相同,另一个不同,则得 50 分, 其他情况不得分,小张摸一次得分的期望是__ _ _______分.

?a ? b ? 1 ? 0 2 ? 15.已知实数 a, b 满足: ? 2a ? b ? 1 ? 0 , z ? ? a ? b ? 1? ,则 z 的取值范围是_ ? 2a ? 2b ? 1 ? 0 ?

第 13 题 .

16.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 M 是 BC 的中点,点 P 是正方形 ABCD 所 在平面内的一个动点,且满足 PM ? 2 , P 到直线 A1 D1 的距离为 5 ,则点 P 的轨迹 是__________. 17.已知函数 f ( x) ? 2 且 f ( x) ? g ( x) ? h( x) ,其中 g (x) 为奇函数, h(x ) 为偶函数,若
x

不 等 式 2a ? g ( x)? h( 2 x ? 对 任 意 x ? [1,2] 恒 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ) 0 是 .

温州中学 2013 年第二次模拟测试 数学(理科)试题卷 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只
2

有一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 D 5 C 6 B 7 C 8 C 9 D 10 D

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 15.

3 4 1 ?z?4 4

12. 16.

16 两个点

13.

k ?8
17.

14.

75 7

[?

17 ,??) 12

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? m sin x ? 2 cos x(m ? 0) 的最大值为 2. (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间;

(Ⅱ) ?ABC 中, f ( A ?

?

) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,角 A, B, C 所对的边分别是 4 4

?

a, b, c ,且 C ? 600 , c ? 3 ,求 ?ABC 的面积.
(1)由题意, f ( x) 的最大值为 m 2 ? 2 ,所以 m 2 ? 2=2 .
π 而 m ? 0 ,于是 m ? 2 , f ( x) ? 2sin( x ? ) . 4 π π 3π f ( x) 为递减函数,则 x 满足 2kπ+ ≤ x ? ≤ 2kπ+ 2 4 2 π 5π 即 2kπ+ ≤ x ≤ 2kπ+ ?k ? Z? . 4 4

?k ? Z? ,

?π ? 所以 f ( x) 在 ? 0,π ? 上的单调递减区间为 ? ,π ? . ?4 ? c 3 (2)设△ABC 的外接圆半径为 R ,由题意,得 2 R ? ? =2 3 . sin C sin 60?
π π 化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 4 6 sin A sin B ,得 4 4
sin A ? sin B ? 2 6 sin A sin B .

由正弦定理,得 2 R ? a ? b ? ? 2 6ab , a ? b ? 2ab .
2



由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? ab ? 9 ,即 ? a ? b ? ? 3ab ? 9 ? 0 . ② 将①式代入②,得 2 ? ab ? ? 3ab ? 9 ? 0 .
2

3 解得 ab ? 3 ,或 ab ? ? (舍去) . 2
3

S?ABC ?

3 3 1 . ab sin C ? 4 2

19. (本小题满分 14 分)已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 17, S10 ? 100 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? an cos(n? ) ? 2 (n ? N ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和.
n *

解: (I)设 ? an ? 首项为 a1 ,公差为 d,

a1 ? d ? 17 ? ? a1 ? 19 ? 则 ?10(2a1 ? 9d ) 解得 ? ? 100 ? d ? ?2 ? ? 2 ? an ? 19 ? (n ? 1) ? (?2) ? 21 ? 2n
(II)∵ bn ? an cos(n? ) ? 2 = (?1) an ? 2
n n n
2 3 n

当 n 为偶数时, Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 2 ) ? (?a3 ? 2 ) ? ... ? (an ? 2 )

n 2(1 ? 2n ) = (?2) ? ? ? 2n ?1 ? n ? 2 2 1? 2
当 n 为
2


3


n



,

Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (?a1 ? 2) ? (a2 ? 2 ) ? (?a3 ? 2 ) ? ... ? (?an ? 2 )
= ?a1 ? (a2 ? a3 ) ? ...(an ?1 ? an ) ? = ?19 ? 2 ?

n ? 1 n ?1 ? 2 ? 2 = 2n?1 ? n ? 22 2 ? 2n ?1 ? n ? 2(当n为偶数) ?Tn ? ? n ?1 (当 ?2 ? n ? 22 n为奇数)

2(1 ? 2n ) 1? 2

20. (本小题满分 14 分)如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 AA1 B1 B ⊥底面 ABC , 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60 的角, AA1 ? 2 .底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,其重心为
0

1 G 点, E 是线段 BC1 上一点,且 BE ? BC1 . 3 (Ⅰ)求证: GE //侧面 AA1 B1 B ; ? (Ⅱ)求平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的正切值.

解法 1: (1)延长 B1E 交 BC 于点 F,? ?B1 EC1 ∽△FEB,BE= 从而点 F 为 BC 的中点. ∵G 为△ABC 的重心,∴A、G、F 三点共线.且

1 1 1 EC1,∴BF= B1C1= BC, 2 2 2

FG FE 1 第 20 题图 ? ? ,? GE // AB1 , FA FB1 3
4

又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. (2)在侧面 AA1B1B 内,过 B1 作 B1H⊥AB,垂足为 H,∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, ∴B1H⊥底面 ABC. 又侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角, 1=2, AA ∴∠B1BH=60°, =1, 1H= 3. BH B 在底面 ABC 内,过 H 作 HT⊥AF,垂足为 T,连 B1T,由三垂线定理有 B1T⊥AF, 又平面 B1CE 与底面 ABC 的交线为 AF,∴∠B1TH 为所求二面角的平面角. ∴AH=AB+BH=3,∠HAT=30°,∴HT=AH sin 30? ? △B1HT 中, tan ?B1TH ?
B1 H 2 3 , ? HT 3
B C F D

3 .在 Rt 2

y

从而平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .
3

解法 2: ∵侧面 AA1B1B⊥底面 ABC, (1) 侧棱 AA1 与底面 ABC 成 60°的角,∴∠A1AB=60°, 又 AA1=AB=2,取 AB 的中点 O,则 AO⊥底面 ABC. 以 O 为原点建立空间直角坐标系 O— xyz 如图, 则 A ? 0, ?1, 0 ? , B ? 0,1, 0 ? ,C

A

O Q

x

B1 0, 2, 3 , C1

?

?

?

3,1, 3 .

?

?

3, 0, 0 , A1 0, 0, 3 ,

?

?

?

uur 1 uuu r ∵G 为△ABC 的重心,∴ G ? 3 , 0, 0 ? . Q BE ? BC1 ,∴ E ? 3 ,1, 3 ? , ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? uur ? uuu r ? ∴ CE ? ? 0,1, 3 ? ? 1 AB1 . 又 GE ? 侧面 AA1B1B,∴GE//侧面 AA1B1B. ? 3 ? 3 ? ?
(2)设平面 B1GE 的法向量为 n ? (a, b, c) ,则由 ?n ? B1 E ? 0, 得 ? 3 ? r ? uuu
?n ? GE ? 0. ? ? uuu r
? 3 a ?b? ? ?b ? 3 c ? 0. ? 3 ? 2 3 c ? 0, 3

可取 n ?

?

3, ?1, 3

?

又底面 ABC 的一个法向量为 m ? ? 0, 0,1?

设平面 B1GE 与底面 ABC 所成锐二面角的大小为 ? ,则 cos ? ?

m?n 21 . ? | m |?| n | 7

由于 ? 为锐角,所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 2 7 ,进而 tan ? ? 2 3 . 7 3 故平面 B1GE 与底面 ABC 成锐二面角的正切值为 2 3 .
3

21. (本小题满分 15 分) 已知椭圆 C1 :
2

y2 x2 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的短轴长为 4 , 离心率为 , 2 a b 2

其一个焦点在抛物线 C2 : x ? 2 py( p ? 0) 的准线上,过 C 2 的焦点 F 的直线交 C 2 于 A、B 两点,分别过 A、B 作 C 2 的切线,两切线交于点 Q . (Ⅰ)求 C1 、 C 2 的方程; (Ⅱ)当点 Q 在 C1 内部运动时,求 ?QCD 面积的取值范围.
5

? 2b ? 4 ?a ? 2 2 ? ? 2 ?c 21.解: (Ⅰ)由椭圆条件得∴ ? ? ,解得 ?b ? 2 , ? a2 2 ?c ? 2 ? ?a ? b 2 ? c 2 ?
y2 x2 ? ?1. 8 4

∴ C1 :

∵抛物线的焦点 F 与 C1 的一个焦点重合,∴

p ? 2 ,解得 p ? 4 ,∴ C 2 : x 2 ? 8 y . 2

(Ⅱ)由题意知直线 AB 的斜率存在且过点 F (0,2) ,设其方程为 y ? kx ? 2 ,

由?

? y ? kx ? 2 2 消去 y 得, x ? 8kx ? 16 ? 0 2 ?x ? 8y

令 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 8k , x1 ? x2 ? ?16 ,

1 1 2 1 1 1 1 2 x , y ? x , AQ : y ? x1 x ? x12 , BQ : y ? x2 x ? x2 4 8 4 8 4 8 x1 ? x2 1 x1 ? x2 1 2 1 ? 4k , y ? x2 ? 联立 AQ、BQ 的方程解得, x ? ? x2 ? x1 x2 ? ?2 , 2 4 2 8 8
2 由 x ? 8 y 得, y ?

( ∴ Q (4k , ?2) ,∴点 Q 恒在直线 y ? ?2 上,此直线与 C1 交于 ( ? 2 ,2)、 2 ,2) 两点,
∵ 点 Q 在 C1 内 部 , ∴ ? 2 ? 4k ?

2 ,∴ ?

2 2 1 2 ?k? ,∴ 0 ? k ? , 也可由 ( 4 4 8

(?2) 2 (4k ) 2 ? ? 1 求得) 8 4
由?

? y ? kx ? 2 2 2 消去 y 得, (2 ? k ) x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 x 2 +y 2 ? 8 ?

令 C ( x3 , y3 )、D( x4 , y4 ) ,则 x3 ? x4 ? ?

4k 4 , x3 ? x4 ? ? , 2 2?k 2? k2

| CD |?

(1 ? k 2 )[( ?

4k 16 4 2 ( k 2 ? 1) )2 ? ]? , 2 ? k2 2 ? k2 k2 ? 2
? k 2 ?1 ,

Q 点到直线 CD 的距离 d ?
∴ ?QCD 的面积

| 4k 2 ? 4 | k ?1
2

6

S ?QCD ?

1 4 2( k 2 ? 1) 8 2( k 2 ? 1) k 2 ? 1 ? ? 4 k 2 ?1 ? ? 2 k2 ? 2 k2 ? 2



k 2 ? 1 ? t (1 ? t ?

3 2 ) , 考 察 函 数 4

f (t ) ?

8 2t 3 t2 ?1

, 1? t ?

3 2 4



f ?(t ) ?

8 2t 2 (t 2 ? 3) ? 0, (t 2 ? 1)2
3 2 3 2 108 ) 上单调递增,∴ f (1) ? f (t ) ? f ( ) ,∴ 4 2 ? f (t ) ? , 4 4 17

∴ f (t ) 在 [1,

即 4 2 ? S?QCD ?

108 . 17

22. (本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? a ? e x ?

a ?1 ? 2(a ? 1) (a ? 0) . x (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立,求 a 的取值范围. 2 ?4 x

22. (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? e x ? ∴ f ' ( x) ? e x ?

2 ∴ f ' (1) ? e ? 2 x2

∵ f (1) ? e ? 2 ∴ f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为: (e ? 2) x ? y ? 0 . (Ⅱ)∵ f ( x) ? a ? e x ?
ax 2 e x ? (a ? 1) a ?1 ? 2(a ? 1) ∴ f ' ( x) ? x2 x

令 g ( x) ? ax2 e x ? (a ? 1) ,则 g ' ( x) ? ax(2 ? x)e x ? 0 ∴ g ( x) 在 (0, ??) 上 ∵ g (0) ? ?(a ? 1) ? 0 ,当 x ? ?? 时, g ( x) ? 0 ∴存在 x0 ? (0, ??) ,使 g ( x0 ) ? 0 , 且 f ( x) 在 (0, x0 ) 上 , f ( x) 在 ( x0 , ??) 上
a ?1 x02

∵ g ( x0 ) ? ax02 e x0 ? (a ? 1) ? 0 ∴ ax02 e x0 ? a ? 1 ,即 ae x0 ?

∵对于任意的 x ? (0, ??) ,恒有 f ( x) ? 0 成立 a ?1 a ?1 a ?1 ∴ f ( x)min ? f ( x0 ) ? a ? e x0 ? ? 2(a ? 1) ? 0 ∴ 2 ? ? 2(a ? 1) ? 0 x0 x0 x0 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? 0 ∴ 2 x0 2 ? x0 ? 1 ? 0 ∴ ? ? x0 ? 1 2 x0 x0 2

∵ ax02 e x0 ? a ? 1 ∴ x02 e x0 ?

a ?1 ?1 a

令 h( x0 ) ? x0 2 e x0 ,而 h(0) ? 0 ,当 x0 ? ?? 时, h( x0 ) ? ??
7

∴存在 m? (0, ??) ,使 h(m) ? 1 ∵ h( x0 ) ? x0 2 e x0 在 (0, ??) 上 ∴ m ? x0 ? 1 ∵ h( x0 ) ? x0 2 e x0 在 (m,1] 上 ∴1 ?
a ?1 1 . ? e ∴a ? a e ?1

,∴ x0 ? m

∴ h(m) ? h( x0 ) ? h(1)

8



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