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排列组合练习题


解排列组合的应用题要注意以下几点: 1 仔细审题, 判断是排列还是组合问题, 要按元素的性质分类, 按事件发生的过程进行分步。 2 深入分析, 严密周详, 注意分清是乘还是加, 要防止重复和遗漏, 辩证思维, 多角度分析, 全面考虑。 3 对限制条件较复杂的排列组合问题,要周密分析,设计出合理的方案,把复杂问题分解成 若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决。 4 由于排列组合问题的答案一般数目较大,不易直接验证,因此在检查结果时,应着重检查 所设计的解决方案是否完备,有无重复和遗漏,也可采用不同的方法求解。看看结果是否相 同,在对排列组合问题分类时,分类标准应统一,否则易出现遗漏和重复。 基本规律 1,一大一小交替出现,首先考虑隔项数列; 2,由小到大再到小,必与指数有关; 3,注意观察是否平方/立方的变形(或者不同数的平方/立方相加/相减等);要求对以上前提篇 的熟练运用 4,跳跃较大则考虑乘积/次方,跳跃较小则考虑差/二重差; 5,尝试把各数间差,及二重差列出,寻找规律; 6,尝试把各数变化成某平方式,看是否存在规律; 数算部分 以下都是最基础的,原本以为不用写上来。可是今天看到还是有人不会。所以加上。 一、立方和公式: a 立方+b 立方=(a+b) 平方-ab+b 平方) (a a 立方-b 立方=(a-b) 平方+ab+b 平方) (a 二、特殊数列前 N 项和 1+2+3+4+5+6……+n=n(n+1)/2 2+4+6+8+10+……+2n=n(n+1) 1+3+5+7+……+(2n-1)=n 平方 1 平方+2 平方+3 平方+4 平方+……+n 平方=n(n+1) (2n+1)/6 1 立方+2 立方+3 立方+4 立方+……+n 立方=n^2(n+1)^2/4 三、等差数列求和公式: (1)Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/2 例 1,六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法? (1)甲不站两端; (2)甲、乙必须相邻; (3)甲、乙不相邻; (4)甲、乙之间间隔两人; (5)甲、乙站在两端; (6)甲不站左端,乙不站右端. 例 2, 男运动员 6 名, 女运动员 4 名, 其中男女队长各 1 人.选派 5 人外出比赛.在下列情形中 各有多少种选派方法? (1)男运动员 3 名,女运动员 2 名;

(2)至少有 1 名女运动员; (3)队长中至少有 1 人参加; (4)既要有队长,又要有女运动员. 例 3, 4 个不同的球,4 个不同的盒子,把球全部放入盒内. (1)恰有 1 个盒不放球,共有几种放法? (2)恰有 1 个盒内有 2 个球,共有几种放法? (3)恰有 2 个盒不放球,共有几种放法? 1,从 5 名男医生、4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队,要求其中男、女医生都 有,则不同的组队方案共有 ( ) A,70 种 B,80 种 C,100 种 D,140 种 解析:分为 2 男 1 女,和 1 男 2 女两大类,共有
1 1 2 C52 ? C4 ? C5 ? C4

=70 种,

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 2,2010 年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分 别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其 余三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 ( ) A, 48 种 B,12 种 C,18 种 D36 种 解析:合理分类,通过分析分为(1)小张和小王恰有 1 人入选,先从两人中选 1 人,然后 把这个人在前两项工作中安排一个,最后剩余的三人进行全排列有
1 1 3 C2 ? C2 ? A3

种选法。 (2) 种方法。

小张和小赵都入选, 首先安排这两个人, 然后再剩余的 3 人中选 2 人排列有

2 A32 ? A2

共有 24+12=36 种选法。 解题策略: :1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。 3,从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位 数的个数为 ( ) A,48 B, 12 C,180 D,162 解析:分为两大类: (1)含有 0,分步 1,从另外两个偶数中选一个, 个奇数中选两个,有
1 C2

种方法,2,从 3
1 C3

C32

种方法;3,给 0 安排一个位置,只能在个、十、百位上选,有



方法;4,其他的 3 个数字进行全排列,有

A33

种排法,根据乘法原理共

1 1 3 C2 ? C32 ? C3 ? A3

种方

法。 (2)不含 0,分步,偶数必然是 2,4 ;奇数有 列,共

C32

种不同的选法,然后把 4 个元素全排

A44

种排法,不含 0 的排法有 + =180.

4 C32 A4

种。根据加法原理把两部分加一块得

1 1 3 4 C2 ? C32 ? C3 ? A3 C32 A4

解题策略:1,特殊元素优先安排的策略。 2,合理分类与准确分步的策略。 3,排列、组合混合问题先选后排的策略。

4,甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学。若从甲、乙两组中各 选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有( ) A,150 种 B,180 种 C,300 种 D,345 种 解析:4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种,即这 1 名女同学或来自甲组,或来自乙组, 则所有不同的选法共有
1 1 2 1 1 C5C3C6 ? C52C6C2

种选法。

解题策略:合理分类与准确分步的策略。 5,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 ( ) A,6 B,12 C 30 D36 解析:可以先让甲、乙任意选择两门,有
2 2 C4 ? C4

种选择方法,然后再把两个人全不相同的 种选法, 然后乙从剩余的两门选, 有

情况去掉, 两个人全不相同, 可以让甲选两门有 种不同的选法, 全不相同的选法是

C42

C22


C42 C22

种方法, 所以至少有一门不相同的选法为

2 2 C4 ? C4

C42 C22

=30 种不同的选法。

解题策略:正难则反,等价转化的策略。

6,用 0 到 9 这 10 个 数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A.324 B,328 C,360 D,648 9 解析:
1 1 1 C4 ? C8 ? C8





8

1

第一类个位是零,共 8 8 4

A92

种不同的排法。

第二类个位不是零,共

1 1 1 C4 ? C8 ? C8

种不同的解法。

解题策略:合理分类与准确分步的策略. 7,从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙 至少有 1 人入选,而丙 没有入选 的不同选法的总数为 ( ) A,85 B,56 C,49 D,28 解析:合理分类,甲乙全被选中,有 同的选法,共
2 1 1 2 C2 ? C7 C2 ? C7 2 1 C2 ? C7

种 选 法,甲乙有一个被选中,有

1 2 C2 ? C7

种不

+

=49 种不同的选法。

解题策略: (1)特殊元素优先安排的策略, (2)合理分类与准确分步的策略. 8,将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两 名学生不能分到同一个班,则不同分法的总数为 ( ) A,18 B,24 C,30 D,30

将甲、乙、丙、丁四名学生分成三组,则共有

C42

种不同的分法,然后三组进行全排列共

A33

种不同的方法;然后再把甲、乙分到一个班的情况排除掉,共

A33

种不同的排法。所以总

的排法为

C42 A33



A33

=30 种不同的排法。

注意: 这里有一个分组的问题,即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题。 这里分为有序分组和无序分组,有兴趣的同学可以继续研究 ,这里不再详述。 解题策略: 1 正难则反、等价转化的策略 2 相邻问题捆绑处理的策略 3 排列、组合混合问题先选后排的策略; 9,3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位 女生相邻,则不同排法的种数是 ( ) A,360 B,288 C,216 D,96 解析:分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则,先考虑女生的问题,先从 3 个女生中选两位,有

C32

种方法,然后再考虑顺序,即先选后排,有

A22

种方法;这样选出

两名女生后,再考虑男生的问题,先把三个男生任意排列,有

A32

中不同的排法,

然后把两个女生看成一个整体,和另一个女生看成两个元素插入 4 个位置中。有 的排法,共有

A42

种不同

A22 C32 A33 A42

种不同的排法。然后再考虑把男生甲站两端的情况排除掉。

甲可能站左端,也可能是右端,有

1 C2

种不同的方法,然后其他两个男生排列有

A22

种排法,

最后把女生在剩余的三个位置中排列,有 法, 故总的排法为

A32

种不同的排法。共

1 A22 C32 C2 A22 A32

种不同的排

A22 C32 A33 A42

----

1 A22 C32 C2 A22 A32

=288 种不同的方法。

本题难度大,体现的排列组合的解题策略多: (1)特殊元素优先安排的策略: (2)合理分类与准确分步的策略; (3)排列、组合混合问题先选后排的策略; (4)正难则反、等价转化的策略; (5)相邻问题捆绑处理的策略; (6)不相邻问题插空处理的策略。 1.将 3 个不同的小球放入 4 个盒子中,则不同放法种数有( A. 81 B. 64 C. 12 D. 14 )

2. a, b, c, d , e 共 5 个人,从中选 1 名组长 1 名副组长,但 a 不能当副组长,不同的选法总 数是( A. 20 ) B. 16 C. 10 D. 6

3.在 100 件产品中有 6 件次品,现从中任取 3 件产品,至少有 1 件次品的不同取法的种数是 ( ) A.
1 2 C6C94

B.

1 2 C6C99

C.

3 3 C100 ? C94

D.

3 3 A100 ? A94

4.停车站划出一排 12 个停车位置,今有 8 辆不同型号的车需要停放,若要求剩余的 4 个空 车位连在一起,则不同的停车方法有( )种. A. A12 种
8

B.

8 4 2 A8 A4



C.8

8 A8



D.

8 9A8



5.某班举行联欢会,原定的五个节目已排出节目单,演出前又增加了两个节目,若将这两 个节目插入原节目单中,则不同的插法总数为( ) A.42 B.36 C.30 D.12 6.某城市的街道如图,某人要从 A 地前往 B 地,则路程最短的走法有( )

A.8 种 D.32 种 7. 今天是星期三,则再过 2
2009

B.10 种

C.12 种

天是(



A.星期五 B.星期六 C.星期天 D.星期四 11.从 0、1、2、3、5、7、11 七个数字中每次取出三个相乘,共有 个不同的 积. 12.甲、乙、丙、丁四个建筑公司承包 8 次工程,甲公司承包 3 项工程,乙公司承包 1 项, 丙和丁各承包 2 项,则共有 种承包方式. 13.有 1 元、2 元、5 元、50 元、100 元的人民币各一张,取其中的一张或几张,能组成 种 不同的币值. 17.从 4 名男生,3 名女生中选出三名代表. (1)不同的选法共有多少种? (2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种? (3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种? 18.用 0,1,2,3,4,5 这六个数字: (1)可组成多少个无重复数字的自然数? (2)可组成多少个无重复数字的四位偶数? (3)组成无重复数字的四位数中比 4023 大的数有多少? 19. 有 5 个人站成一排: (l)共有多少种不同的排法? (2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法? (3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法?

(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? (5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? (6)其中甲不站排头,乙不站排尾有多少种不同的排法? 参考答案: 一、选择题 1.B 2.B 3.C 6.B 7.A 8. C 二、填空题 11.21; 解析:分两类完成:

4.D 9. A

5. A 10. B

三个数字都不是 0 时,不同的积有

C3 ? 20 6

个;

其中有 1 个为 0 时,积均为 0,1 个; 故共有 21 个. 12.1680; 解析:分四步完成: 第一步甲公司承包 3 项工程,有 第二步乙公司承包 1 项,有 第三步丙承包 2 项,有 第四步丁承包 2 项,有 则共有
3 C8

种;

C1 5

种;

C2 4 C2 2

种; 种, 种.

3 2 2 C8 ? C1 ? C4 ? C2 ? 1680 5

13.63;
1 2 6 6 解析: C 6 ? C 6 ? ? ? C 6 ? 2 ? 1 ? 63 种.

三、解答题 17.解析: (1)即从 7 名学生中选出三名代表,共有选法 (2) 至少有一名女生的不同选法共有
3 C7 ? 35

(种) ; (种) 或者
3 3 C7 ? C4 ? 31

1 2 1 3 C3C4 ? C32C4 ? C3 ? 31
3 3 3 C7 ? C4 ? C3 ? 30

(种) ;

(3)男、女生都要有的不同的选法共有 18.解析: (1)组成无重复数字的自然数共有

(种).

1 1 1 1 1 3 1 4 1 5 C6 ? C5 A5 ? C5 A52 ? C5 A5 ? C5 A5 ? C5 A5 ? 1631

(个)

(2)无重复数字的四位偶数中个位数是 0 的共有 个位数是 2 或 4 的共有
1 1 2 C2C4 A4 ? 96

1 3 C1 A5 ? 60





所以,无重复数字的四位偶数共有 60 ? 96 ? 156 (个) (3)无重复数字的四位数中千位数字是 5 的共有
1 3 C1 A5 ? 60

个, 个, 个,

千位数字是 4、百位数字是 1、2、3、5 之一的共有

1 1 2 C1 C4 A4 ? 48

千位数字是 4、百位数字是 0、十位数字是 3、5 之一的共有

1 1 1 1 C1 C1 C2 A3 ? 6

千位数字是 4、百位数字是 0、十位数字是 2、个位数字只能是 5 有 1 个. 所以,比 4023 大的数共有 60 ? 48 ? 6 ? 1 ? 115 个. 19. 解析: (1)由于没有条件限制,5 个人可作全排列,共有
5 A5 ? 120

种排法.

(2)由于甲的位置已确定,其余 4 人可任意排列,有 A4 ? 24 种排法.
4

(3)因为甲、乙两人必须相邻, 可视甲、乙在一起为一个元素与其他 3 人有 A4 种排法, 而甲、乙又有 A2 种排法, 根据分步计数原理共有 A2 ? A4 ? 48 种排法.
2 4 2 4

(4)甲、乙两人外的其余 3 人有

3 A3

种排法,
2

要使甲、乙不相邻只有排在他们的空档位置,有 A4 种排法, 所以共有
3 2 A3 ? A4 ? 72

种排法;
5 2 4 A5 ? A2 ? A4 ? 72

或总的排法减去相邻的排法,即

种排法.

(5)甲、乙两人不站排头和排尾, 则这两个位置可从其余 3 人中选 2 人来站有 剩下的人有 共有
3 A3

A32

种排法,

种排法, 种排法.
4 4

3 A32 ? A3 ? 36

(6)甲站排头有 A4 种排法,乙站排尾有 A4 种排法, 但两种情况都包含了“甲站排头,乙站排尾”的情况,有 故共有
5 4 3 A5 ? 2 A4 ? A3 ? 78 3 A3

种排法,

种排法.

例 1,解 (1)方法一 要使甲不站在两端,可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个,有 A 4 种 站法,然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A 5 种站法,根据分步乘法计数原理,共 有站法:A 4 ·A 5 =480(种). 方法二 由于甲不站两端,这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站,有 A 5 种站法,然 后中间 4 人有 A 4 种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法:A 5 ·A 4 =480(种). 方法三 若对甲没有限制条件共有 A 6 种站法,甲在两端共有 2A 5 种站法,从总数中减去这 两种情况的排列数,即共有站 法:A 6 -2A 5 =480(种). (2)方法一 先把甲、乙作为一个“整体” ,看作一个人,和其余 4 人进行全排列有 A 5 种 站法,再把甲、乙进行全排列,有 A 2 种站法,根据分步乘法计数原理,共有 A 5 ·A 2 =240 (种)站法. 方法二 先把甲、 乙以外的 4 个人作全排列, A 4 种站法, 有 再在 5 个空档中选出一个供甲、 乙放入,有 A 5 种方法,最后让甲、乙全排列,有 A 2 种方法,共有 A 4 ·A 5 ·A 2 =240(种). (3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法” ,第一步先让甲、乙以外的 4 个人站 队,有 A 4 种站法;第二步再将甲、乙排在 4 人形成的 5 个空档(含两端)中,有 A 5 种站 法,故共有站法为 A 4 ·A 5 =480(种). 也可用“间接法” 个人全排列有 A 6 种站法,由(2)知甲、乙相邻有 A 5 ·A 2 =240 种站 ,6 法,所以不相邻的站法有 A 6 -A 5 ·A 2 =720-240=480(种). (4)方法一 先将甲、乙以外的 4 个人作全排列,有 A 4 种,然后将甲、乙按条件插入站 队,有 3A 2 种,故共有 A 4 · (3A 2 )=144(种)站法. 方法二 先从甲、乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲、乙之间的两个位置上,有 A 4 种,然 后把甲、乙及中间 2 人看作一个“大”元素与余下 2 人作全排列有 A 3 种方法,最后对甲、 乙进行排列,有 A 2 种方法,故共有 A 4 ·A 3 ·A 2 =144(种)站法. (5)方法一 首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有 A 2 种,再让其他 4 人在中间位置
2 2 2 3 2 3 2 2 4 2 4 6 5 2 6 5 2 4 2 4 2 1 2 4 1 2 4 2 5 2 5 6 5 6 5 4 2 4 2 1 5 5

1

作全排列,有 A 4 种,根据分步乘法计数原理,共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法. 方法二 首先考虑两端两个特殊位置,甲、乙去站有 A 2 种站法,然后考虑中间 4 个位置, 由剩下的 4 人去站,有 A 4 种站法,由分步乘法计数原理共有 A 2 ·A 4 =48(种)站法. (6)方法一 甲在左端的站法有 A 5 种,乙在右端的站法有 A 5 种,且甲在左端而乙在右端 的站法有 A 4 种,共有 A 6 -2A 5 +A 4 =504(种)站法. 方法二 以元素甲分类可分为两类:①甲站右端有 A 5 种站法,②甲在中间 4 个位置之一, 而乙不在右端有 A 4 ·A 4 ·A 4 种,故共有 A 5 +A 4 ·A 4 ·A 4 =504(种)站法.
1 1 4 5 1 1 4 5 4 6 5 4 5 5 4 2 4 2

4

2

4

例 2, 解 (1)第一步:选 3 名男运动员,有 C 6 种选法. 第二步:选 2 名女运动员,有 C 4 种选法. 共有 C 6 ·C 4 =120 种选法. (2)方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况: 1 女 4 男,2 女 3 男,3 女 2 男,4 女 1 男. 由分类加法计数原理可得总选法数为 C 4 C 6 +C 4 C 6 +C 4 C 6 +C 4 C 6 =246 种.
1 4 2 3 3 2 4 1 3 2 2

3

3分

6分

方法二 “至少 1 名女运动员”的反面为“全是男运动员”可用间接法求解. 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法,其中全是男运动员的选法有 C 6 种. 所以“至少有 1 名女运动员”的选法为 C 10 -C 6 =246 种. (3)方法一 可分类求解: “只有男队长”的选法为 C 8 ; “只有女队长”的选法为 C 8 ; “男、女队长都入选”的选法为 C 8 ; 所以共有 2C 8 +C 8 =196 种选法. 方法二 间接法: 从 10 人中任选 5 人有 C 10 种选法. 其中不选队长的方法有 C 8 种.所以“至少 1 名队长”的选法为 C 10 -C 8 =196 种. 9 分
5 5 5 5 4 3 3 4 4 5 5 5 5

6分

9分

(4)当有女队长时,其他人任意选,共有 C 9 种选法.不选女队长时,必选男队长,共有 C 8 种选法.其中不含女运动员的选法有 C 5 种,所以不选女队长时的选法共有 C 8 -C 5 种选法. 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C 9 +C 8 -C 5 =191 种.
4 4 4 4 4 4

4

4

例 3,解 (1)为保证“恰有 1 个盒不放球” ,先从 4 个盒子中任意取出去一个,问题转化为 “4 个球,3 个盒子,每个盒子都要放入球,共有几种放法?”即把 4 个球分成 2,1,1 的 三组,然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球,其余 2 个球放在另 外 2 个盒子内,由分步乘 法计数原理,共有 C 4 C 4 C 3 ×A 2 =144 种. (2) “恰有 1 个盒内有 2 个球” ,即另外 3 个盒子放 2 个球,每个盒子至多放 1 个球,也即 另外 3 个盒子中恰有一个空盒,因此, “恰有 1 个盒内有 2 个球”与“恰有 1 个盒不放球” 是同一件事,所以共有 144 种放法. (3)确定 2 个空盒有 C 4 种方法. 4 个球放进 2 个盒子可分成(3,1)(2,2)两类,第一类有序不均匀分组有 C 4 C 1 A 2 种方 、
C2 C2 4 2
2 2 法;第二类有序均匀分组有 A 2 ·A 2 种方法. 3 1 2 2 1 2 1 2

C2 C2 4 2

故共有

2 C4

(

3 C4

1 2 C1 A 2

2 2 + A 2 ·A 2 )=84 种.


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