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高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎证明综合法和分析法方法总结素材新人教A版选修1_2

综合法和分析法方法总结 1.当所证结论与所给条件之间的关系不明确时,常采用分析法证明,但更多的时候是综合法与 分析法结合起来使用,即先看条件能够提供什么,再看结论成立需要什么,从两头向中间靠拢,逐 步接通逻辑思路. 2.用分析法证题是寻求使结论成立的充分条件,不是必要条件,因此各步的寻求用“?”,有 些步骤也可用“?”,但不能用“? ”,因为是寻求充分条件,不必每步都是“?”,证完之后也 不能说每步都可逆,只有证明充要条件时,才可以说每步都可逆,或全部都用“?”表达. 3.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的思维方 式.如果从解题的切入点的角度细分,直接证明方法可具体分为:比较法、代换法、放缩法、判别 式法、构造函数法等.这些方法是综合法和分析法的延续与补充. 1.“对于任意角θ ,cos θ -sin θ =cos 2θ ”的证明过程:“cos θ -sin θ =(cos θ - sin θ )(cos θ +sin θ )=cos θ -sin θ =cos 2θ ”应用了(B) A.分析法 B.综合法 C.综合法与分析法结合使用 D.演绎法 解析:这是由已知条件入手利用有关的公式证得等式,应用了综合法,故选 B. 2.要证明 3+ 5<4,可选择的方法有以下几种,其中最合理的为(B) A.综合法 B.分析法 C.比较法 D.归纳法 解析:要证明 3+ 5<4,只需证明( 3+ 5) <16,即 8+2 15<16,即证明 15<4,亦即只需 证明 15<16,而 15<16 显然成立,故原不等式成立.因此利用分析法证明较为合理,故选 B. 3.已知 a>0,b>0,m=lg 解析:因为? 所以 2 2 2 2 2 2 4 4 4 4 2 a+ b 2 ,n=lg a+ b 2 ,则 m 与 n 的大小关系为________. ? a+ b?2 a+b+2 ab ? a+b?2 >? ? = ? , 4 ? 2 ? ? 2 ? > a+ b 2 a+b 2 .又因为 y=lg x 为增函数,所以有 m>n. 答案:m>n 4.如图,长方形 ABCD?A1B1C1D1 中,AB=AA1=1, AD=2,E 是 BC 的中点. 1 (1)求证:直线 BB1∥平面 D1DE; (2)求证:平面 A1AE⊥平面 D1DE; (1)证明:在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,BB1∥DD1, 又∵BB1?平面 D1DE, DD1? 平面 D1DE, ∴直线 BB1∥平面 D1DE. (2)证明:在长方形 ABCD 中, ∵AB=AA1=1, AD=2, ∴AE=DE= 2. ∴AE +DE =4=AD , 故 AE⊥DE. ∵在长方体 ABCD?A1B1C1D1 中,DD1⊥平面 ABCD,AE? 平面 ACBD, ∴DD1⊥AE. 又∵DD1∩DE=D, ∴直线 AE⊥平面 D1DE. 而 AE? 平面 A1AE, 所以平面 A1AE⊥平面 D1DE. 2 2 2 2


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