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【步步高】2015届高三数学人教B版【配套课件】 第四章 三角函数、解三角形 第5课


数学

R B(理)

§4.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象及应用
第四章 三角函数、解三角形

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要点梳理
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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ) 振幅 (A>0,ω>0), x∈[0,+∞) A 频率 ω 2π 1 T= ω f=T= 2π 周期 相位 初相

ωx+φ

φ

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2.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找 五个特征点. 如下表所示.

x ωx+φ y=Asin(ωx+φ)

0-φ ω

0
0

π 3π - φ π-φ 2 -φ 2π-φ 2 ω ω ω ω 3π π 2π π 2 2
A 0 -A 0

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3.函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 如下:

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夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) √ (4) × (5) √ (6) √

解析

A

A

C
π 6,6

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

将 f(x)化为一个角的一个三 角函数,由周期是 π 求 ω, 用五点法作图要找关键点.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

(1)f(x)=sin ωx+ 3cos ωx 1 3 =2( sin ωx+ cos ωx) 2 2 π =2sin(ωx+ ), 3 2π 又∵T=π,∴ =π,即 ω=2. ω π ∴f(x)=2sin(2x+ ). 3

∴函数 f(x)=sin ωx+ 3cos ωx π 的振幅为 2,初相为 . 3
题型分类 思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

(2) 令 X = 2x +
? π? ? 2sin?2x+3 ? ?=2sin ? ?

π ,则 y= 3 X.
5π 6 2π 0 0

列表,并描点画出图象: π π π 7π x - 6 12 3 12 π 3π X 0 π 2 2 0 1 0 -1 y=sin X y= 2 0 -2 ? π? 0 2sin?2x+3? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

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思想方法

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题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
解析 思维启迪 思维升华 (3)方法一 把y=sin x的图象上所 π 有的点向左平移 个单位,得到y= 3 ? ? π? π? ? ? ? sin x+3 的图象,再把y=sin x+3 ? ? ? ? ? 的图象上的点的横坐标缩短到原来 1 的 倍(纵坐标不变),得到y= 2 ? π? ? sin 2x+3 ?的图象,最后把y= ? ? ? π? ? sin 2x+3 ? 上所有点的纵坐标伸长 ? ? 到原来的2倍(横坐标不变),即可得 ? π? 到y=2sin?2x+3 ?的图象. ? ?
思想方法 练出高分

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

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题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维升华 方法二 将y=sin x的图象上每一 1 点的横坐标x缩短为原来的 倍,纵 2 坐标不变,得到y=sin 2x的图象; π 再将y=sin 2x的图象向左平移 个 6 ? π? ? 单位,得到y=sin 2 x+6 ?= ? ? ? π? sin?2x+3 ?的图象;再将y= ? ? ? π? sin ?2x+3 ? 的图象上每一点的横坐 ? ? 标保持不变,纵坐标伸长为原来的 ? π? ? 2倍,得到y=2sin 2x+3 ?的图象. ? ?
思想方法 练出高分

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

思维启迪

解析

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

(1) 五点法作简图:用 “ 五点 法 ” 作 y = Asin(ωx+ φ) 的简 图,主要是通过变量代换,设 π z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, 2 3 π, 2π 来求出相应的 x, 通过 2 列表,计算得出五点坐标,描 点后得出图象.

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】 设函数 f(x)=sin ωx + 3cos ωx(ω>0)的周期为 π. (1)求它的振幅、初相; (2) 用五点法作出它在长度为 一个周期的闭区间上的图象; (3)说明函数 f(x)的图象可由 y =sin x 的图象经过怎样的变 换而得到.

(2)图象变换:由函数y=sin x 的图象通过变换得到y= Asin(ωx+φ)的图象,有两种 主要途径:“先平移后伸 缩”与“先伸缩后平移”.

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跟踪训练1
?1 π? 已知函数f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?
解 (1)列表取值: π 3 5 x 2 2π 2π 1 π π x- 2 4 0 2 π f(x) 0 3 0 7 2π 3 π 2 -3 9 2π 2π 0

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的简图.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练1
?1 π? 已知函数f(x)=3sin?2x-4?,x∈R. ? ?

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数y=sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象?
π (2)先把 y=sin x 的图象向右平移 个单位,然后把所有的点的 4 横坐标扩大为原来的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到 f(x)的图象.

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为 ________________.
基础知识 题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为 ________________.
基础知识 题型分类

(1)根据周期确定 ω,据 f(0)= 3 π 和|φ|< 确定 φ; 2 π (2) 由点 (0,1) 在图象上和 |φ|< 2 确

定 φ,再根据“五点作图法”求 ω.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为 ________________.
基础知识 题型分类

π (1)∵f(x)(ω>0, |φ|< )的最小正周 2 期为 π, 2π ∴T= ω =π,ω=2. ∵f(0)=2sin φ= 3,

即 sin φ=

3 π π ,∵|φ|< ,∴φ= . 2 2 3 (2)观察图象可知:A=2且点
(0,1)在图象上,
∴1=2sin(ω· 0+φ),即 sin φ= 1 π π .∵|φ|< ,∴φ= . 2 2 6

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为 ________________.
基础知识 题型分类

11 又∵ π 是函数的一个零点, 且 12 是图象递增穿过 x 轴形成的零 11π π 点,∴ ω+ =2π, 12 6 ? π? ∴ω=2.∴f(x)=2sin?2x+6?. ? ?

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( D ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为
? ? . ________________ ? π? f(x)=2sin?2x+6?

11 又∵ π 是函数的一个零点, 且 12 是图象递增穿过 x 轴形成的零 11π π 点, ∴ ω + = 2π , ∴ω = 12 6 ? π? 2.∴f(x)=2sin?2x+6 ?. ? ?

基础知识

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思想方法

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题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( D ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为
π? f(x)=2sin 2x+6 ? ? ? . ________________
? ? ? ?

根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象 求其解析式的问题,主要从以下 四个方面来考虑: ①A 的确定:根据图象的最高点 和 最 低 点 , 即 最高点-最低点 ; 2 A =

②k 的确定:根据图象的最高点 和 最 低 点 , 即 最高点+最低点 ; 2
思想方法

k =

基础知识

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题型二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 2】 (1)已知函数 f(x)=2sin(ωx+ π φ)(其中 ω>0,|φ|< )的最小正周期是 2 π,且 f(0)= 3,则 ( D ) 1 π 1 π A.ω= ,φ= B.ω= ,φ= 2 6 2 3 π π C.ω=2,φ= D.ω=2,φ= 6 3 (2)已知函数 f(x)= Asin(ωx+φ) (A>0, π |φ|< ,ω>0)的图象的一 2 部分如图所示,则该函 数的解析式为
π? f(x)=2sin 2x+6 ? ? ? . ________________
? ? ? ?

③ω 的确定:结合图象,先求出 2π 周期 T,然后由 T= ω (ω>0)来 确定 ω; ④φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx +φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最 φ 靠近原点 ) 的横坐标为- ω ( 即令 φ ωx+φ=0,x=-ω)确定 φ.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位长 6 度后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.
解 (1)由图象知 A= 3,

?π ? ?5π ? M?3,0?为第一个零点,N? 6 ,0?为第二个零点. ? ? ? ?

? π +φ=0, ?ω· 3 列方程组? 5π ?ω· +φ=π, ? 6
∴所求解析式为 y=
基础知识

ω=2, ? ? 解之得? 2π φ=- . ? 3 ?

? 2π? ? 3sin 2x- 3 ?. ? ?

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 如图为 y=Asin(ωx+φ)的图象的一段. (1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 个单位长 6 度后得 y=f(x),求 f(x)的对称轴方程.
? ? π? 2π? ? ? (2)f(x)= 3sin?2 x+6 ?- ? 3? ? ? ? ? ? π? = 3sin?2x-3 ?, ? ?

π π 5 kπ 令 2x-3=2+kπ(k∈Z),则 x=12π+ 2 (k∈Z), 5 kπ ∴f(x)的对称轴方程为 x= π+ (k∈Z). 12 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象 2 的一部分如下图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象 2 的一部分如下图所示.

(1) 由图象知A,T → 图象过?-1,0?求φ → 解析式
π (2) 函数化简为y=2 2cos x 4

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类




思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象 2 的一部分如下图所示.

(1)由图象知 A=2,T=8, 2π π ∵T= ω =8,∴ω= . 4 又图象经过点(-1,0), π ∴2sin(- +φ)=0. 4 π π ∵|φ|<2,∴φ=4.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

π π ∴f(x)=2sin( x+ ). 4 4

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
解析 思维启迪 思维升华 (2)y=f(x)+f(x+2) π π π π π =2sin( x+ )+2sin( x+ + ) 4 4 4 2 4 π π π =2 2sin( x+ )=2 2cos x. 4 2 4 2 ∵x∈[-6,-3], 3π π π ∴- ≤ x≤- , 2 4 6 π π 2 ∴当4x=-6,即 x=-3时,y

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象 2 的一部分如下图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; π 当4x=-π,即 x=-4 时,y= f(x)+f(x+2)取得最小值-2 2.
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

函数y=Asin(ωx+φ)的应用
思维启迪 解析 思维升华

已知函数 f(x)=Asin(ωx+ π φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象 2 的一部分如下图所示.

利用函数的图象确定解析式后, 求出 y=f(x)+f(x+2), 然后化成 一个角的一个三角函数形式,利 用整体思想(将 ωx+φ 视为一个

(1)求函数 f(x)的解析式; 2 (2)当 x∈[-6,- ]时,求函数 y= 3 f(x) + f(x + 2) 的最大值与最小值及 相应的 x 的值.
基础知识 题型分类

整体)求函数最值.

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 (1)已知函数 y=2sin(ωx+θ)为偶函数(0<θ<π), 其图象与

直线 y=2 的某两个交点的横坐标为 x1、x2,若|x2-x1|的最小值为 π, 则 π A.ω=2,θ= 2 1 π C.ω= ,θ= 2 4 1 π B.ω= ,θ= 2 2 π D.ω=2,θ= 4 ( )

(2)如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s cm 和时间 t s 的函数关系式为 s=6sin(2πt+ π ),那么单摆来回摆动一次所需的时间为 ( ) 6 A.2π s
基础知识

B. π s
题型分类

C.0.5 s
思想方法

D. 1s
练出高分

题型分类·深度剖析
π 解析 (1)∵y=2sin(ωx+θ)为偶函数,∴θ= . 2 ∵图象与直线 y=2 的两个交点的横坐标为 x1、x2,
∵|x2-x1|min=π,

2π ∴ ω =π,ω=2. 2π (2)T=2π=1,∴选 D.
答案 (1)A (2)D

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)先将 f(x)化成 y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; π (2)将 f(x)解析式中的 x 换成 x- ,得 g(x),然后利用整体 6

思想求最值.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒



x π x π (1)f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π) 2 4 2 4
3分 5分 6分

= 3cos x+sin x π =2sin(x+3) 2π 于是 T= =2π. 1
基础知识 题型分类 思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
π π 8分 (2)由已知得 g(x)=f(x- )=2sin(x+ ), 6 6 π π 7π ∵x∈[0,π],∴x+6∈[6, 6 ], π 1 ∴sin(x+ )∈[- ,1], 10分 6 2 π 11分 ∴g(x)=2sin(x+6)∈[ -1,2] 故函数 g(x)在区间[0,π] 上的最大值为 2,最小值为-1. 12分
基础知识 题型分类 思想方法

思 维 启 迪

规 范 解 答

温 馨 提 醒

练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
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解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤: 第一步:将 f(x)化为 asin x+bcos x 的形式.

基础知识

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思想方法

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答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
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a 第二步:构造 f(x)= a +b (sin x· 2 2+ a +b b cos x· 2 2). a +b
2 2

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题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
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第三步: 和角公式逆用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)(其中 φ 为辅助角). 第四步:利用 f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的

性质.
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题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
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第五步: 反思回顾, 查看关键点、 易错点和答题规范.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

(1)在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 b asin α+bcos α= a +b sin(α+φ)(其中 tan φ=a),或 asin α+ a 2 2 bcos α= a +b cos(α-φ)(其中 tan φ=b),在历年高考中使用频
2 2

率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
答题模板系列5 三角函数图象与性质的综合问题 x π x π 典例: (12 分)已知函数 f(x)=2 3sin( + )· cos( + )-sin(x+π). 2 4 2 4
(1)求 f(x)的最小正周期. π (2)若将 f(x)的图象向右平移 个单位,得到函数 g(x)的图象,求 6 函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.
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(2)求 g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图 象进行求解.

基础知识

题型分类

思想方法

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思想方法·感悟提高
1.五点法作图及图象变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点, 注意曲线凸

方 法 与 技 巧

凹方向; (2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量 x 而 言,而不是看角 ωx+φ 的变化.
2.由图象确定函数解析式 由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题 ? φ ? 型,常常以“五点法”中的第一个零点?-ω,0? ? ? 作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个零 点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

3.对称问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与 x 轴的每一个交点 均为其对称中心,经过该图象上坐标为 (x, ± A) 的点与 x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称 轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半 个周期(或两个相邻平衡点间的距离).

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1. 由函数 y=sin x 的图象经过变换得到 y=Asin(ωx+φ) 的图象,如先伸缩,再平移时要把 x 前面的系数提

失 误 与 防 范

出来.

2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数 y= Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,基本思 想是把 ωx+φ 看做一个整体.若 ω<0,要先根据诱 导公式进行转化.

基础知识

题型分类

思想方法

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

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思想方法

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 1.为得到函数 y=cos(2x+ )的图象,只需将函数 y= 3 sin 2x 的图象 5π A.向左平移 个单位长度 12 5π B.向右平移 个单位长度 12 5π C.向左平移 个单位长度 6 5π D.向右平移 个单位长度 6
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(

)

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1 2 3

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4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π π π 解析 y=cos(2x+ )=sin[ +(2x+ )] 3 2 3 5π =sin(2x+ ). 6 5π 5π 故要得到 y=sin(2x+ 6 )=sin 2(x+12)的图象,只 5π 需将函数 y=sin 2x 的图象向左平移12个单位长度.

答案 A
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2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π 且|φ|< )的部分图象如图所示,则函 2 数 f(x)的一个单调递增区间是( ) 7π 5π 7π π A.[- , ] B. [- , - ] 12 12 12 12 π 7π π 5π C.[- , ] D.[- , ] 12 12 12 12 1 2 5 解析 由函数的图象可得4T=3π-12π, ∴T=π,则 ω=2. 5 5 又图象过点(12π,2),∴2sin(2×12π+φ)=2,
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5
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2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π 且|φ|< )的部分图象如图所示,则函 2 数 f(x)的一个单调递增区间是( ) 7π 5π 7π π A.[- , ] B. [- , - ] 12 12 12 12 π 7π π 5π C.[- , ] D.[- , ] 12 12 12 12 π ∴φ=- +2kπ,k∈Z, 3

π 取 k=0,即得 f(x)=2sin(2x-3),
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2.已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, π 且|φ|< )的部分图象如图所示,则函 2 数 f(x)的一个单调递增区间是( D ) 7π 5π 7π π A.[- , ] B. [- , - ] 12 12 12 12 π 7π π 5π C.[- , ] D.[- , ] 12 12 12 12 π 5π 其单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z, 12 12

取 k=0,即得选项 D.
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π 3.将函数 y=sin(x+φ)的图象 F 向左平移 个单位长度后 6 ?π ? ? ? , 0 得到图象 F′,若 F′的一个对称中心为?4 ?,则 φ ? ? 的一个可能取值是 π π A. B. 12 6 5π C. 6 ( D ) 7π D. 12

解析 图象 F′对应的函数

? ? π ? x + + φ y=sin? ? ?, 6 ? ?

π π 5π 则4+6+φ=kπ,k∈Z,即 φ=kπ-12,k∈Z, 7π 令 k=1 时,φ=12,故选 D.
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π 4π 4.设 ω>0,函数 y=sin(ωx+ )+2 的图象向右平移 个 3 3 单位后与原图象重合,则 ω 的最小值是 ( C ) 2 4 3 A. B. C. D.3 3 3 2 4π 解析 由函数向右平移 3 个单位后与原图象重合, 4π 得 3 是此函数周期的整数倍.又 ω>0, 2π 4π 3 3 ∴ω· k= 3 (k∈Z),∴ω=2k(k∈Z),∴ωmin=2.
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π π 5.已知函数 f(x)=2sin ωx 在区间[- , ]上的最小值为 3 4 -2,则 ω 的取值范围是 9 A.(-∞,- ]∪[6,+∞) 2 9 3 B.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 C.(-∞,-2]∪[6,+∞) 3 3 D.(-∞,- ]∪[ ,+∞) 2 2 ( )

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π π 解析 当 ω>0 时,- ω≤ωx≤ ω, 3 4 π π 3 由题意知-3ω≤-2,即 ω≥2; π π 当 ω<0 时,4ω≤ωx≤-3ω, π π 3 由题意知-3ω≥2,即 ω≤-2.
3 3 综上可知,ω 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞).

答案 D
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?π π? f(x)在区间?6,3 ? ? ?

6.已知

? π? f(x)=sin?ωx+3? ? ?

?π? ?π? (ω>0),f?6 ?=f?3 ?,且 ? ? ? ?

14 3 上有最小值,无最大值,则 ω=______.
π π 6+3 π 解析 依题意,x= 2 =4时,y 有最小值, ?π π? π π 3π ? ? ω+3 =-1,∴ ω+ =2kπ+ ∴sin 4· (k∈Z). 4 3 2 ? ? ?π π ? 14 ∴ω=8k+ (k∈Z), 因为 f(x)在区间?6,3?上有最小值, 3 ? ? π π π 14 无最大值,所以3-4<ω,即 ω<12,令 k=0,得 ω= 3 .
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7.设偶函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, △KLM 为等腰直角三角形, ∠KML=90° , KL=1, 3 1 则 f( )的值为________ . 4 6 1 1 解析 取 K,L 中点 N,则 MN=2,因此 A=2.

由 T=2 得 ω=π.
π ∵函数为偶函数,∴φ=2,

1 1 1 π 3 ∴f(x)=2cos πx,f(6)=2cos 6= 4 .
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8.某城市一年中 12 个月的平均气温与月份的关系可近似地用三 ?π ? 角函数 y=a+Acos?6?x-6?? (x=1,2,3,?,12,A>0)来表示, ? ? 已知 6 月份的月平均气温最高,为 28℃,12 月份的月平均气

20.5 ℃. 温最低,为 18℃,则 10 月份的平均气温值为________
解析
? ?a+A=28, 由题意得? ? ?a-A=18, ? ?a=23, ∴? ? ?A=5,

?π ? ∴y=23+5cos?6?x-6??, ? ?

x=10
基础知识

? 1? 时,y=23+5×?-2?=20.5. ? ?

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? ? π ? ? 2 x + ? ?+ 4? ?

9.(2013· 天津)已知函数 f(x)=- 2sin 6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.

(1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π ? 0 , (2)求 f(x)在区间? ? ?上的最大值和最小值. 2? ?
π π 解 (1)f(x)=- 2sin 2x· cos - 2cos 2x· sin + 4 4 ? π? ? 3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=2 2sin?2x-4? ?. ? ?
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2π 所以,f(x)的最小正周期 T= 2 =π.
基础知识

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1 2 3

A组
4

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5
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? ? π ? ? 2 x + ? ?+ 4? ?

9.(2013· 天津)已知函数 f(x)=- 2sin 6sin xcos x-2cos2x+1,x∈R.

(1)求 f(x)的最小正周期; ? ? π ? 0 , (2)求 f(x)在区间? ? ?上的最大值和最小值. 2? ?
? ?3π π? 3π ? (2)因为 f(x)在区间?0, 8 ?上是增函数,在区间? 8 ,2 ?上是 ? ? ? ? ?3π? ?π? 减函数.又 f(0)=-2,f? 8 ?=2 2,f?2 ?=2,故函数 f(x) ? ? ? ? ? π? 在区间?0,2?上的最大值为 2 2,最小值为-2. ? ?

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10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx(ω>0)的周 π 期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所 对的角为 x,求此时函数 f(x)的值域. 3 1 解 (1)f(x)= 2 sin 2ωx-2(cos 2ωx+1) π 1 =sin(2ωx-6)-2, 2π π 由 f(x)的周期 T=2ω=2,得 ω=2,
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5
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10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx(ω>0)的周 π 期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所 对的角为 x,求此时函数 f(x)的值域. π 1 ∴f(x)=sin(4x- )- , 6 2 π π π 由 2kπ-2≤4x-6≤2kπ+2(k∈Z), π kπ π kπ 得-12+ 2 ≤x≤6+ 2 (k∈Z),
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A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx(ω>0)的周 π 期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所 对的角为 x,求此时函数 f(x)的值域.

即 f(x)的单调递增区间是 π kπ π kπ [- + , + ](k∈Z). 12 2 6 2

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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx(ω>0)的周 π 期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所 对的角为 x,求此时函数 f(x)的值域. a2+c2-b2 2ac-ac 1 (2)由题意,得 cos x= ≥ = , 2ac 2ac 2 π 又∵0<x<π,∴0<x≤3, π π 7π ∴-6<4x-6≤ 6 ,
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1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10.已知函数 f(x)= 3sin ωx· cos ωx-cos2ωx(ω>0)的周 π 期为 . 2 (1)求 ω 的值和函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的三边 a、b、c 满足 b2=ac,且边 b 所 对的角为 x,求此时函数 f(x)的值域. 1 π ∴- <sin(4x- )≤1, 2 6 π 1 1 ∴-1<sin(4x-6)-2≤2, 1 ∴f(x)的值域为(-1,2].
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

基础知识

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思想方法

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I π =Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 1 如右图所示,则当 t= 秒时,电流强 100 度是 A.-5 安 C.5 3安 B. 5 安 D.10 安 ( )

T 4 1 1 解析 由图象知 A=10, = - = , 2 300 300 100 2π ∴ω= T =100π.∴I=10sin(100πt+φ). ? 1 ? 1 π ? ,10?为五点中的第二个点,∴100π× +φ= . 300 300 2 ? ?
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1.电流强度 I(安)随时间 t(秒)变化的函数 I π =Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的图象 2 1 如右图所示,则当 t= 秒时,电流强 100 度是 A.-5 安 C.5 3安
? π? π ? ∴φ= .∴I=10sin?100πt+ ? ?, 6 6 ? ? 1 当 t= 秒时,I=-5 安. 100

( A ) B. 5 安 D.10 安

基础知识

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思想方法

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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π 2π nπ 2. (2012· 上海)若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N+), 7 7 7 则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 ( ) A.16 B.72 C.86 D.100 解析 分析 Sn 的正负规律,从而求解. 易知 S1>0,S2>0,S3>0,S4>0,S5>0,S6>0,S7>0. π 2π 7π 8π S8=sin 7+sin 7 +?+sin 7 +sin 7 2π 3π 7π =sin 7 +sin 7 +?+sin 7 >0, 3π 4π 7π S9=sin 7 +sin 7 +?+sin 7 >0,
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练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π 2π nπ 2. (2012· 上海)若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N+), 7 7 7 则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16
S10=sin

( D.100

)

B.72

C.86

S11=sin
S12=sin
S13=sin
基础知识

4π 7π +?+sin >0, 7 7 5π 6π 7π 7 +sin 7 +sin 7 >0, 6π 7π 7 +sin 7 >0, 7π 7 =0,
题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π 2π nπ 2. (2012· 上海)若 Sn=sin +sin +?+sin (n∈N+), 7 7 7 则在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 A.16
S14=sin

( C ) D.100

B.72

C.86

7π 14π +sin =0, 7 7 ∴S1,S2,?,S100 中,

S13=0,S14=0,S27=0,S28=0,S41=0,S42=0,S55=0,
S56=0,S69=0,S70=0,S83=0,S84=0,S97=0,S98=0, 共 14 个.
∴在 S1,S2,?,S100 中,正数的个数是 100-14=86(个).
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1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π π 3.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ) (ω>0,- ≤φ≤ )的图象上的两 2 2 ? 1? 个相邻的最高点和最低点的距离为 2 2,且过点?2,-2?, ? ? ?πx π? sin? 2 +6? ? ? 则函数解析式 f(x)=________________.
解 析 据 已 知 两 个 相邻 最 高 及 最 低 点 距 离 为 2 2 , 可 得 ?T? 2π π ? ?2+?1+1?2=2 2,解得 T=4,故 ω= = ,即 f(x)= T 2 ?2 ? ?πx ? ? 1? sin? 2 +φ?,又函数图象过点?2,-2?,故 f(2)=sin(π+φ)= ? ? ? ? ?πx π? 1 π π π -sin φ=- , 又- ≤φ≤ , 解得 φ= , 故 f(x)=sin? 2 + 6 ?. 2 2 2 6 ? ?
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1 2

B组

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π π 4.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )-cos 2x+a(a∈R,a 为 6 6 常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后, 得到函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值. π π 解 (1)f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)-cos 2x+a π = 3sin 2x-cos 2x+a=2sin(2x- )+a. 6 2π ∴f(x)的最小正周期为 2 =π,
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π π 4.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )-cos 2x+a(a∈R,a 为 6 6 常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后, 得到函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值. π π π 当 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 即 kπ-6≤x≤kπ+3(k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, π π 故所求函数 f(x)的单调增区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z).
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π π 4.已知函数 f(x)=sin(2x+ )+sin(2x- )-cos 2x+a(a∈R,a 为 6 6 常数). (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后, 得到函数 g(x) 的图象关于 y 轴对称,求实数 m 的最小值.
(2)函数 f(x)的图象向左平移 m(m>0)个单位后得 g(x)= π 2sin[2(x+m)- ]+a 要使 g(x)的图象关于 y 轴对称, 只需 6 π π 2m- =kπ+ (k∈Z). 6 2 kπ π π 即 m= 2 +3(k∈Z),所以 m 的最小值为3.
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5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增 ? ? ? ? 区间.
?11π 5π? 解 (1)由题设图象知,周期 T=2? 12 -12?=π, ? ? ?5π ? 2π 所以 ω= T =2.因为点?12,0?在函数图象上, ? ?

所以

? ? 5π Asin?2×12+φ?=0,即 ? ?

?5π ? sin? 6 +φ?=0. ? ?

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5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增 ? ? ? ? 区间.
π 5π 5π 4π 又因为 0<φ< ,所以 < +φ< . 2 6 6 3 5π π 从而 +φ=π,即 φ= . 6 6

π 又点(0,1)在函数图象上,所以 Asin =1,解得 A=2. 6 ? π? 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?2x+6?. ? ?
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5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增 ? ? ? ? 区间.
? ? ? ? π ? π? π ? π? ? ? ? ? ? (2)g(x)=2sin?2 x-12?+6 ?-2sin?2?x+12?+6 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? π? 3 ? ? ? =2sin 2x-2sin 2x+3 =2sin 2x-2? sin 2x+ cos 2 ? ? ?2 ? π? =sin 2x- 3cos 2x=2sin?2x-3?. ? ?

? ? 2x? ?

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5.(2012· 湖南)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求函数 f(x)的解析式; ? π? ? π? (2)求函数 g(x)=f?x-12?-f?x+12?的单调递增 ? ? ? ? 区间.

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2

π 5π 得 kπ-12≤x≤kπ+12,k∈Z.

所以函数
基础知识

? π 5π? g(x)的单调递增区间是?kπ-12,kπ+12?,k∈Z. ? ?

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