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【学海导航】高考数学一轮总复习 第35讲 数列模型及应用课件 理 新人教A版_图文

1.认识数列的函数特性,能结合方 程、不等式、解析几何、算法等知识 解决一些数列问题. 2.掌握与等差数列、等比数列有关 的实际应用问题的解法. 1.数列实际应用题常见的数学模型 (1)复利公式. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a元,每期利率为r,存期为x期,则本利和 x a (1+ r ) y=① . (2)单利公式. 利用按单利计算,本金为a元,每期利率 r· x . 为r,存期为x,则本利和y=② a+a· (3)产值模型. 原来产值的基数为 N ,平均增长率为 p , x N (1+ p ) 对于时间x的总产值y=③ . (4)递推与猜证型 递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)类,猜证 型主要是写出前若干项,猜测结论,并根 据题设条件加以证明. 2.数列与其他知识综合,主要有数列与 不等式、数列与函数、数列与解析几何等 1.某企业 2011 年 12 月份的产值是这年 1 月份产值的 p 倍, 则该企业 2011 年年度产值的月平均增长率为( p A. p -1 C. 11 p p-1 B. 11 D. 11 p-1 ) 【解析】设月平均增长率为 x,则(1+x)11=p, 故 x= 11 p-1,故选 D. 2.设关于 x 的不等式 x2-x<2nx(n∈N*)的解集中整数的个 数为 an,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S100 的值为( A.10100 C.10010 B.1100 D.10000 ) 【解析】由 x2-x<2nx,得 0<x<2n+1,从而 an=2n, 100?2+200? 则 S100= =10100.故选 A. 2 3.过圆(x-5)2+y2=25 内一点(5,3)有 k 条弦, 其长度组成 等差数列,且最小弦长为数列{an}的首项 a1,最大弦长为末 1 2 项 ak,若公差 d∈(3,3),则 k 的最大值为( A.5 C.7 B.6 D .8 ) 【解析】因为圆内过点(5,3)的最小的弦长为以(5,3)为中点 的弦, 弦长为 8, 即 a1≥8, 又最大的弦长为直径 10, 即 ak≤10, ak-a1 10-8 2 1 2 2 1 故 d= ≤ = .又 d∈(3,3),所以 >3, k-1 k-1 k-1 k-1 即 k-1<6,故 k<7,又 k∈N*,所以 kmax=6. 故选 B. 2 4.函数 y=x2(x>0)的图象在点(ak,ak )处的切线与 x 轴 的交点的横坐标为 ak+1(k∈N*),若 a1=16,则 a1+a3+a5 的值是 21 . 【解析】因为 y′=2x,所以 y′|x=ak=2ak, 所以切线方程:y-a2 k =2ak(x-ak). 1 1 令 y=0,得 x=2ak,即 ak+1=2ak, 1 所以{ak}是首项为 16,公比为2的等比数列, 1 k-1 所以 ak=16×(2) , 所以 a1+a3+a5=16+4+1=21. 5.如图,n2(n≥4)个正数排成 n 行 n 列方阵, 符号 aij(1≤i≤n,1≤j≤n,i,j∈N*)表示位于第 i 行第 j 列 的正数.已知每一行的数成等差数列,每一列的数成 1 等比数列,且各列数的公比都等于 q.若 a11=2,a24 1 1 1i =1,a32=4,则 q= 2 ,aij= j· (2) . a11,a12,a13,…,a1n, a21,a21,a23,…,a2n, …… an1,an2,an3,…,ann. 1 1 【解析】设第一行的公差为 d,a14=2+3d,a12=2+d, ? ?1=?1+d?q2 ?4 2 则? 1 ? 1=?2+3d?q ? ? 1 ,解得 d=q=2. 1 1i i-1 于是 aij=[2+(j-1)d]· q =j· (2) . 一 建立等差或等比数列模型解应用题 【例 1】某企业 2011 年的纯利润为 500 万元,因设备 老化等原因, 企业的生产能力将逐年下降. 若不能进行技术 改造,预测从今年(2012 年)起每年比上一年纯利润减少 20 万元,今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改 造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第 n 年(今年为 1 第一年)的利润为 500(1+2n)万元(n 为正整数). (1)设从今年起的前 n 年,若该企业不进行技术改造的累 计纯利润为 An 万元,进行技术改造后的累计纯利润为 Bn 万 元(须扣除技术改造资金),求 An、Bn 的表达式; (2)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行 技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利 润? 【解析】 (1)依题意知, 数列{An}是一个以 480 为首项, -20 为公差的等差数列的前 n 项和的数列. n?n-1? 所以 An=480n+ 2 ×(-20)=490n-10n2, 1 1 1 Bn=500(1+2)+500(1+22)+…+500(1+2n)-600 1 1 1 =500n+500(2+22+…+2n)-600 1 1n 2[1-?2? ] =500n+500× 1 -600 1-2 500 =500n- 2n -100. (2)依题意得,Bn>An, 500 即 500n- 2n -100>490n-10n2, 50 2 可化简得 2n <n +n-10, 50 所以可设 f(n)= 2n ,g(n)=n2+n-10. 又因为 n∈N+,f(n)是减函数,g(n)是增函数. 50 50 又 f(3)= 8 >g(3)=2,f(4)=16<g(4)=10, 则 n≥4 时不等式成立, 即至少经过 4 年进行技术改造 后累计纯利润将超过不改造的累计纯利润. 【点评】数列模型实际应用问题的显著情境是一次一 次的变化,且前后相邻两次或三次显现固定的变化模式; 求解时可依次探究,归纳出一般规


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